中考数学复习方法技巧-整体思想解析

方法技巧专题三整体思想解析

在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。它是通过研究问题的整体形式、

整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法.简单地说就是从整体去观察、

认识问题、从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维都碍，可以

使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题

速度的有效途径。

整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、

整体改造等等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，

整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整

体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

一、数与式中的整体思想

【例题】（2017广东）已知4a+3b=l,则整式8a+6b-3的值为-1.

【考点】33：代数式求值.

【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解.

【解答】解：•.•4a+3b=1,

8a+6b=2,

8a+6b-3=2-3=-1；

故答案为：-1.

【同步训练】

（2017湖北江汉）已知2a-3b=7,则8+6b-4a=-6.

【考点】33：代数式求值.

【分析】先变形，再整体代入求出即可.

【解答】解：：2a-3b=7,

/.8+6b-4a=8-2（2a-3b）=8-2X7=-6,

故答案为：-6.

二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想

【例题】先阅读，然后解方程组.

解方程组0'轴

(4(x-y)-y=5.6

可由①得x-y=l,③

然后再将③代入②得4Xl-y=5,求得y=-l,

从而进一步求得，二:这种方法被称为“整体代入法”，

请用这样的方法解下列方程组

'2x-3y-2=0,

2x-3y-2=0,X

解：|"产+2y=9,2

由①得2x-3y=2,③

把③代入②得,半+2y=9,

解得y=4,

把y=4代入③得，2x-3X4=2,

解得x=7,

【同步训练】

仔细观察下图，认真阅读对话

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元?

【考点】一元一次不等式组的应用.

【分析】设饼干的标价是X元/袋，（X是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得

'x+y>10

■9，用整体代入的思想求出x的取值，注意为整数且小于10,代入②可求

-^-x+y=10-0.8

110,

牛奶的价格.

【解答】解：设饼干的标价是X元/袋，（X是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意

得

'x+y>10①

-^-x+y=10-0.8②'

由②得y=9.2-0.9x③

③代入①得x+9.2-0.9x>10

.\x>8

•••x是整数且小于10

x=9

把x=9代入③得y=9.2-0.9X9=1.1（元）

答：饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋.

三、函数与图像中的整体思想

【例题】某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数

分别为x、y、z,求的值.

xyz

【考点】平面镶嵌（密铺）.

【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进

而即可求出答案.

【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，

已知正多边形的边数为x、y、z,

那么这三个多边形的内角和可表示为：-2）X180+（厂2）><1叫6-2）*国

xyz

=360,

两边都除以180得：1-2+1-2+1-2=2,

、y±

两边都除以2得：1+1-^=1.

：xvz2

【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）.解决本题的关键是知道这3种多边形的3个

内角之和为360度，据此进行整理分析得解.

【同步训练】

（2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租

用新能源汽车自驾出游.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y元，租用乙公司的车所需

1

费用为y元，分别求出y,y关于x的函数表达式；

212

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.

甲公司：按日收取固定租金80元

另外再按出租车时间计费；

乙公司：无固定租金，直接以租3

时间计娄，每小时赛是3阮

方案一:选择甲公司；

方褰二:选择乙公司.

选择哪个方案合理呢？

【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式.

【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y,y关于x的函

12

数表达式即可；

（2）当y=y时，15x+80=30x,当y>y时，15x+80>30x,当y<y时，15x+80>30x,

121212

分求得X的取值范围即可得出方案.

【解答】解：（1）设丫=1^+80,

11

把点（1,95）代入，可得

95=k+80,

1

解得k=15,

1

.\y=15x+80（x20）；

i

设y=kx,

22

把（1,30）代入，可得

30=k,即k=30,

22

Ay=30x（x20）；

2

（2）当y=y时，15x+80=30x,

12

解得X=竽；

当y>y时，15x+80>30x,

12

解得x<学；

当y<y时，15x+80>30x,

12

解得x>竽；

.•.当租车时间为"小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于①小时，选择乙

33

公司合算；当租车时间大于竽小时，选择甲公司合算.

四、几何与图形中的整体思想：

【例题】小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放，其中NC=NF=90°,Z

A=45°,ZD=30°,则Na+NB等于()

A.180B.210C.360D.270

【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出Na和NB,计算即可.

【解答】解：Za=Zl+ZD,

NB=N4+NF,

/.Na+NB=Z1+ZD+Z4+ZF

=Z2+ZD+Z3+ZF

=Z2+Z3+30°+90°

=210°,

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的

两个内角的和是解题的关键.

【同步训练】如图，^ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边

AC于点E,则4BCE的周长为13.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：是AB的垂直平分线，

.*.EA=EB,

则4BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13,

故答案为：13.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线

段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【达标检测】

1.(2017.江苏宿迁)若a-b=2,则代数式5+2a-2b的值是9.

【考点】33：代数式求值.

【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：：a-b=2,

I.原式=5+2(a-b)=5+4=9,

故答案为：9

2.已知卜”是方程组Jax+by=］的解，则a2_乩=1.

v=-3lbx+av=3

【考点】97：二元一次方程组的解.

【分析】根据」X=2是方程组16+by=2的解，可以求得a+b和a-b的值，从而可以

ly=-3lbx+av=3

解答本题.

【解答】解：•••(尸2是方程组，ax+by=2的解，

Iv=-3lbx+av=3

.(2a-3b=2①

**l2b-3a^3②，

解得，①-②，得

①+②，得

a+b=-5,

a2-b2=(a+b)(a-b)=(-5)X(-A)=1,

b

故答案为：L

3.四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定()

A.都是钝角B.都是锐角

C.是一个锐角、一个钝角D.互补

【考点】多边形内角与外角.

【分析】由四边形的内角和等于360。，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对

角一定互补.

【解答】解：如图：

•.•四边形AB形的内角和等于等于，

BPZA+ZB+ZC+ZD=360°,

VZA=ZC=90°,

AZB+ZD=180°.

...另一组对角一定互补.

故选D.

【点评】此题考查了四边形的内角和定理.此题难度不大，解题的关键是注意掌握四

边形的内角和等于360°.

4.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、

乐于探索，我们还会发现更多的结论.

(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角

形(如图①)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.

已知：在四边形ABCD中，。是对角线BD上任意一点.(如图①)

求证：s*s=s*s；

△OBCAOADAOABAOCD

（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论,

并证明：若不能，说明理由.

①②

【解析】证明：（1）分别过点A、C,做AELDB,交DB的延长线于E,CFLBD于F,

则有：S=BO・AE,

△AOB

S=DO*CF,

△COD

S=