人教A版2019高中数学选择性必修第二册-数列求通项(重点题型)

第4讲：数列求通项(重点题型方法与技巧)目录类型一：法(已知与的关系)角度1：用，得到角度2：将题意中的用替换角度3：已知等式中左侧含有：类型二：累加法类型三：累乘法类型四：构造法类型五：倒数法类型一：法(已知与的关系)角度1：用，得到典型例题例题1．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；【答案】(1)由，得，得，当时，，即，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴的通项公式为．例题2．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列的前项和满足：.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)当时，，即解得或，因为数列为正项数列，所以，因为，所以，解得或，因为数列各项都是正数，所以，当时，有，所以，解得，又当时，，符合.所以数列的通项公式例题3．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））数列的前项和记为，己知，．(1)求的通项公式；【答案】(1)解：因为，，令可得，，解得或（舍去）．当时可得，两式相减得，即，因为，可得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以数列的通项公式为.例题4．（2022·福建省厦门集美中学高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且（）．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；解：（），当时，，∴，当时，由，得①∴，②①﹣②得：，∴，∵，∴，，∴数列是等差数列，∴；同类题型归类练1．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，已知.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)因为，所以，两式相减，可得，整理得，即，因为在中当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.2．（2022·湖南·高三阶段练习）记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，(1)求的通项公式；【答案】(1)当时，相减得，即，各项均为正数，所以，故是以首项为1，公差以1的等差数列，所以；3．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列​前​项和为，.(1)证明：​为等差数列；【答案】(1)证明见解析（1）由题意，得​.则​.两式相减，得​，即​，​是等差数列.角度2：将题意中的用替换典型例题例题1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．数列是等差数列【答案】BCD【详解】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得.∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，又a1＝－1不符合上式，∴故A错误，BCD正确.故选：BCD例题2．（2022·安徽宣城·二模（理））已知数列中，，，前项和为.若，则数列的前2022项和为_____________.【答案】【详解】由可得，又，，，故是以1为首项，1为公差的等差数列，，，又也符合，，，故数列的前2022项和为.故答案为：.例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列满足，前项和满足(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；(1)解：∵∴∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，∴，即，当时，，当时，也成立，∴.例题4．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知正项数列的首项，前项和满足.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)；（1）当时，，∴，即，又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，又由（），当时，也适合，所以.例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足()，.(1)求；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)(2)（1）由题意可得,当时，,当时，,即,可得,即数列是首项为2,公差为2的等差数列,,可得.经检验，时，满足上式，故.（2）由(1)可得，当时，,当时，,不符合，综上所述,结论是:.同类题型归类练1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，(1)求和【答案】(1)，（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，所以，2．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)(1)依题意，，故，因为，所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．当时，，又当n＝1时，也满足上式，所以．3．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且；(1)求数列的通项公式；【答案】(1)(1)由题意正项数列的前项和为，当时，，故，所以，即，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，则，所以，即，但不适合上式，故；4．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)（1）由，得，，且，故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知数列的首项为，公差，则数列，即，则.角度3：已知等式中左侧含有：典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，且，则数列的前项和（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因，当时，，则，而满足上式，因此，，即，则，，即是首项为4、公差为4的等差数列，所以．故选：B例题2．（2021·上海市行知中学高三开学考试）数列满足：，，则通项________．【答案】【详解】由题意得：①，当时，，当时，②，①②得：，所以，，，，…，，累乘得，当时，不满足，则．故答案为：.例题3．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）数列满足．(1)求；(2)求数列的前项和；【答案】(1)(2)(1)解：因为，当时，，当时，，两式相减得，所以，又符合上式，所以．(2)解：，所以，所以，即，所以．例题4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二开学考试）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)(1)解：因为①，当时，解得，当时，②，①②得，所以，当时也成立，所以(2)解：由（1）可知，所以所以，所以所以同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则__________．【答案】【详解】因为，当时，，则，即有，当时，，得，满足上式，，，因此数列是常数列，即，所以.故答案为：2．（2020·山东省青岛第五十八中学高三期中）设数列的前项和.(1)求数列的通项公式.【答案】(1)；（1）解：当时，因为①，所以，所以②，①②得，即，当时，适合上式，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.3．（2022·河南·三模（文））已知数列满足：，.(1)求；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)(1)当时，，故；当时，两式相减得：，故综上：当时，.(2)由（1）知所以.4．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在数列中，已知，，数列的前n项和为，且．(1)求数列，的通项公式；【答案】(1)，；∵①，∴当时，，得．当时，②，①－②得，，∴，∵时也满足，∴，∴，当n=1时也成立∵③，当时，，即；当时，④，③－④得，，则，∴是首项为2，公比为2的等比数列，故；5．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）设数列满足．(1)求的通项公式；【答案】(1)依题意①，当时，.当时，②，①-②得，，时，上式也符合.所以.类型二：累加法典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，当时，，显然满足上式，即有，所以．故选：A例题2．（2022·上海市大同中学高二阶段练习）若，，，则_________．【答案】【详解】，当时，，，，以上各式相加得：而也适合上式，．故答案为：．例题3．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知数列中，，，是公差为2的等差数列．(1)求的通项公式；【答案】(1)解：因为是公差为2的等差数列，所以，即，所以，则，所以，则，，，，累加得，所以；例题4．（2022·四川广安·高一期末（理））已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)当时，，即，则，当时，，满足，综上所述，当时，.同类题型归类练1．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））已知数列满足则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为所以累加得：，所以.故选：D2．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则______．【答案】63【详解】由题设，，所以，又，所以.故答案为：.3．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知数列的前项和，数列满足，.(1)求数列、的通项公式.【答案】(1)，∵，∴，∴，当时，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；4．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）等比数列中，公比，，是与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列满足，，求数列的通项公式．【答案】(1)(2)(1)是与的等差中项，，，；由得：（舍）或，.(2)由（1）得：，，则，，…，，各式相加得：，又，.类型三：累乘法典型例题例题1．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）在数列中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，数列中，，，，所以，，，所以，所以，即，则.故选：C.例题2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.【答案】【详解】解：因为，，所以，当时，，所以，，，当时，，适合上式，所以数列的通项，故答案为：例题3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知为数列的前项和，且，．(1)求，；(2)求的通项公式．【答案】(1)，.(2)（1）当时，，即，又，所以，当时，有，解得.故，.（2）因为，所以，两式相减得：，即，化简得：，所以，即，，化简得：.故的通项公式.例题4．（2022·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）在条件：①；②且；③且中任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列的前项和为___________，(1)求数列的通项公式；【答案】(1)（1）若选①，由，①时，，②①②而也满足上式，若选②，①时，，②①②.若选③，①时，，②①②时由①知也满足上式，，当时，，.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，，，∴，，∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴．当时，，∵n＝1时，，∴．，∴当n＝3或n＝4时，取得最小值，最小值为.故选:D2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.【答案】n【详解】解：∵，∴当时，，当时，成立，∴，当时，，当时，满足上式，∴.故答案为：n3．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【答案】(1)3；6(2)an＝.（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，∴a3＝（a1＋a2）＝6.（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－1，即＝.∴an＝··…···a1＝··…···1＝.又a1＝1满足上式，∴an＝.4．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，若，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)（1）在中，令，得，解得，因为，所以当时，，两式相减，得，所以，即（），当时，符合该式，所以，又因为满足上式，所以数列的通项公式为．类型四：构造法典型例题例题1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列中，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以.故选：C例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，，若，则的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】解：由题意可知，，则，即，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，因此，，由，即，整理得，即，解得，因为，，所以的最小值为6，故选：C．例题3．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，则数列的通项公式为___________.【答案】．【详解】∵，所以，即，∴是等差数列，而，所以，所以．故答案为：．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)若数列满足，求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)(1)解：因为，所以，又，，所以，即，，所以是以为首项，为公比的等比数列；(2)解：由（1）可得，即，所以所以例题5．（2022·全国·高二期中）已知数列中，，，则通项公式___________；前项和___________.【答案】

【详解】设实数满足，则，所以，可得是公比为的等比数列，又，所以，得；.故答案为：；同类题型归类练1．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列满足关系：，当时，，则（

）A．31 B．15 C． D．【答案】C【详解】解：因为当时，，，所以，且，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以.故选:C.2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，且，则的通项为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A3．（2022·上海市复兴高级中学高一期末）已知数列中，，，则通项公式____________．【答案】【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：.4．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.【答案】【详解】由，得.令，则，且.所以是以4为首项，2为公比的等比数列.∴，∴.故答案为：类型五：倒数法典型例题例题1．（多选）（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前项和为【答案】AD【详解】由题意得，则，而，故是首项为，公比为的等比数列，，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，对于D，，的前项和为，故D正确，故选：AD例题2．（2