专题1.3绝对值的综合（压轴题专项讲练）（人教版2024）

专题1.3绝对值的综合思想方法思想方法数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。知识点总结知识点总结一、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作a．2．性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．化简：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．4．非负性：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且典例分析典例分析【典例1】请利用绝对值的性质，解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a>0时，则aa=；当b<0时，则bb（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc<0（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求aa+【思路点拨】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法：（1）直接根据绝对值的性质求解即可；（2）a+b+c=0，abc<0可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0，b>0，（3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可．【解题过程】（1）解：∵a>0，∴a|a|∵b<0，∴b=−b∴b|b|故答案为：1，−1；（2）解：∵a+b+c=0，∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a>0∴a=−(b+c)，b=−(a+c)，c=−(a+b)，∴原式=−a（3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．①当a，b，c都是正数，即a>0，则：aa②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a>0，则：aa③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设a>0，则：a=1+1−1=1；④当a，b，c三个数都为负数时，则：a=−1−1−1=−3；综上所述：aa+bb+学霸必刷学霸必刷1．（2324七年级上·江苏扬州·阶段练习）p、q、r、s在数轴上的位置如图所示，若p−r=10，p−s=12，q−s=9，则q−r等于（A．7 B．9 C．11 D．13【思路点拨】先根据数轴判断p、q、r、s四个数的大小，再去绝对值得出等式，然后整体代入计算即可．【解题过程】解：由数轴可知：p<r,p<s,q<s,q<r,∵p−r=10，p−s=12，∴r−p=10，∴q−r=r−q=故选：A．2．（2324七年级上·福建莆田·阶段练习）已知a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，已知m+a+b−n=0，则m+nA．3 B．4 C．5或5 D．3或5【思路点拨】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键．【解题过程】解：∵a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，∴a=−4，∵m+a+∴m−4+1−n=0又∵m−4≥0，1−n≥0或m−4≥0∴m−4=0，1−n=0或∴m=4，n=1或∴m+n=4+1=5或m+n=4−1=3，∴m+n的值为3或5．故选：D．3．（2024七年级·全国·竞赛）使a+3=a+3A．a为任意数 B．a≠0 C．a≤0 D．a≥0【思路点拨】分a≥0，−3＜a＜本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论．【解题过程】解：当a≥0时，a+3=a+3，a等式化为：a+3=a+3，成立；当−3＜a+3=a+3，a等式化为：a+3=−a+3，解得：a=0，不符合题意；当a≤−3时，a+3=−a−3，a等式化为：−a−3=−a+3，矛盾．故使a+3=a+3故选：D．4．（2324七年级上·江西抚州·期末）适合|a+5|+|a−3|=8的整数a的值有（

）A．5个 B．7个 C．8个 D．9个【思路点拨】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到−5和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案．【解题过程】解：∵a+5+∴|a+5|+|a−3|可理解为数轴上a到−5和3的距离的和，∵−5和3之间的距离为8，∴当−5≤a≤3时，均满足|a+5|+|a−3|=8，∵a为整数，∴a可以为−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，共9个，故选D．5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，则|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】先根据a、b、c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，可得a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，然后分两种情况分别求出|a−c|+|c−b|+|b−a|【解题过程】解：∵a，b，c均为整数，且|a−b|+|c−a|=1，∴a−b=1，|c−a|=0或|a−b|=0，①当a−b=1，|c−a|=0时，c=a，a=b±1∴a−c+②当|a−b|=0，|c−a|=1时，a=b，∴a−c+综上，|a−c|+|c−b|+|b−a|的值为2．故选：B．6．（2223七年级上·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【思路点拨】根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c【解题过程】解：∵a−2=18∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3a−c=c等价于3∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3a−c=c等价于3∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D7．（2324七年级上·湖北武汉·期中）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+nA．7 B．6 C．5 D．4【思路点拨】根据给定的定义对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出结果，理解题意，熟练掌握绝对值的化简是解题关键．【解题过程】解：当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x−y−z−m−n=x−y−z−m−nx−y−zx−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n；x−y−z−m−n当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x−y−z−m−n=x−y−z+m−nx−y−z共有7种情况；故选：A．8．（2324七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−

A．A的左边 B．A与C之间 C．C与B之间 D．B的右边【思路点拨】可得a+b=2c，从而可得a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=a+b【解题过程】解：∵C是AB的中点，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b−b+a=2a≠0，故此项不符合题意；B．在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b−b−a=0，故此项符合题意；C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=−a−b−b−a=−2a−2b≠0，故此项不符合题意；D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=−a−b+b−a=−2a≠0，故此项不符合题意；故选：B．9．（2024七年级·全国·竞赛）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c最小，a最大，若a−c−b−c+b−d=【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小法则是解题的关键；作差法比较大小时，先求出两个代数式的差，然后通过判断差与0的大小关系来确定原代数式的大小关系．【解题过程】解：∵a、b、c、d为互不相等的有理数，且c最小，a最大，∴a−c>0、b−c>0、a−d>0，∴a−c−a−c−即b−d∴b−d>0，即d<b∴从小到大排列顺序为c<d<b<a，故答案为：c<d<b<a10．（2324七年级上·四川南充·阶段练习）已知m−6+n+4=6−m，那么【思路点拨】本题考查了绝对值的意义和代数式求值，根据绝对值的意义进行讨论得出m，n得值，代入即可求解，解题的关键是正确理解绝对值的意义．【解题过程】解：由m−6+∵m−6≥0，n+4∴6−m≥0，即m≤6，要使m−6+则6−m=0，n+4=0，解得：m=6，n=−4，∴m−10−故答案为：3．11．（2324七年级上·江苏泰州·阶段练习）在a，b，c，d，e，f，g，ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，若a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，则a+b【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件a,b,c,d,e,f,g,ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，求出其中5个字母的值的和为0，进行推导即可．【解题过程】解：∵a,b,c,d,e,f,g,ℎ中，每个字母的值恰好是−3，0，1这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+ℎ=−2，−3+0+1=−2，∴有3个字母的值分别为−3，0，1，另5个字母的值的和为0，∴这5个字母的值分别为：0，0，0，0，0或1，1，1，−3，0，∴这8个字母的值分别为−3，0，1，1，1，1，−3，0或−3，0，1，0，0，0，0，0，a+=3+1+1+1+1+3，=10；或a=3+1，=4；故答案为：10或4．12．（2024七年级·全国·竞赛）已知a，b，c都为整数，且a−b2012+c−a2013=1【思路点拨】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到a−b=0，c−a=1或a−b=1，c−a=0，分了讨论【解题过程】解：由题意，a−b=0，c−a=1或a−b=1当a−b=0，c−a=1时，则∴b−c=−1，即b−c∴a−b+当a−b=1，c−a=0时，则∴b−c=±1，即b−c=1∴a−b+∴x=x+2解得x=−113．（2024七年级·全国·竞赛）若关于m的方2m+5−b=5有三个不同的解，则有理数b=【思路点拨】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得2m+5−b=±5，再根据绝对值性质可得2m+5=5+b或【解题过程】解：∵2m+5∴2m+5−b=±5∴2m+5=5+b或2m+5当−5+b<0时，即b<5时，方程2m+5=−5+b无解，此时方程2m+5当−5+b=0时，即b=5时，方程2m+5=−5+b有一个解，此时方程2m+5=5+b有两个不同的解，即此时方程当−5+b>0时，即b>5时，方程2m+5=−5+b有两个不同的解，此时方程2m+5=5+b有两个不同的解，即方程综上所述，b=5，故答案为：5．14．（2324七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知(x+1+|x−2)(y−2+y+1)(【思路点拨】x+1+x−2表示数轴上表示x的点到表示−1和2的两个点的距离之和，得x+1+x−2≥3．同理，y−2+y+1≥3，z−3+【解题过程】解：x+1+x−2表示数轴上表示x的点到表示∴x+1+同理，y−2+y+1≥3而(x+1∴x+1+x−2=3，y−2∴−1≤x≤2,−1≤y≤2,−1≤z<3．∴−6≤x+2y+3z≤15．故答案为：15，−615．（2324七年级上·湖南邵阳·期末）规定：fx=x−3，gy=y+2，例如f−2【思路点拨】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，根据题意将fx−3和g【解题过程】解：∵fx=∴fx−3∵x−6+x+4可以看作数轴上表示数x的点与表示数6和①当x位于点−4左侧时，即x<−4时，x−6+②当x位于点−4与点6之间时，即−4≤x≤6时，x−6+③当x位于点6右侧时，即x>6时，x−6+综上可知：x−6+∴当−4≤x≤6时，x−6+x+4有最小值，最小值为故答案为：10．16．（2324七年级上·浙江宁波·开学考试）a、b、c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则1a−【思路点拨】本题考查了质数，奇数与偶数，绝对值，掌握所有的质数中只有2是偶数是解题关键．先假设a、b、c都是奇数，判断出与已知矛盾，得出a、b、c中必有两个偶数，从而令a=b=2，求出c的值，代入计算即可．【解题过程】解：若a、b、c都是奇数，则abc也是奇数，那么a+b+c+abc为偶数，与已知矛盾，∴a、b、c中必有一个偶数，∵a、b、c都是质数，∴a、令a=2，则b+c+2bc=97，若b、c都是奇数，则bc也是奇数，那么b+c+2bc偶数，与已知矛盾，∴b、c中必有一个偶数2，令b=2，则2+2+c+4c=99，∴c=19，∴===17故答案为：1717．（2223七年级上·江苏南京·阶段练习）若x+2+x−1+x−2=6【思路点拨】本题主要考查了绝对值和数轴上两点间的距离．根据绝对值的意义及数轴上两点间的距离即可求解．【解题过程】解：|x+2|表示数轴上数x表示的数到−2的距离，|x−1|表示数轴上数x表示的数到1的距离，|x−2|表示数轴上数x表示的数到2的距离，∵|x+2|+|x−1|+|x−2|=6，∴①当x<−2时：x+2<0，x−1<0，x−2<0，∴−x−2+(−x+1)+(−x+2)=6，化简得：x=−5②当x=−2时，x+2=0，x−1<0，x−2<0，∴0+(−x+1)+(−x+2)=6，解得：x=−3③当−2<x<1时，x+2>0，x−1<0，x−2<0，∴x+2+(−x+1)+(−x+2)=6，解得：x=−1（符合题意）；④当x=1时，x+2>0，x−1=0，x−2<0，∴x+2+0+(−x+2)=6，解得：4=6（不符合题意，舍去）；⑤当1<x<2时，x+2>0，x−1>0，x−2<0，∴x+2+x−1+(−x+2)=6，解得：x=3（不符合题意，舍去）；⑥当x=2时，x+2>0，x−1>0，x−2=0，∴x+2+x−1+0=6，解得：x=5⑦当x>2时，x+2>0，x−1>0，x−2>0，∴x+2+x−1+x−2=6，解得：x=7∴x=−1或73故答案为：−1或7318．（2324七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则【思路点拨】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当a+b=0时，则b+c=1，当a+b=1【解题过程】解：∵a、b、c是整数，∴a+b，b+c是整数，∵a+b又∵a+b∴a+b=0时，则b+c=1或a+b=1∴当a+b=0，则a=−b，∴a−c∴当a+b=0，则a=−b，∴a−c∴当a+b=1，则a=1−b，∴∴当a+b=−1，则a=−1−b，∴a−c综上可得：a−c=1故答案为：1．19．（2223七年级上·浙江丽水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m【思路点拨】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入x−y即可解答．【解题过程】解：∵abc>0，a+b+c=0，∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，∴a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时，m====1−2−3=−4；当a，c为负，b为正数时，m====−1+=0；当b，c为负，a为正数时，m====−1+2−3=−2；∵m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，∴x=3，y=−4，∴x+y=3−−4故答案为：7．20．（2223七年级上·浙江温州·阶段练习）式子x−1+2x−2+3【思路点拨】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键．分x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3，3≤x≤4，4≤x≤5，x≥5讨论，求出各股的最小值，再比较即得．【解题过程】解：设x−1+2当x≤1时，y=−=−x+1−2x+4−3x+9−2x+8−x+5=−9x+27，∴y≥18，最小值为：18；当1≤x≤2时，y==x−1−2x+4−3x+9−2x+8−x+5=−7x+25，∴11≤y≤18，最小值为：11；当2≤x≤3时，y==x−1+2x−4−3x+9−2x+8−x+5=−3x+17，∴8≤y≤11，最小值为：8；当3≤x≤4时，y==x−1+2x−4+3x−9−2x+8−x+5=3x−1，∴8≤y≤11，最小值为：8；当4≤x≤5时，y==x−1+2x−4+3x−9+2x−8−x+5=7x−17，∴11≤y≤18，最小值为：11；当x≥5时，y==x−1+2x−4+3x−9+2x−8+x−5=9x−27，∴y≥18，最小值为：18．综上，原式的最小值为：8．故答案为：8．21．（2324七年级上·吉林长春·期末）“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题．探究：方程x−1=2方法一、当x−1>0时，x−1=x−1=2当x−1≤0时，x−1=___________=2方法二、x−1=2的意义是数轴上表示x上述两种方法，都可以求得方程x−1=2应用：根据探究中的方法，求得方程x−1+拓展：方程x−1−【思路点拨】本题考查了绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离．熟练掌握绝对值的意义，解绝对值方程，数轴上两点之间的距离是解题的关键．探究：根据题意化简绝对值，利用绝对值的意义进行作答即可；应用：由x−1+x+3=9的意义是数轴上表示x的点与表示1和−3两点之间的距离和为9，表示1和−3两点之间的距离为4，可知表示x的点在−3左侧，或在1右侧；分当x<−3拓展：由题意知，x−1−−x−3=12，整理得x−1−x+3【解题过程】探究：解：由题意知，当x−1>0时，x−1=x−1=2解得，x=3；当x−1≤0时，x−1=1−x=2解得，x=−1；x−1=2的意义是数轴上表示x上述两种方法，都可以求得方程x−1=2的解是x=3或x故答案为：1−x、1、x=3或x=应用：解：x−1+x+3=9的意义是数轴上表示x的点与表示1∵表示1和−3两点之间的距离为4，∴表示x的点在−3左侧，或在1右侧；当x<−3时，x−1+解得，x=−5.5；当x>1时，x−1+解得，x=3.5；综上所述，x=−5.5或x=3.5；拓展：解：x−1−∴x−1−当x+3<0时，x−1−当x−1>0时，x−1−当0≤x+3，x−1≤0时，解得，x=−5故答案为：x=−522．（2324七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．【知识储备】点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为|m−n|．【初步运用】（1）数轴上表示3与−4的两点之间的距离为______；（2）已知数轴上某个点表示的数为x．①若|x−1|=2，则x=______；②若|x+3|=|x−5|，则x=______；【深入探究】（3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c．①|a−b|+|b−c|=______；②若|b−2a|=4，则点C表示的数为______；③若该数轴上另有