2025届高考数学一轮复习讲义-计数原理与概率统计

(9)计数原理与概率统计

——2025届高考数学一轮复习一站式复习之讲义

【高考考情分析】

随机抽样的考查主要是三种抽样方法，尤其是分层抽样，一般以选择题和填空题的形式出

现；对用样本估计总体的考查主要是统计图表的应用、样本的数字特征估计总体，单独命题时

以小题形式出现，也常作为解答题的一问或一部分进行考查，注意以社会现实为背景，着重考

查频率分布表、频率分布直方图及样本的数字特征的求解及应用的试题.

回归分析在高考中考查较多，主要考查求回归方程、利用回归方程进行预测，一般以解答

题的形式出现，难度中等，有时也以小题形式出现，考查变量的相关性；对于独立性检验，一

般以解答题中的一问进行考查，多与概率知识结合命题，特别是以社会现实问题为背景的统计、

统计案例与概率相结合的综合题是今后命题的重点与难点，这与新课标对数据分析核心素养的

要求密切相关.

随机事件的概率单独考查的概率较小，一般与其他知识综合考查，其中互斥事件和对立事

件的概率是高考的重点考查内容，在与对立事件有关的题目中常利用“正难则反”的解题思想.

以小题和解答题形式呈现，当以解答题形式呈现时，多与排列组合、分布列、期望与方差、统

计等知识综合命题.

古典概型是高考的热点，常以选择题、填空题的形式呈现，主要考查古典概型，在高考中

常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、统计等知识交汇命题，命题角度及背景新颖,

考查知识全面，能力要求较高.在备考中要注意古典概型与数学文化、实际生活密切联系的问

题，要加强实际应用问题的训练.

离散型随机变量及其分布列、均值与方差是高考的热点，常以实际问题为背景，与计数原

理、古典概型等知识相结合，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，要特别注意二项分

布与超几何分布问题及利用期望与方差决策的问题，主要以解答题的形式呈现，难度中等，近

两年难度有加大的趋势，更加重视对考生的实际应用能力的考查，要重视对实际问题背景的分

析与了解，要在审题、转化、建模等问题上下功夫，重视与其他知识的综合应用.

二项分布及其应用、正态分布是高考的热点，主要考查：①条件概率、相互独立事件的概

率的求法，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会渗透在解答题中；②独立重复试验、

二项分布、正态分布的应用，结合实际问题以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理

解及相关公式的应用.主要考查考生的数据分析能力.

两个基本计数原理及排列与组合的综合应用有时单独考查，一般以小题的形式呈现；但更

多地与概率知识相结合考查，此时，小题形式、解答题形式均有出现.题目主要以实际问题为

背景，重点考查考生分析问题与解决问题的能力及逻辑推理素养.

二项式定理是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、二项展开式中项

的系数等，难度为中低档，命题形式单一.主要以选择题、填空题的形式呈现，考查运算能力.

【基础知识复习】

1.

名称定义符号表示

若事件A发生，则事件3一定发生，这时称事

包含关系B卫A（或4口3）

件3包含事件A（或事件A包含于事件3）

如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,

相等关系A=B

即3卫A且A卫3,则称事件A与事件3相等

事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个

并事件事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件

AB（或A+3）

（和事件）3中，则称这个事件为事件A与事件5的并事

件（或和事件）

事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中

交事件的样本点既在事件A中，也在事件3中，则称

ArB（或AB）

（积事件）这样的一个事件为事件A与事件B的交事件

（或积事件）

若A8为不可能事件，那么称事件A与事件

互斥事件AB=0

B互斥

若A8为不可能事件，A3为必然事件，那A8=0且

对立事件

么称事件A与事件B互为对立事件A\JB=U（。为全集）

2.古典概率模型：将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模

型，简称古典概率：

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

3.古典概型的概率公式

（1）在基本事件总数为〃的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本

事件发生的概率都是

n

A包含的基本事件的个数

（2）对于古典概型，任何事件的概率为P（A）=基本事件的总数~

4.离散型随机变量的分布列

（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次

序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

（2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为和々，…，孙-i%.X取每一个值

%（i=1,2,…,n）的概率P（X=七）=pj,则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布

列.

XX]X2XiX”

PP1PlPiPn

5.离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质:

（1）Pj...0,i=1,2,,n；

（2）P1+P2++Pt++P〃=1;

（3）P（X轰!JXXj）=Pi+pM++Pj（i<j^.i,JGN*）.

6.常见的离散型随机变量的概率分布模型

（1）两点分布

若随机变量X的分布列为

X01

pl-pp

则称X服从两点分布.

（2）超几何分布

「k「n-k

一般地,在含有航件次品的N件产品中任取n件,其中恰有X件次品，则P(X=k)=M，JM

(左=0,1,2,,m),其中m=min{M,"},且“张N,n,M,NeN*,称分布列

X01m

「〃一1「m^n—m

PCM'N-M

C；C；

为超几何分布.

7.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X演%xiXn

pPlPzPiPn

(1)均值

称E(X)=x0+/必++xiPi+为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随

机变量取值的平均水平.

(2)方差

2

称D(X)=t(Xi-E(X))Pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏

1=1

离程度，并称JD(X)为随机变量X的标准差,记为b(x).

8.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

9.两点分布的均值、方差

若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(l-p).

10.条件概率及其性质

(1)一般地，设A,3为两个事件，且P(A)>0,称P(B|A)=4^为在事件A发生的条件

尸(A)

下，事件3发生的概率.

(2)条件概率的性质:

(i)0轰!JP(3|A)1；

(ii)如果5和C是两个互斥事件,则P(8C\A)=P(B\A)+P(C\A).

1L全概率公式

一般地，设4,4，•，4是一组两两互斥的事件，AA4=Q，且

P(4)〉o,，=l,2,,n,则对任意的事件有P(8)=i：P(a)P(3|4),称此公式为全

i=l

概率公式.

12.相互独立事件

(1)对于事件A、B,若A的发生与3的发生互不影响，则称A、5是相互独立事件.

(2)若A与3相互独立，则P(5|A)=P(5),P(AB)=P(B\A).P(A)=P(A).P(B).

(3)若A与3相互独立，则A与豆，彳与3,彳与豆也都相互独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与3相互独立.

13.独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布

一般地，在n次独立重复试验(咒重伯努

一般地，在相同条件下重复做的n利试验)中，设事件A发生的次数为X,

定

次试验称为n次独立重复试验(也在每次试验中事件A发生的概率为2，

义

叫“重伯努利试验)此时称随机变量X服从二项分布，记作

XB",p)

计用4。=1,2,,〃)表示第，次试验结在n次独立重复试验中，事件A恰好发

算生左次的概率为

果，贝I

公P(X=k)=C>\1-y-k(k=0,1,2,ri)

尸(4&4)=P(A)-P(&)P(A„)P

式

14.二项分布的均值与方差：若XB5,p),则E(X)=〃p,D(X)=np(l-p).

15.正态曲线的定义

(%-1

函数如式x)=S^2o-2

P,XG(-00+8)(其中实数〃和。。>0)为参数)的图象为正态分

布密度曲线，简称正态曲线.

16.正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方且与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x="对称；

(3)曲线在1=〃处达到峰值；

兀o

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当〃一定时，曲线随着〃的变化而沿x轴移动；

(6)当〃一定时，曲线的形状由确定，a越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”.

17.正态分布的定义及表示

如果对于任何实数。力3<3,随机变量X满足P(a<X,*)=t%b(x)dx,则称X的分布为正

态分布，记作X~N(〃,/).

18.简单随机抽样

(1)定义:一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个不放回地抽取水1W〃<N)

个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单

随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法.

19.分层抽样

(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独

立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.

(2)应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的.

样本容量

(3)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比=

总体容量

=各层所抽取的个体数

—各层个体数'

20.频率分布表与频率分布直方图

频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：

(1)求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差;

(2)决定组距与组数；

（3）将数据分组；

（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值

叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；

（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）

表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形

的面积=组距x|g=频率.

各个小长方形面积的总和等于1.

21濒率分布折线图和总体密度曲线

（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线

图.

（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，

相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲

线.

22.用样本的数字特征估计总体的数字特征

数字特征样本数据频率分布直方图

众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标

将数据按大小依次排列，处在最把频率分布直方图划分为左右两个面

中位数中间位置的一个数据（或最中间积相等的部分，分界线与X轴交点的横

两个数据的平均数）坐标

每个小长方形的面积乘小长方形底边

平均数样本数据的算术平均数

中点的横坐标之和

方差和标准差反映了数据波动程度的大小.

方差：$2—亍J+（々一亍J++（X„-X）2

22

标准差：5=./—r（X；-X）+（X2-X）++（%n-

23.百分位数

（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第2个和第2+1个数据分别为.可以发现,

区间（。力）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数

的平均数审=C,并称此数为这组数据的第2百分位数，或P%分位数.

（2）一般地，一组数据的第2百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有2％的数据小

于或等于这个值，且至少有（100-P）%的数据大于或等于这个值.

（3）四分位数

常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数

把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一

四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.

24.变量间的相关关系

（1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，

相关关系是一种非确定性关系.

（2）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相

关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系称为负相关.

25.两个变量的线性相关

（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称

两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.

（2）回归直线方程

①最小二乘法：通过求Q=S（y-。了的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据

的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

②回归方程：方程y=%+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（七,%）,（9，%），…，

（乙，%）的回归方程，其中a力是待定参数.

Xx^-nxyi„i„

a=y-bx<b=i-;9--------，其中元=—Z七,9=—2%,（豆田称为样本

・钞厂可

i=l

点的中心.

（3）相关系数厂

Jz（x,.-x）2Z（y,.-y）2

VZ=11=1

②当r＞0时，表明两个变量正相关；当「＜0时，表明两个变量负相关.

「的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强；厂的绝对值越接近于0,表明两个变

量之间几乎不存在线性相关关系.当r的绝对值大于或等于0.75时，认为两个变量有很强的线

性相关关系.

（4）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.在线性回归模型

y=Zzx+a+e中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y

的变化，在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.

26.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.

27.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和匕它们的可

能取值分别为和｛%，%｝，其样本频数列联表（称为2x2列联表）为:

%%总计

X]aba+b

工2Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

n(ad-be)2

可构造一个随机变量腔=其中〃=a+Z?+c+d为样本容量.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

28.独立性检验

利用独立性假设、随机变量K?来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称

为两个分类变量的独立性检验.

两个分类变量X和¥是否有关系的判断标准：

统计学研究表明：当3.841时，认为X与V无关;

当片＞3.841时，有95%的把握说X与¥有关;

当片＞6.635时，有99%的把握说X与Y有关;

当片＞10.828时，有99.9%的把握说X与¥有关.

29.排列与排列数

（1）排列：从〃个不同元素中取出加（加＜〃）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个

不同元素中取出机个元素的一个排列.

（2）排列数：从〃个不同元素中取出加（加＜〃）个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不

同元素中取出机个元素的排列数，记作A〉

30.组合与组合数

（1）组合：从〃个不同元素中取出加（加4"）个元素组成一组，叫做从〃个不同元素中取出加

个元素的一个组合.

（2）组合数：从〃个不同元素中取出皿相＜〃）个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不

同元素中取出机个元素的组合数，记作C：.

31.二项式定理

公式（a+»〃=CK+C：L/i++CXV++C»"（"eN*）叫做二项式定理.公式中右边的

多项式叫做（。+6）"的二项展开式，其中各项的系数C：（左=0,1,,"）叫做二项式系数，式中的

叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第Z+1项.

32.二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C：=C；T.

（2）增减性与最大值：对于二项式系数C；（r=0,l,2,M,当「＜茎时，二项式系数是递增

77+1〃

的；当「〉号时，二项式系数是递减的.当〃是偶数时，二项展开式的中间一项（第与+1项）

nn+1

的二项式系数最大，即最大的二项式系数为c.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第〒

n-I-3n-1n+l

项和第皇项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和c7.

（3）二项式系数的和：（。+6）”的展开式的各个二项式系数的和等于2"，即

C：+C；+C；++C；++C：=2".二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项

式系数的和，即C+C+C：+=C：+C；+C：+=2丁

【重点难点复习】

1.古典概型的概率公式

(1)在基本事件总数为〃的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本

事件发生的概率都是

n

(2)对于古典概型，任何事件的概率为尸(A)="包上鲁优个数•

基本事件的总数

2.相互独立事件

(1)对于事件A、B,若A的发生与3的发生互不影响，则称A、3是相互独立事件.

(2)若A与3相互独立，则P(5|A)=P(5),P(AB)=P(B|A).P(A)=P(A).P(fi).

(3)若A与3相互独立，则A与后，彳与3,彳与方也都相互独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(fi),则A与3相互独立.

3.二项式定理

公式(a+»〃=CK+C：L/i++CXV++C»"("eN*)叫做二项式定理.公式中右边的

多项式叫做(。+份"的二项展开式，其中各项的系数C：(左=0,1,,〃)叫做二项式系数，式中的

叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第Z+1项.

4.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

5.条件概率及其性质

(1)一般地，设A,3为两个事件，且P(A)>0,称尸(B|A)=2^为在事件A发生的条件

尸(A)

下，事件3发生的概率.

(2)条件概率的性质：

(i)»(B|A)1；

(ii)如果B和B是两个互斥事件,则P(8C|A)=P(8|A)+P(C|A).

【基本方法与技能复习】

1.求复杂的互斥事件概率的两种方法

（1）直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式

计算.

（2）间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）=1-P（©求得，即运用逆向思

维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法会较简便.

2.求解古典概型问题的技巧：

（1）树状图法是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的概率问题及较复杂的概率问题中

基本事件数的探求.另外在确定基本事件数时，可以看成是有序的，有时也可以看成是无序的.

（3）含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其

反面，即对立事件，应用P（A）=1-P（否求解较好.

3.解决简单的排列与组合综合问题的步骤

（1）根据附加条件将要完成的事件分类.

（2）对每一类型取出符合要求的元素组合再对取出的元素排列.

（3）由分类加法计数原理计算总数.

4.由二项展开式中项的特征求参数的思路

（1）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由

特定项得出厂值，最后求出参数值.

（2）有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等问题，一般要利用通项，运用方

程思想进行求值，通过解不等式（组）求取值范围.

5.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略

（1）与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列.

（2）与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.

（3）与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出

分布列.

（4）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法.先弄清独立事件的关系，求出各个

概率，再列出分布列.

6.频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小

长方形底边中点的横坐标之和.

7.独立性检验的一般步骤

（1）独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实际

问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决.

（2）如果确实属于这类问题，要科学地抽取样本，样本容量要适当，不可太小；

（3）根据数据列出2X2列联表；

（4）提出假设名：所研究的两类对象（XI）无关；

n(ad-be#

(5)根据公式计算Q的值;

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

（6）比较观测值上与临界值表中相应的检验水平，根据小概率原理肯定或者否定假设，即判

断x,y是否相关.

8.利用两个基本计数原理解决问题的步骤

（1）审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；

（2）分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一

种；

（3）弄清在每一类或每一步中的方法种数；

（4）根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数.

9.求解排列问题的常用方法

（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算.

（2）优先法：优先安排特殊元素或特殊位置.

（3）捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同

时注意捆绑元素的内部排列.

（4）插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再

将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.

（5）先整体，后局部：“小集团”排列问题中，先整体后局部.

（6）除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（7）间接法：正难则反，等价转化的方法.

10.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路

（1）将待求事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和.

（2）将彼此互斥的简单事件转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件.

（3）代入概率的积公式求解.

11.建立回归模型的基本步骤

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.

（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）.

（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到散点大致分布在某条直线附近，则选用线性回归

方程）.

（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数.

（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律

性等）.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.

12.概率与统计解答题的解题策略

（1）准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；

（2）理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个

发生等；

（3）明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；

（4）准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性

质来计算事件的概率；

（5）确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望;

（6）会套用求石、K?的公式求值，再作进一步分析.

【典型例题复习】

1.[2023年新课标n卷】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样

方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别

有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）

A.C：〉C短种B.CQC以种

©（瑞（孰种D.C：QC鼠种

2.【2024年新课标H卷】某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到

各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理如下表所示.

亩产[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于H00kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间

3.【2024年新课标I卷】（多选）（随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并

举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得

到推动出口后亩收入的样本均值元=2.1,样本方差$2=。01.已知该种植区以往的亩收入X服

从正态分布N（1.8,012）,假设推动出口后的亩收入y服从正态分布N（丁,S2）,则（若随机变量

Z服从正态分布N（〃,4），则尸（Z<〃+b）a0.8413）（）

A.P(X>2)>0.2B,P(X>2)<0,5C,P(Y>2)>0.5D,P(Y>2)<0,8

4.[2023年新课标I卷】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8

门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

5.【2024年新课标I卷】甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分

别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比

赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人

得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能

使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.

6.【2024年新课标H卷】在如图的4x4的方•格表中选4个方•格，要求每行和每列均恰有一个方

格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之

和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

7.【2024年新课标H卷】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规

则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩

为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每

次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投

中与否相互独立.

(1)若。=。4,4=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概

率.

(2)假设0<"q.

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

答案以及解析

1.答案：D

解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步

计数原理，得不同的抽样结果共有C2-C禽种.故选D.

2.答案：C

解析：对于A,因为前3组的频率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4组的频率之和

0.36+0.30=0.66>0.5,所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为口05。,1100),故A不正

确；

对于B,100块稻田中亩产量低于HOOkg的稻田所占比例为包卫需士型义100%=66%,故B

不正确；

对于C,因为1200-900=300,1150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200kg至

300kg之间，故C正确；

对于D,100块稻田亩产量的平均值为

—x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不正确.

综上所述，故选C.

3.答案：BC

解析：由题意可知，X~N(1.8,0」2),所以尸(X>2)〈尸(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)«0.8413,

所以P(X>2)<P(XNL9)=1—P(X<1.9)al—0.8413=0.1587<0.2,所以A错误，B正确.因

为y~N(2.1,0」2),所以P(y<2.2)a0.8413,P(F>2)>P(F>2.1)=0.5,所以

P(2<Y<2.1)=P(2.1<F<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2.1)»0.8413-0.5=0.3413,所以

P(y>2)=P(2<y<2,1)+P(y>2.1)^0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解：

P(y>2)=尸(F<2.2)^0.8413>0.8)所以C正确，D错误.

综上，选BC.

4.答案：64

解析：解法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有c；c；

种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C：C；种方案；

第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CjC；种方案.综上，不

同的选课方案共有C；C；+C；C：+C；C；=64（种）.

解法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C；-Cj-Cj=16（种）选课方案；若学生从

这8门课中选修3门课，则有C；-C：-C；=48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有

16+48=64（种）.

5.答案：—

解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为

3.

若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢，所以只有1种组合：3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的总得分为2,有以下三类情况：

第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3-2,5-4,1-6,7-8；

第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3—2,7-4,1—6,5—8或3—2,7—4,1-8,5—6或3—2,

7—6,1-4,5—8,共3种组合；

第三类，当甲出卡片5和7时赢，＜5-2,