人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第2课时）》示范教学设计

解直角三角形及其应用（第2课时）教学目标1．熟练掌握解直角三角形的方法．2．能灵活运用解直角三角形的知识解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重点灵活运用解直角三角形的知识解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学难点灵活运用解直角三角形的知识解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学过程知识回顾1．什么叫做解直角三角形？【答案】一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？【答案】如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系．（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边角之间的关系：上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换．【设计意图】回顾解直角三角形的相关知识，为本课时进一步解决解直角三角形的相关题目作准备．新知探究类型一解直角三角形【问题】1．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝12，AC＝4，解这个直角三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝31，c＝31，解这个直角三角形．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生板演，教师总结．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，因为所以∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．（2）因为所以∠A＝45°．所以∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°．所以∠A＝∠B．所以b＝a＝31．【归纳】已知两边解直角三角形的方法：（1）已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角；（2）已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦（或余弦）值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角．【问题】2．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解这个直角三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解这个直角三角形（精确到0.001，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）．【师生活动】请两名学生板演解题步骤，教师总结．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°－60°＝30°．因为，所以BC＝AB·sinA＝10×sin60°＝5．因为，所以AC＝AB·cosA＝10×cos60°＝5．（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°－35°＝55°．因为，所以BC＝AC·tanA＝3×tan35°≈3×0.7002≈2.101．因为，所以．【归纳】已知一锐角和一边解直角三角形的方法：（1）已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边；（2）已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边．当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边．（在这个过程中，也可利用勾股定理求其中的某条边）【设计意图】通过问题1，2，让学生能灵活运用知识解决与解直角三角形相关的问题，加深学生对相关知识的理解，进一步明确直角三角形边、角之间的关系．类型二“化斜为直”解非直角三角形【问题】3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，因为∠A＝30°，所以CD＝AC·sin30°＝＝，AD＝AC·cos30°＝＝3．在Rt△BCD中，因为tan45°＝，所以BD＝CD＝．所以AB＝AD＋BD＝3＋．【归纳】“化斜为直”解非直角三角形的方法：一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高）添加辅助线，将非直角三角形分割成两个直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．若条件中有线段的比或锐角三角函数，则也可以设一个辅助未知数，列出方程求解．【设计意图】通过问题3，让学生熟悉“化斜为直”解非直角三角形的方法．类型三解直角三角形与三角形面积的综合应用【问题】4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC的面积．【师生活动】小组交流讨论，然后学生代表作答，教师补充．【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，所以DE＝CD＝6．在Rt△BDE中，BD＝12，．又因为∠B是锐角，所以∠B＝30°．在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝18，AC＝BC·tanB＝＝，所以△ABC的面积为．【归纳】解与三角形有关的面积问题的方法：先作辅助线构造直角三角形，再利用锐角三角函数求三角形的底或高，最后利用三角形面积公式求面积．【设计意图】通过问题4，让学生掌握与三角形有关的面积问题的解题方法．类型四运用解直角三角形求不规则图形的面积【问题】5．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四边形ABCD的面积．【师生活动】学生独立思考作答，请两名学生板演，教师总结．【答案】解：（方法1）如图所示，延长DA，CB交于点E，则∠ABE＝60°，∠E＝30°．在Rt△EAB中，AE＝AB·tan60°＝30×＝90，，所以CE＝BE＋BC＝60＋50＝110．在Rt△DCE中，DC＝CE·tan30°＝＝110，所以S四边形ABCD＝S△DCE－S△EAB＝＝．（方法2）如图所示，过点B作BE∥AD，交CD于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD，所以四边形ABEF是矩形．所以∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°．在Rt△BCE中，，EC＝BC·tan∠CBE＝50×tan30°＝50．在Rt△DEF中，．所以AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130．所以S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC＝×(130＋100)×30＋×50×50＝4700．【归纳】用割补法求不规则图形的面积：（1）分割原有图形为规则图形；（2）粘补原有图形为规则图形；（3）综合运用分割、粘补的方法，使原有图形变为规则图形．【设计意图】通过问题5，让学生能够用割补法求不规则图形的面积．类型五解直角三角形与圆的综合性问题【问题】6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表回答，教师板书．【答案】解：（1）直线CE与⊙O相切．证明：连接OE．因为四边形ABCD是矩形，所以BC∥AD，∠ACB＝∠DAC．又因为∠ACB＝∠DCE，所以∠DAC＝∠DCE．因为OA＝OE，所以∠DAC＝∠AEO＝∠DCE．因为∠DCE＋∠DEC＝90°，所以∠AEO＋∠DEC＝90°．所以∠OEC＝90°．所以直线CE与⊙O相切．（2）因为，BC＝2，所以AB＝BC·tan∠ACB＝．所以．因为∠ACB＝∠DCE，所以．又因为DC＝AB＝，所以DE＝DC·tan∠DCE＝＝1．在Rt△CDE中，．设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即，解得r＝．【归纳】解直角三角形与圆的综合题时，要注意角之间的相互关系．当题目涉及切线时，要注意切线的判定定理与性质定理的应用．【设计