备考2024年中考数学突破二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角（解析版）

专题1一6二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角

导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察角

度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造

题型•归纳

目录

知识点梳理.................................................................................

策略一：向外构造等腰（大角减半）......................................................

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）............................................

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）..................................................

策略四：邻二倍角的处理................................................................

【经典例题讲解】......................................................................

【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延”倍”“分”................................

【一题多解2】常规法与倍半角处理对比..................................................

策略五：绝配角模型....................................................................

题因O向外构造等腰三角形（大角减半）....................................................

2023•深圳南山区联考二模................................................................

2023•山西•统考中考真题.................................................................

ms向内构造等腰（小角加倍或大角减半）................................................

题园且沿直角边翻折半角（小角加倍）......................................................

2023•深圳宝安区二模.................................................................

2023•深圳中学联考二模...............................................................

m0邻二倍角的处理....................................................................

题国区绝配角.............................................................................

题四筑坐标系中的二倍角问题..............................................................

宿迁•中考..............................................................................

盐城•中考..............................................................................

河南.中考..............................................................................

2023•内蒙古赤峰•统考中考真题...........................................................

江苏苏州•统考中考真题..................................................................

内蒙古鄂尔多斯・统考中考真题...........................................................

2022•内蒙古呼和浩特•统考中考真题.......................................................

2023•湖北黄冈・统考中考真题.............................................................

题四强其它构造方式......................................................................

知识点,梳理］

知识点梳理

策略一：向外构造等腰（大角减半）

已知条件：如图，在△ABC中，ZABC=2ZACB

辅助线作法：延长CB到。，使BD=BA,连接A。

结论：AD=AC,/\BDA^/\ADC

策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

已知条件：如图，在△ABC中，ZABC=2ZB

辅助线作法：法一：作NABC的平分线交AC于点。，结论：NDBC=NC,DB=DC

法二：在BC上取一点E,使AE=CE,则（作AC中垂线得到点E）

A

总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角

形中时该如何处理

策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）

已知条件：如图，在RtZkABC中，NACB=90°,点。为边上一点，连接A£）,ZB=2,ZCAD

辅助线作法：沿AC翻折△AC。得到XACE

结论：AD=AE,NDAE=NB,BA=BE,/\ADE^ABAE

策略四：邻二倍角的处理

已知条件：如图，在RtZkABC中，NC=90°,点。为边BC上一点，ZBAD=2.ZCAD

辅助线作法：

法一：向外构造等腰（导角得相似）

延长到E,使AE^AB,连接BE

结论：BD=BE,NDBE=NBAD,ABDE^AABE

法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中

延长AD到F,使CE〃AB,则ZF=ZBAD

［经典例题讲解】

例题1如图，在正方形A8CZ）中，AB=1,点E、F分别在边BC和CO上，AE=AF,Z£AF=60°,则CP

的长是（）

A/3+1C.g

A.---------B县D

42-t

【简析】（1）方法一（常规解法）：如图，连接所，易证△AEP为等边三角形,

且AADF且△ABE（HL）,则DF=BE,从而CF=CE,即△CEP为等腰直角三角形；设CF=x,

则DF=l-x,AF=EF=-72x,在RtZkAZ）/中，由勾股定理可得l+（l-x）2=29,

解得x=—l（x=-—1舍去），故选C;

方法二（倍半角模型）：如图，在边上取点P,使AP=PR

同上可得△ADFgZ\A8E(//L),则ND4尸=NBAE=15°,从而NOP尸=30°；设。尸=x,则PO=6x,

AP=PF=2x,故AO=(2+百次=1,解得x=2—J^,:.CF=6一、,选C

例题2如图，正方形ABC。的边长为4,点E是C。的中点，平分/BAE,交BC于点孔将△AOE绕

点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为.

【简析】（1）方法一（常规解法）：由题可得NAFG=ND4尸=ND4E+NE4/=N8AG+NBA尸=NE1G,即

ZAFG=ZMG,故FG=AG=AE=2下,从而CF=CG-FG=6—26；

方法二（倍半角模型）：如图17—2—3,延长A/、£>C交于点尸，易得NP=NBAF=NEAF,则尸E=AE

=2#,故CP=2、氐-2,DP=2亚+2：又易证/\PCFs/\PDA,故竺=名，即2=2堂-2

7"7°3DADP,4275+2

从而CF=6—亚;

【反思】方法一的关键是通过导角得到等腰△4尸G,方法二由“倍角NAED”造“半角NP”，并且这里的

构造是通过“角平分线+平行线T等腰三角形”自然衍生出来的

例题3如图，面积为24的28CD中，对角线BO平分NABC,过点。作。交BC的延长线于点E,

。£=6,贝Usin/DCE的值为（）

【简析】方法一（常规解法）：如图，作DG_LBE于点G,由题易得NC3£）=NABO=NCZ）B,则2C=CD;

进一步由£>E_L2£）,可得NCDE=NE,则CD=C£=BC,从而SoABCD=2S^BCD=S^BDE,FpS^BDE

,“2424

=24,故80=8,BE=10,所以。G=g,CD=5,sinZDCE=—,选1tA

方法二（倍半角模型）：如图，在2。上取点尸，使EF=BF,易证NDFE=2NEBF,/DCE=2/EBF,故

NDFE=/DCE,要求sin/DCE的值，只需求sin/OFE；设EF=BF=x,同上可得2£>=8,则。/=8一%,

24DF24

在Rt/\DEF中，由勾股定理可得36+（8—x）2=V解得x=,从面sinZDFE=----=——，即sin

5EF5

24

Z£）CE=~,选A.

5

【反思】方法一通过作高是线构造RtZkCOG,结合面积法求解，方法二由“半角/C8。”造“倍角/OFE”,

结合勾股定理列方程求.

例题4如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,CD//AB,/ABC的平分线BD交AC于点

E,则DE=.

简析（1）方法一（常规解法）：由题得NCBD=NABO=N。，则CO=BC=6；又易得LCDEs^ABE,则——

AE

DECD3,3,39J5

=---=——=—,ikCE=—AC—3,从而BE=3仁，DE=—BE=----;

BEAB58"55

方法二（倍半南模型）：如图，延长C2至点尸，使BF=AB=1Q,连接由题可得AC=8,CF=16,则tan

ZF=-;又易得NCBE=NF,故tanNCBE=」，即竺=」，从而CE=3,BE=3反；再作CG_L8£>

22BC2"

于点G,易得BG=9BC=坦叵；同上可得CB=C，故8。=286=经心，因此。后=8。-8£=述；

-555

总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法.

【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻”“延”倍”“分”

如图，在△ABC中，ZABC^2ZACB,AB=3,BC=5,求线段AC的长.

法1：延长或翻折向外构造等腰（双等腰）

A

易知4£=20=>47=2几

法2：翻折或取点向内构造等腰（双等腰）

法3：作角平分线

A

y

H

3

a/

4a

B5C

3

易知△ABHs/^ACB①

x+y35

法4:翻折一边+平行线向外作等腰（补成等腰梯形）

法5:向外延长作等腰

易知△ABCS/\ADC

A

H

【一题多解2】常规法与倍半角处理对比

如图，为。。的直径，BC、8是。。的切线，切点分别为点8、。，点E为线段02上的一个动点，连

CE

接。。、CE、DE,已知AB=26，BC=2,当CE+OE的值最小时，则——的值为（）

简析（1）方法一（常规解法）：如图，作点C关于AB的对称点C,连接CD,交AB于点E,连接CE,此时

CE+DE取得最小值，且——=——；再作DG±AB于点G连接。C、80,易证△OBCZAODC,则NBOC

DEDE

2ZBOC=—,从而BO=48sinNA=述；又

=NDOC=NA,故sinZA=sinZBOC=—,cosZA=cos

333

叵义好=卫；由ACBES/\DGE,可得空

易证N3OG=ZA,故DG=BDcosNBDG=BDcosNA=—

339DE

CB9…CE止

=----=一,因此——=10,选A;

DG10DE

JD

方法二（倍半角模型）：如图17-4-3,同上作相关辅助线，易得NOOG=2N3OC；在03上取点尸，使。尸

=CF,则N5=2N3OC=NOOG;设。/=。/=元，则3/=J5-x,在RtABCF中，由勾股定理得4

22

+（^5-x）=x,解得x=9石,故smZDOG=sinZBFC=46，从而DG=ODsinZDOG=2Q，下略；

"W"~9~~9

D

方法三（面积法）：如图17-4-4,同上作相关辅助线（为说理方便,省去部分线段），则NOOG=2N5OC=

ZCOC；再作CH，。。于点H',易得CH=CCOB=4下,故sinZDOG=sinZCOC=4行,下略.

0C亍~9~

D

C

¥B

、-----C

反思：本题结构相当于已知“半角求“倍角NZJOG”，方法一通过作高法，构造直角三角形求解；方

法二构造“倍半角模型”，结合勾股定理列方程求解；方法三依然基于导角分析，借助对称性,结合面积法求

解.以上提供的三种方法都是“倍半角''处理的常见方法.

如图，AB为00的直径,。患弧的中点，BC与AD、0。分别交于点£F.

(1)求证：DO//AC；

⑵求证：DE-DA=DC2

⑶若tanZ.CAD――,求sin^CDA的值。

2

简析(1)如图，连接。C,易证D0_L2C且AC_L8C,故DOHAC;

(2)由题可得NBC£>=NCA£),故△DCEsafHC,进一步可证DE-D4=DC2；

CE]DE]

(3)方法一(母子型相似)：由tan/CW二一，可得〜一二一；又XDCEs故‘一二一二一=-；设DE

2AC2DCDAAC2

PEDEFE1

=k,则。。=2%,DA=4kfAE=3k;又易证——=—,故——=-;由此再设厂E=m，则CE=3m，CF=

CEAECE3

33

4m,从而BC=8m,AC=&mf因此A3=10根，sinZB=—,FpsinZCDA=—；

方法二(角平分线之双垂法)：如，作EG_LA5于点G,易证△AECgZkAEG;由tanNCAO='，

2

BCBAAC

可设CE=1,AC=2,则EG=1,AG=2;又易得ABEGs/\BAC,——二——=——=2,;再设5G=x,则

BGBEEG

4

BC=2x,BA=BG+AG=x+2,BE=BC-CE=2x~\,从而有x+2=2（2x-l）,解得元二7所以AB=

10.AC3口一/心,3

——,sinZB==—,即sinZ.CDA=-；

3AB55

方法三（角平分线之对称策略）：如图，连接3。并延长，交AC的延长线于点尸，由题可设3£>=尸£）=1,

则AD=2,AB=AP=小；又sinZPBC=sinZB4D=y-,故PC=P8・sinNP3C=詈从而AC=

ay33

AP-CP=壬因Mssin/B=——=—，即sinZCDA=-

5AB55

方法四（倍半角模型）：如图17—14一4,在AC上取点使则NCM£=2NCAD=N8AC；

22

由题可设CE=l,AC=2f再设则CM=2-xf在中，由勾股定理可得1+(2-x)=x,

53CM3333

解得元二一，从而CM二一，itcosACME-----=—,即cosNB4C=—,所以sin/B=—,sinNCD4=—.

44ME5555

反思：本题的结构为已知“半角NCAD“求“倍角N84C”，从而转化为其余角NC7M。以上提供的前三种方

法都是借助相似或三角函数等进行计算，属常规思路，方法四基于导角分析，构造“倍半角模型”，显得尤

为简单、直接，直指问题本质。

策略五：绝配角模型

【释义】当加，n两个角满足加+2〃=180°时，称其为一对绝配角，或者：半角的余角与它本身称为绝配

角

【举例】常见的剧配角组合如下：

绝配角组合1组合2组合3组合4组合5

m2a90+2。90—2a60+2a60—2a

n90—a45—a45+a60—a60—a

【解决】

思路（一）：根据三角形内角和是180。，构造等腰三角形。

思路（二）：根据平角是180。，机和2个w构成一个平角（有两条边在同一直线上）

用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰

其中“等腰”指的是以加为顶角、以w为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助

线思路

（一）共顶共边①翻折

当两个角满足两个角满足机+2〃=180。时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢？

C

发现。。为/AOB邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把OB沿OD翻折.

AE

例题1：已知Rt^ABC中NC=90°,DE=3DC,2ZE=ZCAD,求——的值.

AD

A

绝配角

方法一：分析：/EAC与NDAC是共点A的绝配角，

绝配角重叠，要翻折两次.

解：将aAEC关于AE作轴对称图形，将aADC关于AC作轴对称图形，如图，4EFG为直角三角形

设DC=x,。石=3匕则防=4%,CG=x^EG=5x^>FG=3x

_GAC~^GEF^AC=-x,AD=-x,AE=生回了

333

口“丁FLAE4A/10

即可求出——=——

AD5

方法二：分析：由于NCAD=2t,构造一个以NA为顶点的等腰△ADK,然后出现△ECA~ZsDCK

解：构造以NA为顶点的等腰△ADK(AD=AK).

导角易得NCDK=ZAEC,AECA-ADCK

ACEC

-----=------=4,设CK=x,AC=4x,AD=5x,DC=3x,ED=9x

CKDC

AD5

(二)共三角形③等腰

(1)若根,〃=90°-'为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形.

2

⑵若加,〃=90°+生分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为90°-此时三角形为等腰三角

22

形

(3)若加,九=90°-1分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以加为顶角作等腰三角形，此时会构成

另一个相似的等腰三角形.

(4)若私〃=90°+'为同一个三角形的内角，与(3)的情况相同.

2

总结：“半角的余角，等腰形来找”

例题2:如图在矩形ABC。中，点E,P分别为A。，C。的中点，连接BE,BF,^LZABE=2ZFBC,若

BE=5,则BP的长度为.

解法一：将△8EC沿CB翻折，交DC的延长线于点G,延长CD交BE的延长线于点H,ZG=ZBFC=90~a,

ZH^2a,△B8G为等腰，5元=10,x=2,AE=3,BC=&,BF=3也.

解法二：

连接并延长交8A的延长导角，得出△PHC为等腰三角形，平行不改变形状，4G①/为等腰三角形。根据

腰等得出10—x=4无，可求8尸=3指

解法三：取中点G,连接CG,延长BE交C£）的延长线于点”，得到导南得出△BGK

为等腰平行不改变形状，也为等腰。根据腰等得出10—x=4无，可求

G

以上三种解法都是利用造全等，转移角，构等腰，得出边的等量关系来求解。

此题还可以构直接造等腰。用相似得出边的数量关系求解。请看解法四

AKG45

解法四：可以直接利用NABE=2a,构等腰AGBE,ABCF-AEAG©—=—.根据腰等得出一x=5,

BCCF2

可求BF

|重点题型•归类精练,

题园。向外构造等腰三角形（大角减半）

1.如图，在△ABC中，ZABC=2ZCfBC=a,AC=b,AB=c,探究4,b,c满足的关系.

解：延长C3到，使BD=AB=c,连接AD.

DBC

则N5AO=NO,AZABC=2ZD.

VZABC=2ZC,AZZ)=ZC,

：.AD=AC=bfABADsLACD,

AZ)CDb-+c

•*•BD=AD,「・c=b,

.\b2=c(a+c).

2.如图，在△ABC中，ZABC=2,ZC,AB=3,AC=2季,求8C的长.

解：延长C8到D,使DB=AB=3,连接AD.

则NQ=ND4B,NABC=2ND.

VZABC=2ZC,AZC=ZD=ZDAB,

.•.AO=AC=2/，/\BDA^/\ADC,

ADCD2^6CD

••BDAD,3=>

:.CD=8,，BC=5.

2023•深圳南山区联考二模

3.一副三角板按如图1放置，图2为简图，。为A8中点，E、尸分别是一个三角板与另一个三角板直角边

AC.BC的交点，已知AE=2,CE=5,连接。E,M为BC上一点，且满足/CME=2NAOE,EM=—.

BB

图1图2

29

【答案】q

4

【分析】由CE=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN_LAD于N,求出EN

和DN的长度，由于/CME=2NADE,延长MB至P,是MP=ME,可以证明ADNE_PCE,MP=x，在&MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【详解】解：如图，过E作EN_LAD于N,

ZEND=ZENA=90°,

:.ZNEA=ZA=45°,

；.NE=NA,

AE=附2=五NA,

Apf-

：.NE=NA='=叵

垃

同理，AD=^=—,

V22

:.DN=AD-NA=—!—,

2

延长MB至P,使MP=ME,连接PE,

工可设/MPE=/MEP=x,

:./EMC=/MPE+/MEP=2x,

/EMC=2ZADE,

ZADE=ZMPE=x,

又ZDNE=ZPCE=90°,

:.,DNEPCE,

.CENEV2_2

一而一而—77?一M

2

25

设MP=ME=x,贝i]CM=-----x,

2

在RtMCE中，ME2=CM2+CE2,

25xY+25=x2,.-.x=y

2023•山西•统考中考真题

4.如图，在四边形ABCD中，ZfiCD=90°,对角线AC,6£＞相交于点0.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2.ZCBD,则AD的长为.

【思路点拨】过点A作AH,3c于点H,延长AD,BC交于点E,根据等腰三角形性质得出

BH=HC=；BC=3,根据勾股定理求出A//=<AC。-CH。=4，t正明NCBD=NCED,得出DB=DE,根

据等腰三角形性质得出CE=5C=6,证明CD〃AH,得出生=g，求出CD=§,根据勾股定理求出

AHHE3

DE=JCE2+CD?0+&¥=-,根据CD〃AH,得出匹=里,即当76,求出结果即可.

V⑴3ADCH

【详解】解：过点A作A〃_L3C于点，，延长AO,BC交于点E,如图所示:

A

BHCE

则NAHC=NAHB=90。，

・.・AB=AC=5,BC=6f

.・.BH=HC=-BC=3

2f

-AH=YIAC2-CH2=4.

■:ZADB=ACBD+Z.CED,ZADB=2/CBD,

：./CBD=/CED,

:.DB=DE,

9：ZBCD=9Q0,

：.DC1BE,

CE=BC=6,

EH=CE+CH=9,

•：DC上BE,AH.LBC,

：.CD//AH,

：.ECD〜EHA,

.CDCE

••南一丽‘

Q

解得：CD=-f

：.DE=VC£2+CD2=

•：CD//AH,

.DE_CE

••茄一丽’

2历

即二

AD~3

解得：AD=^-

3

5.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,A。平分/BAC,A。交BC于点。，EDLAD

交AB于点E,△&£)£的外接圆。。交AC于点儿连接EF.

(1)求证：是OO的切线；

(2)求。。的半径，及N3的正切值.

简析(1)如图，连接。。由题易得N2=N1=NOD4,则。O〃AC,故NOZ)B=NC=90°,即。。_L3C,

所以BC是。。的切线；

(2)方法一(常规解法)：由OO〃AC,可得ABODs^BAC,则型=竺，即人=比上，解得「=”；

ACAB610

CD=-BC=3

方法二(倍半角模型)：如图17—8—3,延长CA至点P,使AP=A8=10,易证N3=N2=N1=NP,故

8c1]

tanN3=tanNP=——=—;又由tanN2=—,可得CZ)=3,故BD=5,从而易得厂=

PC22

6.如图，AB为。。的直径，点P在A2的延长线上，点C在。。上，且尸

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)已知PC=20,PB=10,点。是弧AB的中点，DELAC,垂足为E,OE交AB于点F,求EF的长.

c

D

PCPB

简析（1）如图，连接oc,由尸C2=P8.R1,可得——=——,又NP=NP,故APCBs4PAC,从而NPC3=

PAPC

NA=NACO,进一步可证NOCP=NAC3=90°,即OC_LC尸，所以尸C是。。的切线；

（2）方法一（常规解法）：连接0。，易证OOJ_A5；由尸。2=尸89，可得B4=40,AB=30;又由△尸CBs4

iCBPB1„111515注

PAC,可付---=——=—,故tanZ£)=tanZA=—,从而0F=—0D=——，AF=OA-OF=——,进一

ACPC22222

步可得EF=AF-sinZA=地；

2

方法二（倍半角模型）：同上可得AB=30,则OC=15,OP=25,即OC：CP：OP=3：4：5；如图17-9-

3,延长CO至点Q,ftOQ—OP,易得tanNO=tanNA=tanNQ=g,

下略.

反思：这是一个确定性问题，其结构相当于已知“倍角NP0C'求“半角NA”，方法一利用“母子型相思似”求

解，方法二构造“倍半角模型”求解，相对而言，前者更简单，后者更通用

题因之向内构造等腰（小角加倍或大角减半）

An1

如图，在中，点。为边上一点，ZACD^2ZB,砺=三，求的值.

7.ZACB=90°,A2DUJcos3

A

BC

解：过点。作于点E.

VZACB=90°,AZACE=90°-ZBCE=ZB.

VZACD=2ZB,：.ZACD=2ZACE,

：.ZACE=/DCE,：.NA=ZCDE,

：.AC=DC,：.AE=DE.

设AE=DE=a,则AD=2mBD=6a,BE=7a.

VZACE=ZB,ZAEC=ZCEB=90°f

A人AECE

：厂口=DG

ACEAs/\BEC,•CEBE

.,.玛=等，：.CE=y[7a,：.BC=y)BE2+CE2=2y[lla,

.rBE7ayn

••cos"k可工=4'

8.如图，在Rt^ABC中，N8AC=90。，点。为边5C上一点，ZBAD=2ZCfBD=2,CD=3f求A。的

长.

解：过点A作AELBC于点E.

VZBAC=90°,AZBAE=90°-ZCAE=ZC.

ZBAD=2ZC,：.NBAD=2/BAE,

・•・NBAE=ZDAE,：.NB=ZADE,

1

：.AB=AD,：.BE=DE=~BD=1,：.CE=4.

VZBAE=ZC,ZAEB=ZCEA=90°f

AECE

1，方法

AABE^ACAE,DtL=AE

...华=.'.AE=2,.,.AD=y)DE2+AE2=/.

9.如图，BM是以AB为直径的。。的切线，B为切点，BC平分/A2M,弦C£＞交A3于点E,DE=OE.

(1)求证：△ACB是等腰直角三角形；

(2)求证：OA2=O£DC；

⑶求tan/ACZ)的值.

简析(1)由题易得NA2C=45。，从而易证AACB是等腰直角三角形;

(2)如图，连接OC、0D,易［正NDOE=ND=NOCD,故△DOES/YDCO,从而易得。I)?=DEDC,即OA2

=OE-DC;

(3)方法一(倍半角模型)：如图，连接A。、BD,设NACO=x,则NA3O=x,ZAOD=2x,从而NCEO=4x,

ZCAE=3x=45°,所以x=15°;在8。上取点匕彳吏AF=BF,则NA尸。=30°;由此可设AZ)=Z,则

DF=Rk,AF=BF=2k,从而50=(2+百)%,故tanN45O=-----=2一6，即tanNAC£)=2一6；

BD

方法二(解三角形)：同上可得NACO=15。，则NBCE=75°,NBEC=60°;如图17—10—4,作EG上BC

于点G,可设OE=1,贝|OB=OC=逝，BC=#,BE=6+\,从而BG=EG=^=&^Z,CG

住5CG

=BC—BG=----------,故tanZACD=tanZCEG=——=2—也

2EG7

图17-10-4

反思：（2）主要通过换边，结合相似证乘积式；（3）通过导角得到15°,方法一借助“倍半角模型”，由特殊角

30。求“特殊半角”15。，方法二的本质是解ABCE,显然前者更为简便

10.如图，在四边形ABC。中，ZABD=2ZBDC,AB=AC=BD=4,CD=1,求BC的长.

解：过点8作于点E,过点C作CfUBE于点凡

'：AB=BD,C.AE^DE,ZABE=2ZDBE,

：.NABD=2/DBE.

"?/ABD=2/BDC,：.ZBDC=ZDBE,

J.CD//BE,：.CD±AD,

四边形C£>E歹是矩形，AD=7AC?-CD2=#,

：.EF^CD^1,AE=DE=^~,

：.BE=^BD-DE2=-1,:.BF=BE-EF二三,

：.BC^y)BF2+CF2=A/10.

11.如图，在△ABC中，NC=2NB,点。是BC的中点，AE是8c边上的高，若AE=4,CE=2,求DE

的长.

A

解：取A3的中点连接MD,ME.

丁点。是5C中点，JATO是△ABC的中位线,

1

：.MD//AC,MD=yAC,AZBDM=ZC.

*：ZC=2ZB,：.ZBDM=2ZB.

TAE1是3c边上的高，AZAEB=90°,

1

：.ME=—AB=MBf:・/B=/MED,

：.ZBDM=2ZMED,：.ZDME=NMED,

:・DE=DM=--AC=~^\IAE2+CE2=y[5.

12.如图，在△ABC中，ZABC=2ZC,AO_L5C于点O,AE1为5C边上的中线，50=3,DE=2,求AE

的长.

BDEC

解：延长C5到R使连接AF.

FBDEC

则NF=NBARZABC=2ZF.

TAE是中线，：・BE=EC,；,BD+DE=EC.

VZABC=2ZC,：.ZF=ZC,：.AF=AC.

VAZ)±BC,：.DF=DC,:,BF+BD=DE+EC,

：.AB-^BD=DE-^BD+DEf：.AB=2DE=^9

：.AD2^AB2-BD2^7,；.AE=y]DE2+AD?=4.

13.如图，在△ABC中，AB=AC=5,点。为BC边上一点，8O=2DC,点E在的延长线上，ZABC

=2ZDEC,AD-DE=18,求sin/BAC的值.

解：延长到尸，使BE=AB,连接AF,过点A作AGLBC于点G,过点B作瓦/LAC于点H.

则/F=ZBAF,：.NABC=2ZF.

VZABC=2ZDEC,：.ZF=ZDEC.

../.nir—/Lnz7.4°CD

•NA。/一/CDE,・・DF—DE9

：.CD-DF=AD-DE=18.

设CO=m则5。=2〃，=2〃+5,

9

.,.〃(2q+5)=18,解得〃=一万(舍去)或4=2,

：.BC=3a=6,：.BG=CG=3,：.AG=y)52-32=4,

424BH24

/.BH=~BC=sinZBAC=TD=77-

55~A~b25

14.如图，在D48CO中，ZD=2ZACB,AE平分NBAC交3C于点E,若BE=2,CE=3,求AE的长.

解：延长CB到R使8尸=AB,连接AR过点A作于点H,

过点E作EM_LAB于点M,EN_LAC于点N.

FBHEC

则/F=ZBAF,：.NABC=2NF.

丁四边形ABC£）是平行四边形，AZABC=ZD.

VZD=2ZACB,：.ZABC=2ZACB,

AFCF

：.ZF=AABF^ACAF,=

ZACB9:.AF=AC9Drf\r

TAE平分N3AC,:.EM=EN,

1

0-AB-EM