高三三角函数习题及答案

高三数学（理）一轮复习第五章三角函数第一节角的概念的推广与弧度制A组1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动eq\f(π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①taneq\f(α,2)②sineq\f(α,2)③coseq\f(α,2)④cos2α3．若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．4．函数y＝eq\f(|sinx|,sinx)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(|tanx|,tanx)的值域为________．5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，则a的值为________．6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－eq\r(3)，y)(y≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)y，求cosα，tanα的值．B组1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．2．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于10cm，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角的集合为__________．5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．7．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则eq\f(y,x)的值为________．8．已知点P(sineq\f(3π,4)，coseq\f(3π,4))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝eq\f(2,\r(5))，且cosα<0，则k的值为________．10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．11．扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角β的终边在直线y＝eq\r(3)x上，用三角函数定义求sinβ的值．第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A组1．若cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tanα＝________.2．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，则cosθ＝________.3．若sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5)，则cos(eq\f(π,3)－α)＝________.4．已知sinx＝2cosx，则eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝______.5．(原创题)若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝eq\f(60,169)，且α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求cosα，sinα的值．B组1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.2．coseq\f(10π,3)＝________.3．已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，那么eq\f(sin2α,cos2α)的值等于________．4．若tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝_________________.5．已知tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))，则sinx＝___________________.6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.7．已知sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(1,3)，则cos(α＋eq\f(7π,12))的值等于________．8．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝________.9．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋\f(3π,2)),cos(－π－α))，则f(－eq\f(31π,3))的值为________．10．求sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))(n∈Z)的值．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三内角．12．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)．(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值；(2)若a⊥b，且m＝0，求eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))的值．第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质A组1．已知函数f(x)＝sin(x－eq\f(π,2))(x∈R)，下面结论错误的是．①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上是增函数③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数2．函数y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1是________．①最小正周期为π的奇函数②最小正周期为π的偶函数③最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数④最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数3．若函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx，0≤x<eq\f(π,2)，则f(x)的最大值为________．4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝eq\f(π,12)，则a的值为________．5．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．6．设函数f(x)＝eq\r(3)cos2x＋sinxcosx－eq\f(\r(3),2).(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间；(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．B组1．函数f(x)＝sin(eq\f(2,3)x＋eq\f(π,2))＋sineq\f(2,3)x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．.答案：eq\f(3π,2)2．给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．①y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))②y＝sin(2x＋eq\f(π,6))③y＝sin|x|④y＝sin(2x－eq\f(π,6))3．若eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为__．4．(函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－eq\f(2,3)π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．5．若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－eq\f(2π,3)，eq\f(2π,3)]上单调递增，则ω的最大值为________．6．设函数y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－eq\f(π,2)，0]，则x0＝________.7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为eq\f(π,2)，直线x＝eq\f(π,3)是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y＝4sin(4x＋eq\f(π,6))②y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＋2③y＝2sin(4x＋eq\f(π,3))＋2④y＝2sin(4x＋eq\f(π,6))＋28．有一种波，其波形为函数y＝sineq\f(π,2)x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．9．已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2eq\r(3))，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．11．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x∈[0，eq\f(π,6)]时，f(x)的最大值为4，求m的值．12．已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωx－2sin2eq\f(ωx,2)＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．第四节函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像A组1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________．2．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－eq\f(π,6))的图象，则φ等于________．3．将函数f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为eq\f(π,2)；②函数f(x)的振幅为2eq\r(3)；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝eq\f(7,12)π；④函数f(x)的单调递增区间为[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]；⑤函数的解析式为f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2,3)π)．5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________．6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3)sinωx·sin(ωx＋eq\f(π,2))＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq\f(π,6).(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．B组1．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________．4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝________.5．将函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－eq\f(π,12)，0)中心对称．6．定义行列式运算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1a2,a3a4))＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosx,1sinx))的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________．7．若将函数y＝tan(ωx＋eq\f(π,4))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋eq\f(π,6))的图象重合，则ω的最小值为________．8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋eq\f(π,3))|的最小正周期是eq\f(π,2)；②函数y＝sin(x－eq\f(3π,2))在区间[π，eq\f(3π,2)]上单调递增；③x＝eq\f(5π,4)是函数y＝sin(2x＋eq\f(5π,6))的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．9．当0≤x≤1时，不等式sineq\f(πx,2)≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．10．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为eq\f(2π,3).(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的周期为π，且图象上一个最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，eq\f(π,12)]时，求f(x)的最值．12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2).(1)若coseq\f(π,4)cosφ－sineq\f(3π,4)sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq\f(π,3)，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．1.解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动eq\f(π,3)弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(coseq\f(2π,3)，sineq\f(2π,3))，即Q(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．答案：(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))α为第四象限角，则eq\f(α,2)为第二、四象限角，因此taneq\f(α,2)<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3.答案：三4.解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}5.解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝eq\f(\r(3),4)，易得tanα＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，则a＝－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3).答案：－4eq\r(3)或－eq\f(4,3)eq\r(3)6.解：因为sinα＝eq\f(\r(2),4)y＝eq\f(y,\r((－\r(3))2＋y2))，所以y2＝5，当y＝eq\r(5)时，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当y＝－eq\r(5)时，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).7.解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝eq\f(\r(2),2)；当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8.解析：设扇形的圆心角为αrad，半径为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝6,\f(1,2)R2·α＝2))，解得α＝1或α＝4.答案：1或49.解析：S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×100＝eq\f(100,3)π(cm2)．答案：eq\f(100,3)πcm2答案：{56°，176°，296°}10.解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三11.解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝eq\r((－6a)2＋(－8a)2)＝10|a|，∴sinα－cosα＝eq\f(y,r)－eq\f(x,r)＝eq\f(－8a＋6a,10|a|)＝eq\f(－a,5|a|)＝±eq\f(1,5).答案：±eq\f(1,5)解析：eq\f(y,x)＝tan300°＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)13.解析：由sineq\f(3π,4)>0，coseq\f(3π,4)<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝eq\f(7π,4).答案：eq\f(7π,4)14.解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，∴r＝eq\r(x2＋(kx)2)＝eq\r(1＋k2)|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，∴r＝－eq\r(1＋k2)x，且k<0.∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(kx,－\r(1＋k2)x)＝－eq\f(k,\r(1＋k2))，又sinα＝eq\f(2,\r(5)).∴－eq\f(k,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(5))，∴k＝－2.答案：－215.解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l＝eq\f(10,3)π(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)·eq\f(10,3)π·10－eq\f(1,2)·102sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))(cm2)．15.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝eq\f(8,2＋α).∴S扇＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)α·eq\f(64,(2＋α)2)＝eq\f(32,α＋\f(4,α)＋4)≤4，当且仅当α＝eq\f(4,α)，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝eq\f(8,2＋2)＝2(cm)，∴|AB|＝2×2sin1＝4sin1(cm)．16.解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝eq\r((4t)2＋(－3t)2)＝5|t|，①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，所以2sinα＋cosα＝－eq\f(6,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(2,5).②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(6,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).(2)设P(a，eq\r(3)a)(a≠0)是角β终边y＝eq\r(3)x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，此时sinβ＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2).第二节1.解析：cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)2.解析：由sinθ＝－eq\f(4,5)<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)3.解析：cos(eq\f(π,3)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,6)＋α)]＝sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4.解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝eq\f(5tanx－1,2tanx＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝eq\f(1,2)，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝eq\f(1,2)时，有sinθ＝±eq\f(\r(3),2).于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或eq\r(3)或－eq\r(3).答案：0或eq\r(3)或－eq\r(3)6.解：由题意，得2sinαcosα＝eq\f(120,169).①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得：(sinα＋cosα)2＝eq\f(289,169)，②－①得：(sinα－cosα)2＝eq\f(49,169).又∵α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13).③sinα－cosα＝eq\f(7,13)，④③＋④得：sinα＝eq\f(12,13).③－④得：cosα＝eq\f(5,13).7.解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)8.解析：coseq\f(10π,3)＝coseq\f(4π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9.解析：cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝eq\f(2×\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,2).解析：eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5)解析：∵tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12.解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或eq\f(π,4).答案：0或eq\f(π,4)13.解析：由已知，得cos(α＋eq\f(7π,12))＝cos[(α＋eq\f(π,12))＋eq\f(π,2)]＝－sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3).14.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝－\r(5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))将①代入②得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.解析：∵f(α)＝eq\f(sinα·cosα·cotα,－cosα)＝－cosα，∴f(－eq\f(31,3)π)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)15.解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·cos[(n＋1)π＋eq\f(π,3)]＝sin(π－eq\f(π,3))·coseq\f(π,3)＝sineq\f(π,3)·coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).当n为偶数时，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·coseq\f(4π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)·(－coseq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(1,2))＝－eq\f(\r(3),4).16.解：由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB，②))①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±eq\f(\r(2),2).(1)当cosA＝eq\f(\r(2),2)时，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形内角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7,12)π.(2)当cosA＝－eq\f(\r(2),2)时，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形内角，∴A＝eq\f(3,4)π，B＝eq\f(5,6)π，不合题意．综上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.解：(1)∵a∥b，∴eq\r(3)cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－eq\r(3)cosα＝2sin(α－eq\f(π,3))．又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－eq\f(π,3))＝－1时，mmin＝－2.此时α－eq\f(π,3)＝eq\f(3,2)π，即α＝eq\f(11,6)π.(2)∵a⊥b，且m＝0，∴eq\r(3)sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－eq\f(\r(3),3).∴eq\f(cos(\f(π,2)－α)·sin(π＋2α),cos(π－α))＝eq\f(sinα·(－sin2α),－cosα)＝tanα·2sinα·cosα＝tanα·eq\f(2sinα·cosα,sin2α＋cos2α)＝tanα·eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,2).第三节1.解析：∵y＝sin(x－eq\f(π,2))＝－cosx，y＝－cosx为偶函数，∴T＝2π，在[0，eq\f(π,2)]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④2.解析：y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1＝cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数3.解析：f(x)＝(1＋eq\r(3)·eq\f(sinx,cosx))·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2sin(x＋eq\f(π,6))，∵0≤x<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值2.答案：2解析：∵x＝eq\f(π,12)是对称轴，∴f(0)＝f(eq\f(π,6))，即cos0＝asineq\f(π,3)＋coseq\f(π,3)，∴a＝eq\f(\r(3),3).5.解析：∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，所以有sin(2×eq\f(π,3)＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－eq\f(π,6)(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－eq\f(π,6))＝0得2x＋k1π－eq\f(π,6)＝k2π(k2∈Z)，∴x＝eq\f(π,12)＋(k2－k1)eq\f(π,2)，当k1＝k2时，x＝eq\f(π,12)，∴f(x)图象的一个对称中心为(eq\f(π,12)，0)．答案：(eq\f(π,12)，0)6.解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(1,2)sin2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))，故T＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(5,12)π≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，所以单调递增区间为[kπ－eq\f(5,12)π，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋eq\f(π,3))＝1，则2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．于是x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，则eq\f(π,12)＋(π＋eq\f(π,12))＋(2π＋eq\f(π,12))＝eq\f(13π,4).∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为eq\f(13,4)π.7.解析：f(x)＝coseq\f(2x,3)＋sineq\f(2x,3)＝eq\r(2)sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,4))，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝eq\f(2π,\f(2,3))＝3π，∴eq\f(T,2)＝eq\f(3π,2)8.解析：④中，∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.又2×eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以x＝eq\f(π,3)为对称轴．解析：eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝eq\f(2tan4x,1－tan2x)＝eq\f(2(t＋1)2,－t)＝－2(t＋eq\f(1,t)＋2)≤－8，故填－8.9.解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－eq\f(2π,3)，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－eq\f(π,2).答案：－eq\f(π,2)10.解析：由题意，得eq\f(2π,4ω)≥eq\f(2π,3)，∴0<ω≤eq\f(3,4)，则ω的最大值为eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)11.解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋eq\f(π,3))＝0，x0∈[－eq\f(π,2)，0]，得x0＝－eq\f(π,6).解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋m＝4,m－A＝0))，解得A＝m＝2，又最小正周期为eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，所以ω＝4，又直线x＝eq\f(π,3)是其图象的一条对称轴，将x＝eq\f(π,3)代入得sin(4×eq\f(π,3)＋φ)＝±1，所以φ＋eq\f(4π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(5π,6)(k∈Z)，当k＝1时，φ＝eq\f(π,6).答案：④13.解析：函数y＝sineq\f(π,2)x的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥eq\f(5,4)T＝5.答案：5解析：∵y＝eq\r(3)sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．令2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．15.解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2eq\r(3))＝sin2ωx＋eq\r(3)(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).∵相邻两对称轴的距离为π，∴eq\f(2π,2ω)＝2π，∴ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,3))＋eq\r(3).(2)∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，∴x＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]，∴2eq\r(3)≤f(x)≤2＋eq\r(3).又∵|f(x)－m|<2，∴－2＋m<f(x)<2＋m.,若对任意x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，恒有|f(x)－m|<2成立，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋m≤2\r(3)，,2＋m≥2＋\r(3)，))解得eq\r(3)≤m≤2＋2eq\r(3).16.解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋m＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，eq\f(π,6)]，[eq\f(2π,3)，π]．(2)当x∈[0，eq\f(π,6)]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.17.解：(1)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))－1＋m.依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即eq\f(2π,ω)＝3π，解得ω＝eq\f(2,3).∴f(x)＝2sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))－1＋m.当x∈[0，π]时，eq\f(π,6)≤eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，eq\f(1,2)≤sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))≤1，∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))－1.(2)由题意，得f(C)＝2sin(eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6))－1＝1，∴sin(eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6))＝1.而eq\f(π,6)≤eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴eq\f(2C,3)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得C＝eq\f(π,2).∴A＋B＝eq\f(π,2).在Rt△ABC中，∵A＋B＝eq\f(π,2)，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．第四节解析：函数的最小正周期为T＝eq\f(2π,|a|)，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．os2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<sinA<1，∴sinA＝eq\f(\r(5)－1,2).解析：y＝sin(x－eq\f(π,6))＝sin(x－eq\f(π,6)＋2π)＝sin(x＋eq\f(11π,6))3.解析：因为f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2sin(x－eq\f(π,6))，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为eq\f(5π,6).4.解析：据图象可得：A＝eq\r(3)，eq\f(T,2)＝eq\f(5π,6)－eq\f(π,3)⇒T＝π，故ω＝2，又由f(eq\f(7π,12))＝eq\r(3)⇒sin(2×eq\f(7π,12)＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－eq\f(2π,3)(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－eq\f(2π,3)，故f(x)＝eq\r(3)sin(2x－eq\f(2π,3))，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝eq\f(7π,12)是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sin(ωx＋eq\f(π,4))，则2010≥eq\f(\f(2π,ω),2)⇒ω≥eq\f(π,2010).答案：eq\f(π,2010)解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，令2ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，将x＝eq\f(π,6)代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))＋eq\f(3,2)，当x＝4kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z时，函数取得最大值eq\f(5,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，∴4kπ＋eq\f(4π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(10,3)π(k∈Z)．即x∈[4kπ＋eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(10,3)π]，k∈Z为函数的单调递减区间．1.解析：由图可知，eq\f(T,2)＝2π－eq\f(3,4)π，∴T＝eq\f(5,2)π，∴eq\f(2π,ω)＝eq\f(5,2)π，∴ω＝eq\f(4,5)，∴y＝sin(eq\f(4,5)x＋φ)．又∵sin(eq\f(4,5)×eq\f(3,4)π＋φ)＝－1，∴sin(eq\f(3,5)π＋φ)＝－1，∴eq\f(3,5)π＋φ＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝eq\f(9,10)π.答案：eq\f(9,10)π2.解析：由图象知T＝2(eq\f(2π,3)－eq\f(π,6))＝π.∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，把点(eq\f(π,6)，1)代入，可得2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)3.解析：∵f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，∴eq\f(2π,ω)＝π，故ω＝2.又f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))∴g(x)＝sin[2(x＋eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x.答案：向左平移eq\f(π,8)个单位长度4.解析：eq\f(T,2)＝eq\f(11,12)π－eq\f(7,12)π＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.又(eq\f(7,12)π，0)是函数的一个上升段的零点，∴3×eq\f(7,12)π＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，代入f(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，∴f(0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)5.解析：由y＝sin(2x＋eq\f(π,3))＝sin2(x＋eq\f(π,6))可知其函数图象关于点(－eq\f(π,6)，0)对称，因此要使平移后的图象关于(－eq\f(π,12)，0)对称，只需向右平移eq\f(π,12)即可．答案：右eq\f(π,12)6.解析：由题意，知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2(eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx)＝2sin(x－eq\f(π,6))，其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－eq\f(π,6)＋m)，平移后其对称轴为x－eq\f(π,6)＋m＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，故m的最小值为eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)7.解析：y＝tan(ωx＋eq\f(π,4))向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,4)]，即y＝tan(ωx＋eq\f(π,4)－eq\f(πω,6))，显然当eq\f(π,4)－eq\f(πω,6)＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝eq\f(1,2)－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8.解析：由于函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋eq\f(π,3))|的最小正周期是eq\f(π,2)，①正确；y＝sin(x－eq\f(3π,2))＝cosx，该函数在[π，eq\f(3π,2))上单调递增，②正确；当x＝eq\f(5π,4)时，y＝sin(2x＋eq\f(5π,6))＝sin(eq\f(5π,2)＋eq\f(5π,6))＝sin