江苏省苏州市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试卷含答案

江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.函数/（%）=-f+1在口,1.1]上的平均变化率为（）

A.0.21B.2.1C.-0.21D.-2.1

2.设全集U={—3,—1,0,1,3}，集合A={—1,0,1}，3={y|y=3x,xeA},则443=（）

A.{-3,0,3}B.{-1,0,1}5-1,1}D.{0}

3.对于满足〃之4的任意正整数〃，4x5x…义“=（）

34T

A.AnB.AnC.A"-n4D.A'n

4.已知a,beR，贝『'a>b>0”是“|。+[>弧+1]”的什么条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知募函数/（%）=（苏+加-在（0,+8）上单调递减，则实数机的值为（）

A._2或1B._i或2C.lD._2

6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出

一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再

从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）

A.AB.lC.iD.l

16852

7.设a=3,b=log2,c=-+sin—>则（）

4344

A.q>/?>cB.c>b>aC.c>b^b>a>c

8.已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排

法共有（）

A.48种B.60种C.66种D.72种

二、多项选择题

9.下列说法中正确的有（）

A.若随机变量x,y满足经验回归方程夕=-0.02%+49.76,则x,y的取值呈现正相关

B.若随机变量X~N（3,cr）,且P（X>6）=0.15,贝IP（X<0）=0.15

C.若事件A,B相互独立，则P(A|5)=P(A)

D.若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中

次品数为1的概率是3

5

10.拐点(InflectionPoint)又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，

直观地说，是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点).拐点在统计

学、物理学、经济学等领域都有重要应用.设函数/(x)对于区间(。力)内任一点都可

导，且函数g(x)=/'(%)对于区间(。力)内任一点都可导，若三/,使得

=且在x=x()的两侧g，(x)的符号相反，则称点(%/伉))为曲线y=/(x)的

拐点.以下函数具有唯一拐点的有()

A./(x)=x3+x2

B.y(x)=-%3+—,x>0

3x

C./(%)-ax-x2(a〉0，且aw])

D./(%)=Inx+sin尤

11.已知定义域为R的连续函数/(x)满足e£/(x-y)=e£+"(x)+/(-y)，

f(-l)=-e2-则()

A-f(0)-0

B.e"(x)为奇函数

C./(x)在(-oo,0)上单调递减

D./(x)在(0,+oo)上的最大值为1

三、填空题

12.89被6除所得的余数为.

13.已知随机变量x,y的五组观测数据如下表：

X12345

-11166.59

ye-e-aCe

由表中数据通过模型>=e^"得到经验回归方程为y=e2-6'-3'8，则实数a的值为

14.已知函数/(x)=/+奴2+bx+c(a,b,ceR)，若关于x的不等式/'(x)＜0的解集为

{%［%＜。+3且％//},则/(x)的极小值为.

四,解答题

15.已知(1-3x)"(其中xeR，“eN*)的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二

项式系数之和为36.

⑴求〃；

2n

(2)ia(1-3xy=aQ+alX+a2x+•••+anx，求一?+•一生+…+争的值.

16.已知某射击运动员每次射击命中10环的概率为*,每次射击的结果相互独立，共

5

进行4次射击.

⑴求恰有3次命中10环的概率；

⑵求至多有3次命中10环的概率；

⑶设命中10环的次数为X,求随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X).

17.已知函数/(x)=2：丁=-R)为奇函数.

—2"+i-2

⑴设函数8⑴=小一%,求g1贵"［急＞…+g］器］的值；

⑵若关于x的方程/(平+3)+/(-a)=0有实数根，求实数。的取值范围.

18.某学校组织100名学生去高校参加社会实践.为了了解学生性别与颜色喜好的关

系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同.每位学生根据个人

喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下2x2列联表.

红色蓝色合计

男202545

女401555

合计6040100

(1)是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”;

(2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号

的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，

①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；

②记所选的箱子中有X对相邻序号(如：所选箱子的标号为1,2,3,5,则1,2和

2,3为2对相邻序号，所以x=2)，求随机变量X的分布列和数学期望E(X).

n(ad-bc)2

附：/其中几=a+Z?+c+d・

(a+/?)(c+d)(〃+c)(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

19.已知函数=(x+l)lnx.

⑴求曲线y=/(x)在％=1处的切线方程；

(2)若关于x的不等式/⑴>加(％-1)在(l,+oo)上恒成立，求实数m的最大值；

(3)若关于x的方程/(%)+依2+(a+1)犬+1=0(〃eR)有两个实根再，/(X。X2)，求

i、i丁r：-C2〃<—1I---1-<a+3C.

西々

参考答案

1.答案：D

解析：函数/（为=_文+］在［1,1.1］上的平均变化率<（1）__021_0=_2.1.

1.1-10.1

故选:D

2.答案：C

解析：3={=3无，尤eA}={-3,0,3},

则e6={—1,1}，

所以A①3={-1,1}.

故选：C.

3.答案：D

解析：易得4x5x…x"=A：',

故选：D.

4.答案：A

解析：充分性：«>/?>0=>|«+1|>|^+1|»充分性成立;

必要性：当a=-2力=-1时，|a+l|>M+l|成立，但a<b<0，故必要性不成立；

所以“a〉“0”是“|。+1|诽+1］”的充分不必要条件.

故选：A.

5.答案：C

解析：因为募函数/（X）=（〃+m-1）%―2“+1在（0,+CQ）上单调递减，

，2

匕厂1、r777+7721—1u-rxzpz«

所以〈，解得"2=1.

-2m+l<0

故选：C.

6.答案：B

解析：设事件A为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，

事件3为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，

则P（B）=P（A）.P（叫A）+P（Z）.P（BB）

故选：B.

7.答案：A

o32工1工

Z

解析：因为a=(=log33=log3271>log325%=log352>log3如=log32，

所以a>b，

令/(x)=x—sinx，则/'(x)=l-cosxN0，

所以在R上为增函数，

所以/［；］〉/(0)=0,即:-sin；>0，所以：〉sin；,

则b=log32>log3G=g=J+；>；+sin；，即b>c,

综上所述，a>b>c-

故选：A.

8.答案：B

解析：若甲站在正中间，则共有A；A：种排法，

若甲不站在正中间，先排甲有C；种，再排乙有C；种，最后三人任意排有A；种,

则共有C；C；A；种排法，

综上，共有人/：+口€：次；=24+36=60种不同排法.

故选：B.

9.答案：BCD

解析：对于A,因为随机变量x,y满足经验回归方程$=-0.02x+49.76,

所以x,y的取值呈现负相关，故A错误；

对于B,因为随机变量X〜N（3,b）,且P（X>6）=0.15,

所以P（X<0）=P（x>6）=0.15,故B正确；

对于C若事件A,8相互独立,则尸（AB）=P（A）尸（3）,

所以P（A|5）=号需=P（A）,故C正确;

对于D,由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率。=工1=），故D正确.

C；5

故选：BCD.

10.答案：AC

解析：对于A：g(%)=f(%)=3x2+2x>g'(x)=6x+2，令g'(尤)=0得x=—；，

当x〉-；时，g，（尤）＞0，当》＜一；时，g＜x）＜0是函数

127J

"%）的拐点，故A正确;

对于B：g(x)=((%)=/,g〈x)=2x+3，x>0，令g<x)=0，方程无解，所

以/(%)无拐点，故B错误；

对于C：g(x)=f(x)=axIn<7-2x)g'(x)=a[n2a-2，令g'(x)=0得

XT“〃总

当々>1且%>logq一一时，g'(x)>0,当Q>1且当犬<logq一一时，g'(x)v0.

InaIna

o7

当0<QVl且%>logq—^时'g'(x)v。'当0<Q<l且冗<logq—时'g'(x)>0,

InaIna

'所以1°吼高'eT°g；高是函数/（"）唯一

拐点，故C正确;

对于D：g(x)=/"(x)=—+cosx，g'(x)=--y-sinx，因为g'(7i)v0,g>0,

XX

所以g'（x）=0在［兀，号J至少有一个零点看且为变号零点，

又因为g'（—兀）＜0,所以g〈x）=0在至少有一个零点/且为变

号零点所以〃龙）有拐点但不唯一，故D错误.

故选：AC

11.答案：ABD

解析：对于A,令x=y=0,

则/(O)=/(O)+/(O),所以"0)=0，故A正确；

对于B,由e"(x—y)=e»F(x)+/(—y)，得e、/(x—y)=6"。)+0/(—y)，

令g(X)=e"(x)，贝1g(x—y)=g(X)+g(—y)，

令x=y=0,则g®=g(o)+g(o),所以g(o)=o，

令丁=%，则g(O)=g(x)+g(-x)=0，

所以g(x)为奇函数，即e，/(x)为奇函数，故B正确；

由g(x-y)=g(x)+g(-力

关于X求导得，g'(x-y)=g'(x)，

令_y=Ax,/z(x)=g'(x)，

则〃(x)=lim丸…)-3)=lim…)一g'(x)=o，

-Ax。Ax

所以M%)=c(c为常数)，即g")=c,

所以g(x)=Cx+1(CJ为常数)，

因为g⑼=0,g(-l)=e-1x(-e2)=-e，

所以g(x)=ex,所以/(%)二M，

e

则/'(》)=¥，

当x<l时，f'(x)>0,当X>1时，f'(x)<0,

所以“力在(-8,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，

所以“力1rax=/(1)=1,故C错误；D正确.

故选：ABD.

12.答案：2

解析：89=(6+2)9=Cg69+C968x2+Cg67x22+Cg6x28+C®29)

展开式的前9项都能被6整除，只有最后一项不能被6整除，所以问题转化为29被6

的余数，

而29=512,被6除的余数为2,所以89被6除的余数为2.

故答案为：2

4

13.答案：e

解析：令z=Iny,

rjiii_1+2+3+4+5c—Ine11+Ine16+In+Ine65+Ine916+Ina

则x=-----------------=3>z=------------------------------------------=----------

555

因为f=eZ6i8,所以z=2.6x-3.8，

所以2.6x3—3.8=3詈，解得a=e4-

故答案为：e4-

14.答案：-4

解析：由题意可得/(%)=/+OX2+Zzx+C=(XT-3)(XT)2,

即尸(%)=(%7)2+2(xT—3)(%一)=3(%——2)，

当次£(^,。._«+2,+oo)时，当+时，

故/(%)在(fo/)、«+2,+oo)上单调递增，在”,r+2)上单调递减，

共有/(%)的极小值为〃z+2)=(，+2T—3)Q+2T)2=-lx22=—4.

故答案为：-4.

15.答案：(1)8

(2)255

解析：(1)由题意，二项式(1-3x)”的通项公式为&i=C：(-3x)「，

根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36得

C：+C；=36,即"+〃-72=0,neN*

解得〃=8.

(2)由(1)可知(1一3%)8=4+。］%+〃2%2++〃8%8,

令X=0，则%=1，

令X」，贝心小-幺+$-W+.+与，

303323338

则—色+”—2++4=255.

16.答案：（1）型;

625

唔

(3)EX=—；DX=—

525

解析：（1）设运动员每次射击命中10环为随机变量则由题意可知自〜5、,g

则恰有3次命中10环的概率即p楂=3）=C：（"（：）=HI

4|4369

（2）至多有3次命中10环的概率即P（jw3）=l-Pq=4）=l-C：।-625

(3)EX=zw=4x—=—,DX=ra?(l-z?)=4x—x—=—.

55')5525

17.答案：(1)2023

⑵

解析：（1）函数的定义域为R,

因为函数/(x)=2,；’(teR)为奇函数,

―21+1—2

所以〃o）=o,即上L=o,所以”1，

-2—2

经检验，符合题意,

2X-1

所以/(x)=,则g(x)=/+1,

-2V+1-2

因为“X）为奇函数,所以〃T）+〃X）=0,

1-xj+2=2,

则g(x)+g(l-x)=/+f

122023

所以g+g+…+g

202420242024

120232202220231

g+g+g+g+-••+g+g

202420242024202420242024

2

四”2023;

2

12x+l-211

⑵小）=今三--------------1-----

-2—222、+122X+1

因为y=2，+l是R上的增函数，且恒大于零,

所以/（九）在R上单调递减，

由f（4'+3）+/（-a.2—）=0,

得f（4'+3）=-f（-a-2x-a）=f[a-T+a）,

所以4*+3=小2工+。，即a_4'+3_（2'+l）2—2（.+1）+4_2,142，

2X+12A'+12X+1

因为关于x的方程/（#+3）+/（-a）=0有实数根，

所以关于x的方程a=2，+l+〃一-2有实数根，

2-1'+1

ff02v+l+——-2>2,（2X+1）•——-2=2-

2X+1V'2'+1

当且仅当2工+1=」一，即％=0时取等号，

2A'+1

所以

18.答案：（1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.

（2）分布列见解析，E（X）=£

解析：（1）零假设“°：喜好红色或蓝色与性别无关，

田为2100（20x15-25x40）22450。…

因为％-=——-------------—=----a8.249>6.635，

60x40x45x55297

所以，根据独立性检验，没有充分证据推断8°成立，

因此有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.

（2）①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数，

标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子,

设事件A记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数，

则…生产L3；

C；35

②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子,

则选取4个箱子的所有情况有

1234,1235,1236,1237,1245,1246,1247,1256,1257,1267,1345,1346,1347,1356,1357,1367,

<1456,1457,1467,1567,2345,2346,2347,2356,2357,2367,2456,2457,2467,2567,3456,

3457,3467,3567,4567

记所选的箱子中有X对相邻序号，可得X=0,1,2,3,则

尸侬=。)点C4=/1山川=丁12亚12

p(x=2)=^-=—,P(X=3)=^=—,

C；35C：35

所以随机变量X的分布列为

X0123

112184

P

35353535

因此数学期望E(X)=0X，+1X*+2X^+3X臼=2.

353535357

19.答案：(l)y=2x-2;

(2)2；

(3)证明见解析

解析：(1)/'(%)=lnx+'+l=ln%+L+l，/'(1)=lnl+1+l=2，

xx1

又/(l)=(l+l)lnl=0,则有丁―o=2(x—1),

即曲线y=/Q)在X=1处的切线方程为y=2x-2；

(2)由题意可得(x+l)lnx-加>0在(1,+8)上恒成立，

令g(x)=(1+1)1nx—加(x—1)，则g'(x)=ln%+ln-----m，

x

令。(九)=g'(x)=lnx+l+—-m，贝U=，

贝ij当xw(1,+8)时，a'(x)>0,故g'(x)在(1,+oo)上单调递增，

贝!J当x£(1,+8)时，g'(x)>g'(l)=lnl+l+；—加=2—m，

当加<2时,gf(x)>2—m>0,故g(x)在(1,+8)上单调递增,

有g(x)>g⑴=21nl—机。—1)=0，符合要求,

当初>2时，由g'(l)=2—m<0，g'(e"')=lne"'+l+±—〃Z=1+47>0,

ee

则存在不£(l,e"),使/(入0)=0,即当x£(l,%o)时，g<x)v0,

当X£(Xo，+GO),g'(x)>0，

故g(x)在(1,瓦)上单调递减，在国,改0)上单调递增，

则g(x0)<g⑴=0，不符合要求，故舍去，

综上所述，rnG2,故实数机的最大值为2；

(3)+/+^+l)x+l=(x+l)lnx+(ar+l)(x+l)=(A：+l)(lnx+ar+l)=O，

由x〉0,即有lnx+or+l=0有两个实根冗1，x2(%0马)，

令〃⑺=m%+双+1'“(%)=，+Q，

当时，='+。>0恒成立，4(x)=0不可能有两个实根，故舍去;

当〃<0'贝!—工1时,“(X)>O,当,+GO1时,”(x)v0,

+oo］上单调递减,

故"(X)在上单调递增，在

a)

又〃(1)=1111+〃+1=〃+1>0,

不妨令药<%2，则有0<玉<1<--<x2，

In—+1=—

有卜％+l=9,令公J_,即有%%,

Inx+1=-ax,%马1I1一〃

1292In—+1=——

、,2%2

则有In—F1—In1=-------,即In4—lnZ2=———,

t.t^-In—El加5c11-In—

即nnJt,,则要证-2a<—+一,只需证t

a=--------x,x.-----------7<

’2一’1‘2—’1

i-k，

即证ln1+―l。J<o,令上=〃>1,即证in“+上？-<0,

t,"‘2In

zZ--

故