2025年江西省萍乡市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年江西省萍乡市高考数学模拟试卷

（本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将

条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改

动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答

案无效.

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（5分）己知函数/（x）定义域为1,M为常数，则“Vxe/,/（无）是“M为于3在/上最大值”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（5分）下列四个命题：

①｛0｝是空集；

②若则-aCN；

③集合｛xCRk2-2x+l=0｝中有2个元素；

④集合｛xCQ&N｝是无限集.

X

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

3.（5分）当尤＞1时，不等式x+12a恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.aW2B.C.D.

4.（5分）化简式子：以•货+废・废+或+废G的结果为（）

A.仁B.■C.D.此0

5.（5分）设实系数一元二次方程〃2，+〃1%+〃0=0（Q2W0）在复数集C内的根为XI、X2,则由42（X-XI）

2

（X-X2）=a2X-a2（X1+X2）X+6Z2X1X2=O,可得％1+%2=—强，XrX2=—.类比上述方法：设实系数一

a2a2

元三次方程/+2%2+3%+4=0在复数集C内的根为XI,X2,X3,则/+—+/的值为（

A.-2B.0C.2D.4

6.（5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=CCi=2,BC=1,则异面直线A8i与BCi

所成角的余弦值为（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2543

7.（5分）已知函数/（x）与g（x）=/加+1存在公切线，则实数〃的最小值（）

2111

A.-B.-C.—D.—

ee2e3e

8.（5分）如图，已知椭圆。和双曲线C2具有相同的焦点尸1（-c,0）,F2（00）,A、B、C、。是它

们的公共点，且都在圆/+/=C2上，直线AB与1轴交于点P,直线。尸与双曲线C2交于点Q,记直

,则红乂2的值为（）

A.2B.-C.一D.4

33

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9.（6分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且已知a=2,贝l|（）

A.若A=45°,且AABC有两解，则6的取值范围是（2,2位）

B.若4=45°,且b=4,则△ABC恰有一解

C.若c=3,且△ABC为钝角三角形，则6的取值范围是（VH,5）

D.若c=3,且△ABC为锐角三角形，则人的取值范围是（遍，V13）

（多选）10.（6分）已知/（%）=讥（2%+今），则（）

A.f（n+x）=f（x）B./（等—%）=/（%）

TfTT

C.xE（0,/）,f（无）>1D.%e（0,》，f（尤）<0

（多选）11.（6分）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3%,

分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到

每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另

一部分是利息，即贷款本金与己还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息

和，利息以复利计算.下列说法正确的是（）

A.等额本金方案，所有的利息和为2340元

B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C.等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列

D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）方程log2（#-3）=尤+1的解集为.

13.（5分）已知圆C：?+j2=l,直线/：x+y+2=0,尸为直线/上的动点，过点尸作圆C的两条切线，切

点分别为A,B,则直线A8过定点.

14.（5分）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5〜1894.12）在研究统计规律时发现的，

其内容是：对于任一随机变量X,若其数学期望E（X）和方差。（X）均存在，则对任意正实数c,有

P（|X-£（X）|<e）一号.根据该不等式可以对事件|x-E（X）|<E的概率作出估计，在数字

通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号〃次，每次发射信号“0”和“1”是

等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区

间（0.4,0.6）内，估计信号发射次数〃的值至少为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知三棱锥A-BCD,△AB。和△BCD是边长为2的等边三角形，平面A3。_L平面BCD

(I)求证：ACLBD-,

(II)设G为89中点，”为△ACQ内的动点(含边界)，且GH〃平面ABC,求直线G”与平面AC。

所成角的正弦值的取值范围.

16.(15分)已知数列｛z｝满足41=1,an>0,S”是数列｛劭｝的前〃项和,对任意"CN*,有2s〃=2成

-1.

(1)求数列｛加｝的通项公式；

(2)设加=(-1)nlan,求｛加｝的前100项的和.

17.(15分)已知某地居民某种疾病的发病率为0.02,现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾

病携带者.

(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01,未患病但检测显示患病的

概率为0.05.

①求检测结果显示患有该疾病的概率；

②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.(保留四位有效数字)

(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按4人一组分组，然后将人个人的血样混

合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这女人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别

化验一次(每一小组都要按要求独立完成)，左取何值时，总化验次数最少？

说明：函数/(x)=1-0.98x(x>0)先减后增.

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

18.（17分）已知函数/（无）=2"+提一（。-2）尤-4（aCR）.

（1）求函数/（尤）的单调区间；

（2）若℃（-8,2e）,求函数/（无）在区间xe（-8,2］上的零点个数.

19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式匕=0久”乎①（其中a,b,c,d为常数），将点P（x,

y）变换为点P'（x',y'）的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公

式①可由a,b,c,d组成的正方形数表（:唯一确定，我们将（:称为二阶矩阵，矩阵通常用大

写英文字母A,3,…表示.

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P（x,y）绕原点O按逆时针旋转a角得到点P'（/,

/）（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A；

7T

（2）在平面直角坐标系xOy中，求双曲线孙=1绕原点。按逆时针旋转一（到原点距离不变）得到的

4

双曲线方程C；

（3）已知由（2）得到的双曲线C,上顶点为。，直线/与双曲线C的两支分别交于A,8两点（B在

第一象限），与无轴交于点T（孚，0）.设直线D4,的倾斜角分别为a,p,求证：a邛为定值.

2025年江西省萍乡市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（5分）已知函数/（无）定义域为/,M为常数，贝“八日，/（尤）WM”是“M为于3在/上最大值”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解：：由“V无6/,f（x）WM”不能得到为/（x）在/上最大值”，

反过来，由“M为于3在/上最大值”能得到“也日，于（x）WM”,

...”vxe/,f（x）是“M为于⑺在/上最大值”的必要不充分条件.

故选：B.

2.（5分）下列四个命题：

①｛0｝是空集；

②若a€N,则-aCN；

③集合｛xCR*-2x+l=0｝中有2个元素；

④集合｛xeQI&N｝是无限集.

X

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

解：①｛0｝中有元素0,不是空集，故①不正确；

②若aCN,则-40N,不正确，例如a=0,0GN,而-06N；

③集合A=｛xeR|7-2尤+1=0｝=｛1｝有1个元素，故③不正确；

④当尤为正整数的倒数时，-GN,故集合｛尤CQUCN｝是无限集，故④正确.

XX

故选：A.

3.（5分）当比＞1时，不等式x2a恒成立，则实数a的取值范围是（）

x—1

A.aW2B.C.D.

1_1

解：不等式式+~。怛成立（一min9

%>1,x—1xZ—1x+—

*«*xd—士j"=（x-1）H—+122/（X—1）,+1=3（当且仅当x=2时取等号），

JL~~-L人.L^J.

1

・••当%>时,（不一不）min—

1x+x—13,

故选：D.

4.（5分）化简式子：酸•第+废・废+C，废+废G的结果为（）

A.仁B.■C.D.盘0

解:或•第+程•废+或•废+废6=第+3第+3c及+C：=4的++3得+G=210=

故选：C.

5.（5分）设实系数一元二次方程〃2%2+〃11+〃0=0（Q2W0）在复数集C内的根为XI、XI,则由42（X-XI）

（X-X2）=〃2胫-42（X1+X2）x+a2nx2=0,可得Xl+%2=—幺，XrX2=—.类比上述方法：设实系数一

a2a2

元三次方程1+2%2+3%+4=0在复数集C内的根为XI,X2,X3,则X/+X22+X32的值为（）

A.-2B.0C.2D.4

解：,•+2x^+3x+4

=（X-Xl）（X-X2）（X-X3）

=X3—（11+%2+%3）%2+（X1X2+X1X3+X2X3）X-X1X2X3

3

=a3X—a3（%i+%2+%3）%2+〃3（X1X2+X1X3+X2X3）-〃3%1尔3,

由对应系数相等知：

X1+X2+X3=-2,xixi+xm+xm—3,

.\X12+X22+X32=（X1+X2+X3）2-2（X1X2+X1X3+X2X3）=4-6=-2.

故选：A.

6.（5分）已知直三棱柱ABC-A181G中，ZABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,则异面直线ABi与BQ

所成角的余弦值为（）

V3V15V10V3

A.—B.-----C.-----D.—

2543

解：如图所示，将直三棱柱A3C-481G补成直四棱柱ABCD-AiBiCDi,

连接A01,BiDi,则AZ）i〃BCi,

所以N31AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，

因为NA8C=120°,AB=CC\=2,BC=1,

所以421=2近，ADI^V5,

在△B1D1C1中，ZBiCi£)i=60°,81cl=1,01cl=2,

所以8101=JB1CJ+Def-2B1Q.DiC]Cos60。=Jl+4-2xlx2x|=V3,

_5+8-310

2AD^,B2A

7.(5分)已知函数/(x)与g(x)=/依+1存在公切线，则实数〃的最小值()

2111

A.-B.-C.—D.——

ee2e3e

解：设/(x)=〃/和g(x)=玩狂1的切点分别为(m,aem\(九，加i+l),

x

由f(x)=。/的导数为/(x)=aefg(x)=加计1的导数为(x)=

1

则/(x)和g(x)切线方程分别为y—aem=aem(x—m),y—(Inn+1)=-(%—n),

即)/=ae7n%+(—nt+y=-%+Inn,/(%)与g(x)存在公切线，

Tn_

则方程anep--有解，

(1—7n)aem=Inn

BPlna=(〃-1)Inn-L

i

设h(x)=(x-1)lnx-L¥(x)=Inx--+1/h(%)在(0,1)上递减，在(1,+°°)递增,

h(x)在x=l处取到最小值-1,；・仇。的最小值为-1,

1

即a的最小值为一.

e

故选：B.

8.（5分）如图，已知椭圆G和双曲线。2具有相同的焦点尸1（-c,0）,F2（。，0）,A、B、C、。是它

们的公共点，且都在圆/+/=C2上，直线A5与1轴交于点尸，直线。尸与双曲线C2交于点Q,记直

2A/5

Cl的离心率为丁，则kl-k2的值为（）

4

A.2B.-C.一D.4

33

x2y2

解：由题意设椭圆标准方程为/+京=1，（4Q0），

工2y2

双曲线标准方程”=1,则/-廿=$2+』2,

由一=46Z2=5C2,

a5

VC2=4Z2-b2,b2=w?，

故椭圆方程为/+5y2=〃2,联立W+y2=c2,可得：4y2=a2-c2=b2,

：.y=+h,^=c2-^b2=^-b2,

…V151

贝!JA（---b,一b）,

22

由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、3两点关于x轴对称，

则8（手6,_奶，C（一孚6，—奶，

V15

AP（---b,0）,

2

故松?=离=贵'直线CP>=盘（X一孚%）.

将A点代入马-m=1中得，磐-2=1.①

sztz4sz4tz

s2+t2=a2-b2=4b2,②

②①结合得到$2=3序或5户，

Va2=5b2,显然sV〃，

故52=3Z?2,.*.Z2=4/72-3b1=b2

x2y2

故双曲线的方程为3=1.

3b2b2

联立cp>=熹（”—孚°）与余—1=i'

化为76x2+4V15ta-255廿=0,

解得X0=yo=—表

设Q(xo,yo),

17V15

・・・Q-----b,

38

17_7_10

••kik-AC—^=,k2=kAQ=_,

k\k2=

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9.（6分）在△A3C中，角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且已知a=2,贝|（）

A.若4=45°,且△ABC有两解，则b的取值范围是（2,2夜）

B.若A=45°,且6=4,则AABC恰有一解

C.若c=3,且AABC为钝角三角形，则6的取值范围是（g,5）

D.若c=3,且AABC为锐角三角形，则6的取值范围是（小，V13）

解：A中，三角形有两解的充要条件为：bsinA<a<b,而。=2,4=45°,

即fb<2<b,解得be（2,2V2）,所以A正确；

,、,bah4V2/­

5中，右A=45°,且Z?=4,由正弦定理可得----=-----，即sin5=-sinA=k一=72>1,

sinBsinAaz2

显然不可能成立，即△ABC不存在，所以5不正确；

。中，c=3,且△ABC为钝角三角形，

〃2_|_人2_「2

当c为钝角三角形时，由余弦定理可得cosC=。啜b<°，

4+匕2―9

即-------<0,解得0<6<通，

2x2b

由a+6>c,可得b>c-a=l,即（1,V5）,

当3为钝角时，cosB=a2+2acb<0,即户>/+o2=4+9=13,所以

所以b的范围为（1,V5）U（V13,+8）,所以C不正确;

。中，c=3,且△ABC为锐角三角形，当C为最大角时，由余弦定理可得cosC=%

可得廿>°2-“2=9-4=5,可得6>瓶，且c>b,可得be(V5,3),

当2为最大角时，cosB=吧塞包>0,即庐</+°2=4+9=13,所以3<6<同，

综上所述6的范围为(*，V13),所以O正确.

故选：AD.

(多选)10.(6分)已知/'(%)=讥(2x+今)，贝!J()

A.f(n+x)—f(x)B./(手—久)=f(x)

TTTT

C.xE(0,/),f(x)>1D.xe(0,/),f(x)<0

解：因为/(%)=&sin(2%+今的周期T=ir,故A正确；

/(—)=V2sin—,此时了(无)不能取得最值，即函数图象不关于犬=梨对称，B错误；

16816

,IT,7TTC37rTC

当0(x<4时，—<2x+1<T—,—<sin(2x+—)<1,

所以f(x)>1,C正确；

,TT,TC7T37r、斤rr

当0<x<4时，—<2x+——三<cos(2%+4)<2，

则((无)=2A/2COS(2X+J)G(-2,2),D错误.

故选：AC.

(多选)11.(6分)某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3%,

分12个月还清(每月购买车的那一天分期还款).有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到

每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另

一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息

和，利息以复利计算.下列说法正确的是()

A.等额本金方案，所有的利息和为2340元

B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C.等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列

D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

解：对于A,利息和为(120000+110000+000000+…+10000)义0.003=12x(l00°/+12°00°)义

0.003=2340（元），故A正确;

对于B,倒数第二个月还款后，剩余本金10000(%),一个月利息为30(元)，本息和应为10030(元)，

故2正确；

对于C和等额本息还款的每月还款额是一个固定值，包括本金和利息，

其中：记/是每月还款额，P是贷款总额，i是月利率，〃是还款期数，

则每月还款额公式为：时=学空声-,120000(元)，i=0.3%=0.003,"=12(期)，

(1+0-1

将这些值代入公式计算每月还款额利息和为MX”-尸=2352.84(元)，

记f是当月的还款期数，对每月的本金部分3,本金部分b=加-/「，

利息部分〃可以表示为剩余本金乘以月利率i,

P

剩余本金可以表示为贷款总额P减去已还本金，已还本金可以表示为一x(n-t+l),

n

因此，利息部分/r可以表示为：4=(P-'，X(71—t+1))Xi,

将/〃代入本金部分历的公式中，我们得到：

将/，的表达式代入，我们得到：Bt=M-(P-^x(n-t+l))xi,这不是等比数列的通项公式，C错

误；

两种贷款方案各有优劣.等额本息还款利息和为2352.84(元)，比等额本金高，

但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减，

等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额，

还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故

。错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)方程log2(4X-3)=尤+1的解集为{1Og23}.

解:Vlog2(4X-3)=x+l,

：.2x+i=4x-3,

：.⑵)2-2«2A-3=0,

解得2、=3,或2"=-l(舍)，

・・X=log23.

方程10g2(4X-3)=x+l的解集为{log23}.

故答案为：{log23}.

13.(5分)已知圆C：x2+y2^l,直线/：x+y+2=0,尸为直线/上的动点，过点尸作圆C的两条切线，切

点分别为A,B,则直线Afi过定点(—

解：根据题意，尸为直线/：x+y+2=0上的动点，设尸的坐标为G,-2-力，

过点尸作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则B4LAC,PB1BC,

则点A、B在以PC为直径的圆上，

又由C(0,0),P(f,-2-f),则以尸C为直径的圆的方程为x(尤-f)+y(y+2+f)=0,

变形可得：J^+y1-tx+(f+2)y=0,

则有朽+曰=1,。、八，联立可得：—x+(f+2)y=0,变形可得：l+2y7(x-y)=0,

lxz+y"-优+(t+2)y=0

即直线AB的方程为l+2y-tCx-y)=0,

r__1

变形可得：l+2y-f(x-y)=0,则有［tjLU解可得「―一彳，故直线AB过定点(4-1).

故答案为:(―^>—

14.(5分)切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫(1821.5〜1894.12)在研究统计规律时发现的，

其内容是：对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差。(X)均存在，则对任意正实数c,有

P(|X-E(X)|<e)N1—哗.根据该不等式可以对事件|尤-E(X)|<£的概率作出估计，在数字

通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号”次，每次发射信号“0”和“I”是

等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区

间(0.4,0.6)内，估计信号发射次数〃的值至少为1250.

1

解：由已知X〜B(n,分，所以E(X)=0.5"，D(X)=0.25”，

若0.4<鼻<0.6,则0.4〃<X<0.6w,BP-O.ln<X-0.5n<0An,

即|X-0.5川

由切比雪夫不等式P(|X-0.5n|<O.ln)>1-就节，

要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，

则1一0,2吗20.98,解得“21250,

(O.ln)

所以估计信号发射次数n的最小值为1250.

故答案为：1250.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知三棱锥A-BCD,△A3。和△BCD是边长为2的等边三角形，平面45。_L平面BCD

（I）求证：AC±BD；

（II）设G为8。中点，”为△ACD内的动点（含边界），且GH〃平面ABC,求直线G"与平面AC。

所成角的正弦值的取值范围.

解：（I）证明：取2。中点G,连接AG,CG,

,：AABD和△BCD是边长为2的等边三角形，

：.AG±BD,CGLBD,

：AGCCG=G,.，.台"平面ACG,

；ACu平面ACG,：.AC±BD.

(II)解：分别取CD、的中点E,F,连接GE,EF,DF,

由题意知GF//AB,GE//BC,

,：GEHGF=G,BCC\AB=B,平面ABC〃平面GEF,

GH//平面ABC,：.H一定在平面GEF中,

在平面AC。内，的轨迹是线段EF,

:平面ABO_L平面BCD,又AG_LBD,

；.AG_L平面BCD,：.AG.LGC,

由题意知AC=V6,

由中位线关系得EF=苧，GF=1,GE=1,

在AGEF中，由几何知识得：—<GH<1,

4

设，G到平面ACD的距离为d,

11

由VG-ACD=VA-CDG,得］xS^ACDxd=-xS^CDGxAG

an，SACDGXAG=11X傥埼=理

2

S&ACD|XV3+3Xj4-(^)§，

设直线GH与平面ACD所成角为a,

,V152V6

贝nijsina=前日―^―,—

直线GH与平面AC。所成角的正弦值的取值范围是［卓，等］.

16.(15分)已知数列｛板｝满足m=l,an>0,5是数列｛.｝的前w项和，对任意w€N*,有25=2忌+珈

-1.

(1)求数列｛劭｝的通项公式；

(2)设加=(-1)一一〃,求｛加｝的前100项的和.

解：(1)由2szi=+a九一1,①得2szi+i=2a^+1+a九+1—1,②

(2)-•2a九+1—2s九+i—2s九=2a九+a九+1—2。九？一。九=2(q〃+i—(〃〃+i+〃〃)+(a〃+i-〃〃),

所以2(a〃+i-an)(〃九+1+〃及)-(。九+1+即)=0,即(〃九+1+即)(2即+1-2an-1)—0,

因为〃〃>0,所以2。〃+1--1=0,即。n+1—=2，

1

又m=l,所以数列｛斯｝是以1为首项，a为公差的等差数列，

所以数列｛•｝的通项公式为与=婴；

nx

(2)因为氏=(-1)~an,

所以瓦+力2=%—02=-1，

人3+Z?4=03—04=—5，；

人99+瓦00=。99—a100=-2，

所以｛加｝的前100项的和为加+历+加+・+加9+加00=(。1-。2)+(〃3-〃4)+・+(。99-(2100)=一'X50=-25.

17.(15分)已知某地居民某种疾病的发病率为0.02,现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾

病携带者.

(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01,未患病但检测显示患病的

概率为0.05.

①求检测结果显示患有该疾病的概率；

②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.(保留四位有效数字)

(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按4人一组分组，然后将上个人的血样混

合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这女人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别

化验一次(每一小组都要按要求独立完成)，左取何值时，总化验次数最少？

说明：函数/(x)=i-0.98x(x>0)先减后增.

0.9860.9870.9880.989

0.88580.86810.85080.8337

解：(1)设A表示患病，8表示检测结果显示患病，贝!］：

①P(B)=P(4B)+P(AB)=P(a)P(B|2)+P(Z)P(B回)=0.02x0.99+0.98x0.05=0.0688,

②P⑷8)=需=喘翳=0.2878-

(2)设总居民人数为每小组检验次数为X,X的可能取值为1,什1,

P(X=l)=0.98%,P(X=A+1)=1-0.9/，

则E(X)=k+l-kX0.98k,

总化验次数为丝(k+l-kx0.98fc)=M(1+--0.98fc),

kk

根据附表计算，笈=8时，化验次数最少.

18.(17分)已知函数/(x)=2"+翁一(a-2)尤-4(aGR).

(1)求函数/(无)的单调区间；

(2)若尤(-8,2e),求函数/(x)在区间在(-8,2］上的零点个数.

解：(1)定义域为R,由题意得口(乃=(2一?(二+1),

当aWO时，f'(x)>0恒成立，所以/(%)在R上单调递增；

当”>0时，由/(无)>0,得%>亿全由/(x)<0,得久<7吗，

所以/(x)在(-8,伍》上单调递减，在()会+8)上单调递增；

综上所述，当aWO时，无)的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间,

当。>0时，/(X)的单调递减区间为(一8,呜)，单调递增区间为(呜，+00);

⑵,Q）=（2e，U?e，+l）,

由（1）知当oWO时，f（x）>0在（-8,2）］上恒成立，所以/（x）在（-8,2］上单调递增，

因为/（0）=a-2<0,/（2）=2e2+a（^-2）>0,

由零点存在性定理知，函数/（x）在（-8,2］上有1个零点；

当0<a<2e时，若x6（—8,呜）,则，3<0,若在（1吟2］,则/（x）>0,

所以/（x）在（—8,呜）上单调递减，在。吟2］上单调递增,可得/（:0mm=/（呜）=（a—2）（1—

In务（1—In务，

当a=2时，f（x）min=0,此时/（尤）在（-8,2］上有1个零点，

当0<a<2时，fmin（x）<0,因为当L-8时，f（x）一+8,/⑵=2（e2—a）+*>0,

所以此时/（x）在（-8,2］上有2个零点；

当2ca<2e时，f（x）min>0,此时了（无）在（-8,2］上无零点.

综上，当aWO或a=2时，/（无）在（-8,2］上有1个零点，当0<a<2时/（无）在（-8,2］上有

2个零点，当2<°<2e时，/（x）在（-8,2］上无零点.

19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式匕=口比考?①（其中a,b,c,d为常数），将点P（x,

y）变换为点P'（无'，y'）的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公

式①可由a,b,c,d组成的正方形数表，唯一确定，我们将《称为二阶矩阵，矩阵通常用大

写英文字母A,8,…表示.

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点尸（x,y）绕原点O按逆时针旋转a角得到点P'（/,

/）（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵4