高考数学 热点题型和提分秘籍 专题06 函数的奇偶性与周期性 理（含解析）

专题六函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.【热点题型】题型一函数奇偶性的判定例1、判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝lgx2＋lgeq\f(1,x2)；(2)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0,－x2＋x，x>0))；(4)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2).(4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)，∵f(x)＝－eq\f(lg1－x2,x)，f(－x)＝－f(x)．【提分秘籍】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【热点题型】题型二函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3(2)若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．1(3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－eq\r(2))＜f(eq\r(2))的x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，eq\r(2))C．(0,2eq\r(2))D．(eq\r(2)，＋∞)【提分秘籍】根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．解：当x＞0时，－x＜0，又x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，即：－f(x)＝2x2＋x，∴f(x)＝－2x2－x.综上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x，x≤0,－2x2－x，x＞0)).【热点题型】题型三函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)．2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．3．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数．4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f()＋f(－)的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2【热点题型】题型四利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．【举一反三】已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.【高考风向标】1．（·福建卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)2．（·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．C【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.3．（·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数3．C【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.4．（·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．5．[·广东卷]定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．12．C【解析】函数y＝x3，y＝2sinx是奇函数．6．（·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．7．（·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．23．A【解析】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))为奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝－f(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(1,1)))＝－2.8．（·四川卷）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【随堂巩固】1．满足f(π＋x)＝－f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是()A．cos2x B．sinxC．sineq\f(x,2) D．cosx解析：选B.由f(π＋x)＝－f(x)，得f(2π＋x)＝f[π＋(π＋x)]＝－f(π＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴2π是奇函数f(x)的一个周期．∴只有sinx满足此条件．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：选A.∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－33．若函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x)(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A．y＝lneq\f(1,|x|) B．y＝x3C．y＝2|x| D．y＝cosx5．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A.由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0,x3＋1，x＜0))D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0,e－x，x＜0))8．f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称9．若函数f(x)＝2x＋2－x与g(x)＝2x－2－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：选D.∵f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．又∵g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，故选D.10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)11．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．12．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，则f()＝________.解析：由已知f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.∴f()＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.答案：－214．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3x>0，,0x＝0，,－x2－2x－3x<0.))15．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0,0，x＝0,x2