数学人教A必修5新一线应用案巩固提升章末综合检测（三）

章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),x)的定义域为()A．[－4，1] B．[－4，0)C．(0，1] D．[－4，0)∪(0，1]解析：选D.要使函数有意义，则需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋4≥0,x≠0))，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4，0)∪(0，1]．故选D.2．如果a>b>0，那么下列不等式中不正确的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)C．ab>b2 D．a2>ab解析：选B.因为a>b>0，所以ab>0，所以eq\f(a,ab)>eq\f(b,ab)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；因为a>b>0，所以a2>b2>0，所以eq\f(a2,ab)>eq\f(b2,ab)，即eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；因为a>b>0，所以ab>b2，a2>ab.故不等式中不正确的是B，故选B.3．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))则z＝x－y的最小值是()A．－3 B．0C.eq\f(3,2) D．3解析：选A.可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0，3)处取得最小值，所以z最小值＝－3.4．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是()A．10 B．－10C．－14 D．14解析：选C.因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，所以方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq\f(1,2)和eq\f(1,3).所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×\f(1,3)＝\f(2,a)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))所以a＋b＝－14，故选C.5．关于x的方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)))＝eq\f(x,x－1)的解集为()A．{0} B．{x|x≤0或x＞1}C．{x|0≤x＜1} D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：选B.由题意，eq\f(x,x－1)≥0，所以x≤0或x＞1，所以方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)))＝eq\f(x,x－1)的解集为{x|x≤0或x＞1}．6．设m＞1，P＝m＋eq\f(4,m－1)，Q＝5，P，Q的大小关系为()A．P＜Q B．P＝QC．P≥Q D．P≤Q解析：选C.因为m＞1，所以P＝m＋eq\f(4,m－1)＝m－1＋eq\f(4,m－1)＋1≥2eq\r(（m－1）·\f(4,m－1))＋1＝5＝Q，当且仅当m－1＝eq\f(4,m－1)，即m＝3时等号成立，故选C.7．若不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＞a2,x－4＜2a))的解集非空，则实数a的取值范围是()A．(－1，3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选A.原不等式组等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞1＋a2，,x＜2a＋4，))由题意可得1＋a2＜2a＋4⇒a2－2a－3＜0⇒－1＜a＜3.故选A.8．若a＜b，d＜c，并且(c－a)(c－b)＜0，(d－a)(d－b)＞0，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＜a＜c＜b B．a＜c＜b＜dC．a＞d＜b＜c D．a＜d＜c＜b解析：选A.因为a＜b，(c－a)(c－b)＜0，所以a＜c＜b，因为(d－a)(d－b)＞0，所以d＜a＜b或a＜b＜d，又因为d＜c，所以d＜a＜b，综上可得：d＜a＜c＜b.9．某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为()A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件解析：选D.设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元．由题意，y＝100·eq\f(10000,x)＋2·eq\f(x,2)＝eq\f(1000000,x)＋x≥2eq\r(\f(1000000,x)·x)＝2000，当且仅当x＝1000时取等号，故选D.10．已知x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a＝()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,11) D．4解析：选B.作出不等式组的可行域如图中阴影部分所示．易知B(1，1)，C(a，a)，当直线z＝2x＋y过点B(1，1)时，目标函数z＝2x＋y取得最大值，为3；当直线z＝2x＋y过点C(a，a)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，为3a.由已知条件，得3＝4×3a，解得a＝eq\f(1,4)，故选B.11．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)解析：选C.因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，当且仅当x＝3y＝eq\f(1,2)时取等号．故选C.12．若对于任意的x∈[－1，0]，关于x的不等式3x2＋2ax＋b≤0恒成立，则a2＋b2－1的最小值为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,4)解析：选A.令f(x)＝3x2＋2ax＋b.根据已知条件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝－2a＋b＋3≤0，,f（0）＝b≤0.))从而得到关于a，b的二元一次不等式组．该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝a2＋b2－1，则a2＋b2＝1＋z，所以该方程的轨迹表示以原点为圆心，r＝eq\r(1＋z)为半径的圆．原点到直线－2a＋b＋3＝0的距离d＝eq\f(3,\r(5)).由图知eq\r(1＋z)≥d，所以z≥eq\f(4,5)，所以(a2＋b2－1)min＝eq\f(4,5).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．如果a＞b，ab＞0，那么eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小关系是________．解析：因为a＞b，ab＞0，所以eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).答案：eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)14．关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0的解集是________.解析：原不等式变为(x－m)(x－m－1)＜0，因为m＜m＋1，m＜x＜m＋1.所以不等式的解集为{x|m＜x＜m＋1}．答案：{x|m＜x＜m＋1}15．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正，则k的取值范围为________．解析：f(x)＝(3x)2－k·3x＋2＞0，所以k＜eq\f(（3x）2＋2,3x)＝3x＋eq\f(2,3x)，3x＋eq\f(2,3x)≥2eq\r(3x·\f(2,3x))＝2eq\r(2)，当且仅当3x＝eq\f(2,3x)时，等号成立．所以k＜2eq\r(2).答案：k＜2eq\r(2)16．已知约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0.))若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2，2)处取得最大值，则a的取值范围为__________．解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC内部(包括边界)，如图，易知当a＝0时，不符合题意；当a>0时，由目标函数z＝x＋ay得y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)，则由题意得－3＝kAC<－eq\f(1,a)<0，故a>eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知2＜x＜3，2＜y＜3.分别求(1)2x＋y的取值范围；(2)x－y的取值范围；(3)xy的取值范围．解：(1)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜2x＜6，所以6＜2x＋y＜9，故2x＋y的取值范围为(6，9)．(2)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－1＜x－y＜1，故x－y的取值范围为(－1，1)．(3)因为2＜x＜3，2＜y＜3，所以4＜xy＜9，故xy的取值范围为(4，9)．18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|y＝lg(－x2－2x＋3)}．(1)求集合A∩B；(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．解：(1)A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，B＝{x|y＝lg(－x2－2x＋3)}，满足－x2－2x＋3>0，解得－3<x<1，从而B＝{x|－3<x<1}，故A∩B＝{x|－2<x<1}．(2)因为2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，所以－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根．所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×（－3）2－3a＋b＝0，,2×12＋a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－6)).19．(本小题满分12分)正数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，当且仅当eq\f(1,x)＝eq\f(9,y)，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝19＋eq\f(2y,x)＋eq\f(9x,y)≥19＋2eq\r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝19＋6eq\r(2)，当且仅当eq\f(2y,x)＝eq\f(9x,y)，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6eq\r(2).20．(本小题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入50万元．(1)问捕捞几年后总利润最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？解：(1)设该船捕捞n年后的总利润为y万元．则y＝50n－98－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12×n＋\f(n（n－1）,2)×4))＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.所以当捕捞10年后总利润最大，最大是102万元.(2)年平均利润为eq\f(y,n)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(49,n)－20))≤－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(n·\f(49,n))－20))＝12，当且仅当n＝eq\f(49,n)，即n＝7时等号成立．所以当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元．21．(本小题满分12分)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0.))(1)画出不等式组表示的平面区域，并求出该平面区域的面积；(2)若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，求eq\f(1,a)＋eq\f(2,3b)的最小值．解：(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,3x－y－6＝0))得点C坐标为(4，6)，平面区域的面积S＝S矩形OECF－S△ACE－S△BCF＝24－6－8＝10.(2)当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值4，即4a＋6b＝4，即a＋e