北师大版八年级数学上册1.3 勾股定理的应用 同步测试（附参考答案）

北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用课堂同步练习班级：姓名：一、选择题1．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．51 B．49 C．76 D．无法确定2．勾股定理是我国的伟大数学发明之一.如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1=1，S2=2，A．4 B．5 C．5.5 D．63．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4=（）A．2 B．3 C．4 D．64．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10−x)2+45．如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算7．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东53°方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（）A．10m B．15m C．26m D．30m9．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米10．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米二、填空题11．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，AD=1米，则BE＝米.12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.13．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．14．如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=．15．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处，水深和芦苇长各是多少尺？”则该问题的水深是三、解答题16．如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）17．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）18．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.19．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.四、综合题20．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？21．如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处1m．（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？22．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？23．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．

1．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76.故答案为：C.【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后根据周长的概念进行计算.2．【答案】D【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，由勾股定理得，c2∴c2∴S阴影∴S四边形DEFG∵S1=1，S2∴两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积=1+2+3=6.故答案为：D.【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为a，较短直角边为b，由勾股定理得c2=a2+b2，则c2-a2-b2=0，根据面积间的和差关系推出S四边形DEFG=S1+S2+S3，据此计算.3．【答案】A【解析】【解答】解：如图：

∵∠ACB＝∠BDE＝∠ABE=90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ABC＋∠EBD＝90°，

∴∠BAC＝∠EBD，

在△ABC与△BDE中，

∠ACB＝∠BDE，∠BAC＝∠EBD，AB＝BE，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴BC＝ED，

∵AB2＝AC2＋BC2，

∴AB2＝AC2＋ED2＝S1＋S2，

即S1＋S2＝1，

同理S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，

则S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4，

则S1＋S4＝4-2=2．

故答案为：A.

【分析】根据同角的余角相等得∠BAC＝∠EBD，利用AAS判断出△ABC≌△BDE，根据全等三角形对应边相等得BC=ED，运用勾股定理可知，每两个相邻的正放置正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．4．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由题意得：∠AOB=90°，设折断处离地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案为：D．【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x25．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，∵点C为AB的中点，∴CD⊥AB，AC=6cm，∴AD=A∴橡皮筋被拉长了2×10−12=8cm．故答案为：C

【分析】利用勾股定理求出AD的长，再计算即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2＝45.故答案为：C.【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由题意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，∴∠ABE=∠BAF=53°，∴∠ABC=180°−∠CBD−∠ABE=180°−37°−53°=90°，∴AC=A即A，C两点之间的距离为1300m，故答案为：D．【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，BC=故答案为：C

【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，

由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此时木马上升的高度为1米.

故答案为：A．

【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的长，再用AB-AF即可求得木马上升的高度.10．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知.BE=CD=1.5m，AE=AB−BE=4.5−1.5=3m，AC=5m由勾股定理得BD=CE=5故离门4米远的地方，灯刚好打开.故答案为：B.【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.11．【答案】1【解析】【解答】解：∵AB=5，BC=3，∴AC=AB∵AD＝1，∴CD=AC-AD=3，∴CE=DE∴BE=CE-CB=1米，故答案为：1.【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.12．【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2−A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB-AD＝15-6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9.【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.13．【答案】4【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC的长约为6米，BC的长约为8米，∴AB=A∴AC+BC−AB=4米，∴多行4米，故答案为：4．

【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。14．【答案】5【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，

∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，

根据折叠的性质可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，

∴AC'=AB2−BC'2=6，

∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，

设DE=D'E=x，则AE=8-x，

∴(8−x)215．【答案】12尺【解析】【解答】解：设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，

∵池塘地面是边长为10尺的正方形，

∴C′B＝5尺，

在Rt△ABC′中，AC′2=AB2+C′B2，

∴（x-1）2+52＝x2，

解得x＝13，

∴芦苇长13尺，水深为12尺.

故答案为：12尺．

【分析】设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x-1）尺，由题意易得C′B＝5尺，再利用勾股定理可得AC′2=AB2+C′B2，即（x-1）2+52＝x2，解之即可求得芦苇长和水深.16．【答案】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，连接AB，∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，AB=AE故小鸟至少飞行6.【解析】【分析】设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，连接AB，则得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的长即可.17．【答案】解：在Rt△ABO中，∵∠AOB=90°AB=15m，OB=12−3=9（m），∴AO=A在Rt△COD中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15−3=12（m），∴OC=C∴AC=OA−OC=3（m），答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m.【解析】【分析】利用已知条件可得到∠AOB=90°，同时可求出OB的长，利用勾股定理求出AO的长；再在Rt△COD中，可得到OD的长，利用勾股定理求出OC的长；然后根据AC=OA-OC，代入计算求出AC的长.18．【答案】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，在Rt△ABC中，AB即x2解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米.【解析】【分析】设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米，由图可得：∠ABC＝90°，BC＝5米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求解即可.19．【答案】解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4-0.6＝0.8（m），则AE＝AB-0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x-0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的长为4m.【解析】【分析】设AB＝AB′＝xm，由题意可得B′E＝1.4-0.6＝0.8m，则AE＝AB-0.8，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理计算即可.20．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∵12AC×BC=1∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．故修建的公路CD的长是12km；（2）解：在Rt△BDC中，BD=BC一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。21．【答案】（1）解：根据题意，得在Rt△DEN中，DE=5m，EN=3m，由勾股定理，得DN=D∵AD=1m，∴AN=AD+DN=1+4=5(m)．答：该火车站墙面破损处A距离地面的高