2025高考数学专项复习：立体几何小题压轴练（解析版）

立体几何小题压轴练-2025新高考数学复习分层训练（新高考通

用）

一、单选题

1.（2023・山东济宁・统考一模）已知直三棱柱N8C-N4G，。为线段4片的中点，E为

线段CG的中点，4?过△/GE的内切圆圆心，且4D_LZ）G，CA=y[3,AB=2,则

三棱锥D-ABC的外接球表面积为（）

272727

A.—JiB.—7iC.—兀D.27it

842

2.（2023春・湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）在正四棱台中，

AB=2AtBt,AAX=2>/3,M为棱瓦G的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截

该正四棱台的截面面积是（）.

A.巫B.C.1073D.6亚

42

3.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测）在三棱锥。-/2C中，^ABC是

以NC为底边的等腰直角三角形，△D/C是等边三角形，/C=2后，又8。与平面/DC

所成角的正切值为正，则三棱锥N8C外接球的表面积是（）

2

A.8兀B.12兀C.14KD.16兀

4.（2023秋•湖南湘潭・高三校联考期末）点M,N分别是棱长为2的正方体

ABCD-A^QD,中棱BC,CG的中点，动点P在正方形5CG4（包括边界）内运动.若

尸4〃面则P4的长度范围是（）

5.（2023春•湖南•高三统考阶段练习）正方体Z3CD-44的棱长为1,点P在三棱

锥G-BCD的表面上运动，且吊尸=走，则点P轨迹的长度是（）

3

AV3+2V6R2V3+V6

66

「V3+V6n2V3+V6

63

6.（2023•广东梅州•统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有

几何体“刍蔑”.现有一个刍薨如图所示，底面48co为正方形，E尸〃平面48cD,四边

形ABFE,CDE尸为两个全等的等腰梯形，EF=；AB=2,且/£=遥，则此刍薨的外

接球的表面积为（）

EF

7.（2023・广东•校联考模拟预测）已知四棱锥尸-N8CD的五个顶点都在球面。上，底

面48CD是边长为4的正方形，平面尸平面/BCD,且PA=PD=5则球面。

的表面积为（）

A.39兀B.407rC.41兀D.427t

8.（2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测）在矩形/BCD中，已知48=2/0=4,

E是N3的中点，将V/DE沿直线DE翻折成△耳£»£,连接4。，当二面角4-。E-C

的平面角的大小为60。时，则三棱锥4-CDE外接球的表面积为（）

4

二、多选题

9.（2023•浙江温州・统考二模）蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家

马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂

房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是-；，则（）

A.ABII平面EDD[E]

B.ABVEF

C.峰房底部的三个菱形所在的平面两两垂直

D,该几何体的体积与以六边形4月G2&G为底面，以84为高的正六棱柱的体积相等

10.（2023春・江苏扬州•高三统考开学考试）在四面体/BCD的四个面中，有公共棱/C

的两个面全等，40=1,CD=42>ZCDA=90°,二面角8-/C-Z）大小为。，下列

说法中正确的有（）

A.四面体48CD外接球的表面积为3万

B.四面体/BCD体积的最大值为也

6

C.若4D=4B,AD1AB,则6=120。

D.若4D=BC,6=120°,贝

3

11.（2023春•江苏南京•高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知正四棱台

48co-44GA的上下底面边长分别为4,6,高为正，£是/画的中点，则（）

B.平面8QD，平面44。。

C./£〃平面

D.正四棱台ABCD-A^QD.的外接球的表面积为104K

12.（2023秋•辽宁葫芦岛•高三统考期末）在正方体/G中，M为中点，N为BC中

点，尸为线段CG上一动点（不含C）过N,尸的正方体的截面记为则下列判断

正确的是（）

A.当P为eq中点时，截面a为六边形

CP1

B.当记＜5时，截面a为五边形

C.当截面a为四边形时，它一定是等腰梯形

D.设。，中点为。，三棱锥尸河乂的体积为定值

13.（2023春•江苏苏州•高三统考开学考试）六面体48co-44GA中，底面/BCD、

44GA分别是边长为4和2的正方形，侧面CDDG、侧面8CC4均是直角梯形，且

CG=3,CQ1CD.若该六面体为台体，下列说法正确的是（）

A.六面体ABCD-A{BXCXDX的体积为28

9

B.异面直线。2与3片的夹角的余弦值为A

C.二面角的正弦值为迤

13

D.设P为上底面上一点，且则尸的轨迹为一个圆

14.（2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）已知圆锥顶点为S,高为1,底面圆

。的直径N5长为2形.若C为底面圆周上不同于43的任意一点，则下列说法中正确

的是（）

A.圆锥S。的侧面积为6岛

3

B.AS/C面积的最大值为二

C.圆锥SO的外接球的表面积为9兀

D.若AC=BC,E为线段NC上的动点，贝、SE+BE的最小值为小+4行

15.（2023・湖北•校联考模拟预测）如图，在正四面体/8CD中，棱N5的中点为M,棱

C。的中点为N,过的平面交棱8c于尸，交棱4。于0,记多面体C4MPN0的体积

为匕，多面体的体积为匕，则（）

A

AQBP

A.直线MQ与尸N平行B.

~AD~^C

C.点C与点。到平面"PNQ的距离相等D.匕=匕

16.（2023春・湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知异面直线a与b所成角为60。，

平面a与平面耳的夹角为80。，直线。与平面a所成的角为20°,点P为平面a、"外一

定点，则下列结论正确的是（）

A.过点P且与直线。、。所成角都是60。的直线有4条

B.过点尸且与平面/所成角都是30。的直线有4条

C.过点尸且与平面£、口所成角都是40。的直线有3条

D.过点P与平面a成60°角，且与直线。成60°的直线有3条

17.（2023春・湖南•高三长郡中学校联考阶段练习）某同学参加综合实践活动，设计了

一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和1个圆柱拼接而成，其中

四边形/BCD是边长为4的正方形，点G是弧上的动点，且C,£,SG四点共面.下

列说法正确的有（）

A.若点G为弧C。的中点，则平面BED,平面BCG

B.存在点G,使得8G〃。尸

C.存在点G,使得直线CF与平面3CG所成的角为60。

D.当点G到平面8。尸的距离最大时，三棱锥G-3DF外接球的半径R=2g

18.（2023春・江苏南通・高三海安高级中学校考阶段练习）如图的六面体中，CA=CB

=CD=\,AB=BD=AD=AE=BE=DE=41>则（）

D

E

cy7/

A

A.CD，平面/8CB./C与所成角的大小为gC.CE=^

D.该六面体外接球的表面积为3兀

19.（2023•湖南岳阳•统考二模）在中国共产党第二十次全国代表大会召开期间，某学

校组织了“喜庆二十大，永远跟党走，奋进新征程，书画作品比赛.如图①，本次比赛的

冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为三；如图②，托盘由边长为4的

图①图②

A.直线与平面5环所成的角为冷

6

B.经过三个顶点4优。的球的截面圆的面积为:

C.异面直线/。与CF所成的角的余弦值为:

O

D.球离球托底面的最小距离为G+逅-1

3

20.（2023•广东•高三校联考阶段练习）如图，矩形/BCD中，AB=4,BC=2,E为

边45的中点，沿将VNDE折起，点A折至4处（4W平面N3CD）,若M为线段4c

的中点，平面与平面。E8C所成锐二面角。，直线4E与平面。所成角为"，

则在V/DE折起过程中，下列说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得

B.△4EC面积的最大值为2逝

C.sintz=A/2sin/3

D.三棱锥4-EDC体积最大时，三棱锥4-EDC的外接球的表面积16兀

21.（2023・广东深圳•统考一模）如图，已知正三棱台/2C-44G的上、下底面边长分

别为2和3,侧棱长为1,点P在侧面2CG4内运动（包含边界），且/尸与平面BCC4

所成角的正切值为迷，则（）

A.C尸长度的最小值为6-1

B.存在点尸，使得/PLBC

C.存在点尸，存在点。eBC，使得/P〃4。

D.所有满足条件的动线段/P形成的曲面面积为叵

3

22.（2023•江苏南通•二模）如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥。-P3C的侧棱长均为亚,

BC=2.若将正三棱锥/-网C绕3C旋转，使得点/,尸分别旋转至点H，尸'处，且H,

B,C,。四点共面，点H,。分别位于8c两侧，贝!I（）

D

A.A'D1CP

B.PP'〃平面WBDC

C.多面体尸PHADC的外接球的表面积为6兀

D.点4,P旋转运动的轨迹长相等

23.（2023•广东江门•统考一模）勒洛FranzReuleaux（1829-1905）,德国机械工程专

家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统

的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个

平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒

洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部

分围成的几何体.如图所示，设正四面体Z8CD的棱长为2,则下列说法正确的是（）

A

A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-逅

2

B.勒洛四面体被平面45。截得的截面面积是2（兀-百）

C.勒洛四面体表面上交线NC的长度为三

D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

24.（2023秋•浙江•高三浙江省永康市第一中学校联考期末）正方体N3CD-4片的

棱长为1,中心为。，以。为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总

长度为其况，则球。的半径为（）

3

.V15口亦「小「昭

•---D•---•-----J-/•-----

241263

三、填空题

25.（2023•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测）已知矩形/BCD在平面C的同

一侧，顶点A在平面上，AB=4,BC=2也，且48，5c与平面a所成的角的大小分

别为30。，45°,则矩形48cZ）与平面。所成角的正切值为.

26.（2023春・江苏南通•高三校考开学考试）在直四棱柱中，底面/BCD

是边长为1的正方形，侧棱44=2,M为侧棱54的中点，N在侧面矩形/。乌4内（异

于点2）,则三棱锥N-MCD\体积的最大值为.

27.（2023秋•江苏南京•高三南京市第一中学校考期末）在三棱锥尸-48c中，

AC=BC=PC,且/APC=NB尸C=4CS=30。，则直线尸C与平面/8C所成角的余

弦值为.

28.（2023•山东聊城•统考一模）已知正四棱柱的体积为16,E是棱

的中点，尸是侧棱幺4上的动点，直线C/交平面于点P,则动点P的轨迹长度

的最小值为.

29.（2023春•湖北武汉•高三华中师大一附中校考阶段练习）蹴鞠（如图所示），又名蹴

球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠

的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月

20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.

已知某鞠（球）的表面上有四个点4,3,C,P,且球心。在PC1.,AC^BC=4,ACJ.BC,

tanZPAB-tanAPBA=—,贝U该鞠（球）的表面积为.

30.（2023春・湖南•高三校联考阶段练习）在正四棱锥S-ABC。中，M为SC的中点，

过作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为小匕，则9的

最大值是

立体几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.（2023•山东济宁•统考一模）己知直三棱柱。为线段的中点，E为

线段CG的中点，4?过—GE的内切圆圆心，且4D，0G，C/=百，48=2,贝！I

三棱锥D-ABC的外接球表面积为（）

272727

A.—JiB.—7iC.—兀D.27it

842

【答案】B

【分析】计算C/=G4=VLCG=2,过q，a分别作平面◎瓦平面。的垂线，

两垂线交于点O,点。为三棱取。-/2C的外接球球心，计算q=竽，2=（,再利

用勾股定理得到尺2=3,计算表面积得到答案.

16

【详解】如图，。为线段44的中点，ADVDC,,44,平面//G，£>GU平面44G，

故N4_LOC|,ADr\AAx=A,u平面,故Z）G_L平面

u平面ABB/1,故。G，，

故G4=C[Bi=CA=CB=C,

因为E为线段CG的中点且4石过△/QE的内切圆圆心，

故幺的=N&EA=ZAEC,即NAEC=1.

所以CG=2G£=2EC=2.

取A8的中点/，连接CF、DF,

分别在CF、。尸上取△C/8、ADIB的外接圆圆心。|、O2.

过Q,Q分别作平面平面。45的垂线，两垂线交于点O,

则点O为三棱取D-ABC的外接球球心.

AC2+BC2-AB2V32+V32-22_1

cosZ24c5==一,

2ACBC2X>/3XV33

所以sin//CB=^

3

设△CN5、AZMB的外接圆半径分别为斗、弓，三棱锥D-/2C的外接球半径为R.

AB

2。还，解得「斗,同理，

sinZACB

所以001=02尸=:，R2=OC2=OOf+Ofi2=孚］+

所以三陵锥八双的外接球表面积为S=4/=4"1r丁.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的

计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股

定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.

2.（2023春•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）在正四棱台中,

48=244，441=2几，M为棱5G的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截

该正四棱台的截面面积是（）.

A.—B.闻।C.10V3D.6V2

42

【答案】C

【分析】根据正四棱台的体积公式、结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面

积公式进行求解即可.

【详解】设/8=244=-，上底面和下底面的中心分别为O,过4作

该四棱台的高。。=人，

在上下底面由勾股定理可知，；J(2x)2+(2x)2=岳,AO=:,4X)2+(4x)2=)志.

2222222

在梯形4。1。/中，A,A=AH+AtH^12=(242x-41x)+h^>h=12-2x,

所以该四棱台的体积为P=](16]2+J16X2-4X2+4f)%=T幺力，

KCrirz278422；278422/nT.2、/784(x1+x--112-2x2

所以忆2=——x2-x-h=——x-x•(12-2x)<——--------------，

999(3)

当且仅当》2=12-2尤2,即x=2时取等号，此时48=8,44=4,OtO=h=2.

取CQi/C的中点N,E,连接NM,ND,显然有MN//D6〃。5,

由于MV。平面BOu平面/BCD,所以MN//平面48CD,因此平面AffiDN

就是截面.

显然MN=；BR=20BD=8万，

在直角梯形。1〃石。中，ME=d#+(OE-OMf=力4+4=2也,

因此在等腰梯形4GC5中，MB=-S!ME2+EB2=J8+16=276，

同理在等腰梯形BGCO中，DN=2屈,

在等腰梯形中，设MF//DN,MG1BD,

则MF=2A/6,BF=8垃-2垃=6叵,

MG=j(2府-(1x6V2)2=V6,

所以梯形AfflDN的面积为巫谑x6=10>/3,

2

故选：C.

【点睛】解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题

思维流程如下：

(1)根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系，

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元

素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解.

3.（2023・湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测）在三棱锥/2C中，“3C是

以NC为底边的等腰直角三角形，△D/C是等边三角形，/C=2后，又8。与平面/DC

所成角的正切值为正，则三棱锥。-45。外接球的表面积是（）

2

A.8兀B.12兀C.1471D.16兀

【答案】B

【分析】根据线面角算出点3到平面NOC的距离，从而找到球心的位置，利用几何关

系算出球的半径即可.

【详解】取/C的中点E,连接BE,DE,则班_LNC,DE1AC,可得/C_L平面DEB.

又/Cu平面NOC,故平面4DC_L平面且平面4DCCI平面BDE=DE.

在平面DEB中，过点3作8〃_LDE于点H,则BH1平面ADC,

/AD8是直线8D与平面/DC所成角的平面角.

设.BH=x,则=易求DE=娓,BE=4i，处EH=在-瓜.

由勾股定理可得8"=8加+即2,即2=/+（指-属『，解得x=W，于是

FH一瓜

nrL---，

点〃恰好是正△D/C的中心（外心），故球心。必在38上，

RIAA4c的外心为E,连接O£,则_L平面/8C,_L3E,设三棱锥。-45C外接球

的半径8。=火，

在RtABE。中，由射影定理可得即2=38尺，解得尺=石，

3

三棱锥D-ABC外接球的表面积S=4无霜=12兀.

故选：B.

4.（2023秋•湖南湘潭•高三校联考期末）点M,N分别是棱长为2的正方体

ABCD-AMA中棱BC,Cq的中点，动点P在正方形5CG4（包括边界）内运动.若

尸4〃面则尸4的长度范围是（）

A.[2,3B.[竽，石C.停WD.[2,3]

【答案】B

【分析】取用G的中点E，34的中点尸，连结耳£,A1F,EF,取斯中点。，连结4。,

证明平面WN//平面4跖，从而得到尸的轨迹是线段，从而得出P4长度范围.

【详解】取4G的中点£,5片的中点尸，连结耳£,AtF,EF,取斯中点。，连结4。，

•.•点M,N分别是棱长为2的正方体群CD-44中棱2C,CG的中点,

:.AAJ!BB},AAX=BB、,BBJ/EM,BB}=EM,

AAJIEM,AAX=EM,四边形A.AME为平行四边形，

:.AXEHAM,而在平面48CG中，易证MNHEF,

平面MW,4Vfu平面WW,.1&E//平面/ACV,

EP0平面/MN,ACVu平面/MN,:.EF//平面AMN,

又；A[EcEF=E,尸u平面4上户，平面/A/N//平面4跖，

:动点尸在正方形&CGA（包括边界）内运动，且24〃平面

点P的轨迹是线段EF,

•;4E=A/=正+1=瓜£F=#+1=V2-AO1EF,

亚、30

当尸与。重合时，尸4的长度取最小值4。=（病2-

2J2

•・・△4所为等腰三角形，，P在点E或者点尸处时，此时尸4最大，最大值为VL

即尸4的长度范围为［券，石

故选：B.

5.（2023春・湖南•高三统考阶段练习）正方体的棱长为1,点尸在三棱

锥G-8C。的表面上运动，且“尸=巫，则点尸轨迹的长度是（）

3

AV3+2V6„2V3+V6

66

「A/J+A/6n2-\/3+y/6

63

【答案】A

【分析】根据题意，点P在以4为球心，半径五=姮的球面上，进而依次讨论该球与

3

三棱锥G-的表面的交线即可得答案.

【详解】解：由题设知点P在以4为球心，半径a=妪的球面上，

3

所以点P的轨迹就是该球与三棱锥G-88的表面的交线.

由正方体性质易知三棱锥4-QBD为正四面体，

所以，点4到平面JBD的距离〃=空，

3

所以球4在平面C.BD上的截面圆的半径4=个出一£=1，

所以，截面圆的圆心。是正AC/D中心，正立:/。的边长为行，其内切圆。的半径

因此，点P在面C.BD内的轨迹是圆。在&BD内的弧长，

如图所示.COSNMO/=2&=%=YZ,所以

OtMrx24

Oy

B

TT

所以

所以，点尸在此面内的轨迹长度为外

因为，平面48C。，所以球4在平面NBCr•上的截面圆心为力,

其半径2=］火2_初：=丰,又等<,<1,

所以点尸在平面5CD内的轨迹是一段弧际，

如图所示，cosZGAE=—=—,

AE2

由于对称性，点尸在平面C/D和平面qco内的轨迹长度都是血,

9

故点尸在三棱锥G-BCD的表面上的轨迹的长度是叵+3x外=6+2>

696

故选：A

6.（2023•广东梅州・统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有

几何体“刍薨”.现有一个刍薨如图所示，底面N8CD为正方形，EF〃平面Z8CD,四边

形4BFE,CD昉为两个全等的等腰梯形，EF=；AB=2,且/£=&,则此刍薨的外

接球的表面积为（）

A.607rB.647rC.687rD.727r

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出点E到平面/BCO的距离，再由几何体的结构特征确定球

心位置，结合球面的性质求解作答.

【详解】取40、中点N、M,正方形48。中心。，E尸中点Q，连接

EN,MN,FM,OO2,

根据题意可得。。2，平面48cD,E尸〃48//跖V,点。是的中点，MN=AB=4,

在等腰△/££>中，ADVEN,EN=个AE?-AN2=亚，

同理EM=&，

则等腰梯形EFMN的高为00广JEM一产;=1,

根据几何体的结构特征可知，刍薯的外接球的球心J在直线00,上，连接QE,O/,CM,

正方体ABCD的外接圆的半径。4=2近，

⑴£[0/2=0/2+00：

122

"[QE'=O2E+O2O^'

而。M=0]£,O2E=^EF=1,

当点。।在线段。2。的延长线（含点。）时，视。Q为非负数，若点。在线段。2。的

延长线（不含点O）时，视。。I为负数,

即有。2。1=020+。0]=1+oot,

贝|J（20『+oo；=1+（1+oq）2,解得。。1=3,

则刍喘的外接球的半径为r=OlA="+（2何=后,

则刍薨的外接球的表面积为$==68%，

故选：C.

7.（2023・广东•校联考模拟预测）已知四棱锥尸-/BCD的五个顶点都在球面。上，底

面488是边长为4的正方形，平面尸平面/BCD,且尸4=PD=5则球面O

的表面积为（）

A.39兀B.4071C.4171D.42兀

【答案】C

【分析】如图，取4。中点为E,三角形尸4D外接圆圆心为。I,正方形/BCD外接圆

圆心为。2,过Q，&做平面尸4D，底面垂线，则两垂线交点为四棱锥外切球球

心。.由题目条件，可证得四边形。也■。为矩形，设外接球半径为七则

R=OA=J。。：+40；—yjo产°+.后可得答案.

【详解】如图，取中点为E,三角形尸40外接圆圆心为。।,正方形N8CA外接圆

圆心为。2,过Q，a作平面尸底面/8C。垂线，则两垂线交点为四棱锥外接球球

心O.

因平面PAD1平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,OXE_LAD,O、Eu平面PAD,

则O\E±平面ABCD.又EO2u平面ABCD,则OXE1EO2.

JI

因=ZOXEO2=ZOO2E=则四边形。山。2。为矩形.

设三角形尸/。外接圆半径为，则a尸=。/二/，又AE=2,PE=yJpA2-AE2=1,

25

则（尸一1）+4=r2=>r=—.

则QE=OO2=g,设外接球半径为凡则R=OA=）00；+=麻2+,

又40?==2亚，

则尺=则球。表面积为：4兀火2-4171.

8.（2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测）在矩形/BCD中，已知45=24）=4,

E是N3的中点，将V/DE沿直线翻折成△4DE,连接&C,当二面角4-。E-C

的平面角的大小为60。时，则三棱锥4-CDE外接球的表面积为（）

4

【答案】A

【分析】取DE的中点为尸，证明取C。的中点为H,证明"T_LD£,根

据二面角的定义证明N4FH=60。，根据球的截面性质确定三棱锥4-CDE外接球的球

心位置，解三角形求球的半径，由此可得三棱锥4-CDE外接球的表面积

【详解】由已知/8=4,E是的中点，

TT

所以AE=2,乂AD=2，Z.DAE=—,

2

所以VNDE为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，

取DE的中点为尸，则HDE,

因为AE=2,又AD=2,Z.DAE=—,所以DE=2-\/2

同理可得CE=20，又CD=AB=4,

所以CELOE,取C。的中点为H,连接

则FH//CE,所以FHLDE,

所以NA/H为二面角A1-DE-C的平面角，

所以乙4/〃=60°,

因为其尸=；Z）E=拒，FH=；CE=五,N&FH=60。,

所以A/JH为等边三角形，取E修的中点为M,则

因为NK_LDE,FHIDE,AlFC\FH=F,4尸，尸平面4",

所以DE工平面4万月，4/u平面4万〃，

所以QE，/]“，又AMLFH,DECFH=F,DE,FHu平面CDE,

所以4M_L平面COE,

因为ADEC为直角三角形，C。为斜边，

所以HE=HD=HC,所以H为AOEC的外接圆的圆心，

设0为三棱锥4-CDE外接球的球心，则0/7_L平面CDE,

设OH=d,三棱锥4-CDE外接球的半径为五,

贝UR=OC=J/+4,

若球心O和点4位于平面CDE的两侧，

延长4M到点N,使得血W=27。,

因为OH_L平面CDE,4"_L平面CDE,所以MN///7O,

所以四边形HAW0为平行四边形，

所以ON=HM=J,A、N=A、M+MN=A、M+0H=^~+d,

21112

所以7?=Afi=,^-+d+—»

K2J2

所以，如+/+1=^74,

W2J2

所以〃=如，R2=d2+4=—,

33

若球心O和点4位于平面CDE的同侧,

因为OH_1平面CDE,&W_L平面CZ)E,所以4〃7/HO,

过点。作OP/W,则四边形以0。为平行四边形,

B/7

所以。P=W=J,A.P=AM-MP=A.M-OH=---d

21112

所以R=4(9=

故选：A.

【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认

真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，作出合适的截面图,

解三角形确定球的半径.

二、多选题

9.（2023•浙江温州・统考二模）蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家

马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂

房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是-；，则（）

A.N8〃平面石。24

B.AB1EF

C.峰房底部的三个菱形所在的平面两两垂直

D.该几何体的体积与以六边形44G2及《为底面，以为高的正六棱柱的体积相等

【答案】AD

【分析】对A：根据线面平行的判定定理分析判断；对B、C：根据空间中的垂直关系

分析判断；对D：通过补形，结合锥体体积分析判断.

【详解】对A：因为/8〃尸G,FG//ED,则

EDu平面EDDXEX,且平面EDD^,

故48〃平面瓦故A正确；

对B：每个菱形钝角的余弦值是-g,即ED不垂直EP,

因为即48不垂直£尸，故B错误；

对C：若蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直，

可知平面BCDGc平面FEDG=DG,则DG_L平面ABGF,

48u平面/8Gb,所以。G_LNB,

且DG/EF,故跖_L4B,这与48不垂直EF矛盾，故C错误;

对D：如图，补形可知：过昆。，尸作正六边形ABQD当厂，

VABGF为菱形，则AG的中点在BF上,故点4G到平面A2BC2DE2F的距离相等,

故—G-OBAF=^A-OBA2Fi

同理可得：vG.OBC2D=—C-OBAzFVG-ODE#=^E-ODEZF，

故该几何体的体积与以六边形M4CQZ遂为底面，以8月为高的正只棱柱的体积相等,

所以D正确;

故选：AD.

10.（2023春・江苏扬州•高三统考开学考试）在四面体/BCD的四个面中，有公共棱/C

的两个面全等，40=1,CD=6，^CDA=90°,二面角大小为0,下列

说法中正确的有（）

A.四面体48CD外接球的表面积为3万

B.四面体455体积的最大值为立

6

C.若，D=4B,ADIAB,则9=120°

所

D.若4D=BC,6=120°,P1!]SZ)=—

3

【答案】ACD

【分析】选项A：找出四面体得外接球得外接圆圆心和半径即可；选项B：先确定底面,

底面积确定，利用夹角的变化确定体积最大的时候的高即可；选项C：直接画出二面角,

然后计算其夹角即可；选项D：先过点。画/C的垂线，垂足为过点B画/C的垂线,

垂足为N,然后二面角为血与加的夹角，利用基底法计算2。长度即可.

【详解】由题的示意图，画NC中点为E,连接DE,BE

选项A：由题可知在△/DC中，AC2^AD2+CD2^3,所以NC=g,

又因为有公共棱NC的两个面全等，ZCDA=90°,故N/3C=90。，

由直角三角形的性质可知，£4=”=七。=即,故该三棱锥的外接球球心为点石，直径为

/C=5

(巧丫

所以外接球表面积为万—=3兀，故正确；

S=4I2JA

选项B：要使四面体Z5CD的体积最大，则只需以。8C为底面，A/C。在边/C上的

高〃为高即可；

因为公共棱NC的两个面全等，所以S=S'云=1xlxV2=—,所以有=立,

4Am2222

V2

已知NC=百，所以〃=,所以体积最大时，该四面体的体积为

耳

1„,16亚V3,,**、n

=rx-X_7T=_'故8珀1天;

JJ273y

选项C：分别过点AB画边/c的垂线，显然垂足均为尸，则得示意图

V2

由选项B可知。尸=8尸=又AD=4B=1AD1AB,所以BO?=4》+加=2,

由余弦定理的cos。=DF2+BF2—BD2J,因为在三角形中，所以6=120。，故C

2DF・BF2

正确；

选项D:如图所示，过点。画NC的垂线，垂足为过点3画/C的垂线，垂足为N,

因为/O=BC=1,所以A/OC且ACBN,

因为9=120。，所以福与血的夹角为120。,

由选项B可知，|丽卜ft万卜展,所以=产=9,同理=1

由选项A可知/C=6所以MN=/C-CN-

丽=丽+丽7+赤=一福+而7+庇,所以得

»\2/，»,2

BD]=（-NB+NM+MD

»、2/»\2/»\2,,,»»,

-NBJ+（；W）+（A®）-2NB-NM-2NB-MD+2NM^MD=-

所以如耍故D正确;

故选：ACD

11.(2023春•江苏南京•高三南京市第五高级中学校考阶段练习)已知正四棱台

月BCD-44G。的上下底面边长分别为4,6,高为亚，£是4片的中点，贝IJ()

G坊

B.平面3QD，平面44CC

C./£〃平面

D.正四棱台/8CD-4用GA的外接球的表面积为104K

【答案】BCD

【分析】对于A：直接代入正四棱台的体积公式即可求解;对于B：先证3D，平面N4QC,

再根据面面垂直的判定定理即可证明；对于C：取24的中点尸，连接NREF,

AlCl^EF=G,连接/G,先证四边形GG。?/是平行四边形，易得G///平面CR。，

斯//平面CXBD,根据面面平行判定定理可证平面CXBD//平面AEF,再根据面面平行

的性质即可证明/£〃平面8CQ；对于D：分球心在正四棱台内、外两种情况讨论，且

球心必在002上或的延长线上，再利用勾股定理列出关于球半径的方程即可求解.