2025年高考数学复习题型突破训练：等差数列（原卷版）

第01讲等差数列

目录

题型一：等差数列及其通项公式........................................1

题型二：等差中项....................................................2

题型三：等差数列下标和性质..........................................3

题型四：等差数列的函数特征.........................................4

角度1：等差数列的单调性.........................................4

角度2：等差数列中的最大（小）项.................................5

题型五：等差数列的前〃项和..........................................6

题型六：等差数列的前〃项和性质......................................7

角度L等差数列片段和性质.......................................7

角度2：两个等差数列前〃项和比的问题..............................8

题型七：等差数列的前〃项和的函数特性................................9

角度1：二次函数法求等差数列前〃项和的最值......................9

角度2：求等差数列前〃项和的最值...............................10

角度3：根据等差数列前〃项和最值求参数.........................11

题型一：等差数列及其通项公式

典型例题

例题1.（2023•湖南衡阳•校考模拟预测）设等差数列包｝的前〃项和为S“，的=8,%=36,则满足S.>a“

的正整数〃的最大值为（）

A.16B.15C.12D.8

例题2.（2023•北京丰台•北京丰台二中校考三模）设等差数列｛4｝的前“项和为S”.若q=2,S4=20,

贝！I;S.=.

例题3.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛%｝各项均为正数且满足-5-1”,-2〃2+〃=0,数列

也｝满足4=3,且%1=34+3"。求｛%｝，｛4｝的通项公式.

精练核心考点

1.（2023・福建厦门•厦门外国语学校校考模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，若\<凡，Sf,

Ss>S9,则符合题意的等差数列｛6｝的一个通项公式为。“=.

2.（2023春•河南•高二校联考阶段练习）数列｛%｝满足g=2〃,S"为数列｛（｝的前”项和，贝I]

3.（2023・全国•高二专题练习）在数列｛%｝中％=4,7%+1-（〃+1）%=2/+2〃，.求证：数列｛工｝是等差

n

数列；

题型二：等差中项

典型例题

例题1.（2023•全国•高三对口高考）已知数列｛与｝是等差数列，数列｛勾｝是等比数列，其公比g>i,

且弓>0（i=l,2,3,…），若％=仇，au=bn,贝！j（）

A.a6=b6B.a6>b6

C.a6<b6D.0>%或

例题2.（2023春•北京•高二北京八中校考期中）在等差数列｛%｝中，〃4+〃5+。6=3009则+。6的值

为（）

A.50B.100C.150D.200

例题3.（2023•广西南宁•南宁二中校考模拟预测）在等差数列｛4｝中，若4+%+%+%+%=120,则

2a6~a9=1

精练核心考点

1.（2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试）已知｛%｝是公差不为0的等差数列，*是其前〃项和，若

%+5%=S8,则下列关系中下军正确的是（）

A.Sg=S]oB.S9<HoC.Sg=S9D.Ss<S9

3

2.（2023•全国•高二专题练习）已知。>0,b>0,且L1：成等差数列，则为+/）的最小值为（）

a2b

A.4B.6C.9D.12

3.（2023春•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考期中）在等差数列｛与｝中，S”为｛与｝的前〃项和，%>0,<0，

则无法判断正负的是（）

A.SnB.几C.Sl3D.Sl4

14

4.（2023•广西•统考一模）已知。>0,b>0,若。，2,6依次成等差数列，则一+丁的最小值为______

ab

题型三：等差数列下标和性质

典型例题

例题1.（2023・全国・校联考二模）等差数列｛叫中，出+。4+%。+42=40.则前13项和几=（）

A.133B.130C.125D.120

例题2.（2023•全国•高三对口高考）在等差数列｛%｝中，S,是其前,项和，若%+2%+%=60,则品

等于（）

A.195B.200C.205D.210

例题3.（2023•四川成都•树德中学校考模拟预测）等差数列｛%｝中，%则｛%｝的前9项

和为（）

A.-180B.-90C.90D.180

精练核心考点

1.（2023春•高二课时练习）设｛%｝，他,｝都是等差数列，且%=25,4=75,出+%=100,则知+办

()

A.0B.37C.100D.-37

1

2.（2023春•高二课时练习）如果等差数列｛4｝中，a3+a4+a5=12,那么用+?"---F%=（）

A.14B.12C.28D.36

3.（2023春•高二课时练习）已知数列｛%｝是等差数列，若4-〃9+。17=7,则〃3+%5等于（）

A.7B.14C.21D.7(n-l)

题型四：等差数列的函数特征

角度1:等差数列的单调性

典型例题

例题1.（2023•高二课时练习）已知等差数列｛与｝单调递增且满足%+%=6,则6的取值范围是（）

A.（-℃,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+co）

例题2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）设等差数列｛氏｝的前〃项和为S“，且满足$2。>0,邑1<0，

则下列结论正确的是（）

A.数列｛氏｝为单增数列B.数列｛%｝为单减数列

C.对任意正整数〃，都有同同叫D.对任意正整数〃,都有旧性卬

例题3.（2023春•山东德州•高二统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列｛%｝的通项公式：

®a„,-na„(m>n,m,weN*)；②{%}单调递增.

角度2：等差数列中的最大（小）项

典型例题

例题1.（多选）（2023秋•湖南岳阳•高二统考期末）已知无穷等差数列｛%｝的前"项和为S.，4>0,

〃<0,贝！J（）

A.数列｛/｝单调递减B.数列｛%｝没有最小项

C.数列｛$,｝单调递减D.数列阻｝有最大项

例题2.（多选）（2023春•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）等差数列｛%,｝中，为

其前"项和，%=15,$5=%，则以下正确的是（）

=

A.d-1B.|^41=1"131

C.s”的最大值为S8D.使得y>0的最大整数〃=15

，、a,+a1

nL

例题3.（2023春•河南南阳•高二校联考期中）已知正项等比数列6｝满足条件。，吗6=16,>-=-.

%+为3

⑴求｛叫的通项公式；

⑵设1=%的1an,求r的最大值.

题型四精练核心考点

1.（2023•北京海淀•校考三模）己知等差数列｛叫的公差为d,数列低｝满足%也=l（〃eN*）,则"d>0"

是"｛“｝为递减数歹『的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023春•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知无穷等差数列｛。“｝的前〃项和为

公差为d,若%>0,d<0,则不正确的（）

A.数列｛4｝单调递减B.数列｛%｝没有最小值

C.数列｛*｝单调递减D.数列｛SJ有最大值

3.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝为等差数列，前〃项和为S"，贝1]"2$+]<2+名+2"是"数列｛邑｝

为单增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（多选）（2023秋•吉林•高二吉林一中校考期末）已知等差数列｛g｝,前"项和为9<-1,

“2022

则下列结论正确的是（）

A.a2022>0B.S”的最大值为打23

C.卜“|的最小值为。2022D.邑044<。

5.（多选）（2023春•高二课时练习）等差数列｛%｝中，"〈跖国〉、，则下列命题中为真命题的是（）

A.公差d<0B.S9<S6

C.%是各项中最大的项D.S’是$“中最大的值

6.（多选）（2023春・江西上饶•高二校考阶段练习）记等差数列｛g｝的前〃项和为S”.若g=I。，$5=$2,

则（）

A.B.&T0C.S“的最大值为30D.。"的最大值为15

7.（多选）（2023春•江西南昌•高二校考阶段练习）公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若

邑侬<邑。如<邑侬，则下列选项正确的是（）

A.d<QB.%<0时，"的最小值为2022

C.S,有最大值D.S,>0时，"的最大值为4043

题型五：等差数列的前〃项和

典型例题

例题1.（2023春•四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定

理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如

下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问

题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的前〃项和为S”，则

2S”+48,,日r在/、

7——的最小值为（）

n

A.20B.25C.—D.40

2

例题2.（2023春•北京海淀•高二北理工附中校考期中）已知S,是等差数列｛对｝的前〃项和，若仅当〃=5

时S,取到最小值，且I«51>14I.则满足S“>0的〃的最小值为.

例题3.（2023•湖北武汉•统考三模）已知各项均不为零的数列｛氏｝的前〃项和为S“，%=1,

2s,=44+1（〃eN*）.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若其V2023恒成立，求正整数人的最大值.

精练核心考点

1.（2023・湖北武汉・华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列｛与｝的首项为1,前"项和为S“，且对任

意〃w7,S〃<87,则（）

A.S13<0B.S14>0C.515<0D.S16>0

2.（2023•全国•高三专题练习）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，若%+%+3=10，5+3+4,+2=18,则

二鼠L=

n77+I

3.（2023春•高二课时练习）设等差数列｛助｝的前"项和为S",且鼠=-2£+|=0,工+2=3,贝!.

题型六：等差数列的前〃项和性质

角度1：等差数列片段和性质

典型例题

例题1.（2023春•河北•高二校联考阶段练习）已知S”是等差数列｛%｝的前"项和，若邑。=15,几=75,

贝！1打=（）

A.40B.45C.50D.55

例题2.（2023•全国•高二专题练习）在等差数列｛“〃｝中，其前〃项和为S〃，若与：07=6:1,则与：见=

（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

例题3.（2023春•高二课时练习）设等差数列包｝的前”项和为S"，若&=2,%=8,则S"=

角度2：两个等差数列前〃项和比的问题

典型例题

例题1.（2023春•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列｛。“｝,｛4｝的前"项和分别

,,S,7〃+2

为s”和7；,已知酒=：Y，则,=______.

Tnn+5b]

例题2.（2023春•辽宁沈阳•高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）设等差数列｛见｝,｛2｝的前〃

项和分别为，，T„,若*=则幺詈=（）

Tn3〃+12%

A1「7c11「22

A.-B.—C.—D.—

3236969

例题3.（2023春•江西南昌•高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知两个等差数列｛。力和｛4｝的

A7几+45a

前〃项和分别为4和4,且才=二丁，则使得广为正偶数时，力的值是

A.1B.2C.5D.3或11

题型六精练核心考点

1.（2023•福建厦门•统考模拟预测）等差数列｛%｝的前”项和为S"，风=18,邑=3,则$6=（）

2127

A.9B.—C.12D.——

22

2.（2023春・河南南阳•高二校联考期中）已知等差数列｛%｝,若。3+&+%=12,a4+a5+a6=18,则

。6+。7+。8=（）

A.30B.36C.24D.48

3.（2023春•湖北咸宁•高二鄂南高中校考阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且

〃〃+2=2%+1-。〃百0=20,520=10，则邑0=（）

A.0B.-10C.-20D.—30

S2n

4.（2023春•辽宁大连•高二校联考期中）设等差数列｛%｝,｛4｝的前〃项和分别是S“，Tn,若宁=而行，

则上=（）

611

A.-B.—

517

C.--D.3

14

5.（多选）（2023春•高二课时练习）已知两个等差数列｛%｝和抄“｝的前〃项和分别为S“和7；,且*=5詈,

则使得？为整数的正整数〃的值为（）

*

A.2B.3C.4D.14

6.（2023春•高二课时练习）已知S,,（分别是等差数列｛七｝,帆｝的前〃项和，且*=*,（〃eN*）,

bi+bxi绿+砥------

7.（2023春•河南关B州•高二河南省实验中学校考期中）设数列｛g｝,也,｝均为等差数列，它们的前〃项和分

别为邑,9,若今=黑，则冷—.

8.（2023春•高二课时练习）已知两个等差数列｛%,｝和｛6,｝的前〃项和分别为S“，Tn,且今=5各，则

〃3_

&=----------

9.（2023春•高二课时练习）已知数列｛凡｝与｛〃｝均为等差数列，其前〃项和分别为斗与月，若去=普|,

T”3〃一1

则鲁________;户________.

bga

题型七：等差数列的前〃项和的函数特性

角度1:二次函数法求等差数列前〃项和的最值

典型例题

例题1.（2023春•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，满足

$9-工=4,且4=-25,则当S,取得最小值时，〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

例题2.（多选）（2023春•辽宁沈阳•高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）数列｛4｝是递增的

等差数列，前〃项和为丛，满足％=3%，则下列选项正确的是（）

A.<7>0B.%<0

C.当〃=4时，S,最小D.S,>0时，”的最小值为7

例题3.（2023春•江苏南京•高二南京市秦淮中学校考阶段练习）在①。7=1，②工=48,③%+%=-4

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

设等差数列｛%｝的前n项和为S“，S4=40,

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求S”的最大值.

角度2：求等差数列前〃项和的最值

典型例题

例题1.（2023春•高二课时练习）已知数列｛%｝中，q=25,4%=4.“-7,若其前〃项和为S..则S”的最

大值为（）

A.15B.750C.—D.—

42

例题2.（2023春・湖北武汉・高二校联考期中）等差数列｛。"｝中，同|=|。9|，公差1<0,则使前〃项和S.

取得最大值的正整数〃的值是,使前〃项和S,>0的正整数"的最大值是.

例题3.（2023春广东韶关福二校考阶段练习）已知等差数列｛%｝的前〃〃项和为S,,若。2=8,%+%=2.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

（2）求S”的最大值及取得最大值时n的值.

角度3：根据等差数列前〃项和最值求参数

典型例题

例题1.（2023春•浙江•高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）等差数列｛对｝的公差不为0,其

前〃和S“满足邑4品，贝严+£+%的取值范围为（）

P2、3

A.B.uo^lj

一89一■910'

C.D.

9510To'TT

例题2.（2023•全国•高三专题练习）记数列｛4