2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)专题15函数与导数解答题(原卷版+解析)

专题15函数与导数解答题1．（2021·河北衡水中学高三月考）已知：（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若，试分析，的根的个数.2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）若．（1）当．时，讨论函数的单调性；（2）若，且有两个极值点，，证明．3．（2021·福建宁德一中高三期中）已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）证明：当时，.4．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）设函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）已知函数，a∈R（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程（2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函数，其中为奇函数，为偶函数．（1）求与的解析式；（2）当时，有解，求实数的取值范围．7．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数.（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.①若恒成立，求的取值范围.②若仅有两个零点，求的取值范围.8．（2021·山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.（1）若，求的取值范围；（2）若的解集为，求的值.9．（2021·山东师范大学附中高三月考）设函数，，其中为实数.（1）若在处的切线方程为，求实数的值；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.11．（2021·湖北石首市第一中学高三月考）已知函数且.（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求满足f（x）的实数的取值范围.12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数.13．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知函数，．（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有三个极值点、、.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：为定值.15．（2021·广东深圳福田中学高三月考）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．16．（2021·广东肇庆一中模拟）已知函数.（1）若成立，求的值；（2）若有两个不同的零点，证明：.17．（2021·江苏海安高级中学高三月考）已知函数，（1）若在处取极值，求k的值；（2）若有两个零点，，求证：．18．（2021·重庆八中高三月考）已知.（1）当时，求证：函数在上单调递增；（2）若只有一个零点，求的取值范围.专题15函数与导数解答题1．（2021·河北衡水中学高三月考）已知：（1）若在上单调递增，求实数m的取值范围；（2）若，试分析，的根的个数.【答案】（1）（2）无实根【解析】（1）由于在上递增得：在上恒成立，即在上恒成立令，，则，故在上递减，于是，故；（2），，故在上递增，又，，故唯一，使得在上递减，在上递增.故且故，令，则故在上递减当时，由递减知，故，即，从而有在上恒成立.故时，无实根.2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）若．（1）当．时，讨论函数的单调性；（2）若，且有两个极值点，，证明．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）当时，，令，或，当时，函数在上单调递增，在上单调递减在上单调递增；当时，，故函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减在单调递增；（2）证明：当时，．∵函数有两个极值点，∴方程有两个根，∴，且，解得，由题意得，令，则，∴在上单调递减，∴，∴3．（2021·福建宁德一中高三期中）已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，；当时，；当时，.（2）见详解【解析】（1）由，得，，令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.①当，即时，函数在上单调递减，因此；②当时，函数在上单调递增，因此；③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.综上所述，当时，；当时，；当时，.（2）证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.要证，只需证，因为，所以，故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.因此当时，.4．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）设函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增（2）证明见解析【解析】（（1）由，，可得，.当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在单调递减，在单调递增；（2）证明：（2）因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.所以，可得.所以.由（1）可得的极小值点为，则不妨设.设，，可得，，所以在上单调递增，所以，即，则，，所以当时，，且.因为当时，单调递增，所以，即.设，，则，则，即.所以，所以.设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即综上，.5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）已知函数，a∈R（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程（2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）当时，，，∴，∴曲线y=f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为.（2）由得，，当时，，函数在R上单调递增，此时，所以当时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当时，令得，，∴单调递增，单调递减，∴当时，函数有极大值，若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则，解得，综上所述，当或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点.6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函数，其中为奇函数，为偶函数．（1）求与的解析式；（2）当时，有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，①所以，又因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以，②联立①②得，解得．（2）有解，即有解，令，设，则，因为，且在上为单调递增函数，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故实数的取值范围为．7．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数.（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.①若恒成立，求的取值范围.②若仅有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）选择①时，；选择②时，【解析】（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）①选择若恒成立，若恒成立，即，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：故当时，恒成立.②选择若仅有两个零点，即有两个根，整理为，即设函数，则上式为：因为恒成立，所以单调递增，所以=所以只需有两个根，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为8．（2021·山东德州一中高三期中）已知函数是奇函数.（1）若，求的取值范围；（2）若的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）是奇函数，则，即，即，则，得，解得：或，当时，，此时无意义，不符合题意；当时，是奇函数，符合题意；所以，若，则，即，解得：，所以时，的取值范围为.（2）由于，解得：，所以的定义域为，若，即，得，变形得，即，，则可得方程的两根分别为和，由题可知的解集为，即方程的两个根为和，所以得，，解得：，所以.9．（2021·山东师范大学附中高三月考）设函数，，其中为实数.（1）若在处的切线方程为，求实数的值；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.【答案】（1）（2）2，答案见解析【解析】（1）由题，因为切线方程为，即切线斜率为，，∴.（2）由题在上恒成立，∴在上恒成立，∴，由得，令，则的零点个数等价于和的交点个数，则，当时，，递增，当时，，递减，∴时，最大值为，又时，；时，，据此作出的大致图象，由图知：当或时，的零点有1个；当时，的零点有2个.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以所以，可得.由得.因为，所以，解得：.由可得：，所以的取值范围为（2）当时，有，当时，，因此.11．（2021·湖北石首市第一中学高三月考）已知函数且.（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求满足f（x）的实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【解析】（1）根据题意，，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；（2）由得①当时，，解得；②当时，，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．12．（2021·湖北武汉二中高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）两个【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，，当且仅当时，，在单调递增；当时，或，，在，单调递增，在单调递减；当时，或，，在，单调递增，在单调递减；综上所述：当时，在单调递增；当时，在，单调递增，在单调递减；当时，在，单调递增，在单调递减；（2），，，设，，所以在单调递增，，，∴，，，当时，，当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，，设，，∴在单调递减，∴，∴在成立，∵在单调递减，在单调递增，∴，取，设，，∴，，∴，，取，设，∴，∴，∴，，∴，，∴在定义域内有两个零点.13．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知函数，．（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，在上恒成立．即在上恒成立．令，则，所以在上单调递增．于是，所以．（2）当时，设公切线在上的切点为，则切线方程为：．设公切线在上的切点为，则切线方程为：，，又，．令．．又在上单调递减，而，，满足，即，在区间上单调递增，在区间上单调递减．，．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有三个极值点、、.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：为定值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，，且，当时，，，此时，当时，，，此时，所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）因为，该函数的定义域为，则，令，则函数在上有三个零点、、.，且.①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，又因为，此时函数有且只要一个零点，不合乎题意；②当时，设，则.若，即当时，对任意的，且不恒为零.此时函数在上单调递减，又因为，此时函数有且只有一个零点，不合乎题意；若，即当时，令，可得，，当或时，，当时，，此时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.因为，所以，，，当时，，当时，，此时，函数在、上各有一个零点，又因为，故函数有三个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是；（ii）由（i）可知，当时，，则，因为，则，因为，从而，因为函数在上有且只有一个零点，则，故，因此，.15．（2021·广东深圳福田中学高三月考）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.16．（2021·广东肇庆一中模拟）已知函数.（1）若成立，求的值；（2）若有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由得：，即；令，则；①当时，，在上单调递减，又时，，不合题意；②当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，有唯一解：；综上所述：.（2）由题意得：，则，由（1）知：，若有两个零点，则；则当时，，，，不妨设，要证，只需证，即证；，，，即证；，，即证，即证，令，则，只需证，即，令，则，，当时，，在上单调递增，，在上单调递增，，即，原不等式得证.17．（2021·江苏海安高级中学高三月考）已知函数，（1）若在处取极值，求k的值；（2）若有两个零点，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，函数，可得，因为在处取极值，可得，解得，由时，可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此在处取极大值，满足题意．（2）由题意，函数有两个零点，，即，，所以，可得要证，即证，即证，即证，不妨设，记，则，即证，即证，令，，可得，因此在上单调递增，所以，即结论成立．18．（2021·重庆八中高三月考）已知.（1）当时，求证：函数