海涅定理在函数极限证明中的应用

第7页（共13页）海涅定理在函数极限证明中的应用摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分.关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义.本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理.不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解.关键词：海涅定理；函数极限；数列极限Abstract:Thelimittheoryoffunctionsplaysanimportantroleinmathematicalanalysis.Studyonthemethodprovingexistenceoffunctionlimitisverymeaningful.Inthispaper,wegavesomeapplicationsforexistenceoffunctionlimitbyusingHeinetheoremanddealtwiththefunctionlimitproblemstothesequencelimitproblems.Thesenotonlygaveakindofthemethodforexistenceoffunctionlimit,butalsodeepenthecomprehensionabouttherelationshipbetweenthefunctionlimitandthesequencelimit.Keywords:Heinetheorem;functionlimit;sequencelimit数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的，而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁，也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用.除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算，其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系.数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的.因此数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理.近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究.此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6].还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10].根据文献[6，8,10]对海涅定理进行归类整理的.1预备知识定义1.1SKIPIF1<0函数在SKIPIF1<0点的极限的定义：设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的附近（但可能除掉SKIPIF1<0点本身）有定义，又设SKIPIF1<0是一个定数.如果对任意给定的SKIPIF1<0，一定存在SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0，我们就称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的极限，记为SKIPIF1<0（或者记为SKIPIF1<0）.这时也称函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点极限存在，其极限是SKIPIF1<0.2海涅定理的证明及推广定理2.1SKIPIF1<0海涅定理SKIPIF1<0的充分必要条件为对任何以SKIPIF1<0为极限的数列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.证明先证必要性.由于SKIPIF1<0，所以对任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.但是SKIPIF1<0，故对SKIPIF1<0，又可得正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故上面的不等式可改写为SKIPIF1<0.而对于适合这个不等式的SKIPIF1<0，其函数值SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.亦即当SKIPIF1<0时，这个不等式成立，这也就证明了数列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为极限.再证充分性.用反证法，若SKIPIF1<0，则对某一个SKIPIF1<0，不能找到函数极限定义中的SKIPIF1<0，也就是对任意的SKIPIF1<0，都可以找到一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；特别地，若取SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；…………从左边一列可以看出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而右边一列却说数列SKIPIF1<0不以SKIPIF1<0为极限，与假设矛盾.充分性得证.等价类型的海涅定理：定理2.2SKIPIF1<0设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有定义则SKIPIF1<0的充要条件是：对于任何以SKIPIF1<0为极限的数列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.证明先证必要性.因为SKIPIF1<0，则得到对任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0.但是SKIPIF1<0，故对SKIPIF1<0，可得正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0.故上面的不等式可以改写为SKIPIF1<0.亦即当SKIPIF1<0时，这个不等式成立，这也就证明了数列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为极限.再证充分性.用反证法，假设SKIPIF1<0，则对于某一个SKIPIF1<0，不能找到函数极限定义中的SKIPIF1<0，也就是对任意SKIPIF1<0都能找到一个点SKIPIF1<0时，使得SKIPIF1<0.特别地，当取SKIPIF1<0时，得到SKIPIF1<0适合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从左边一列可以看出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而右边一列却说数列SKIPIF1<0不以SKIPIF1<0为极限，与假设矛盾.充分性得证.定理2.3SKIPIF1<0设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某一邻域SKIPIF1<0内有定义，则函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0连续的充要条件是：对任何含于SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0为极限的数列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.定理2.4SKIPIF1<0设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某空心右邻域SKIPIF1<0有定义，则SKIPIF1<0的充要条件是：对任何以SKIPIF1<0为极限的单调递减数列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.定理2.5SKIPIF1<0设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某空心左邻域SKIPIF1<0有定义，则SKIPIF1<0的充要条件是：对任何以SKIPIF1<0为极限的单调递增数列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.3海涅定理的应用3.1利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明.例3.1若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0且SKIPIF1<0皆存在，则有SKIPIF1<0.证明设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又设SKIPIF1<0是任意一个含于函数SKIPIF1<0的定义域且以SKIPIF1<0为极限的数列.那么SKIPIF1<0.由海涅定理的必要性可得SKIPIF1<0.而根据数列极限的运算法则有SKIPIF1<0.又由于数列SKIPIF1<0的任意性和定理2.1的充分性得SKIPIF1<0.例3.2证明：若对任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.证明任作一数列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则由海涅定理知SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以由数列极限的迫敛性知SKIPIF1<0.又由海涅定理的充分性知SKIPIF1<0存在且收敛于SKIPIF1<0.例3.3若极限SKIPIF1<0存在，则此极限是唯一的.证明设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的极限，即SKIPIF1<0.作数列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由海涅定理知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.由数列极限存在唯一性知SKIPIF1<0.3.2利用函数的性质及海涅定理求数列的极限对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限，再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限.1）求含有三角函数的数列极限例3.4求极限SKIPIF1<0.解因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由海涅定理可知SKIPIF1<0.例3.5求极限SKIPIF1<0.解设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0.由海涅定理可知，如果SKIPIF1<0存在，则一定有SKIPIF1<0.下面我们先求SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.再由海涅定理得SKIPIF1<0.2）求带有积分的数列的极限例3.6求极限SKIPIF1<0.解因为SKIPIF1<0.所以要求SKIPIF1<0，只要能求出SKIPIF1<0即可.由海涅定理可知SKIPIF1<0.再由洛必达法则可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.3）求带有抽象函数的数列极限例3.7设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0.解由海涅定理可知SKIPIF1<0.由导数的定义SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是就有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.4.3利用海涅定理判断级数敛散性级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法.例3.8判断级数SKIPIF1<0的敛散性.解构造函数SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0经Taylor展开为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为同阶无穷小，或SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由海涅定理有SKIPIF1<0.因为级数SKIPIF1<0收敛，由第2比较准则，所以级数SKIPIF1<0收敛.而SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0收敛.3.4海涅定理在判断常量函数中的应用1）判断当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极限为SKIPIF1<0的周期函数是否为常量函数例3.9证明若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的周期函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.证明假设SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0为周期函数，不妨设为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由作法知SKIPIF1<0.（3.1）又因为SKIPIF1<0，由海涅定理有SKIPIF1<0.这与（3.1）矛盾，故SKIPIF1<0.2）给出函数之间的关系，判断函数为常量函数例3.10设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.证明假设函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不恒为SKIPIF1<0，则必存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0得到数列SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3.2）又因SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，所以由海涅定理有SKIPIF1<0.这与（3.2）矛盾.因此，SKIPIF1<0.3.5利用海涅定理证明某些函数极限不存在即若可找到一个以SKIPIF1<0为极限的数列SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0不存在；或找到两个都以SKIPIF1<0为极限的数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都存在而不相等，则SKIPIF1<0不存在.例3.11证明SKIPIF1<0不存在.证明取数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由海涅定理可知SKIPIF1<0不存在.例3.12证明函数SKIPIF1<0在点0不存在极限.证明取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.显然SKIPIF1<0.则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是，函数SKIPIF1<0在点0处不存在极限.3.6利用海涅定理判断函数在某点的可导性利用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性.例3.13证明函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为Dirichlet函数）在原点可导而在其他点处不可导.证明因为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导且SKIPIF1