2024年北师大版中考数学模拟考试试卷-带答案

2024年中考数学模拟考试试卷-带答案（北师大版）

（满分：150分；考试时间：120分钟）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图中六棱柱的左视图是（）

A.1B.口CODO

2.中华鳄是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护

动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种.3月28日是中华鳄保护日，有关部门进行放流

活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充.将140000000用科学记数法表示应

为（）

A.14X107B.1.4x108C.0.14X109D.1.4X109

3.已知直线a〃b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，其中NA=30°,

ZACB=90°,若Nl=45。，则N2的度数为（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.下列运算错误的是（）

A.（a2）Q：a6B.a7-i-aQa4C.aD?6=a9D.az+a3=as

5.下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

6.若点（-2,%）、（-1,y2）.（3,丫3）在反比例函数y=[k<0）上，则y1，y2,y?的大小关系是（）

A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2

7.为了缓解中考备考压力，增加学习兴趣，李老师带领同学们玩转盘游戏.如图为两个转盘,

转盘一被四等分，分别写有汉字"中""考""必""胜"；转盘二被三等分，分别写有汉字"我""必

""胜"，将两个转盘转动一次（当指针指向区域分界线时，不作数，重新转动）,若得至必''''

胜"两字,则获得游戏一等奖，请求出获得游戏等奖的概率（

A.1B.1C.1D.J-

24612

9.如图，在半径为10的扇形AOB中，ZAOB=90°,C是AB上一点，CD±OA,CE±OB,垂

足分别为D、E.若NCDE=36°,则图中阴影部分的面积为（）

第1页共20页

A.10兀B.9兀C.8兀D.6r

9.如图，在AABC中，AB=AC,以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M,交BC于

点N,分别以点M,N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在^ABC的内部相交于点P,

2

画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则NADB的度数为（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

10.定义：将平面直角坐标系中中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（-2,1）,（2,0）

等均为格点.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线I：y=a（x+2）（a>0）与x轴交于点A,

与抛物线E:y=ax2（a>0）交于B,C两点（B在C的左边）.直线I与抛物线E所围成的封闭图形

即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，则a的取值范围是（）

A.U<aW7B.竺<aW型C.竺<aW型或a=7D.a=7

23323

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.

11.因式分解：X2+6X+9=.

12.一个不透明的盒子中装有若干个红球和6个白球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试

验后发现，摸到白球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为.

13.若々Va“IU,且a为整数，则a的值为.

14.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影

部分的面积为（结果保留n）.

第2页共20页

15.如图，已知在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,分别将RtAABC的三边分别沿箭头

方向平移2个单位长度并适当延长，得到△A]B]G，则△A]B】q的面积为o

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,NABC=120°,点E是AD上一动点，连接

A'C、CE,将AABE沿BE折叠得到AA'BE,当点A'恰好落在CE上时，DE的长为___________.

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算：|V3—“一4sin30°+（-）i+（4—n）o.

2x+1<3©

18.（6分）解不等式组:

£+<1(1)

.24

19.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点E、F分别在BD和

DB的延长线上，且DE=BF,连接AE、CF.求证：AE=CF.

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20.（8分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底

A处先出行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F

在车的时间忽略不计）同一平面内，山坡AB的坡角为30。，缆车行驶路线BD与水平面的

夹角为53。.（换乘登山缆车的时间忽略不计）

⑴求登山缆车上升的高度DE;

（2）若小明和小亮的步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山

顶D处大约需要多长时间（结果精法到O.lmin）.（参考数据：sin53°^0.80,cos53°^0.60,

tan53°^1.33）

21.（8分）某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公

司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选

购哪家的鸡腿，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取了20只鸡腿，将其质量（单位：g）分

为四组（A:68Wx<71;B:71Wx<74;C:74Wx<77;D:77Wx<80）并对数据进行了收集，整理，描述

和分析.下面给出了部分信息：

Q.甲加工厂鸡腿质量扇形统计图6.乙加工厂鸡腿质量频数分布直方图

根据以上信息，回答下列问题：

⑴扇形统计图中m的值为.

（2）请补全频数分布直方图；

⑶乙加工厂这20只鸡腿质量的中位数是.

（4）若质量在75g及以上的鸡腿可加工成优等品，则甲、乙两个加工厂中，可加工成优等品

更多的是加工厂（填呷"或"乙"），理由是.

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22.(8分)如图，。0是AABC的外接圆，AD是。。的直径，F是AD延长线上一点，连接CD

CF,且NDCF=NCAD.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)若AD=10,cosB=^,求DF的长.

23.(10分)某物流公司承接A,B两种出口货物的运输业务，已知3月份A货物运费单价为70

元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费180000元；4月份由于油价下调，运费

单价下降为A货物50元/吨，B货物30元/吨，该物流公司4月承接的两种货物的数量与

3月份相同，4月份共收取运费130000元

⑴该物流公司3月份运输两种货物各多少吨？

(2)该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物数量的

2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？

第5页共20页

24.(10分)【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的

最小值，称为这两个图形之间的距离，即A,B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB

的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图线段的长度称为点与直线［之间的距离，当时，线段

1,AB±lrABA

AB的长度也是I1与1之间的距离.

⑴【应用】如图2,在等腰直角三角形BAC中，ZA=90°,AB=AC,点D是边AB上一点，

过点D作DE/7BC交AC于点E.若AB=6,AD=4,则DE与BC之间的距离为.

(2)如图3,已知直线l3:y=-x+4与双曲线G：y=4x>0)交于A(l,m)与B两点，点A与点B

X

之间的距离为，点。与双曲线q之间的距离为。

(3)【拓展】按规定，住宅小区的外围到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与

高速路相同走向的隔音屏障(如图4).有一条"东南-西北"走向的笔直高速路，路旁某住宅

小区建筑外围呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐

标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为

514,y=-x,

小区外围所在双曲线C2的函数表达式为y=丝”(x>0),那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长

度为多少？

图1

图4

第6页共20页

25.（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有

精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映

空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代

数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.同学们，请结合所学的数学解决下列问题.

【问题初探】

⑴如图1,点B是线段CD上的一点，ACLBC,ABLBE,DE±BD,垂足分别为C、B、D,AB=BE.求

证：Z^ACB之ABDE;

【类比迁移】

（2）如图2,一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,将线段AB绕点B逆

时针旋转90°得到BC.

①求点C的坐标；

②若抛物线y=ax2—Zx+C过A,C两点，求该抛物线的函数表达式；

2

【探究延伸】

（3）如图3,在（2）的条件下，直线y=-±x—4与x轴交于点D,与y轴交于点E,点F是第

3

二象限内抛物线上一动点，过点F作直线FG，x轴交DE于点G,连接AF,当AF=EG时，求

点F的横坐标.

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26.(12分)(1)问题发现：如图1,矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩

形ABCD的边AB和AD上，BC:AB=1：VW,连接CF.线段CF与DG的数量关系为,

⑵拓展探究：如图2,将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其它条件不变.在旋转的过程中，(1)

中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说明；

(3)解决问题：如图3,当矩形ABCD的边AD=AB时，点E是直线CD上异于C,D的一点，以

AE为边作正方形AEFG,点H是正方形AEFG的中心，连接DH,若AD=4,DE=2,直接写出

DH的长.

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答案

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图中六棱柱的左视图是（A）

人•口/~\

D.(

\/

2.中华鲍是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护

动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种.3月28日是中华鳄保护日，有关部门进行放流

活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充.将140000000用科学记数法表示应

为（B）

A.14X107B.1.4x1080.0.14x1090.1.4x109

3.已知直线a〃b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，其中NA=30°,

ZACB=90°,若Nl=45。，则N2的度数为（D）

A.30°B.25°C.20°D.15°

4.下列运算错误的是（D）

A.（az）Qa6B.a7-i-a|3a4C.aD?6=a9D.az+a3=as

5.下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（B

A9DS

6.若点（-2,yj、（-1,丫2）、（3,丫3）在反比例函数y=A（k<0）上，则%,y?，丫3的大小关系是（D）

A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y^y^Yj口色引"

7.为了缓解中考备考压力，增加学习兴趣，李老师带领同学们玩转盘游戏.如图为两个转盘，

转盘一被四等分，分别写有汉字"中""考""必""胜"；转盘二被三等分，分别写有汉字''我""必

""胜"，将两个转盘转动一次（当指针指向区域分界线时，不作数，重新转动），若得到"必""

胜,,两字，则获得游戏一等奖，请求出获得游戏等奖的概率（C）

转盘'一转盘二

A.1B.1C.1D.J-

24612

9.如图，在半径为10的扇形AOB中，ZAOB=90°,C是AB上一点，CD±OA,CE±OB,垂

足分别为D、E.若NCDE=36°,则图中阴影部分的面积为（A）

0H

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A.10兀B.9兀C.8兀D.6兀

9.如图，在AABC中，AB=AC,以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M,交BC于

点N,分别以点M,N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在^ABC的内部相交于点P,

2

画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则NADB的度数为（D）

A.36°B.54°C.72°D.108°

10.定义：将平面直角坐标系中中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（-2,1）,（2,0）

等均为格点.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线I：y=a（x+2）（a>0）与x轴交于点A,

与抛物线E:y=ax2（a>0）交于B,C两点（B在C的左边）.直线I与抛物线E所围成的封闭图形

即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，则a的取值范围是（C）

A.12<a<7B.12<aW型C.经<aW型或a=7D.a=7

23323

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.

11.因式分解：X2+6X+9=（X+3）2.

12.一个不透明的盒子中装有若干个红球和6个白球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试

验后发现，摸到白球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为18.

13.若々Vav/TU,且a为整数，则a的值为3.

14.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影

部分的面积为6n（结果保留口）.

15.如图，已知在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,分别将Rt^ABC的三边分别沿箭头

方向平移2个单位长度并适当延长，得到则△A,B,C,的面积为54。

第10页共20页

16.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,NABC=120。，点E是AD上一动点，连接

A'C.CE,将AABE沿BE折叠得到AA'BE,当点A,恰好落在CE上时，DE的长为V37-3

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算：|W—1|一4sin30。+（1）-1+（4—n）o.

=J3—1+2+1

=依

2x+1<3®

18.（6分）解不等式组：•

£+l—3x<1(2)

V24

解：解不等式①，得X<1

解不等式②，得XN-3

所以原不等式组的解集为-3Wx<l

19.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点E、F分别在BD和

DB的延长线上，且DE=BF,连接AE、CF.求证：AE=CF.

证明：四边形ABCD是平行四边形

/.OA=OC,OB=OD

VDE=BF

/.OE=OF

在AAOE和△COF中

fOE=OF

<ZAOE=ZCOF

(04=OC

/.△AOE^ACOF(SAS)

第11页共20页

AE=CF

20.（8分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰，由山底

A处先&行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F

在车的时间忽略不计）同一平面内，山坡AB的坡角为30。，缆车行驶路线BD与水平面的

夹角为53°.（换乘登山缆车的时间忽略不计）

⑴求登山缆车上升的高度DE;

（2）若小明和小亮的步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山

顶D处大约需要多长时间（结果精法到O.lmin）.（参考数据：sin53°^0.80,cos53°^0.60,

tan53°^1.33）

解：(1)如图，/4MF

过点B作BMLAF于点M.由题意可知，ZA=30°,ZDBE=53°,DF=600m,AB=300m

在RtAABM中，ZA=30°,AB=300m

/.BM=lAB=150m=EF

2

DE=DF-EF=600-150=450(m)

答：登山缆车上升的高度DE为450m.

(2)在RtZ!\BDE中，ZDBE=53°,DE=450m

二BD=—些—=562.5(m)

sinZDBE

，需要的时间t=t+t%iQl9.4(min)

步行缆车3060

答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.

21.（8分）某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公

第12页共20页

司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选

购哪家的鸡腿，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取了20只鸡腿，将其质量(单位：g)分

为四组(A:68Wx<71;B:71Wx<74;C:74Wx<77;D:77Wx<80)并对数据进行了收集，整理，描述

和分析.下面给出了部分信息：

a.甲加工厂鸡腿质量扇形统计图6.乙加工厂鸡腿质量频数分布直方图

根据以上信息，回答下列问题：

⑴扇形统计图中m的值为.

(2)请补全频数分布直方图；

⑶乙加工厂这20只鸡腿质量的中位数是.

(4)若质量在75g及以上的鸡腿可加工成优等品，则甲、乙两个加工厂中，可加工成优等品

更多的是加工厂(填"甲"或"乙")，理由是.

解：(1)1-(20%+10%+25%)=45%,.扇形统计图中m的值为45.

故答案为45.

(2)乙加工厂鸡腿质量在71WxW74这一组的数据个数为20-(1+7+8)=4

补全频数分布直方图如下：

⑶乙加工厂这20只鸡腿质量的中位数是工」275.5.

2

故答案为75.5.

(4)乙.理由如下：

甲工厂中，可加工成优等品的数量所占百分比不超过10%+25%=35%,乙工厂中，可加工成优

等品的数量所占百分比为U(10()%=60%,60%>35%,甲、乙两个加工厂中，可加工成优等品

20

更多的是乙加工厂

故答案为乙，乙工厂中，可加工成优等品的数量所占百分比大于甲工厂

第13页共20页

22.(8分)如图，。0是aABC的外接圆，AD是。。的直径，F是AD延长线上一点，连接CD

CF,且/DCF=NCAD.

⑴求证：CF是。0的切线；

(2)若AD=10,cosB=|,求DF的长.

⑴证明：如图，连接0C

'.AD是。0的直径

?.ZACD=90°

:.ZADC+ZCAD=90°

又VOC=OD

?.ZADC=ZOCD

又：ZDCF=ZCAD

?.ZDCF+ZOCD=90°

即OC±FC

V0C是。o的半径

...FC是。O的切线.

(2)解：VZB=ZADC,cosB=|

二.cosNADC卫

在RtAACD中

VcosZADC=2=—,AD=10

•CD_3

••-——

AC4

VZFCD=ZFAC,NF=NF

.,.△FCD^AFAC

■•aCD—_FC_FD_"3

ACFAFC4

第14页共20页

设DF=3x,则CF=4x,AF=3x+10

又：CF2=DF•AF,即（4X）2=3X（3X+10）

解得x=^（取正值）

7

FD=3X=22

7

23.(10分)某物流公司承接A,B两种出口货物的运输业务，已知3月份A货物运费单价为70

元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费180000元；4月份由于油价下调，运费

单价下降为A货物50元/吨，B货物30元/吨，该物流公司4月承接的两种货物的数量与

3月份相同，4月份共收取运费130000元

(1)该物流公司3月份运输两种货物各多少吨？

(2)该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物数量的

2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？

解：(1)设该物流公司3月份运输A货物x吨，运输B货物y吨.

根据足思，传(Ox+3Oy=130000解传｛y=1000

答：该物流公司3月份运输A货物2000吨，运输B货物1000吨.

(2)设该物流公司预计5月份运输B货物m吨，则运输A货物(3600-m)吨.

货物的数量不大于B货物数量的2倍

/.3600-mW2m

解得m21200.

设该物流公司5月份共收到w元运费

根据题意，得w=50x(3600-m)+30m=-20m+180000.

\-20<0

w随m的增大而减小.

当m=1200时，w有最大值

w=-20x1200+180000=156000.

答「该物流公司5月份最多将收到156000元运费.

24.(10分)【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的

最小值，称为这两个图形之间的距离，即A,B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB

的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图线段的长度称为点与直线［之间的距离，当时，线段

1,AB±I1；ABAI//%，

AB的长度也是I1与%之间的距离.

⑴【应用】如图2,在等腰直角三角形BAC中，ZA=90°,AB=AC,点D是边AB上一点，

过点D作DE/7BC交AC于点E.若AB=6,AD=4,则DE与BC之间的距离为.

(2)如图3,已知直线l3:y=-x+4与双曲线q：y=4(x>0)交于A(1,m)与B两点，点A与点B

1X

之间的距离为，点。与双曲线q之间的距离为o

(3)【拓展】按规定，住宅小区的外围到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与

第15页共20页

高速路相同走向的隔音屏障(如图4).有一条"东南-西北,,走向的笔直高速路，路旁某住宅

小区建筑外围呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐

标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高速路所在直线I#的函数表达式为丫=十，

小区外围所在双曲线的函数表达式为y=K(x>0),那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长

X

度为多少？

图4图5

解：⑴V2

(2)272

(3)如图，作直线AB〃I”与双曲线丫=幽仅>0)交于点A、B,过点O作OPLAB于点P,过点

X

P作PH，x轴于点H.过点A,B分别作直线的垂线AE、BF,垂足为E、F,则OP=80m,设

AB的表达式为y=-x+b.直线y=-x平分第二、四象限角

/.ZFOH=45°

/.ZPOH=90°-45°=45°

••.△POH是等腰直角三角形

/.PH=OH=OP=4072

/.P(40V2,40d2).代入y=-x+b,得40d2=-40/2+b

解得b=80V2

y=-x+80V2

联立，得-x+80V2=陋

X

解得x=20VZ或60V2

/.A(20V2,60/2)、6(60^2,20V2).

第16页共20页

/.AB==80

,.AB〃EF,AE〃BF

，四边形ABFE是平行四边形.

VAEXEF

,平行四边形ABFE是矩形.

/.EF=AB=80

答：修建隔音屏障的长度为80米

25.（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有

精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映

空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代

数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.同学们，请结合所学的数学解决下列问题.

【问题初探】

⑴如图1,点B是线段CD上的一点，ACLBC,ABLBE,DE±BD,垂足分别为C、B、D,AB=BE.求

证：Z^ACB之ABDE;

【类比迁移】

（2）如图2,一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,将线段AB绕点B逆

时针旋转90°得到BC.

①求点C的坐标；

②若抛物线y=ax2—Zx+c过A,C两点，求该抛物线的函数表达式；

2

【探究延伸】

（3）如图3,在（2）的条件下，直线y=-±x—4与x轴交于点D,与y轴交于点E,点F是第

3

二象限内抛物线上一动点，过点F作直线FG，x轴交DE于点G,连接AF,当AF=EG时，求

点F的横坐标.

(1)证明：AC±BC,AB±BE,DE±BD

AZC=ZABE=ZD=90°

/.ZA+ZABC=90°,ZABC+ZDBE=90°

/.ZA=ZDBE

在AACB和A