第10讲立体几何初步认识(原卷版+解析)

第10讲立体几何初步认识掌握长方体正方体的体积及表面积掌握表面积和体积的变化规律掌握表面积和体积的应用模块一：长方体正方体的体积与表面积长方体和正方体的认识特征：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱平行且相等；有8个顶点。正方形有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同；有12条棱，所有的棱都相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的棱长总和=（长＋宽＋高）×4用字母表示：(a+b+h)×4正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：12a长方体和正方体的表面积的计算表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S=6a2单位：平方厘米、平方分米、平方米1m2=100dm21dm2=100cm2长方体和正方体的体积的计算物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V=a3立方厘米、立方分米和立方米1m3=1000dm31dm3=1000cm31m3=1000000cm3长方体或正方体的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh把高级单位化成低级单位，用高级单位数乘以进率；------大乘小把低级单位聚成高级单位，用低级单位数除以进率。------小除大模块二：表面积与体积的变化当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就叫做接缝处的面积。接缝条数＝正方体个数－1。每有1条接缝就减少了原来的2个面的面积。拼成的长方体的表面积＝原来正方体表面积之和－减少的面的面积。接缝处的面积＝接缝条数×2×每个面的面积。石块投入水里：增加的体积就是石块的体积表面积减少情况:1、把两个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？2、把三个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？3、把四个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？5、把100个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？…………100个……100个表面积增加的情况1、把一个长方体正好切成两个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？2、把一个长方体正好切成三个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？3、把一个长方体正好切成四个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？例题解析例题解析模块三：表面积与体积的综合应用三视图画法：长对正，高平齐，宽相等（需要添加对应的题目）平面图：立体图形的直观图涂色问题：（需要添加对应的题目）对于n×n×n的正方形，其涂色情况如下：3面涂色：8个（每个顶点均有一个涂色）、2面涂色：（n-2）×12个1面涂色：（n-2）×（n-2）×6个各面均没有涂色：总数减去上面3个总数或者（n-2）×（n-2）×（n-2）个模块一：长方体正方体的体积与表面积一、图形计算1．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）2．分别计算下面两个图形的表面积和体积。（单位：cm）

二、解答题3．根据下面两人的对话信息，回答下列问题：

（1）这个鱼缸的容积是多少立方分米？（2）放入的观赏石的体积是多少立方分米？（3）清洗鱼缸时，如果水管以每分钟抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多长时间才能将鱼缸的水抽干？4．实验小学要建一个长方体游泳池，长20米，宽15米，深3米。（1）如果在底部和四周贴上边长为5分米的瓷砖，至少需要多少块才能够用？（2）如果将水池注入1.4米深的水，一共能注多少吨水？（1立方米水重1吨）5．求下面假山的体积是多少？

6．一个游泳池长50米，宽25米，内蓄满水2500立方米。（1）这个游泳池的高是多少米？（2）如果要把游泳池内贴上5分米×5分米的正方形瓷砖，需要瓷砖多少块？三、填空题7．将一个长8dm，宽和高都是5dm的长方体框架，拆开后再焊接成一个正方体，并给它表面贴上纸，这个正方体的棱长是()dm，表面积是()dm2，体积是()dm3。8．做一个棱长为0.4米的正方体纸盒，至少需要__________平方米的纸板，纸盒的体积是__________立方米。模块二：表面积与体积的变化例1、把下图的长方体按照三种不同的方法切成两个长方体，表面积分别增加了多少平方厘米？8厘米8厘米10厘米7厘米10厘米7厘米10厘米7厘米8厘米10厘米10厘米7厘米8厘米在棱长为4cm的正方体的6个面上，各挖去一个棱长为1cm的正方体，挖后的正方体的体积是()cm3，表面积增加了()cm2。模块三：表面积与体积的综合应用例1．把10个棱长1厘米的小正方体拼摆成一个立体图形（如图），这个立体图形的体积是()立方厘米，表面积是()平方厘米。例2．求下面组合图形的体积。例3．求下面图形的体积。（单位：厘米）例4．求下图的体积和表面积。（单位：厘米）

例5．计算下面立体图形的表面积和体积。1．如图，一个圆柱的底面半径为r，高为h。小明将圆柱表面展开（图1），得到圆柱表面积不同的计算方法。（1）你能将这种方法用字母公式补充完整吗？（2）当r＝4厘米，h＝10厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积S表＝（）。2．一顶圆锥形斗笠（如图所示），这顶圆锥形斗笠的体积是多少立方厘米？3．一个圆柱形汽油桶，底面半径是3分米，高是12分米，内装汽油的高度为桶高的。如果每升汽油重0.8千克，那么现在桶内装有汽油多少千克？4．如图，用一根彩带捆扎一个长方体礼品盒，接头处的彩带长25cm。这根彩带长多少厘米？5．一个圆锥形沙堆，底面积36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？6．有圆柱体与正方体容器各一个。圆柱体的底面直径与正方体的棱长都是4分米。圆柱体里装有2分米高的水，这时水与圆柱体的接触面积是多少平方分米？把圆柱体中的水倒入正方体容器内，这时水面高多少分米？（计算结果保留π）7．一块长方形的铁皮（如图），如果用它做一个高5分米的圆柱形油桶的侧面，再另配一个底面，做这样一个油桶至少需要多少铁皮？（用进一法取近似值，得数保留整平方分米）如果1升柴油重0.85千克，这个圆柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得数保留一位小数）

8．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米．求这个圆柱体的体积．9．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）．10．把一个小铁块放入圆柱形水槽后，测得水面上升了3cm，小铁块的体积是多少？11．一个圆柱形的蓄水池，从里面量，池底直径20米，深5米。（1）在这个蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多少千克？（2）蓄水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨）12．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽6分米，高7分米。（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）若往鱼缸里放入330升水，水面离缸口多少分米？13．佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？14．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园。（1）养植园是个长方形，画在的图纸上，长10cm，宽3cm，这个养植园实际的长和宽各是多少米？（2）养植园外形是一个半圆柱形（如图），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？（3）利用如图中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？15．甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？16．一个圆柱形零件，底面半径是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一个圆柱形的洞，洞口直径是10厘米，洞深4厘米。（1）如果将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（2）这个零件用铁铸造，如果每立方厘米的铁约重7.8克，这个零件约重多少千克？（得数保留一位小数）17．有一个长方体，长与宽的比是，宽与高的比是。已知这个长方体的全部棱长之和是厘米，求这个长方体的体积。18．图中所示图形是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）19．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块．求这个圆锥体木块的体积？20．如图，4×4×4正方体方格柜子中，每个单位方格内放有一个球。三台相机分别记录柜子的三视图（如下所示）。侠盗罗宾准备一次性取走其中若干个球，但不能被发现（即需保证三视图的结果不变）。（1）至多能取走多少个球？（2）当取走球的数量最多时，有多少种不同的拿法？第10讲立体几何初步认识掌握长方体正方体的体积及表面积掌握表面积和体积的变化规律掌握表面积和体积的应用模块一：长方体正方体的体积与表面积长方体和正方体的认识特征：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的有一组对面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱平行且相等；有8个顶点。正方形有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同；有12条棱，所有的棱都相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的棱长总和=（长＋宽＋高）×4用字母表示：(a+b+h)×4正方体的棱长总和=棱长×12用字母表示：12a长方体和正方体的表面积的计算表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示：S=6a2单位：平方厘米、平方分米、平方米1m2=100dm21dm2=100cm2长方体和正方体的体积的计算物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V=a3立方厘米、立方分米和立方米1m3=1000dm31dm3=1000cm31m3=1000000cm3长方体或正方体的体积=底面积×高用字母表示：V=Sh把高级单位化成低级单位，用高级单位数乘以进率；------大乘小把低级单位聚成高级单位，用低级单位数除以进率。------小除大模块二：表面积与体积的变化当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就叫做接缝处的面积。接缝条数＝正方体个数－1。每有1条接缝就减少了原来的2个面的面积。拼成的长方体的表面积＝原来正方体表面积之和－减少的面的面积。接缝处的面积＝接缝条数×2×每个面的面积。石块投入水里：增加的体积就是石块的体积表面积减少情况:1、把两个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？2、把三个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？3、把四个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？4、把100个棱长1厘米的正方体粘成一个长方体，表面积比原来减少了多少平方厘米？…………100个……100个表面积增加的情况1、把一个长方体正好切成两个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？2、把一个长方体正好切成三个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？3、把一个长方体正好切成四个棱长1厘米的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？例题解析例题解析模块三：表面积与体积的综合应用三视图画法：长对正，高平齐，宽相等（需要添加对应的题目）平面图：立体图形的直观图涂色问题：（需要添加对应的题目）对于n×n×n的正方形，其涂色情况如下：3面涂色：8个（每个顶点均有一个涂色）、2面涂色：（n-2）×12个1面涂色：（n-2）×（n-2）×6个各面均没有涂色：总数减去上面3个总数或者（n-2）×（n-2）×（n-2）个模块一：长方体正方体的体积与表面积一、图形计算1．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）【答案】表面积：216平方厘米，体积：216立方厘米；表面积：640平方厘米，体积：800立方厘米【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3；根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh；据此进行计算即可。【详解】6×6×6＝36×6＝216（平方厘米）6×6×6＝36×6＝216（立方厘米）（20×10＋20×4＋10×4）×2＝（200＋80＋40）×2＝320×2＝640（平方厘米）20×10×4＝200×4＝800（立方厘米）2．分别计算下面两个图形的表面积和体积。（单位：cm）

【答案】表面积为462，体积为669；表面积为230，体积为165【分析】看图1可知，一个长方体和正方体叠加之后，减少了两个正方形的表面积，组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体四个面的表面积，利用表面积公式分别代入计算即可；叠加后体积不变，组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可。看图2可知，一个长方体和正方体叠相邻放齐之后，减少了两个长方体侧面的表面积，组合图形的表面积等于正方体的表面积加上长方体上、下、前、后四个面的表面积，表面积公式分别代入计算即可；组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可。【详解】图1：长方体表面积：11×5×4＝55×4＝220（）正方体四个面的表面积：11×11×2＝121×2＝242（）图1的表面积：220＋242＝462（）长方体体积：11×11×5＝121×5＝605（）正方体体积：4×4×4＝16×4＝64（）图1的体积：605＋64＝669（）图2：正方体的表面积：5×5×6＝25×6＝150（）长方体四个面的表面积：10×2×4＝20×4＝80（）图2的表面积：150＋80＝230（）正方体的体积：5×5×5＝25×5＝125（）长方体的体积：10×2×2＝20×2＝40（）图2的体积：125＋40＝165（）二、解答题3．根据下面两人的对话信息，回答下列问题：

（1）这个鱼缸的容积是多少立方分米？（2）放入的观赏石的体积是多少立方分米？（3）清洗鱼缸时，如果水管以每分钟抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多长时间才能将鱼缸的水抽干？【答案】（1）200立方分米（2）32立方分米（3）12分钟【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，据此计算可求出这个鱼缸的容积是多少；（2）根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可；（3）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积，用水的体积除以每分钟抽吸的速度即可求解。【详解】（1）8×5×5＝40×5＝200（立方分米）答：这个鱼缸的容积是200立方分米。（2）8×5×（3.2－2.4）＝40×0.8＝32（立方分米）答：放入的观赏石的体积是32立方分米。（3）8×5×2.4÷8＝40×2.4÷8＝96÷8＝12（分钟）答：至少需要12分钟才能将鱼缸的水抽干。【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的容积的计算方法是解题的关键。4．实验小学要建一个长方体游泳池，长20米，宽15米，深3米。（1）如果在底部和四周贴上边长为5分米的瓷砖，至少需要多少块才能够用？（2）如果将水池注入1.4米深的水，一共能注多少吨水？（1立方米水重1吨）【答案】（1）2040块（2）420吨【分析】（1）由题意可知，用贴瓷砖的面积除以一块瓷砖的面积即可求出需要多少块；贴瓷砖的面积等于长方体五个面的面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答即可；（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水池中水的体积，再用水的体积乘1立方米水的重量即可求解。【详解】（1）20×15＋（20×3＋15×3）×2＝300＋（60＋45）×2＝300＋105×2＝300＋210＝510（平方米）＝51000（平方分米）51000÷（5×5）＝51000÷25＝2040（块）答：至少需要2040块才能够用。（2）20×15×1.4×1＝300×1.4×1＝420×1＝420（吨）答：一共能注420吨水。【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。5．求下面假山的体积是多少？

【答案】900立方厘米【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。【详解】15×15×（14－10）＝225×4＝900（立方厘米）答：假山的体积是900立方厘米。【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键。6．一个游泳池长50米，宽25米，内蓄满水2500立方米。（1）这个游泳池的高是多少米？（2）如果要把游泳池内贴上5分米×5分米的正方形瓷砖，需要瓷砖多少块？【答案】（1）2米（2）6200块【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出这个游泳池的高是多少；（2）由题意可知，贴瓷砖的面积等于长方体五个面的面积，即贴瓷砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此求出贴瓷砖的面积，用贴瓷砖的面积除以一块正方形瓷砖的面积即可求出需要瓷砖多少块。【详解】（1）2500÷50÷25＝50÷25＝2（米）答：这个游泳池的高是2米。（2）50×25＋（50×2＋25×2）×2＝1250＋（100＋50）×2＝1250＋150×2＝1250＋300＝1550（平方米）＝155000（平方分米）155000÷（5×5）＝155000÷25＝6200（块）答：需要瓷砖6200块。【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。三、填空题7．将一个长8dm，宽和高都是5dm的长方体框架，拆开后再焊接成一个正方体，并给它表面贴上纸，这个正方体的棱长是()dm，表面积是()dm2，体积是()dm3。【答案】6216216【分析】这个正方体的棱长＝（长方体的长＋宽＋高）×4÷12；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。【详解】（8＋5＋5）×4÷12＝18×4÷12＝72÷12＝6（dm）6×6×6＝36×6＝216（dm2）6×6×6＝36×6＝216（dm3）这个正方体的棱长是6dm，表面积是216dm2，体积是216dm3。【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。8．做一个棱长为0.4米的正方体纸盒，至少需要__________平方米的纸板，纸盒的体积是__________立方米。【答案】0.960.064【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。【详解】0.4×0.4×6＝0.16×6＝0.96（平方米）0.4×0.4×0.4＝0.16×0.4＝0.064（立方米）则至少需要0.96平方米的纸板，纸盒的体积是0.064立方米。【点睛】本题考查正方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。模块二：表面积与体积的变化例1、把下图的长方体按照三种不同的方法切成两个长方体，表面积分别增加了多少平方厘米？8厘米8厘米10厘米7厘米解析：S=7×8×2=112（平方厘米）答：表面积增加了112平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=7×10×2=140（平方厘米）答：表面积增加了140平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=10×8×2=160（平方厘米）答：表面积增加了160平方厘米。例2、在棱长为4cm的正方体的6个面上，各挖去一个棱长为1cm的正方体，挖后的正方体的体积是()cm3，表面积增加了()cm2。【答案】6324【分析】用大正方体的体积减去6个小正方体的体积就是剩下的体积；每挖去一个小正方体就会增加四个小正方形的面，计算出增加的小正方形面的个数即可计算增加的面积。【详解】4×4×4－1×1×1＝16×4－1＝64－1＝63（cm3）1×1×4×6＝1×4×6＝4×6＝24（cm2）则挖后的正方体的体积是63cm3，表面积增加了24cm2。【点睛】本题考查正方体的体积和表面积，明确每挖去一个小正方体就会增加四个小正方形的面是解题的关键。

模块三：表面积与体积的综合应用例1．把10个棱长1厘米的小正方体拼摆成一个立体图形（如图），这个立体图形的体积是()立方厘米，表面积是()平方厘米。【答案】1036【分析】先根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，即是这个立体图形的体积。立体图形从上面、前面、左面分别看到6个小正方形，同理从下面、后面、右面也有6个正方形，所以一共有（6＋6＋6）×2个小正方形，再乘每个小正方形的面积，即是这个立体图形的表面积。【详解】体积：1×1×1×10＝10（立方厘米）小正方形的个数：（6＋6＋6）×2＝18×2＝36（个）表面积：1×1×36＝36（平方厘米）这个立体图形的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米。【点睛】本题考查不规则立体图形的体积、表面积的求法，运用从不同方向观察立体图形的知识，从6个方向观察到的图形的总面积，就是这个立体图形的表面积。例2．求下面组合图形的体积。【答案】1296dm3【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此先分别求出长方体和正方体的体积，再相加求出组合体的体积。【详解】9×6×20＋6×6×6＝1080＋216＝1296（dm3）所以，这个组合图形的体积是1296dm3。例3．求下面图形的体积。（单位：厘米）【答案】119.32立方厘米【分析】圆锥的底面直径为4厘米，高为4.5厘米，利用“”表示出上面圆锥的体积，圆柱的底面直径为4厘米，高为8厘米，利用“”表示出下面圆柱的体积，整个图形的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，据此解答。【详解】＝＝＝＝＝38×3.14＝119.32（立方厘米）所以，图形的体积是119.32立方厘米。例4．求下图的体积和表面积。（单位：厘米）

【答案】1317.12立方厘米；1192.96平方厘米【分析】由图可知，圆柱的底面直径等于长方体的宽，则圆柱的底面直径为8厘米，高为12厘米，利用“”求出长方体的体积，利用“”求出圆柱的体积，图形的体积＝长方体的体积－圆柱的体积；利用“”求出长方体的表面积，利用“”求出圆柱的侧面积，图形的表面积＝长方体的表面积－圆柱的底面积×2＋圆柱的侧面积，据此解答。【详解】体积：20×12×8＝240×8＝1920（立方厘米）3.14×（8÷2）2×12＝3.14×16×12＝50.24×12＝602.88（立方厘米）1920－602.88＝1317.12（立方厘米）表面积：（20×8＋20×12＋8×12）×2＝（160＋240＋96）×2＝496×2＝992（平方厘米）3.14×8×12＝25.12×12＝301.44（平方厘米）992－3.14×（8÷2）2×2＋301.44＝992－3.14×16×2＋301.44＝992－50.24×2＋301.44＝992－100.48＋301.44＝891.52＋301.44＝1192.96（平方厘米）所以，图形的体积是1317.12立方厘米，表面积是1192.96平方厘米。例5．计算下面立体图形的表面积和体积。【答案】160dm2，128dm3；406cm2；489cm3【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可；（2）从图中可知，正方体与长方体有重合部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面，这样长方体的表面积是完整的，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积；组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。【详解】（1）（8×4＋8×4＋4×4）×2＝（32＋32＋16）×2＝80×2＝160（dm2）8×4×4＝32×4＝128（dm3）（2）3×3×4＋（11×6＋11×7＋6×7）×2＝9×4＋（66＋77＋42）×2＝36＋185×2＝36＋370＝406（cm2）3×3×3＋11×6×7＝9×3＋66×7＝27＋462＝489（cm3）1．如图，一个圆柱的底面半径为r，高为h。小明将圆柱表面展开（图1），得到圆柱表面积不同的计算方法。（1）你能将这种方法用字母公式补充完整吗？（2）当r＝4厘米，h＝10厘米时，用这种方法：圆柱表面积＝长方形面积，求出圆柱表面积S表＝（）。【答案】（1）见详解（2）351.68平方厘米【分析】（1）由图可知：将圆柱的两个底面的圆切分并拼成近似的长方形，拼成的小长方形的长即为底面圆周长，宽为圆柱的底面半径加上圆柱的高，与侧面展开的长方形拼成的大长方形面积即为圆柱表面积，得出圆柱表面积＝底面周长×（h＋r）；（2）将r＝4厘米，h＝10厘米，代入公式计算出结果即可。【详解】（1）如图：（2）3.14×4×2×（4＋10）＝3.14×8×14＝3.14×112＝351.68（平方厘米）所以，圆柱的表面积是351.68平方厘米。【点睛】本题的解答关键是从图中得到长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的底面半径和高组成的。2．一顶圆锥形斗笠（如图所示），这顶圆锥形斗笠的体积是多少立方厘米？【答案】15072立方厘米【分析】6分米＝60厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（60÷2）2×16×即可求出圆锥形斗笠的体积。据此解答。【详解】6分米＝60厘米3.14×（60÷2）2×16×＝3.14×302×16×＝3.14×900×16×＝15072（立方厘米）答：这顶圆锥形斗笠的体积是15072立方厘米。【点睛】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用，要熟练掌握公式。3．一个圆柱形汽油桶，底面半径是3分米，高是12分米，内装汽油的高度为桶高的。如果每升汽油重0.8千克，那么现在桶内装有汽油多少千克？【答案】203.472千克【分析】已知汽油桶的高是12分米，内装汽油的高度为桶高的，则把汽油桶的高看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用12×即可求出内装汽油的高度；然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出汽油的体积，把结果化为升作单位，最后乘0.8千克，即可求出现在桶内装有汽油多少千克。据此解答。【详解】12×＝9（分米）3.14×32×9＝3.14×9×9＝254.34（立方分米）254.34立方分米＝254.34升254.34×0.8＝203.472（千克）答：现在桶内装有汽油203.472千克。【点睛】本题主要考查了分数的应用以及圆柱的体积公式的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。4．如图，用一根彩带捆扎一个长方体礼品盒，接头处的彩带长25cm。这根彩带长多少厘米？【答案】245厘米【分析】根据图形可知：所需彩带的长度等于长方体的2条长、2条宽、4条高的长度和，再加上接头处的25厘米，根据长方体的长、宽、高的数值，代入进行计算即可解答。【详解】40×2＋30×2＋20×4＋25＝80＋60＋80＋25＝140＋80＋25＝220＋25＝245（厘米）答：这根彩带长245厘米。【点睛】本题考查长方体的特征，关键是能确定有几条长、几条宽、几条高。5．一个圆锥形沙堆，底面积36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？【答案】32厘米【分析】根据题意可知把圆锥形的沙堆填在长方体沙坑里，沙的体积不变，根据圆锥的体积公式：VSh，求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可，据此解答。【详解】36×0.8÷（7.5×4）＝12×0.8÷30＝9.6÷30＝0.32（米）＝32（厘米）答：沙坑里沙子的厚度是32厘米。【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用。6．有圆柱体与正方体容器各一个。圆柱体的底面直径与正方体的棱长都是4分米。圆柱体里装有2分米高的水，这时水与圆柱体的接触面积是多少平方分米？把圆柱体中的水倒入正方体容器内，这时水面高多少分米？（计算结果保留π）【答案】12π平方分米；0.5π分米。【分析】因为水与圆柱体的容器的接触面只有侧面和底面，根据圆柱的表面积公式S＝侧面积＋底面积，将数据代入即可得出答案。把圆柱体中的水倒入正方体容器内，水的体积不变，根据圆柱的体积公式V＝Sh，先求出水的体积，再根据h＝V÷S（正方形面积公式S＝棱长×棱长），将数据代入，即可得出水面高度【详解】4π×2＋（4÷2）2×π＝8π＋22×π＝8π＋4π＝12π（平方分米）（4÷2）2×π×2÷（4×4）＝22×π×2÷16＝8π÷16＝0.5π（分米）答：水与圆柱体的接触面积是12平方分米，水面高0.5π分米。【点睛】本题考查学生对圆柱表面公式和圆柱体积公式的掌握和运用，解答时要注意水从圆柱体中倒入正方体容器内，水的体积不变。7．一块长方形的铁皮（如图），如果用它做一个高5分米的圆柱形油桶的侧面，再另配一个底面，做这样一个油桶至少需要多少铁皮？（用进一法取近似值，得数保留整平方分米）如果1升柴油重0.85千克，这个圆柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得数保留一位小数）

【答案】123平方分米；120.1千克【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，圆的面积公式：S＝r2，把数据代入公式求出需要铁皮的面积；再圆柱的体积（容积）公式：V＝r2h，把数据代入公式求出这个油桶能盛柴油的体积，然后再乘每升柴油的质量即可。【详解】18.84×5＋3.14×（18.84÷3.14÷2）2＝94.2＋3.14×（18.84÷3.14÷2）2＝94.2＋3.14×（6÷2）2＝94.2＋3.14×32＝94.2＋3.14×9＝94.2＋28.26＝122.46（平方分米）≈123（平方分米）3.14×（18.84÷3.14÷2）2×5×0.85＝3.14×（6÷2）2×5×0.85＝3.14×32×5×0.85＝3.14×9×5×0.85＝28.26×5×0.85＝141.3×0.85＝120.105（千克）≈120.1（千克）答：做这样一个油桶至少需要123平方分米铁皮，这个圆柱形油桶可以盛柴油120.1千克。【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的面积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增加了100平方厘米．求这个圆柱体的体积．【答案】392.5立方厘米【分析】要求圆柱的体积，已知底面半径为10÷2=5厘米，还需要求得圆柱的高；根据题干把一个圆柱沿底面直径切开，分成两个相等的半圆柱，表面积增加部分就是以这个圆柱的底面直径和圆柱的高为边长的两个长方形的面积，由此利用长方形的面积公式即可求得圆柱的高，代入圆柱的体积公式即可解决问题．【详解】解：圆柱的高为：100÷2÷10=50÷10=5（厘米）所以圆柱的体积为：3.14×（10÷2）2×5=3.14×25×5=392.5（立方厘米）答：原来这个圆柱的体积是392.5立方厘米．9．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）．【答案】1570立方厘米【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米．根据圆的面积计算公式S=πr2，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积V=sh，算出圆柱的体积即可．【详解】解：3.14×（10÷2）2×10×2=3.14×25×20=78.5×20=1570（立方厘米）答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米．10．把一个小铁块放入圆柱形水槽后，测得水面上升了3cm，小铁块的体积是多少？【答案】235.5cm³【分析】水面上升3cm，那么上升水的体积就是小铁块的体积。上升水的体积是圆柱体的体积，底面直径是10cm，高为3cm。【详解】半径：10÷2＝5（cm）3.14×5×5×3＝15.7×5×3＝78.5×3＝235.5（cm³）答：小铁块的体积是235.5cm³。【点睛】本题考查圆柱体积的计算，关键是铁块的体积就是圆柱内水上升的体积，再按照圆柱的体积＝底面积×高计算。11．一个圆柱形的蓄水池，从里面量，池底直径20米，深5米。（1）在这个蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多少千克？（2）蓄水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨）【答案】（1）1884千克；（2）1570吨【分析】（1）先利用“”求出抹水泥部分的面积，再乘每平方米需要水泥的质量求出一共需要水泥的质量；（2）先根据“”求出蓄水池的容积，再乘每立方米水的质量求出蓄水池最多蓄水的质量，据此解答。【详解】（1）3.14×20×5＋3.14×（20÷2）2＝3.14×20×5＋3.14×100＝3.14×（20×5＋100）＝3.14×（100＋100）＝3.14×200＝628（平方米）628×3＝1884（千克）答：一共需要水泥1884千克。（2）3.14×（20÷2）2×5＝3.14×100×5＝314×5＝1570（立方米）1570×1＝1570（吨）答：蓄水池最多能蓄水1570吨。【点睛】掌握圆柱的表面积和体积计算公式是解答题目的关键。12．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽6分米，高7分米。（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）若往鱼缸里放入330升水，水面离缸口多少分米？【答案】（1）284平方分米（2）1.5分米【分析】（1）因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答；（2）根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，代入数据，求出水的高度，再用鱼缸的高减去水的高度；即可解答。【详解】（1）10×6＋（10×7＋6×7）×2＝60＋（70＋42）×2＝60＋112×2＝60＋224＝284（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃284平方分米。（2）330升＝330立方分米330÷10÷6＝33÷6＝5.5（分米）7－5.5＝1.5（分米）答：水面离缸口1.5分米。【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意单位名数的换算。13．佳佳有两个圆柱形水杯，一个蓝色的和一个绿色的。这两个水杯的高都是20厘米，蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，蓝色水杯水深7厘米，绿色水杯水深4厘米，现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，这时蓝色水杯的水面上升了多少厘米？【答案】2.4厘米【分析】已知蓝色与绿色水杯的底面半径之比是3∶2，则假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米，已知现在往这两个水杯里同时倒入同样多的水，直到水面高度相等，则现在蓝色水杯里水的体积－原来蓝色水杯里水的体积＝现在绿色水杯里水的体积－原来绿色水杯里水的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，设现在水杯里水的高度是x厘米，据此列方程为：3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4，然后解出方程，最后用现在水的高度减去原来蓝色水杯里水的高度，即可求出蓝色水杯的水面上升了多少厘米。【详解】假设蓝色水杯的底面半径是3厘米，绿色水杯的底面半径是2厘米，解：设现在水杯里水的高度是x厘米。3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×43.14×9×x－3.14×9×7＝3.14×4×x－3.14×4×428.26x－197.82＝12.56x－50.2428.26x－12.56x＝197.82－50.2415.7x＝147.58x＝147.58÷15.7x＝9.49.4－7＝2.4（厘米）答：这时蓝色水杯的水面上升了2.4厘米。【点睛】本题可用列方程来解决问题，关键是找到相应的数量关系式。14．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园。（1）养植园是个长方形，画在的图纸上，长10cm，宽3cm，这个养植园实际的长和宽各是多少米？（2）养植园外形是一个半圆柱形（如图），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？（3）利用如图中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？【答案】（1）100米；30米（2）5416.5平方米（3）803.84升【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可；（2）养殖园的长＝圆柱的高，养殖园的宽＝圆柱底面直径，塑料薄膜面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，据此列式解答；（3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长＝圆柱底面周长，底面直径×2＝圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径＋底面周长＝33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出容积即可。【详解】（1）10÷＝10×1000＝10000（厘米）＝100（米）3÷＝3×1000＝3000（厘米）＝30（米）答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米。（2）3.14×（30÷2）2＋3.14×30×100÷2＝3.14×152＋4710＝3.14×225＋4710＝706.5＋4710＝5416.5（平方米）答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。（3）解：设底面直径是x分米。x＋3.14x＝33.124.14x＝33.124.14x÷4.14＝33.12÷4.14x＝83.14×（8÷2）2×（8×2）＝3.14×42×16＝3.14×16×16＝803.84（立方分米）＝803.84（升）答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升。【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式。15．甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。（1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？（2）这个输液瓶的容积是多少毫升？【答案】（1）25平方厘米（2）350毫升【分析】（1）已知图①的输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升；先根据进率：1毫升＝1立方厘米，将250毫升换算成250立方厘米；然后根据圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个输液瓶的底面积。（2）已知输液速度为平均每分钟5毫升，即每分钟5立方厘米，那么10分钟一共输液5×10＝50立方厘米；由上一题可知这个输液瓶的底面积是25平方厘米，根据圆柱的体积V＝Sh可知，图②空的部分的体积是（25×6）立方厘米；用原来液体的体积加上图②空的部分的体积，再减去10分钟输液的体积，即是这个输液瓶的容积。【详解】（1）250毫升＝250立方厘米250÷10＝25（平方厘米）答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。（2）5毫升＝5立方厘米250＋25×6－5×10＝250＋150－50＝350（立方厘米）350立方厘米＝350毫升答：这个输液瓶的容积是350毫升。【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是明白图②空的部分的体积包含原来空的部分体积和10分钟输液的体积。16．一个圆柱形零件，底面半径是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一个圆柱形的洞，洞口直径是10厘米，洞深4厘米。（1）如果将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（2）这个零件用铁铸造，如果每立方厘米的铁约重7.8克，这个零件约重多少千克？（得数保留一位小数）【答案】（1）803.84平方厘米（2）8.1千克【分析】（1）由于底部有一个圆柱形的洞，那么与空气接触的面相当于一个大圆柱的表面积外加底面下面