第14讲公因数与最大公因数公倍数与最小公倍数(原卷版+解析)

第14讲公因数与最大公因数公倍数与最小公倍数掌握公因数与最大公因数掌握公倍数与最小公倍数掌握拓展与提高部分知识点01公因数与最大公因数1、公因数与最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．即：2、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．即：【典例分析】1．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．182．已知m＝7n，那么正整数m、n两数的最大公因数是（）A．m B．n C．7 D．mn3．小明家客厅的地面是长6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面．小明从下列尺寸的地砖中要选择尺寸较大的，应该选的尺寸是（单位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8036和54的公因数有_____________．5．12和32的最大公因数是____________．6.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．知识点02公倍数与最小公倍数1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数 求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积． 为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．4、最小公倍数的求法：5、【典例分析】7．甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3×7，它们的最小公倍数是（）A．6 B．36 C．210 D．12608.已知，，则A与B的最小公倍数是______．9．一个汽车站内有两条线路的公交车，甲路公交车每隔4分钟发一趟车，乙路公交车每隔6分钟发一趟车，这两路公交车上午8：00同时发出一辆车，那么从上午8：00至上午10：30为止同时发车的次数一共是（

）A．11次 B．12次 C．13次 D．14次10．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60，其中一个数是12，另一个数是______．1．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔m分钟发一次车，乙路汽车每隔n分钟发一次车（m、n均为正整数），这两路汽车同时发车后，紧接的下次又同时发车的时间（分钟）是m和n的(

)A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数2．（2021秋·上海嘉定·六年级统考期中）有三根绳子，分别长12米，18米，24米，将它们都截成同样长度的小段且没有剩余，那么每一小段最长是（

）A．2米； B．3米； C．4米； D．6米．3．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）等式，m和n的最大公因数是（

）A．m； B．n； C．1； D．不确定．4．（2022秋·上海嘉定·六年级统考期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？5．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，那么裁出的正方形纸片最少有多少张？6．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）用短除法求最大公因数和最小公倍数．(1)72和108(2)24、40和727．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）下列结论错误的有（

）①如果和的最小公倍数是，那么和是素数；②一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；③一个正整数的因数至少有两个；④边长是正整数的正方形的周长一定是合数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）两个自然数的和是99，它们最大公因数和最小公倍数的和是231，那么这两个数分别是多少？9．（2022秋·上海松江·六年级统考期中）某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人．(1)求这次评选参赛的同学有多少名？(2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？10．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？1．一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔（）分钟，两路汽车会同时发车A．1 B．2 C．12 D．242．一筐苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完．求苹果的个数，实际是求，和的（

）A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数3．如果a和b都是非零自然数，，那么a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．21 D．无法确定4．下列各数中，能同时被2、3、5整除的数是（）A．20 B．25 C．30 D．355．甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3×7，它们的最小公倍数是（）A．6 B．36 C．210 D．12606．若甲数为，乙数为，则甲数和乙数的最小公倍数是________．7．，，如果、两数的最大公因数是，那么、两数的最小公倍数为______．8．45和60公有的素因数是______．9．甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是，最小公倍数是，那么______，______．10．已知甲乙丙三个数，甲和乙的最大公约数是12，甲和丙的最大公约数是15，而三个数的最小公倍数是120，则甲、乙、丙三个数分别是___________________．11．楚汉争霸时，数十员战将齐聚韩信帐下听从命令是一种常态，(1)某日清晨，值日官赶到帐前时发现已经有多位将官在帐外等候指示了，而且无论他三个三个数，还是五个五个数，总是多出一个，问这时至少到了多少人？(2)值日官将诸将请入大帐，这时又有几员大将赶到，而此时再数一数则：三个三个数余二，五个五个数余三、七个七个数余二，问这时至少到了多少人？(3)又过了一会，众将陆续到来，这时值日官又一次环视，发现：三个三个数余两人，五个五个数余三人，而七个七个数则余四人．问此刻至少到了多少人？12．下列各组数的最大公因数和最小公倍数．(1)72和108(2)65和39(3)、和36(4)、和3013．小杰家的客厅地面是长4.8米，宽3米的长方形，他家装修新房时准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样的地砖？14．已知m＝7n，那么正整数m、n两数的最大公因数是（）A．m B．n C．7 D．mn15．下列语句错误的是（

）①能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B，B>1，则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．长度分别为24、36、48分米的三段钢管，要把它们截成长度相等的小段（没有剩余），小段钢管的最大长度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米17．a是b的3倍（b不为0），a和b的最大公因数是（

）A．a B．b C．3 D．无法确定18．小明家客厅的地面是长6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面．小明从下列尺寸的地砖中要选择尺寸较大的，应该选的尺寸是（单位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8019．已知，，、两数的最大公因数是，那么的值___________．20．已知，，那么和的最大公因数是______．21．24和32的公因数有______________________．22．已知甲数，乙数，那么甲数和乙数的最大公因数是________．23．已知两个互素数的最小公倍数是65，则这两个互素数是______．24、(1)18和42(2)27和135(3)12、18和9025．在欢庆中华人民共和国成立七十周年之际，学校在一块长80米，宽24米的长方形绿地四周插上彩旗，长方形的四个角各插一面彩旗，并且要求相邻两面彩旗间的距离相等．(1)在各个方案中，相邻两面彩旗之间最大距离是多少米？(2)在所有方案中，至少要在绿地四周插多少面彩旗？第14讲公因数与最大公因数公倍数与最小公倍数掌握公因数与最大公因数掌握公倍数与最小公倍数掌握拓展与提高部分知识点01公因数与最大公因数1、公因数与最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．即：2、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．即：【典例分析】1．一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（

）整除A．10 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】由于6=2×3，8=2×2×2，则这个数能被12整除．【详解】解：由6=2×3，8=2×2×2，∴一个数能被6整除，又能被8整除，∴这个数能被12整除；故选：B．【点睛】本题主要考查求两个数的最大公约数的方法，解决此题关键是理解整除的含义．2．已知m＝7n，那么正整数m、n两数的最大公因数是（）A．m B．n C．7 D．mn【答案】B【分析】m和n是倍数关系，从而得到最大公因数．【详解】解：∵m＝7n，∴正整数m、n两数的最大公因数是n，故选：B．【点睛】本题考查了最大公因数，如果两个数是倍数关系，则它们的最大公因数就是较小的数．3．小明家客厅的地面是长6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面．小明从下列尺寸的地砖中要选择尺寸较大的，应该选的尺寸是（单位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80【答案】C【详解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴选项中只有60是600和480的公约数，故选：C．【点睛】本题考查了图形的密铺，找到600和480的公约数是解题的关键．36和54的公因数有_____________．【答案】1、2、3、9、18．【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．5．12和32的最大公因数是____________．【答案】4【详解】解：∵12=3×4，32=4×8，∴12和32的最大公因数是4，故答案为：4．【点睛】此题实际考查的是求最大公因数，几个整数中公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．6.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【答案】14．【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．知识点02公倍数与最小公倍数1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数 求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积． 为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．4、最小公倍数的求法：5、【典例分析】7．甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3×7，它们的最小公倍数是（）A．6 B．36 C．210 D．1260【答案】D【分析】甲乙两个数都是写成质因数相乘的形式，找出公有质因数和各自独有质因数，求出它们的乘积，即为它们的最小公倍数．【详解】，甲数和乙数的最小公倍数为1260，故选：D．【点睛】本题考查的是最小公倍数，熟悉掌握求最小公倍数的方法和技巧是关键．8.已知，，则A与B的最小公倍数是______．【答案】6300．【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为．【点睛】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．9．一个汽车站内有两条线路的公交车，甲路公交车每隔4分钟发一趟车，乙路公交车每隔6分钟发一趟车，这两路公交车上午8：00同时发出一辆车，那么从上午8：00至上午10：30为止同时发车的次数一共是（

）A．11次 B．12次 C．13次 D．14次【答案】C【分析】找出4和6的最小公倍数，找出从上午8：00至上午10：30中有12分钟的倍数，将其+1即可求出结论．【详解】解：4，6的最小公倍数为12．10：30-8：00=2：30，2小时30分钟=150分钟．150÷12=12（次），12+1=13（次）．故选：C．【点睛】本题考查了因数和倍数，找出两路公交车同时发车的间隔时间是解题的关键．10．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60，其中一个数是12，另一个数是______．【答案】30【分析】因为两个数的最大公因数×最小公倍数=这两个数的乘积，由此用除法解答即可．【详解】解：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60，其中一个数是12，另一个数是30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法的灵活应用，解题的关键是掌握最大公因数×最小公倍数=这两个数的乘积．1．（2022秋·上海·六年级专题练习）一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔m分钟发一次车，乙路汽车每隔n分钟发一次车（m、n均为正整数），这两路汽车同时发车后，紧接的下次又同时发车的时间（分钟）是m和n的(

)A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数2．（2021秋·上海嘉定·六年级统考期中）有三根绳子，分别长12米，18米，24米，将它们都截成同样长度的小段且没有剩余，那么每一小段最长是（

）A．2米； B．3米； C．4米； D．6米．3．（2022秋·上海静安·六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）等式，m和n的最大公因数是（

）A．m； B．n； C．1； D．不确定．4．（2022秋·上海嘉定·六年级统考期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？5．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，那么裁出的正方形纸片最少有多少张？6．（2022秋·上海松江·六年级校考阶段练习）用短除法求最大公因数和最小公倍数．(1)72和108(2)24、40和727．（2020秋·上海徐汇·六年级上海市民办华育中学校考期中）下列结论错误的有（

）①如果和的最小公倍数是，那么和是素数；②一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；③一个正整数的因数至少有两个；④边长是正整数的正方形的周长一定是合数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）两个自然数的和是99，它们最大公因数和最小公倍数的和是231，那么这两个数分别是多少？9．（2022秋·上海松江·六年级统考期中）某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人．(1)求这次评选参赛的同学有多少名？(2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？10．（2022秋·上海·六年级专题练习）如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？参考答案：1．D【分析】【详解】由题意得，两辆车同时发车的时间应为间隔发车时间的公倍数，而紧接着下次同时发车的时间应为间隔发车时间的最小公倍数.故本题应选D.2．D【分析】根据题意，可计算出12、18、24的最大公因数，即是每根小段的最长，即可得到答案．【详解】解：，，，所以12、18与24最大公约数是：，即每小段最长是6米，故选D．【点睛】本题考查了最大公约数，解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根铁丝可以截成的段数，再相加即可．3．C【分析】根据最大公因数的定义求解即可．【详解】∵，即，∴m和n的最大公因数是1．故选C．【点睛】此题考查了求最大公因数，几个整数中公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．4．这样的短绳有17根【分析】先求出三个数的最大公因数，除去公因数，其余因数的和就是所求．【详解】解：因为，所以最大公因数是9，所以每根短绳最长可以是9米．（根）

答：这样的短绳有17根．【点睛】本题考查了最大公因数的计算，熟练掌握公因数的计算是解题的关键．5．84张【分析】根据72和42的最大公因数是6，据此求解裁出的正方形纸片最少有84张．【详解】解：，，∴72和42的最大公因数为，（张），（张），（张），答：裁出的正方形纸片最少是84张．【点睛】本题考查的是最大公因数的应用，理解公因数的意义，能够在实际生活中深入分析、解决问题．6．(1)最大公因数是36，最小公倍数是216(2)最大公因数是8，最小公倍数是360【分析】利用短除法求解即可．【详解】（1）∴72和108的最大公因数是．最小公倍数是；（2）∴24、40和72的最大公因数是．最小公倍数是．【点睛】此题考查了短除法求最大公因数和最小公倍数，解题的关键是熟练掌握短除法．7．C【分析】根据“是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积”，由此判断①；根据“一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身”，由此判断②．根据因数与倍数的关系，可判断③．根据合数的意义，一个非零自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；即使正方形的边长是1，它的周长是4，4是最小的合数；由此判断④．【详解】①如果a和b的最小公倍数是ab，那么a和b是互素数，①的说法是错误的；②一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，②的说法是错误的；③1的因数只有1个，③的说法是错误的；④根据合数的意义，边长是正整数的正方形，它的周长一定是合数，④的说法是正确的．综上，①②③错误，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了求几个数的最小公倍数的方法，因数和倍数的意义，合数的意义，理解因数和倍数的意义是解决问题的前提．8．44和55【分析】设这两个数为ax和bx，x为最大公因数，则最小公倍数为abx，因此ax+bx=99，x+abx=231.可知x既是99的因数，也是231的因数.列出99和231的公因数，依次代入找到符合条件的a，b的值即可求出这两个数.【详解】设这两个数为ax和bx，x为最大公因数，则最小公倍数为abx，由题意得，所以，因此x是99和231的公因数.因为99的因数有1、3、9、11、33、99，231的因数有1、3、7、11、21、33、77、231.

因此x可能为3或11或33.当x=3时，找不到符合条件的自然数a，b.当x=11时，则a=4，b=5，所以ax=44，bx=55.当x=33时，找不到符合条件的自然数a，b.综上，这两个数为44和55.【点睛】本题主要考查了最小公倍数与最大公因数的倍数关系.根据题意列关系式找到符合条件的解是解题的关键.9．(1)(2)【分析】（1）根据题意：获得一等奖、二等奖和三等奖人数的比是，化简得，实际就是求、和的最小公倍数.（2）根据（1）中求得的人数是，可求得获得一等奖的同学人数是.【详解】（1）∵，∴、、的最小公倍数是，答：这次评选参赛的同学有名；（2）由（1）可知这次评选参赛的同学有名，∴评选获得一等奖的同学有名，答：这次评选获得一等奖的同学有名.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握求几个数的最小公倍数的方法.10．甲、乙，丙三个齿轮最少应分别是14齿，10齿，35齿【分析】结合题意，根据最小公倍数的性质计算，即可得到答案．【详解】分别设甲、乙，丙三个齿轮齿数为a、b、c根据题意，得：∵5、7、2的最小公倍数为70∴当时，甲有齿乙有齿丙有齿∴甲、乙，丙三个齿轮最少应分别是14齿，10齿，35齿．【点睛】本题考查了最小公倍数的知识；解题的关键是熟练掌握最小公倍数的性质，从而完成求解．1．一个汽车站内有两路公共汽车，甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔（）分钟，两路汽车会同时发车A．1 B．2 C．12 D．242．一筐苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完．求苹果的个数，实际是求，和的（

）A．公因数 B．最大公因数 C．公倍数 D．最小公倍数3．如果a和b都是非零自然数，，那么a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．21 D．无法确定4．下列各数中，能同时被2、3、5整除的数是（）A．20 B．25 C．30 D．355．甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3×7，它们的最小公倍数是（）A．6 B．36 C．210 D．12606．若甲数为，乙数为，则甲数和乙数的最小公倍数是________．7．，，如果、两数的最大公因数是，那么、两数的最小公倍数为______．8．45和60公有的素因数是______．9．甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是，最小公倍数是，那么______，______．10．已知甲乙丙三个数，甲和乙的最大公约数是12，甲和丙的最大公约数是15，而三个数的最小公倍数是120，则甲、乙、丙三个数分别是___________________．11．楚汉争霸时，数十员战将齐聚韩信帐下听从命令是一种常态，(1)某日清晨，值日官赶到帐前时发现已经有多位将官在帐外等候指示了，而且无论他三个三个数，还是五个五个数，总是多出一个，问这时至少到了多少人？(2)值日官将诸将请入大帐，这时又有几员大将赶到，而此时再数一数则：三个三个数余二，五个五个数余三、七个七个数余二，问这时至少到了多少人？(3)又过了一会，众将陆续到来，这时值日官又一次环视，发现：三个三个数余两人，五个五个数余三人，而七个七个数则余四人．问此刻至少到了多少人？12．下列各组数的最大公因数和最小公倍数．(1)72和108(2)65和39(3)、和36(4)、和3013．小杰家的客厅地面是长4.8米，宽3米的长方形，他家装修新房时准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样的地砖？14．已知m＝7n，那么正整数m、n两数的最大公因数是（）A．m B．n C．7 D．mn15．下列语句错误的是（

）①能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B，B>1，则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．长度分别为24、36、48分米的三段钢管，要把它们截成长度相等的小段（没有剩余），小段钢管的最大长度是（

）A．8分米 B．12分米 C．18分米 D．24分米17．a是b的3倍（b不为0），a和b的最大公因数是（

）A．a B．b C．3 D．无法确定18．小明家客厅的地面是长6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面．小明从下列尺寸的地砖中要选择尺寸较大的，应该选的尺寸是（单位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×8019．已知，，、两数的最大公因数是，那么的值___________．20．已知，，那么和的最大公因数是______．21．24和32的公因数有______________________．22．已知甲数，乙数，那么甲数和乙数的最大公因数是________．23．已知两个互素数的最小公倍数是65，则这两个互素数是______．24、(1)18和42(2)27和135(3)12、18和9025．在欢庆中华人民共和国成立七十周年之际，学校在一块长80米，宽24米的长方形绿地四周插上彩旗，长方形的四个角各插一面彩旗，并且要求相邻两面彩旗间的距离相等．(1)在各个方案中，相邻两面彩旗之间最大距离是多少米？(2)在所有方案中，至少要在绿地四周插多少面彩旗？参考答案1．C【分析】甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，4和6的最小公倍数为12，如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车．【详解】解：4和6的最小公倍数为12，如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车．故选：C．【点睛】本题考查的是最小公倍数的实际应用，通过求间隔时间的最小公倍数，来求至少每隔多少分钟两路汽车会同时发车，是完成此类问题的主要方法．2．C【分析】因为苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完，那么苹果的数量应该是，和的公倍数，即可得出答案．【详解】解：因为苹果三个三个地数，五个五个地数，六个六个地数，都刚好数完，所以苹果的数量应该是，和的公倍数．故选：．【点睛】本题考查了公倍数的应用，充分理解公倍数的定义是解答本题的关键．3．A【分析】根据倍数与最小公倍数的概念即可得出答案．【详解】解：，，和的最小公倍数是；故选：A．【点睛】此题考查了最小公倍数的概念，熟练掌握倍数与最小公倍数的概念是解答此题的关键．4．C【分析】通过确定2，3，5的最小公倍数即可解题．【详解】解：∵2、3、5的最小公倍数是30，故选项A、B、D都不符合，故选：C．【点睛】本题考查哟来说除法中整除的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．D【分析】甲乙两个数都是写成质因数相乘的形式，找出公有质因数和各自独有质因数，求出它们的乘积，即为它们的最小公倍数．【详解】，甲数和乙数的最小公倍数为1260，故选：D．【点睛】本题考查的是最小公倍数，熟悉掌握求最小公倍数的方法和技巧是关键．6．【分析】根据最小公倍数的定义，公倍数是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数．【详解】解：甲数为，乙数为，甲数和乙数的最小公倍数是，故答案为：．【点睛】本题考查了求最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键．7．【分析】根据、两数的最大公因数求出的值，即可得出、两数，再求出、两数的最小公倍数即可．【详解】解：和是、的公因数，

，，，，、两数的最小公倍数为，故答案为：．【点睛】本题考查了公因数和公倍数的应用，熟练掌握求最大公因数和最小公倍数的方法是解答本题的关键．8．3，5【分析】根据题意可以将45与60进行分解质因数，然后就可以确定45与60的公有的质因数（素因数）．【详解】解：，，所以45与60公有的素因数是：3，5．故答案为：3，5．【点睛】本题主要考查把一个合数分解质因数的方法及其求最大公因数的方法，注意掌握分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．9．【分析】根据题意把最大公因数和最小公倍数都分解为多个有理数相乘，即可求得结果【详解】∵甲数和乙数的最大公因数是，最小公倍数是，∴，，∵甲数，乙数，∴，，故答案为：，【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是把最大公因数和最小公倍数都分解为多个有理数相乘10．60，24，15或120，12，15【分析】根据题意得甲是60或120，然后将120分解质因数，分情况讨论即可．【详解】解：根据题意得：甲的因数有12也有15，那么甲最小是12与15的最小公倍数，即甲最小是60，又因为三个数最小公倍数是120，所以甲一定是120的因数，∴甲是60或120，把他们的最小公倍数120分解质因数，，当甲是60时，所以丙为，乙为，当甲为120时，乙为，丙为，∴甲乙丙分别为60，24，15或120，12，15．【点睛】题目主要考查最小公倍数与最大公约数，熟练掌握基本的性质是解题关键．11．(1)16(2)23(3)53【分析】（1）根据题意求得3和5的最小公倍数为，进而即可求解；（2）根据最小公倍数为，3的余数乘以70，5的余数乘以21，7的余数乘以15，最后加在一起除以105看余数，即可求解；（3）根据最小公倍数为，3的余数乘以70，5的余数乘以21，7的余数乘以15，最后加在一起除以105看余数，即可求解．【详解】（1）解：3和5的最小公倍数为，∵三个三个数，还是五个五个数，总是多出一个，∴（人）；∴至少到了16人（2）解：最小公倍数为，∵三个三个数余二，五个五个数余三、七个七个数余二，∴，，∴至少到了23人；（3）解：最小公倍数为，∵三个三个数余两人，五个五个数余三人，而七个七个数则余四人，∴，．∴至少到了人．【点睛】本题考查了“韩信点兵”问题，熟记口诀“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知”是解题的关键．12．(1)最大公因数为，最小公倍数为；(2)最大公因数为，最小公倍数为；(3)最大公因数为，最小公倍数为；(4)最大公因数为，最小公倍数为【分析】利用短除法求解即可．【详解】（1）解：，所以最大公因数为，最小公倍数为；（2）解：，所以最大公因数为，最小公倍数为；（3）解：，所以最大公因数为，最小公倍数为；（4）解：，所以最大公因数为，最小公倍数为．【点睛】本题主要考查了求最小公倍数和最大公因数，熟练掌握短除法是解题的关键．13．地砖边长最大是60厘米，需要40块这样的地砖．【分析】将4.8米，3米进行单位换算，得到，，找出长和宽的最大公因数即为地砖边长，再利用即可求出需要地砖的块数．【详解】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的，∵，，∴符合要求的是选的正方形地砖；∴（块），需要40块地砖可以铺满客厅答：地砖边长最大是60厘米，需要40块这样的地砖．【点睛】本题主要考查了公因数问题，关键是找到符合要求的公因数．14．B【分析】m和n是倍数关系，从而得到最大公因数．【详解】解：∵m＝7n，∴正整数m、n两数的最大公因数是n，故选：B．【点睛】本题考查了最大公因数，如果两个数是倍数关系，则它们的最大公因数就是较小的数．15．B【分析】根据题意，对各选项依次分析，得出结论．【详解】解：不是整数，故①错误；因为，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；，则B一定是A的因数，但不一定是A的素因数，故③正确；两个整数的公倍数一定能被这两个数整除，故④正确；因此错误语句有2个，故选：B．【点睛】本题考查了乘法和除法，倍数和因数，掌握各个相应的概念是解题的关键．16．B【分析】根据题意，需要求24、36、48这三个数的最大公因数．【详解】根据短除法，，算出24、36、48这三个数的最大公因数是．故选：B．【点睛】本题考查最大公因数的计算，解题的关键是先根据题意读懂题目中需要我们求解最大公因数，然后用短除法计算最大公因数．17．B【分析】a和b是倍数关系，最大公因数为二者较小的数．【详解】∵a=3b∴a和b的最大公因数为二者较小的数，即为b故选B．【点睛】本题考查了公因数和最大公因数的问题，熟练掌握公因数的概念是解题的关键．18．C【详解】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴选项中只有60是600和480的公约数，故选：C．【点睛】本题考查了图形的密铺，找到600和480的公约数是解