人教版九年级数学下册《反比例函数（第1课时）》示范教学设计

反比例函数（第1课时）教学目标1．了解反比例函数的相关概念，能判断一个给定的函数是不是反比例函数．2．会用反比例函数解析式表示实际问题中变量间的对应关系．3．理解反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，会用待定系数法求反比例函数的解析式．4．掌握反比例关系与反比例函数的区别和联系．教学重点理解反比例函数的概念，会用待定系数法确定反比例函数的解析式．教学难点1．能用待定系数法确定反比例函数的解析式．2．掌握反比例关系与反比例函数的区别和联系．教学过程知识回顾我们已经学习过的函数有哪些？（1）一次函数：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．（2）二次函数：一般地，形如y＝ax²＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．【设计意图】回顾学过的函数类型，为下文学习反比例函数作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式．（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化；（3）已知北京市的总面积为1.64×104km2，人均占有面积S（单位：km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化．【师生活动】教师提出问题，学生小组讨论，教师参与讨论，组织交流，引导学生写出解析式．【答案】（1）根据“路程＝速度×时间”，得．（2）根据“矩形面积＝长×宽”，得．（3）根据“总面积＝人均占有面积×总人口”，得．【设计意图】教师带领学生对问题进行探究讨论，引导学生用函数的观点分析生活中变量间的对应关系，并让学生尝试用函数解析式表示出来，初步培养学生利用数学建模解决问题的能力．【问题】观察这三个解析式，它们有什么共同特点？，，．【师生活动】学生独立思考并回答问题，教师补充．【答案】都具有的形式，其中k是非零常数．【新知】一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．【问题】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出系数k的值．，，，xy＝5，．【师生活动】选一名学生作答，教师和其他学生纠正补充．【答案】是反比例函数，可变形为，其中系数k＝3；不是反比例函数，是一次函数；是反比例函数，可变形为，其中系数k＝；xy＝5是反比例函数，可变形为，其中系数k＝5；不是反比例函数．【新知】反比例函数解析式的三种形式：，，xy＝k．(k为常数，k≠0)【问题】在反比例函数解析式中，自变量x的取值范围是x≠0，为什么？【师生活动】学生回答：因为x作为分母，不能等于零，因此自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．教师补充：在反比例函数解析式中，自变量x是分式的分母，因为当x＝0时，分式没有意义，所以反比例函数的自变量x的取值范围是x≠0，即x的取值范围是不等于0的一切实数．【问题】在反比例函数解析式中，系数k≠0，为什么？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论并派代表回答，教师补充总结．【答案】在反比例函数解析式中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积．若k＝0，则恒成立，为常数函数，失去了反比例函数的意义，所以系数k≠0．【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，调动学生上课积极性，加深学生对反比例函数相关概念的理解．二、典例精讲【例1】已知反比例函数，求(m－2)2022的值．【答案】解：因为是反比例函数，所以m2－2＝－1，且m＋1≠0，解得m＝1．当m＝1时，(m－2)2022＝(1－2)2022＝(－1)2022＝1．【设计意图】让学生进一步巩固和理解反比例函数的概念与意义．【注意】利用反比例函数的概念求字母的值时，既要考虑自变量的次数，又要注意比例系数．本题易忽略m＋1≠0这一隐含条件．【例2】已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x＝4时，求y的值．【分析】因为y是x的反比例函数，所以设．把x＝2，y＝6代入上式，就可求出常数k的值．【答案】解：（1）设．因为当x＝2时，y＝6，所以有．解得k＝12，因此．（2）把x＝4代入，得．【归纳】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：（1）设：设反比例函数的解析式为(k≠0)．（2）列：把已知x与y的一对对应值同时代入(k≠0)中，得到关于k的方程．（3）解：解方程，求出k的值．（4）写：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．【设计意图】通过例2的练习与讲解，让学生掌握用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤．【例3】已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3，当x＝1时，y＝－1．求y关于x的解析式．【答案】解：因为y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，所以设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，(k2≠0)，所以y＝y1＋y2＝k1(x－1)＋．把x＝0，y＝－3和x＝1，y＝－1分别代入y＝k1(x－1)＋，得解得所以．【归纳】反比例关系与反比例函数的区别和联系：（1）如果ab＝k(k为常数，k≠0)，则a与b这两个量成反比例关系，这里的a，b既可以代表单项式，也可以代表多项式．例如：若(y－3)与(x＋1)成反比例，则(k≠0)；若y与x3成反比例，则(k≠0)．（2）反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，但反比例关系不一定构成反比例函数．例如，表示y与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例