人教版初一数学下册相期末压轴题易错题模拟检测试卷及答案

一、解答题

1.如图1,已知，点4La),AH_Lx轴，垂足为“，将线段A。平移至线段BC,点B(b,

(1)填空：①直接写出4B、C三点的坐标4卜8(卜C()；

②直接写出三角形A。”的面积.

(2)如图1,若点D(m,n)在线段0A上，证明：4m=n.

(3)如图2,连。C,动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时

点Q从点。开始在V轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过t秒，三角形A0P与三

角形C0Q的面积相等，试求t的值及点P的坐标.

解析：(1)①1,4；3,0；2,-4；②2；(2)见解析；(3)t=1.2时，P(0.6,0),t

=2时，P(-1,0).

【分析】

(1)①利用非负数的性质求出。，b的值，可得结论.

②利用三角形面积公式求解即可.

(2)连接DH,根据△0。”的面积+的面积的面积，构建关系式，可得结

论.

(3)分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在B。的延长线上时，分别利用面

积关系，构建方程，可得结论.

【详解】

(1)解：①；,4-a+(6-3)2=o,

又；y/4-a>0,(b-3)2>0,

a=4,b=3,

41，4),8(3,0),

B是由A平移得到的，

二A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B,

・・•点C是由点。向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，

.C(2,-4),

故答案为：1,4；3,0；2,-4.

②△ACW的面积=4xlx4=2,

故答案为：2.

图1

•••△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积，

/.gxlxc+gx4x(l-m)=2,

4m=".

(3)解：①当点P在线段OB上，

由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：

—1OP'yA=-1O”Q-xc,

：gx(3-2t)x4=yx2t,

解得t=1.2.

此时P(0.6,0).

②当点P在B。的延长线上时，

由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：

11-

-OP-yA=^OCl-xc,

yx(2t-3)x4=gx2xt,

解得t=2,

此时P(-1,0),

综上所述，t=1.2时，P(0.6,0),t=2时，P(-1,0).

【点睛】

本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会

利用参数构建方程解决问题.

2.如图1,在直角坐标系中直线A8与X、》轴的交点分别为A(a,0),3(0力)，且满足

Ja~\~b+|t7-b+81=0.

(2)若点M的坐标为（1,利）且SABM=2sAOM,求m的值；

(3)如图2,点尸坐标是（-1,-2）,若.ABO以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P以

1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t秒，若点尸落在AABO内部（不包含三角形的

边），求/的取值范围.

解析：(1)a=T,b=4；(2)m=-5sS,m-^；(3)l<f<|

【分析】

（1）根据非负数和为0,则每一个非负数都是0,即可求出a,b的值；

（2）设直线与直线X=1父于点/V,可得/V（1,5）,根据48M=S/kAM/V-SA8MN,即

可表示出5AABMy从而列出m的方程.

（3）根据题意知，临界状态是点户落在和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范

围.

【详解】

（1）++Z?+81=0,yja+b>0,,一匕+8|20

a+Z?=O,a—Z?+8—0

解得：a=-4,b=4

（2）设直线AB与直线x=l交于N,设N（l,〃）

a=-4,b=4,

：.A(-4,0),B(0,4),

设直线AB的函数解析式为：y=kx+b,

0=-4k+bk=l

代入得4=b,解得

6=4

，直线AB的函数解析式为：y=x+4,

代入x=l得N（l,5）

S^ABM=SA,N-SABMN=gx5x15-m|-gxlx|5-m|=2S^AOM=gx4x|"?|=2帆

­v二，q

•uABM_QAOM

/.2|m-5|=2x2|m|

「•m—5=2m^m—5=-2m

解得：根=-5或根=g,

(3)当点P在0A边上时，则2t=2,

.•t—~1,

当点P在边上时，如图，过点P作PK//X轴，AKLx轴交于K,

则KP'=3-t,KA'=2t-2,

：.3-t=2t-2,

5

..t=一

3

本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点,

第(2)问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键.

3.在如图所示的平面直角坐标系中，A(1,3),B(3,1),将线段4平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)点P的坐标是(c,0)

①设NABP=a,请写出NBPD和NPDC之间的数量关系(用含a的式子表示，若有多种数

量关系，选择一种加以说明)

②当三角形PAB的面积不小于3且不大于10,求点p的横坐标C的取值范围(直接写出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①当点P在直线AB,C。之间时，ZBPD叱PDC=a.当点P在直

线CD的下方时，NBPD+NPDC=a.当点P在直线AB的上方时，NBPD“PDC=a；②-6<

m<l或7<m<14

【分析】

(1)由题意，线段向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段C。，利用平移规

律求解即可.

(2)①分三种情形求解，如图1中，当点P在直线AB,CD之间时，NBPD-NPDC=a.如

图2中，当点P在直线CO的下方时，NBPD+ZPDC=a.如图3中，当点P在直线的上

方时，同法可证NBPD+ZPDC=a.分别利用平行线的性质求解即可.

②求出点P在直线AB两侧，△%B的面积分别为3和10时，m的值，即可判断.

【详解】

解：(1)由题意，线段AB向左平移2个单位，向下平移4个单位得到线段C。，

A(1,3),8(3,1),

C(-1,-1),D(1,-3),

/.m=-l,n=-3.

故答案为：-1,-3.

(2)如图1中，当点P在直线28,CD之间时，NBPD叱PDC=a.

•/ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=Z.BPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD叱PDC=NBPD叱DPE=4BPE=a.

如图2中，当点P在直线C。的下方时，ZBPD+Z.PDC=a.

理由：过点尸作PEII/B,

ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=NBPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD+NPDC=NBPD+NDPE=ZBPE=a.

如图3中，当点P在直线AB的上方时，同法可证N8PD+NPDC=a.

(3)如图4中，过点B作轴于H,过点A作AriBM交于点了，延长AB交x轴

当点P在直线AB的下方时，

SAPAB=S^ATHP-SAABT-S^PBH=~(2+3-m)»3-yx2x2-^-•(3-m)»l=-m+4,

当小PAB的面积=3时，-m+4=3,解得m=l,

当公PAB的面积=3时，-m+4=10,解得m=-6,

•••△ABT是等腰直角三角形，

ZABT=45°=NHBE,

：.BH=EH=1,

.E(4,0),

根据对称性可知，当点P在直线AB的右侧时，当ARAB的面积=3时，m=7,

当APAB的面积=3时，m=14,

观察图象可知，-6<mSl或74m<14.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用分割法求三角形面积，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型.

4.如图1,在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，边长为2的正方形ABCD(点。与点

0重合)和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在X轴上，且点H坐标为(7,

0）.正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着X轴向右运动，记正方形ABCD和正方形

EFG”重叠部分的面积为S,假设运动时间为t秒，且t<4.

（1）点F的坐标为；

（2）如图2,正方形ABC。向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的

速度从F到E运动.连接AP,AE.

①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；

②求t为何值时，S=SAAPE.

解析：（1）（3,4）；（2）①■时，4P所在直线垂直于x轴；②当t为］或1时,

S—SAAPE-

【分析】

（1）根据直角坐标系得出点F的坐标即可；

（2）①根据AP所在直线垂直于X轴，得出关于t的方程，解答即可；

7710

②分和两种情况，利用面积公式列出方程即可求解.

【详解】

（1）由直角坐标系可得：F坐标为：（3,4）；

故答案为：（3,4）；

只需要Px=Ax,

贝Ut+3=3t,

3

解得：=9

2

3

所以即f=：时，AP所在直线垂直于X轴;

2

②由题意知，

7

0H=7f所以当方时，点。与点H重合，所以要分以下两种情况讨论:

7

情况一：当时，

GD=3t-3,PF=t,PE=4-t,

「5—SAAPEf

/.BCxGD=*后义区—Ay）,

即：2x（3t-3）=/（4—%）x2,

解得：

HD=3t-7,PF=t,PE=4-t,

•5—SAAPE，

：.BCxCH=|PEx）,

即：2x[2-（3t-7）]=1（4-f）x2,

14

解得：f=],

综上所述，当t为亍或不时，S—S^APE-

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨

论是解题关键.

5.在平面直角坐标系xQv中，点A坐标为（0,4）,点B坐标为（4,0）,过点C（3,0）作直线

CD_Lx轴，垂足为C,交线段于点。.

①填空：石的面积为；②点夕为直线上一动点，当3ApM=SAAOB时，求点P

的坐标；

（2）如图2,点。为线段CO延长线上一点，连接3。，0Q,线段。。交于点尸，若

S"。尸=S^QBF，请直接写出点Q的坐标为.

解析：⑴①6；②尸的坐标为（3,5）,（3,-3）；（2）（3,4）.

【解析】

【分析】

（1）①易证四边形AECO为矩形，则点B到AE的距离为。A,AE=OC=3,OA=CE=4,

S^ABE=^-AE»OA,即可得出结果；

2

②设点P的坐标为（3,根），分两种情况:点P在点E上方，连接得

S"AB-SAPAE+S^BE+S"BE=8,点尸在点C的下方，得右9=S“AC+‘AABC+S.BC=8,分别列出方

程解方程即可得出结果；

（2）由SAAo产SAQBF,贝USAAOS=SAQOB,△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，分别

为：04、QC,得出OA=CQ,即可得出结果.

【详解】

解：（1）①•.,CO_Lx轴，AE±CD,

,AElIx轴，四边形AEC。为矩形，点B到AE的距离为

•••点A（0,4）,点C（3,0）,

：.AE=0C=3,0A=C£=4,

I1

9

/.SAABE=—AE0A=—x3x4=6,

22

故答案为：6；

②设点尸的坐标为（3,优）.

⑺••・点4坐标为（。,4）,点8坐标为（4,0）,

5Ap旗=5AAsc,=；°B,OA=；x4x4=8-

8AABE=6,

S"AB>S^QE•

・・・点P在点E上方，连接跖(如图1).根据题意得

解图1

•++S"BE=8,

/.-AEPE+-AEOA+-PEBC=^,

222

/.gx3（m-3）+；x3x4+：（根-3）x1=8,

/.m=5.

■.当点尸的坐标为（3,5）.

（"）点尸在点C的下方，连接AC（如图2）.

解图2

Si.VAiRoCc=-2BC-OA=2-xlx4=2.

•s>q

•.点尸在点c的下方，根据题意得

-S^PAC+SMBC+S"BC=8,

\-OCPC+-BCOA+-PCBC=8,

222

m=—3.

••当点P的坐标为(3,-3).

(2)(2)SAAOF=SAQBF,如图3所小:

••AOB~S^QOB，

•・•△AOB与△QOB是以AB为同底的三角形，高分别为：。4、Q.C,

OA=CQ,

二点Q的坐标为(3,4),

故答案为：(3,4).

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了图形与点的坐标、矩形的判定与性质、三角形面积的计

算等知识，熟练掌握图形与点的坐标，灵活运用割补法表示三角形面积列出方程是解题的

关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4,0),点B的坐标是(2,3),

点C在X轴的负半轴上，且AC=6.

⑴直接写出点C的坐标.

2

(2)在y轴上是否存在点P,使得以POB=『SAABC若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明

理由.

⑶把点C往上平移3个单位得到点H,作射线CH,连接BH,点M在射线CH上运动(不与点

C、H重合).试探究NHBM,ZBMA,NMAC之间的数量关系，并证明你的结论.

解析：⑴C(-2,0);⑵点P坐标为(0,6)或(0,-6)；⑶。BMA=NMAC土NHBM,证明见解析.

【分析】

⑴由点A坐标可得OA=4,再根据C点X轴负半轴上，AC=6即可求得答案；

2_

(2)先求出SAABC=9,SABOP=OP,再根据SAPOB=]SAABC,可得OP=6,即可写出点P的坐标；

⑶先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC,然后根据点M在射线CH上，

分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.

【详解】

(I)-/A(4,0),

/.OA=4,

.「C点x轴负半轴上，AC=6,

/.OC=AC-OA=2,

:C(-2,0)；

(2)-/B(2,3),

:SAABC=gx6x3=9,SABOP=gOPx2=OP,

又SAPOB=_SAABC,

2

/.OP=-x9=6,

3

.•.点P坐标为(0,6)或(0,-6)；

(3)NBMA=NMAC士NHBM,证明如下：

•••把点C往上平移3个单位得到点H,C(-2,0),

.H(-2,3),

文:B(2,3),

BH//AC；

如图1,当点M在线段HC上时，过点M作MN//AC,

/.ZMAC=ZAMN,MN//HB,

/.ZHBM=ZBMN,

ZBMA=ZBMN+NAMN,

ZBMA=NHBM+ZMAC；

如图2,当点M在射线CH上但不在线段HC上时，过点M作MN〃AC,

ZMAC=ZAMN,MN//HB,

/.ZHBM=ZBMN,

ZBMA=ZAMN-ZBMN,

ZBMA=ZMAC-ZHBM；

综上，ZBMA=ZMAC+ZHBM.

【点睛】

本题考查了点的坐标，三角形的面积，点的平移，平行线的判定与性质等知识，综合性较

强，正确进行分类并准确画出图形是解题的关键.

7.如图1,在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,2),且满足(0+2了+后工=。，过

C作CBJL元轴于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和4OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，

若不存在，试说明理由.

(3)若过B作BDIIAC交y轴于D,且AE,DE分别平分NCAB,ZODB,如图2,图3,

①求：ZCAB+ZODB的度数；

②求：ZAED的度数.

解析：(1)a=-2,b=2；(2)P(0,-4)或(0,4)；(3)①NCAB+NODB=90°；

②NAED=45°.

【分析】

(1)根据非负数的性质即可求得a、b的值；(2)先求得SAABC=4,设P(0,t),根据

SA0Pc=g0Px2=gxMx2=4求得t值，即可求得点P的坐标；(3)①已知BDIIAC,根据

两直线平行，内错角相等可得NCAB=ZOBD,由NOBD+zODB=90°,即可得NCAB+

ZODB=90°；②根据角平分线的定义及①中的结论，可求得N3+N4=45。；过点E作

EFIIAC,即可得EFUBDIIAC,根据平行线的性质可得N3=N1,Z2=Z4,由此求得

ZAED=Z1+Z2=Z4+N3=45°.

【详解】

(1)•••(a+2)2+V^2=0,

a+2=0,b-2=0,

a=-2,b=2；

(2)a=-2,b=2,

/.A(-2,0),C(2,2),

「•SAABC=—AB»BC=-X4X2=4；

设P(0,t),

SAOPC=|oPx2=|x|r|X2=M=4;

.t=4或t=-4,

P(0,-4)或(0,4).

(3)①BDIIAC,

ZCAB=ZOBD,

ZOBD+ZODB=90",

ZCAB+ZODB=90°；

②,：AE,DE分别平分NCAB,ZODB,

z3=-ZCAB,z4=-ZODB,

22

ZCAB+ZODB=90",

z3+Z4=-ZCAB+-ZODB=45°,

22

过点E作EFIIAC,

BDIIAC,

EFIIBDIIAC,

Z3=Z1,Z2=N4,

ZAED=Z1+Z2=N4+Z3=45".

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，熟知非负数的性质、三角形的面积公式及平行线的性质是解

决问题的关键.

8.己知，ABWDE,点C在AB上方，连接BC、CD.

（1）如图1,求证：ZBCD+ZCDE=AABC-,

（2）如图2,过点C作CF_L8C交ED的延长线于点F,探究NABC和NF之间的数量关

系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,

若BH平分NABC,求NBGD-ZCGF的值.

图1图3

图2

解析：（1）证明见解析；（2）ZABC-ZF=90°；（3）45°.

【分析】

（1）过点C作b〃AB,先根据平行线的性质可得ZABC+N3CF=180。，再根据平行公

理推论可得C尸DE,然后根据平行线的性质可得NCDE+/3CE+/3CD=180。，由此即

可得证；

（2）过点C作CG〃A3,同（1）的方法，先根据平行线的性质得出

ZABC+ZBCG=180°,/F+/3CG+/3CF=180。，从而可得Z/WC-ZF=N3CF,再

根据垂直的定义可得N3B=90。，由此即可得出结论；

（3）过点G作GMAB,延长FG至点N,先根据平行线的性质可得=,

ZMGN=NDFG,从而可得/MGH-/MGN=ZABH-NDFG,再根据角平分线的定义、

结合（2）的结论可得NMGH-/MGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-AMGN,由此即可得出答案.

【详解】

证明：（1）如图，过点C作C尸〃A5,

ABDE,

CFPDE,

ZCDE+ZDCF=180°,即ZCDE+ZBCF+ZBCD=180°,

ZCDE+ZBCF+ZBCD=ZABC+ZBCF,

NBCD+NCDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃AB,

ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

/.ZF+ZFCG=180°,即Nb+NBCG+ZBCF=180。，

/.ZF+/BCG+/BCF=ZABC+NBCG,

.\ZABC-ZF=ZBCF,

CFYBC,

.\ZBCF=90°,

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如图，过点G作GMAB,延长FG至点N,

:.ZABH=ZMGH,

AB\DE,

:.GMDE,

:.ZMGN=/DFG,

而平分ZABC,FN平分/CFD,

ZABH=-ZABC,ZDFG=-ZCFD,

22

由（2）可知，ZABC-ZCFD=90°f

ZMGH-ZMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

J/BGD=ZMGH+ZMGD

又［ZCGF=ZDGN=/MGN+ZMGD'

ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性

质是解题关键.

9.如图1,已知直线mil”，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜

4B上经点P反射后，到达直线"上的点Q.我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

NOPA二NQPB.

DO

inmm

n

QBn

图1图2图3

(1)如图L若NOPQ=82。，求NORA的度数；

(2)如图2,若2Aop=43。,NBQP=49。，求2。如的度数;

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和。上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形488,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

。-PfQ-03P3...试判断NOPQ和NORQ的数量关系，并说明理由.

解析：(1)49。，(2)44°,(3)N0PQ=N0RQ

【分析】

(1)根据NOPA=NQPB.可求出NOPA的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：ZOPQ=NAOP+ABQP,ZORQ=NDOR+NRQC,从而

ZOPQ=NORQ.

【详解】

解：(1),「N0R4=NQPB,NOPQ=82°,

/.ZOPA=(180°-ZOPQ)x；=(180°-82°)x；=49。,

(2)作PCIIm,

*/mIIn,

mIIPCWn,

：.ZAOP=NOPC=43°,

NBQP=NQPC=49°,

/.ZOPQ=NOPC+NQPC=43°+49°=92°,

ZOPA=(180°-ZOPQ)X；=(180°-92°)x/44。，

图2

(3)ZOPQ=NORQ.

理由如下：由(2)可知：NOPQ=NAOP+NBQP,NORQ=NDOR+NRQC,

•••入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，

ZAOP=NDOR,ZBQP=ZRQC,

ZOPQ=NORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

10.如图，已知直线AB//射线CO,NCEB=110。.尸是射线上一动点，过点P作

P0/EC交射线8于点Q,连接CP.作=交直线A3于点/，CG平分

ZECF.

(1)若点尸，F,G都在点E的右侧.

①求/PCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=30。，求NCPQ的度数.(不能使用"三角形的内角和是180。”直接解

题)

(2)在点尸的运动过程中，是否存在这样的偕形，使NEGC:NEFC=3:2?若存在,直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

解析：(1)①35°；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5°

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGCG20。，再根据PQIICE,

即可得出NCPQ=NECP=60°；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)①CD,

ZCEB+N£CQ=180°,

ZCEB=110°,

：.ZECQ=70°,

ZPCF=NPCQ,CG平分NECF,

：.ZPCG=ZPCF+NFCG=gNQCF+gNFCE=ZECQ=35°；

②；ABWCD,

ZQCG=NEGC,

ZQCG+NECG=ZECQ=70°,

：.ZEGC+NECG=70°,

又：ZEGC-ZECG=30°,

ZEGC=50°,ZECG=20°,

/.ZECG=NGCF=20°,ZPCF=NPCQ=1(70°-40°)=15°,

•/PQIICE,

/.ZCPQ=ZECP=NECQ-ZPCQ=70°-15°=55°.

(2)52.5。或7.5。,

设NEGC=3x°,ZEFC=2x0,

ABIICD,

/.ZQCG=ZEGC=3x°,ZQCF=NEFC=2x\

则NGCF=4QCG-NQCF=3x°-2xo=x°,

/.ZPCF=NPCQ=gNFCQ=gNEFC=x°,

则NECG=NGCF=NPCF=ZPCD=x°,

,/ZECD=70°,

4x=70°,解得x=17.5。,

/.ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H,

,/ZEGC=3x°fZEFC=2x°,

：.ZGCH=NEGC=3x°,ZFCH=/EFC=2x°,

：.ZECG=NGCF=ZGCH-NFCH=x0,

,/ZCGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

/.ZFCQ=NECF+NECQ=27.5°x2+70°=125°,

ZPCQ=；NFCQ=62.5°,

ZCPQ=NECP=62.5°-55°=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

11.直线ABUCD,点P为平面内一点，连接AP,CP.

(1)如图①，点P在直线48,C。之间，当NBAP=60。，NOCP=20。时，求NAPC的度

数；

(2)如图②，点P在直线AB,CD之间，NBAP与NOCP的角平分线相交于K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由；

29

(3)如图③，点P在直线C。下方，当NBAK=[NBAP,NOCK=：NOCP时，写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.

解析：(1)80。；(2)NAKC=gzAPC,理由见解析；(3)NAKC=APC,理由见解

23

析

【分析】

(1)先过P作PEIIAB,根据平行线的性质即可得到NAPE=NBAP,NCPE=NDCP,再根

据N4PC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+NDCP进行计算即可；

(2)过K作KEIIAB,根据KEIIABIICO,可得NAKE=NBAK,ZCKE=ADCK,进而得到

ZAKC=NAKE+NCKE=NBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,再根据角平分线

的定义，得出NBAK+NDCK=：NBAP+qNDCP=；(ZBAP+ADCP)=qNAPC,进而得

到NAKC=|ZAPC-,

(3)过K作KEIIAB,KEWABWCD,可得NBAK=NAKE,NDCK=NCKE,进而得到

ZAKC=NBAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=/BAP-ZDCP,再根据已知得出/BAK-

2222

ZDCK=-NBAP--ZDCP=-ZAPC,进而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【详解】

(1)如图1,过P作PEIIAB,

■：ABWCD,

：.PEWABWCD,

：.ZAPE=ZBAP,ZCPE=NDCP,

：.ZAPC=NAPE+NCPE=NBAP+Z.DCP=60°+20°=80°；

(2)ZAKC=gZAPC.

理由：如图2,过K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZAKE=NBAK,ZCKE=NDCK,

：.ZAKC=NAKE+NCKE=NBAK+ZDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,

ZBAP与NDCP的角平分线相交于点K,

：.ZBAK+NDCK=；NBAP+^ADCP=J(ZBAP+ZDCP)=；NAPC,

：.ZAKC=；NAPC；

,、2

(3)ZAKC=-ZAPC

3

理由：如图3,过K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZBAK=NAKE,ZDCK=ZCKE,

：.ZAKC=NAKE-ZCKE=NBAK-ZDCK,

过P作PFIIAB,

同理可得，NAPC=ZBAP-NDCP,

22

■:NBAK=-NBAP,ZDCK=—ZDCP,

33

2222

:.NBAK-NDCK=-NBAP——2DCP=-QBAP-ZDCP)=-2APC,

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

12.已知点C在射线0A上.

（1）如图①，CD//OE,若NAOB=90。，NOCD=120。，求NBOE的度数；

（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得OF（如图②），若NAOB=a,探究NOC。

与NB0E的关系（用含a的代数式表示）

（3）在②中，过点。'作OB的垂线，与NOC。的平分线交于点P（如图③），若NCPO,

=90",探究NAOB与NB0E的关系.

解析：(1)150°；(2)NOCO+NBO'E'=360--a；(3)NAOB=NBO'E'

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得NBOE的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOCD、NB。史的数量关

系；

(3)由已知推出CPUOB,得到NAO8+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2NPCO=360°-2ZAOB,根据(2)ZOCD+ZBO'E'=360°-NAOB,进而推出

ZAOB=NBO'E'.

【详解】

解：(1)•••CDIIOE,

：.ZAOE=NOCD=120°,

ZSO£=360°-ZAOE-NAOB=360°-90°-120°=150°；

(2)NOCD+NBOE=360Ja.

证明：如图②，过。点作OFIICD,

图②

CDIIO'E',

：.OF11O'E',

：.Z4OF=180°-ZOCD,ZBOF=NE,O,O=180°-ZBO'E1,

：.Z40B=ZAOF+Z.BOF=180°-ZOCD+180°-ZBO'E'=360°-(ZOCD+ZBOE)=a,

：.ZOCD+ZBO'F=360°-a；

(3)ZAOB=2BO'E'.

证明：NCPO'=90°,

PO'rCP,

-，-PO'±OB,

：.CPUOB,

：.ZPCO+ZAOB=180°,

：.2ZPCO=3600-2ZAOB,

rCP是NOCD的平分线，

/.ZOCD=2ZPCO=3600-2ZAOB,

■：由（2）知，NOCO+NBOE=360Ja=360。-/AOB,

3600-2ZAOB+ABO,F=360°-ZAOB,

：.ZAOB=NBO'E'.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

13.已知AB〃C。，点E在与CO之间.

（1）图1中，试说明：ABED=ZABE+ZCDE；

（2）图2中，的平分线与NCDE的平分线相交于点F,请利用（1）的结论说明：

ZBED=2ZBFD.

（3）图3中，ZABE的平分线与ZCDE的平分线相交于点F，请直接写出/BED马

ZBFD之间的数量关系.

解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）ZB£D=3600-2ZBFD.

【分析】

（1）图1中，过点E作EGIIAB,则NBEG=N4BE,根据ABIICO,EGIIAB,所以

CDIIEG,所以NDEG=ZCDE,进而可得NBED=NABE+NCDE；

（2）图2中，根据NABE的平分线与NCDE的平分线相交于点F,结合（1）的结论即可说

明：NBED=2NBFD；

（3）图3中，根据NABE的平分线与NCDE的平分线相交于点F,过点E作EGIIAB,贝U

NBEG+N4BE=180°,因为ABUCO,EGWAB,所以COIIEG,所以NOEG+NCOE=180°,再

结合（1）的结论即可说明NBED与NBFD之间的数量关系.

【详解】

解：（1）如图1中，过点E作EGIIA8,

则NBEG=NABE,

所以NDEG=ZCDE,

所以NBEG+NDEG=NABE+ZCDE,

即NBED=ZABE+NCDE；

(2)图2中，因为BF平分NABE,

所以NABE=2NABF,

因为OF平分NCDE,

所以NCDE=2NCDF,

所以NABE+NCDE=2NABF+2NCDF=2(ZABF+Z.CDF),

由(1)得：因为ABIICD,

所以NBED=NABE+NCDE,

ZBFD=NABF+NCDF,

所以NBED=2NBFD.

(3)ZBED=360°-2ZBFD.

图3中，过点E作EGWAB,

所以CD"EG,

所以NDEG+ZCDf=180°,

所以NBEG+NDEG=360°-(ZABE+NCDE),

即NBED=360°-(ZABE+NCDE),

因为BF平分NABE,

所以NABE=2NABF,

因为OF平分NCDE,

所以NCDE=2NCDF,

ZBED=360°-2（ZABF+NCDF）,

由（1）得：因为ABIICD,

所以NBFD=ZABF+NCDF,

所以NBED=360°-2ZBFD.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

14.如图，已知直线“4，点AB在直线4上，点C、。在直线4上，点C在点。的右侧,

ZADC=80。,ZABC=（2w）。,8E平分ZABCQE平分直线班、DE交于点、E.

（1）若”=20时，贝！］ZB£D=；

（2）试求出/BED的度数（用含”的代数式表示）；

（3）将线段2C向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出/BED的度

数.（用含〃的代数式表示）

解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或2205

【分析】

（1）过点E作EFIIAB,然后根据两直线平行内错角相等，即可求NBED的度数；

（2）同（1）中方法求解即可；

（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EFWAB,由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可.

【详解】

解：（1）当。=20时，NABC=40°,

过E作EFIIAB,则EFIICD,

ZBEF=NABE,ZDEFNCDE,

-：ABC,DE平分NAOC,

/.ZBEF=NABE=20Q,ZDEF=NCDE=40°,

：.ZBED=ZBEF+NDEF=60°；

DC

(2)同(1)可知：

ZBEF=ZABE=n°,ZDEF=NCDE=40°,

：.ZBED=ZBEF+NDEF=n°+40°；

(3)当点B在点A左侧时，由(2)可知：ZBED=n0+40°；

当点B在点A右侧时，

如图所示,过点E作EFIIAB,

BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=2n°,ZADC=80°,

：.ZABE=^ABC=n°,ZCDG=5N4DC=40°,

ABWCDIIEF,

：.ZBEF=NABE=n0,ZCDG=ZDEF=40°,

ZBED=NBEF-ZDEF=n°-40°；

如图所示，过点E作EFIIAB,

平分NABC,DE平分NADC,ZABC=2na,ZADC=80",

：.ZABE=^AABC=n°,ZCOG=gNZ\DC=40°,

>4811CDIIEF,

：.ZBEF=1800-ZABE=180°-n°,ZCDE=NOEF=40°,

ZBEDSBEF+NDEF=180o-no+40o=220°-n°；

如图所示,过点E作EFIIAB,

rBE平分NABC,OE平分NAOC,ZABC=n°,ZADC=70°,

：.ZABG=^ABC=n°,ZCDE=；NADC=40°,

ABIICDIIEF,

：.ZBEF=NABG=n°,ZCDE=ZDEF=40°,

ZBEDSBEF-NDEF=n°-40°；