2024年高考数学三轮复习：统计与统计案例 专项讲解与训练

专题18.统计与统计案例

抽样方法

［核心提炼］

1.简洁随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围：总体中的个体较少.

2.系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取.适用范围：总体中的个体

数较多.

3.分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取.适用范围：总体由差异明显的几部分组成.

例1」（1）（2024•西安八校联考）某班对八校联考成果进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个

同学按01,02,03,…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数起先向右读，则选出的第6个个

体是（）

（注：下表为随机数表的第8行和第9行）

第8行

63016378591695556719981050

717512867358074439523879

第9行

33211234297864560782524207

443815510013429966027954

A.07B.25

C.42D.52

⑵某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的

质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取

件.

【答案】（DD（2）18

【解析】（1）依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,…因此选出的第6个个体是

52,选D.

⑵应从丙种型号的产品中抽取

300/…

60*200+400+300+100=18（件）*

回国阻倒

抽样方法主要有简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但

无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值.

【对点训练】

1.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教化程度（学历）的调查，其结果（人数分布）

如下表：

学历35岁以下35―50岁50岁以上

本科803020

探讨生X20y

在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取“个人，其中35岁以下48人，50岁以上

5x

10人,再从这“个人中随机抽取1人,此人的年龄为50岁以上的概率为而,则7的值为—

答案：8

解析：由题苣，得¥二至，解有

所以35-50岁中神脚R的人的为78-48-10=20,

峪停x=40,y=5

2.已知某商场新进3000袋奶粉，为检查是否达标，现采纳系统抽样的方法从中抽取150袋进行检查，将

3000袋奶粉按1,2,3000随机编号，若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为

答案：1211

解析：由题意知抽样间隔为黑=20,又第一组抽出的号码是11,则11+60X20=1211,故第六十

150

一组抽出的号码为1211.

用样本估计总体

考向1用统计图表估计总体

直方图的两个结论

⑴小长方形的面积=组距><频益率=频率.

(2)各小长方形的面积之和等于1.

前㈤某公司为了解用户对其产品的满足度，从A,B两地区分别随机调查了40个用户，依据用户对产品的

满足度评分，得到A地区用户满足度评分的频率分布直方图和B地区用户满足度评分的频数分布表.

A场区用户,厦度伸分的履率分布立方图

0.040-

o.(nsL

o.(no»

0.025r

0.020>

0.01S>

aoio>

0.0054

40)060708090100,怎度评分

图①

B地区用户满足度评分的频数分布表

满足度评

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

分分组

频数2814106

(1)在图②中作出B地区用户满足度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满足度评分的平均值

及分散程度(不要求计算出详细值，给出结论即可).

11地1*用户*童应洋分的国率分6(I方网

图②

(2)依据用户满足度评分，将用户的满足度分为三个等级:

满足度评分低于70分70分到89分不低于90分

满足度等级不满足满足特别满足

估计哪个地区用户的满足度等级为不满足的概率大？说明理由.

【解析】(1)如图所示.

通过两地区用户满足度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满足度评分的平均值高于A地区用户满

足度评分的平均值；B地区用户满足度评分比较集中，而A地区用户满足度评分比较分散.

(2)A地区用户的满足度等级为不满足的概率大.

记册表示事务：“A地区用户的满足度等级为不满足”；合表示事务：“B地区用户的满足度等级为不满

足”.由直方图得尸(G)的估计值为(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,/(金)的估计值为(0.005+0.02)X10

=0.25.所以A地区用户的满足度等级为不满足的概率大.

考向2用样本的数字特征估计总体

统计中的四个数字特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

⑵中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.假如数据的个数为偶数，就取中间

两个数据的平均数作为中位数.

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即

一1

矛=-(荀+热+~+人).箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产

n

量(单位：kg),其频率分布直方图如下：

⑴记/表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计力的概率;

(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

(3)依据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.

附：

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

o_____________nQad-be)'__________

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d).

【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50k.g的频率为

（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）X5=0.62.

因此，事务力的概率估计值为0.62.

⑵依据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量〈50kg箱产量》50kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

,200义(62X66—34X38)2

K=100X100X96X104--15.705.

由于15.705>6,635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50kg到55kg之间，旧养殖法

的箱产量平均值（或中位数）在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产

量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.

前尚因匐

独立性检验的一般步骤

（1）依据样本数据制成2X2列联表；

n（方d—hd2

⑵依据公式段=>、八一⑶计算接的值；

ka+b）kc+d）ka+c）kb十d）

（3）查表比较代与临界值的大小关系，作出统计推断.

【对点训练】

（2024•郑州第一次质量预料）近年来郑州空气污染较为严峻，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中

PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：

PM2.5(50)(100,(150)(200,(250)

[0,50]>300

指数100]150]200]250]300]

空气稍微轻度中度中度重重度

优良

质量污染污染污染污染污染

天数413183091115

记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x.当x在区间［0,100］内时对企业

没有造成经济损失；当x在区间（100,300］内时对企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时

造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时

造成的经济损失为2000元.

⑴试写出S(x)的表达式；

(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；

(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并推断是否有

95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？

附：

户(百人)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)廿上，,,

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'.其中a+6+c+d.

非重度污染重度污染合计

供暖季

非供暖季

合计100

’0,xG[0,100]

【解析】：⑴依题意，可得S(x)=<4x—100,xG(100,300].

、2000,xW(300,+8)

(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事务4

39

由500<SW900,得150〈启250,频数为39,P(A)=—

(3)|R据题中/据用到如下2X2歹我*表：

非*度污染重，度再染合计

脚粹830

-

非供睐季6370

合计8515100

100X《63X8—”X7):

始即见测值15X30X70独3川,

所以有95。•的把握认为空气重度石染与供暖育关.

课时作业

［基础达标］

1.（2024•南昌第一次模拟）某校为了解学生学习的状况，采纳分层抽样的方法从高一1000人、高二1200

人、高三〃人中，抽取81人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为30,那么〃=（）

A.860B.720

C.1020D.1040

【答案】D.

【解析】依据分层抽样方法，得丁而甘%=X81=30,解得〃=1040.故选D.

1.UUU-IL-UUI11

2.（2024•广西三市联考）

|

20IS

3II■4

423S7>

在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之

和为61,则被污染的数字为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B.

【解析】由图可知该组数据的极差为48—20=28,则该组数据的中位数为61—28=33,易得被污染的数字

为2.

3.（2024•长春质量检测（二））如图是民航部门统计的2024年春运期间十二个城市售出的来回机票的平均

价格以及相比去年同期改变幅度的数据统计图表，依据图表，下面叙述不正确的是（）

12M46运榜函机票平均情福

A.深圳的改变幅度最小，北京的平均价格最高

B.深圳和厦门的春运期间来回机票价格同去年相比有所下降

C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D.平均价格.的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

【答案】D.

【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故改变幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均

价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所

下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知

平均价格的涨幅由高到低居于前三位的城市分别为天津、西安和南京，故D错误.选D.

4.（2024.湖北七市（州）联考）广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费x和

销售额y进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：

C.111.2万元D.118.2万元

【答案】C.

【解析】根据尻计物据表，可湖1=g'(2+3+4+3+6)=4,.1=1x(29+41+50+59+71)=50,而回归

直线)=102x+阂过样本点的中心(4,50),

HHiZ50=102X4+(1,

解得口=9.2,

所以回归方程为)=102x+92,

所以当x=l0时，］=10.2X10+9.2=111.2,故选C

5.（2024•宝鸡质量检测（一））对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,如图为

检测结果的频率分布直方图，依据产品标准，单件产品长度在区间［25,30）的为一等品，在区间［20,25）

和［30,35）的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为（）

事率.

OM25......................j

O.QSOO.................p-l

OLOHS......彳一,卜

OJX250............H

0.012।|||*|*-|

«（10IS202$1035

A.5B.7

C.10D.50

【答案】D.

【解析】依据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1—（0.0500+0.0625+0.0375）义5.=0.25,

因此该样本中三等品的件数为200X0.25=50,选D.

6.总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是

从随机数表第1行的第5列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

答案：01

解析：由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编

号是01.

7.（2024•长沙模拟）

4S

50

754

910

11?S

21”

空气质量指数（AirQualityIndex,简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量依据AQI大小分

为六级，0〜50为优；51〜100为良；101〜150为轻度污染；151〜200为中度污染；201〜300为重度污

染；大于300为严峻污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如

图.依据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数为.（该年为365天）

答案：146

99

解析：该样本中AQI大于100的频数为4,频率为F以此估计此地全年AQI大于100的频率为‘故此地该

55

2

年AQI大于100的天数约为365X-=146.

5

8.（2024•石家庄质量检测（二））设样本数据xi,xz,…，xzou的方差是4,若乃=2右一2,…，2

017）,则为,先，…，及on的方差为.

答案：16

——1

解析：设样本数据的平均数为x,贝"力=2为一1的平均数为2x—1,贝ij%,及，…，乃。"的方差为行正

[（2xi—1—2x+1）2+（2自一1—2x+1）2H---1-（2蜃on—1—2x+1）=4X‘017]—x）'+（莅-x）2

4----F（四on—x）2]=4X4=16.

9.（2024•福州五校其次次联考）为了参与某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学爱好

小组的同学进行了赛前模拟测试，成果（单位：分）记录如下：

理科：79,81,81,79,94,92,8.5,89

文科：94,80,90,81,73,84,90,80

（1）画出理科、文科两组同学成果的茎叶图；

IIXM

71

8

9

⑵计算理科、文科两组同学成果的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中

发挥比较好；

（3）若在成果不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同

学的概率.

（参考公式：样本数据荀，物……的方差：…+（k、）1,其中：为样本

平均数）

【解析】：（1）理科、文科两组同学成果的茎叶图如下:

（2）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好.理由如下:

—1

X理=^X(79+81+81+79+94+92+85+89)=85,

O

—1

£文=三义(94+80+90+81+73+84+90+80)=84.

O

si=1x[(79-85)2+(81-85)2+(81-85)2+(79~85)2+(94-85/+(92—85尸+(85-85)2+(89-85)2]

O

=31.25,

[(94-84)2+(80-84)2+(90—84尸+(81-84)2+(73-84)2+(84-84)2+(90-84)2+(80-8.4)2]

O

=41.75.

由于了理＞了文，媪＜s,，

所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好.

（3）设理科组同学中成果不低于90分的2人分别为A,B,文科组同学中成果不低于90分的3人分别为a,

b,c,则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa,ABb,ABc,Aab,Aac,Abe,Bab,Bae,Bbc,abc.

其中全是文科组同学的状况只有a6c一种，没有全是理科组同学的状况..

1Q

记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事务〃，则户（励=1—正=U.

10.（2024.张掖第一次诊断考试）中心政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台

“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的看法，责成人社部进行调研.人社部从

网上年龄在15〜65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年

龄的统计结果如下：

年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]

支持“延迟退休”的人数155152817

(1)由以上统计数据填2X2列联表，并推断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退

休年龄政策”的支持度有差异;

45岁以下45岁以上合计

支持

不支持

合计

(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参与某项活动.现从这8

人中随机抽2人，求至少有1人是45岁以上的概率.

参考数据:

P(百kJ0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

2

o_nQad—be)

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

【解析】：(1)2X2歹U联表如下:

45岁以下45岁以上合计

支持354580

不支持15520

合计5050100

100X(35X5-45X15)225

因为片=50X50X80X20=T=6-25>3'841,

所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.

(2)从不支持“延迟退休”的人中，45岁以下应抽6人，45岁以上应抽2人.

记45岁以下的为1,2,3,4,5,6；45岁以上的为4B,

则有1-2,3,4,5,6,A,B,

2f3,4,5,6,A,B,

3-4,5,6,A,B,

4—5,6,A,B,

5-6,A,B,

6-4B,

Ai,

151R

故所求概率为1-蕨=狼.

ZoZo

［实力提升］

1.（2024•高考山东卷）为了探讨某班学生的脚长x（单位：厘米）.和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随

机抽取10名学生，依据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回来直线方程为y=6

1010-

22x1=225,£H=I600,£=4

x+a.己知,=，该班某学生的脚长

为24,据此估计其身高为（）

A.160B.163

C.166D.170

【答案】C.

【解析】由题意可知P=4x+a,又x=22.5,y=160,因此160=22.5X4+8所以a=70,因此y=4x+

70.当x=24时，尸4X24+70=96+70=166.

2.（2024•陕西质量检测（一））己知一组正数荀，X”xs,X4的方差s2=］（xi+M+^+£—16）,则数据国十

2,照+2,冬+2,苞+2的平均数为.

答案：4

解析：由方差公式s（XLx）”+（42—x）”+（矛3—x）"+（X4—X）1,

1—

得S?=］（荒+■+■+■）—X、

又已知S2=；（X：+'+#+/-16）=；（发+■+■+舅）—4,

所以：2=4,

—1—

所以x=2,故彳［（xi+2）+（至+2）+（^3+2）+（普+2）］=x+2=4.

3.（2024•福州综合质量检测）在国际风帆竞赛中，成果以低分为优胜，竞赛共11场，并以最佳的9场成

果计算最终的名次.在一次国际风帆竞赛中，前7场竞赛结束后，排名前8位的选手积分如下表：

运动竞赛场次总

员1234567891011分

A322242621

B1351104428

C986111228

D784431835

E3125827542

F4116936847

G10121281210771

H12126127121273

(1)依据表中的竞赛数据，比较运动员4与8的成果及稳定状况；

(2)从前7场平均分低于6.5分的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均

分不低于5分的概率；

(3)请依据前7场竞赛的数据，预料冠亚军选手，并说明理由.

【解析】：(1)由表中的数据，我们可以分别计算运动员/和6前7场竞赛积分的平均数和方差，作为两运

动员竞赛的成果及衡量两运动员稳定状况的依据.

一—1

运动员A的平均分^i=yX21=3,

方差：(3-3)2+(2-3)2X4+(4-3)2+(6-3)2]=2；

—