高等数学第四章

第一节原函数与不定积分的概念第二节原不定积分的积分法⒉第一类换元积分法积分基本公式⒊第二类换元积分法⒈直接积分法⒋分部积分法第四章不定积分第一节不定积分的概念及性质一、原函数的概念定义

1

：如果在某一区间上，函数

F(

x

)

与

f

(

x

)

满足关系式则称F(

x

)为f

(

x

)在这区间上的一个原函数。注：凡是说到原函数，都是指在某一区间上而言的。对此，以后就不再一一指出了。问题：

⑴

怎么样的函数才存在原函数？⑵

如

果

一

个函数有原函数存在，那么它有

多少

个原函数

，这些原函数之间有什么关系？关于原函数的定理数不一定是初等函数，例如

等，它们的原以下的定理回答了这些问题。定理

1（

存在性

）连续函数一定存在原函数。定理

2（

特性

）如果

函数

f

(

x

)有

一

个原函数

F(

x

)

，则必有无穷多个原函数，且任意两个原函数之间只相差一个常数。因此，只要求得

f

(

x

)的任意一个原函数

F(

x

)

，则（C为任意常数）就是f

(

x

)的全体原函数。注意：连续函数一定存在原函数，初等函数在其定义区间上连续，因而初等函数的原函数一定存在。但是，初等函数的原函函数不能用初等函数表示。⒈不定积分的定义其中

“”

是不定积分号，

f

(

x

)称为被积函数，

f

(

x

)

d

x

称为被积二、不定积分的概念定义：函数f

(

x

)的全体原函数称为f

(

x

)的不定积分，记为表达式，

x

称为积分变量。如果

，即

F(

x

)是

f

(

x

)的一个原函数，则其中

C

称为积分常数。例1、例2⑴⑵⑶例1：判别下列式子的正误注：检验积分是否正确，只须对积分结果求导，看它是否等于被积函数。例2：若

，求

f

(

x

)

.解：例3例

3

：已知曲线上

任

一点处的切线

斜率

等

于该点的横坐标平方的3倍，且过点(

0

,

1

)

，求此曲线方程。解：设所求曲线方程为由题意知，所以又因为曲线过点(

0

,

1

)

，从而有因此，所求曲线方程为⒉不定积分的性质⑴

或或⑵如果先积分后微分，那么两者的作用相互抵消；反之，如果性质

⑴、⑵

表示微分运算与不定积分运算是互逆的。先微分后积分，那么两者的作用抵消后相差一个常数项。⑶

性质

⑶

可以推广到有限多个函数的情形。⑷

（

k

为常数）。例4、例5⑴

⑵例4：设f

(

x

)的一个原函数是lnx，求⑶解：⑴⑵⑶例5：求解：⒊基本积分公式⑴（k

为常数）⑶⑷⑸⑻⑼⑽⑾⑹⑺⑿⒀⑵常用积分公式（14）—（19）⒁⒂⒃⒄⒅⒆常用积分公式（20）、（21）(20)(21)第二节不定积分的积分法⒈

直接积分法直接利用不定积分的定义、性质、基本积分公式，或者对被积函数进行简单的恒等变形（代数或三角恒等变形），再辅以积分基本公式从而求出结果，这样的方法称为直接积分法。积分中对被积函数常用的恒等变形方法有：根式化为分数指数式，分母的幂化为负指数幂，去括号，因式分解，配方，加项减项，裂项，分子分母同乘一个非零因式。化弦，降次，消

“

1

”

，化同角，积化和差。⑴

代数方面⑵

三角方面例1、例2例1：求解：原式例2：求解：对被积函数作恒等变形，化为幂函数的形式，以便于使用幂函数的积分公式。原式例3、例4例3：求原式例4：求解：原式解：对被积函数作恒等变形，化为指数函数的形式，以便于使用指数函数的积分公式。例5、例6例5：求解：原式例6：求解：原式例7例7：求解：原式例8、例9、例10例8：求解：原式例9：求解：原式例10：求解：原式例11、例12例11：求解：原式例12：求解：原式习题1、21、求下列不定积分：⑴⑵⑶⑷2、已知物体由静止开始以速度

作直线运动，求⑴物体的运动规律；⑵3

s末物体离开出发点的距离；⑶物体走完1000

m所需的时间。习题33、设函数f

(

x

)的图象上有一拐点

P(

2

,

4

)

，在拐点处切线的斜率为，又知函数的二阶导数具有形式

，求函数f

(

x

)

.习题解答：1（1）1、求下列不定积分：⑴解：原式⑵解：原式1（2）⑶解：原式1（3）⑷解：原式1（4）2、已知一物体由静止开始以速度

作直线运动，求⑴物体的运动规律；⑵3

s末物体离开出发点的距离；⑶物体走完1000

m所需的时间。解：⑴设物体的运动规律为

，于是有由初始条件，得物体的运动规律为2（1）⑵⑶令，解得2（2）、（3）3、设函数f

(

x

)的图象上有一拐点

P(

2

,

4

)

，在拐点处切线的斜率为，又知函数的二阶导数具有形式

，求函数f

(

x

)

.解：由，得由，得3、由，得所求函数为3（续）定理:

若，且可导，则凑微分换元回代注意:凑微分法的关键在于把原来积分中的微分部分”dx”凑成关于复合函数的中间变量的微分,再通过换元把原来复杂的不定积分转化为简单的可用公式求的积分,从而求得答案,用此方法的前提是“”好求。第三节、

第一类换元积分法（凑微分法）例1：求解：原式第一类换元积分法熟练后，常常不写出新的积分变量。回代1、当是积分公式表中的积分,且时,则例2（1）、（2）例2：求下列不定积分⑴解：原式⑵解：原式例2（3）⑶解：原式例2（4）⑷解：原式例2（5）⑸解：原式习题11、求下列不定积分：⑴⑵⑶习题解答11、求下列不定积分：⑴⑵⑶（解法参见上例）用凑微分法求函数乘积的积分2、当被积函数是乘积时,即为如下形式：方法：若

g

(

x

)比f

(

x

)简单，则在积分式中把较复杂的函数

f

(

x

)留在积分号的右旁，

而

把

较简单的函数

g

(

x

)

与

dx

凑成f(x)的中间变量的微分，即凑微分其中，条件：能转化为f(x)中间变量的微分。例3（1）例3：求下列不定积分⑴解：原式草稿：例3（2）、（3）⑵解：原式⑶解：原式2例3（4）、（5）⑷解：原式⑸解：原式例3（6）、（7）⑹解：原式⑺解：原式例3（8）⑻解：原式习题2（1——8）2、求下列不定积分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻习题2（9——16）⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃习题解答

2（1）、（2）求下列不定积分：⑴解：原式⑵解：原式⑶解：原式草稿：⑷解：原式2（3）、（4）2（5）、（6）⑸解：原式⑹解：原式2（7）、（8）⑺解：原式⑻解：原式2（9）、（10）⑼解：原式⑽解：原式2（11）、（12）⑾解：原式⑿解：原式2（13）⒀解：原式草稿：2（14）、（15）⒁解：原式⒂解：原式⒃解：原式2（16）有一些不定积分，初看起来被积函数不具有凑微分法所要求的特征，但是将其恒等变形便可用凑微分法。说明例4（1）例4：求下列不定积分⑴解：原式例4（2）⑵解：原式例4（3）⑶解：原式例4（4）⑷解：原式例4（5）⑸解：原式类似可求得，例4（6）⑹解：原式类似可求得，例4（7）⑺解：原式类似可求得，例4（8）⑻解：原式类似可求得，想一想：应如何求解呢？求解：原式思考题解答例4（9）⑼解：原式例4（10）⑽解：原式例4（11）⑾解：原式例4（12）⑿解：原式利用例4

⑾

的结果习题33、求下列不定积分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹习题解答

3（1）⑴求下列不定积分：解：原式⑵解：原式3（2）3（3）⑶解：原式⑷解：原式3（4）3（5）⑸解：原式3（6）⑹解：原式⑴根式代换⒊第二类换元积分法有些函数求不定积分用第一类换元积分法比较困难，如就难以用凑微分的方法来解决。本节主要介绍使根式有理化的第二类换元积分法，其方法就是经过适当的变量替换，将无理函数的积分化成有理函数的积分。⑴根式代换当被积函数仅含有根式

时，可以令

，化为关于t的有理函数的积分。例1例1：求解：令，则，于是把它们代入积分式，得回代例2例2：求解：令，则，于是原式例3例3：求原式解：令，则，于是习题11、求下列不定积分：⑴⑵⑶习题解答1（1）1、求下列不定积分：⑴解：令，则，于是原式1（2）⑵解：令，则，于是原式⑶1（3）解：令，于是，则原式⑵

三角代换当被积函数含有，时，

可将被积表达式作如下的变换：①

含有

时，令②

含有

时，令③

含有

时，令这三种变换都是利用三角函数的平方关系式将被积函数有理化，它们统称为三角代换。例4例4：求解：令，则原式t)xa例5例5：求解：令，则原式t)xa例6例6：求解：令，则原式t)xa求不定积分时，一般而言，直接积分法和第一类换元积分法较第二类换元积分法为易，所以，应注意观察被积函数的特点，尽可能用直接积分法和第一类换元积分法。例如小结习题22、求下列不定积分：⑴⑵⑶

习题解答2（1）求下列不定积分⑴解：令原式，则由，得3（2）解：令，则原式t)x3⑵3（3）⑶解：令，则原式t)2x3设函数和具有连续导数，

⒋分部积分法积的导数公式，有由两个函数乘移项得等式两边同时积分——

分部积分公式难求易求化难为易则有例1例1：求解：设

，则注：本例若设则比原来复杂提出问题问题：⑴哪些类型的函数积分要考虑用分部积分法？⑵使用分部积分法时，如何正确地选择u和dv？“

反对幂指三

”

选择法反——反三角函数；对——对数函数；幂——幂函数；指——指数函数；三——三角函数。当被积函数是上述五种函数中某两种函数的乘积时，可考虑此外，单独一个反三角函数或对数函数的积分，亦要使用分使用分部积分法，并选择位于排列“

反

对

幂

指

三

”中靠前的那一种函数为

u

.部积分法，并把反三角函数或对数函数选为

u

.注意：熟悉了分部积分公式后，可以不明确写出

u

和

dv

，把它们默记在心里，而直接用分部积分公式。例2例2：求u为dv，解：原式用了分部积分公式后非

dx

，则

要

求

微

分凑微分，以求出v

例3例3：求解：原式凑微分用分部积分公式求微分凑微分用分部积分公式例4例4：求解：原式移项得例5例5：求解：原式例6例6：求解：原式有些不定积分需要同时使用换元法与分部积分法。例7例7：求解：令，则，于是原式例8例8：设f

(

x

)的一个原函数是，求解：注意到已知条件是用分部积分法又故注意：如果直接积出，不应盲目使用分部积分法。例如小结习题：