辽宁省大连市部分学校2024届高三年级下册联合模拟考试数学试题（含答案解析）

辽宁省大连市部分学校2024届高三下学期联合模拟考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={0』,2},5={3,加},若/口8={2},则/U8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.已知复数z=(2+i)(l-i),则|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

3.某质点的位移y(cm)与运动时间x(s)的关系式为y=sin(0x+g(0>O,0e(-：rt,7t)),其

图象如图所示，图象与.”轴交点坐标为|0,-己-,与直线y=5的相邻三个交点的横坐标依

3一

C.质点在L]s内的位移图象为单调递减

D.质点在0,^s内走过的路程为(3-百)cm

4.已知圆C：(x-2>+(y-2)2=4,直线/：(冽+2)x-叼-4=0,若/与圆C交于N,B

两点，设坐标原点为O,贝！1|3|+2|。可的最大值为()

A.4石B.66C.4715D.2回

5.已知函数/(x)=e2"-31nx,若/'(x)〉/-2依恒成立，则实数。的取值范围为()

试卷第1页，共6页

A.（0,—）B.（—,+°o）C.（0,—）D.（一,+8）

2e2eee

22

6.已知双曲线C:」--土=1（冽〉0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则。的渐近线方程为

3m+2m

B-k士今

A.y=±—xC.y=±2xD.y=±42x

2

8_Ina7_\nb）盖，则下列大小关系正确的是（

7.已知。也Q£（l,+8）,)

aInlO'bInll

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

8.如图，平行四边形4BCD中，AB=BD=DC=2,44=45。.现将△BCD沿5。起，使二

面角C-8D-/大小为120。，则折起后得到的三棱锥C-4助外接球的表面积为（）

A.10KB.15KC.20兀D.20A/3TI

二、多选题

9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1~8

这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件/表示“取出球的编号为奇数”，事件3表示“取

出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,

则（）

A.事件4与事件C不互斥B.事件/与事件3互为对立事件

C.事件B与事件C互斥D.事件C与事件。互为对立事件

10.如图所示，在直三棱柱N3C-4耳G中，若ABLBC,AlA=AB=BC=2,则下列说法

试卷第2页，共6页

A.三棱锥片-48。表面积为4+4收

B.点N在线段4c上运动，则BN+4N的最小值为28

C.G、”分别为4片、CG的中点，过点瓦G,H的平面截三棱柱/3C-4用C一则该

截面周长为2石+也

3

D.点尸在侧面8CC0及其边界上运动，点〃在棱上运动，若直线G"，/尸是共

面直线，则点尸的轨迹长度为指

11.已知抛物线C:/=x的焦点为尸，其准线/与x轴的交点为£,过点尸的直线与C交于

A,3两点，点“为点A在/上的射影，线段板与y轴的交点为N,线段/N的延长线交/

于点尸，则（）

A.忸尸|=1

B.ANIMF

C.直线4尸与C相切

—2

D.tanN/05（O为坐标原点）有最大值

12.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几

何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等

的图形代表八卦田.已知正八边形ABCDEFGH的边长为26，点P是正八边形ABCDEFGH

边上的一点，则后.万的最大值为.

试卷第3页，共6页

13.函数/（x）=tan（0x+0）（0>O,|同<三）的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6兀，则

14.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”（如图（1））,

亦称“赵爽弦图”.类比“赵爽弦图”，可构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角

形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知V/8C与3斯的面积之比

为7:1,设%方+〃/=诟，贝!]/+〃=.

四、解答题

2

15.如下图，四棱锥P-/BCD的体积为］，底面/3CD为等腰梯形，BCHAD,AB=CD=桓,

AD=3BC=3,PD=#>,PO_LAD,。是垂足，平面尸40平面N8CZ）.

试卷第4页，共6页

R

(1)证明：PB±AD；

⑵若M,N分别为尸。，尸。的中点，求二面角。-跖V-B的余弦值.

16.水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制(即先赢2

局者胜)，首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者

轮空，依照这样的规则无限地继续下去.

(1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；

⑵求第〃轮比赛甲轮空的概率；

(3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.

22

17.已知椭圆氏=+与=1(。>6>0)短轴长为2,椭圆£上一点“到尸(0,2)距离的最大值

ab

为3.

(1)求。的取值范围;

(2)当椭圆E的离心率达到最大时，过原点。斜率为左(左手0)的直线/与£交于4c两点,

P4PC分别与椭圆E的另一个交点为B、D.

①是否存在实数4,使得8。的斜率上'等于4左？若存在，求出4的值；若不存在，说明理由;

②记/C与5。交于点。，求线段2。长度的取值范围.

18.已知数列｛%｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列｛%｝

前“项和为S”，且满足禺=%吗+。5=2+。4

试卷第5页，共6页

%,网；

⑵求数列｛%｝的通项公式及数列｛%｝的前2k项和s2k;

(3)在数列｛%｝中，是否存在连续的三项。„,,金+1,%+2,按原来的顺序成等差数歹U?若存在，求

出所有满足条件的正整数皿的值;若不存在，说明理由

19.已知函数/'(x)=gax3+；&r：!+cx(a>0).

(1)若函数/(X)有三个零点分别为X],x2,%,且占+%+%=-3,X]X2=-9,求函数/(X)的

单调区间；

(2)若/”)=-；&,3a>2c>26,证明：函数/(无)在区间(0,2)内一定有极值点；

⑶在(2)的条件下，若函数〃x)的两个极值点之间的距离不小于百，求2的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据集合交集、并集概念计算即可.

【详解】因为集合4={0』,2},8={3,加},若/口2={2},则根=2,

即集合2={2,3},所以/口8={0,1,2,3}.

故选：A

2.D

【分析】利用复数乘法法则得到z=3-i,利用模长公式求出答案.

【详解】z=（2+i）（l-i）=2-2i+i-i2=3-i,

^|Z|=^32+（-1）2=VTO.

故选：D

3.C

【分析】根据正弦函数周期求。=3判断A,根据特殊点求解。判断B,根据正弦函数的单

调性判断C,根据正弦函数值域判断D.

【详解】由已知函数图象得，函数的周期7=年-?="，所以。===3,故A错误；

663T

令y=f（x）,所以〃x）=sin（3x+/）,又/（（））=_*所以sin?=一年，

因为9©（一兀,兀），所以夕=一;或一号.

又/GCH，所以sint+9|=cos0=。所以尹=_三,故B错误；

兀7717715兀

由已知得/（X）图象相邻的两条对称轴分别为直线x=上』=2，原JE,

-2-182-18

r/\，.57i11兀.乂、e、乂、」、.~.、r357rli兀

且/r（X）在—T-内单倜递减，因为I1,—屋TQYTQ-'

_IoIoJ|_2J|_IoIo_

「3-

所以/（尤）在I,/上单调递减，故C正确；

由图象得该质点在10,因S内的路程为1-1-当+:=为3m,故D错误.

_IX」I2力22

故选：C.

4.D

【分析】求出圆。的圆心及半径，直线/所过定点，借助向量运算得|O/『+|O5|2=24,利

答案第1页，共19页

用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值.

【详解】圆C：(x-2)2+(y-2)2=4的圆心为C(2,2),半径为2,|OC|=20

直线/的方程可化为MX7)+2X-4=0,于是/过定点(2,2),且|4B|=4,

显然21=力+砺，^4OC2=OA+OB2+2OA-OB-

又益丁次。砺2-加•丽，因此|O<+Q⑼2=g(4|0C|2+M切2)=24，

设|O/|=2&cos。，I021=2痴sin。，显然|O/1,|08上(2五一2,班+2),

贝lJ|CM|+2|O8|=2j^sinG+e)42ybb,其中tan0=；,当6+夕=工时等号成立，此时

22

tan0=2,

|。4|=2&x9=名野e(2行-2,28+2),符合条件，

所以1041+21031的最大值为2回.

【点睛】思路点睛：涉及/+丁=。(0>0)并求关于阳〉的二元函数的最值，可以令

x=4acos6

,借助三角变换及三角函数性质求解.

y=y/asin3

5.B

【分析】/(x)_2"等价于e2ax+2ax>e3blx+31nx,令gG)=e，+x,求导分析单调性，可

得六+2女>心心+31nx等价于g(2ax)>g(31nx),进而可得2a>也，令"(刈=迎三，只需

XX

。>/?(初3,利用导数求解最值即可得出答案.

【详解】/(x)>x3-lax等价于e2ax+lax>x3+31nx=e31nx+31nx,

令g(r)=e，+x,则g'(x)=eX+l>0,所以g(x)是增函数，

答案第2页，共19页

所以e?"+2ax>e31nx+3Inx等价于g(26)>g(3Inx),

所以2ax>31nx(x>0),所以2〃>3、",

^h(x)=—,则“(x)=2誓，

XX

所以在(o,e)上，h\x)>0,〃(x)单调递增，

在(e,+oo)上，h\x)<0,//(%)单调递减，

aa

所以〃(x)max=〃(e)=-,故2a>—

ee

3

所以实数。的取值范围为+8).

2e

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

6.C

【分析】先得到方程，求出/=2,得到双曲线方程和渐近线方程.

【详解】由题意得\/3俏+2=，解得机=2,

22

C:匕-土=1,故渐近线方程为歹=±2工.

82

故选：C

7.B

【分析】等价变形已知条件，alna=81nl0,ftIn/?=7In11,clnc=61nl2,构造两个函数

f(x)=xlnxfg(x)=(18-x)lnxf利用求导判断单调性即可求解.

【详解】设/(x)=xlnx(x〉l),g(x)=(18-x)lnx(x>10),

e-8ln〃7InZ?6_Inc

因为一二---，-=----

aInlObInllclnl2

所以aln。=81nl0,61nb=7In11,cInc=6In12

即/(a)=g(10)，/(6)=g(ll),/(c)=g(12),

答案第3页，共19页

i'IX

g'(x)=(18-x)lnx+(18-x)(lnx)=-Inxd----1,

显然g'(x)在［10,+8)上单调递减，

g［x)<g'(10)<0,所以g(x)在［10,+8)上单调递减，

所以g(10)>g(ll)>g(12),即/(a)>f(b)>f(c),

又((x)=lnx+l,当x>l时,以琦>0,所以l(x)在(l,+8)上单调递增,

所以a>6>c,

故选：B.

8.C

【分析】作出辅助线，找到二面角C-8。-/的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等

得到方程，求出外接球半径，得到表面积.

【详解】如图所示，过点。作。E///2,过点A作/E//8。，两直线相交于点E,

因为==ZA=45°,

所以ZADB=45。，AB工BD,则DEJ_8。，

由于CDLAD,故/CDE即为二面角。一8。一Z的平面角，

则ZCDE=120°,

过点C作CFLOE于点尸，

因为BDLCD,DEeCD=D,Z)E,CZ)u平面CD尸，

故AD,平面CDb,

因为CFu平面CDF,所以BD_LCF,

又BDCDE=D,BD,DEu平面ABDE,

则C尸，平面ABDE,ZCDF=60°,

取4D的中点H,则外接球球心在平面ABD的投影为石，即08，平面/2DE,

连接尸〃，AO,CO,则NO=C。，过点。作OG//M,交直线CF于点G,

则OH=FG,

,ACD=2,CF=CDsin60°=^,DF=CDcos60°=1,

答案第4页，共19页

AH=DH=-AD=y[i,

2

由余弦定理得我=J。尸+DH?-2FD•DHcosNFDH

I(

=l+2-2xlxV2x--=45,

2

NIJ

设OH=h,则尸G=〃，^CG=CF-FG=y/3-h,

由勾股定理得OC?=OG2+CG?=5+(A/3-A『，OA2=OH2+AH2=2+h2,

故5+(招-/?)=2+h2,解得〃=6,

故外接球半径为，2+/=V5，外接球表面积为4兀♦5=20兀.

故选：C

【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对

于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，

注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和

球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径

9.AB

【分析】分别求出样本空间Q和事件A、B、C、。即可根据互斥事件和对立事件的概念

去进行判断.

【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},

事件A表示{1,3,5,7},事件8表示{2,4,6,8},事件C表示{6,7,8},事件。表示{1,2,3,4},

所以/nc={7}w。，/U5=o且Bnc={6,8}/0,

CcD=0且CU。={l,2,3,4,6,7,8}u。，

所以事件”与事件C不互斥，事件/与事件8为对立事件，

事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，

故A,B正确，C,D错误.

故选：AB.

10.ABC

【分析】对于A,根据锥体表面积公式计算可得；对于B,利用展开面求得8N+月N的最

答案第5页，共19页

小值即可判断；对于C,作出截面，利用三角形重心的性质与勾股定理求解即可判断；对于

D,利用平面的性质求得点尸的轨迹，从而得以判断.

【详解】对于A：在直三棱柱/3C-48cl中

平面48C,BCu平面48C,所以38]_L3C,

又ABCBB、=B,48,AS】u平面4,所以C8L平面4844，

又48u平面4844，所以43L8C,

同理可证4瓦，4c,

2

又4/=4B=BC=2,所以S«BB、C='期4=2x2=2,AtB=BtC=，2+2：=2^/2,

所以S~、c=L屎=gx2x2行=20,

所以三棱锥g-43c表面积S=4+4>6，故A正确；

对于B：将△用4c沿4c旋转与A48c共面且位于4c的异侧，

如图所示，

:.BN+B[N=BN+BI'N>BB}'=J2'+(2心(=2",

BC

即点N在线段4c上运动，则8N+4N的最小值为2®,故B正确，

对于C：延长瓦八qq,设B//nB£=R,连接GR交4G于点S,连接HS,

则过伉G,8的截面为如图所示四边形

答案第6页，共19页

因为CC//8月，反是的中点，故G是4尺的中点,

又G为4月的中点，所以S为A4耳R的重心，

BG=BH=M,GS=$R4小片+BE=WGS=；4G=与,

SH=KspH?=乎,

所以截面周长为2石+中，故C正确，

3

对于。：C|Mu平面C/B,C|M,N尸共面，所以NPU平面G/B，

又点尸在侧面BCC内及其边界上运动，平面C/Bc平面3CC百=BG，

所以点尸的轨迹为线段BG，且8G=2后，故点尸的轨迹长度为20，故D错误.

故选：ABC.

11.BC

【分析】求出焦点坐标与准线方程，即可判断A,设4加2,加）（加＞0）,利用判

断B,得到直线/N的方程，联立直线与抛物线，消元，由A=0判断C,设/（国,必）（必＞0）,

B（x2,y2）,AB：x=ny+^,联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据

tanZAOB=tan（ZAOF+ZBOF）,判断D.

【详解】抛物线C:/=x的焦点为叫；准线/为》=_；,则*；,（）］,所以附=；,

故A错误；

设/（加2,加）（加＞0）,则加］,

所以3~"土［=一如，贝U直线物的方程为歹=-2加,一

44'）

答案第7页，共19页

令x=0,得yg即N(0,葭

m[

所以"1，贝蜂3•七尸=「x(-2加)=一1,故/NLMF,故B正确;

朦一二厂-五^2m

因为*=3,所以直线/N的方程为%，-x+=,

2m2m2

1m

由--2m2,消去x整理得/一2〃少+%2=o,显然八=0,所以直线/N(4P)与C相

y2=x

切，故C正确；

1

x=ny+—,°I

设＞。），8（*2,％），4B：x=ny+—,由＜4,可得yiy——=0,

24

y=%

显然A＞0,所以乂+%=〃，%%=-；，

所以tan/80F=匹=-9，tanZAOF=^~,

x2x2再

tanZAOF+tanZ.BOF

所以tanZAOB=tan（ZAOF+ZBOF）=

1-tanZAOFtanZBOF

li

=1+=

M仪+小鼠+"〃％+十%%

+1）M%+：

:j（M+%）2-4j”2

-4J/+1

=-------，

3

4

所以当〃=0时1211//。8有最大值-1，故D错误.

故选：BC

12.8+40

【分析】作43垂直。C的延长线于点〃，根据正八边形的特征求出根据后.方的定

义，即可求出万•万的最大值.

答案第8页，共19页

【详解】由题意知，每个三角形的顶角为华=9，AB=2y/2,

o4

作48垂直DC的延长线于点根据正八边形的特征知，AM=2也+2,

设N与方所成的角为。，则夕«0,无］,

所以庐万=网同际（9=2^2p?|cos6>,

由卜小os<9的最大值为=2&+2，

所以五万的最大值为2后x（2拒+2）=8+4瓦

故答案为：8+4A/2.

【分析】根据面积可确定周期，确定。，又根据图象过点可确定夕，从而确定解

析式.

区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形/BCD的面积,

可得|N8|=3,设函数/（无）的最小正周期为T,则以。=7,

,JI1

由题忌可得3T=6兀，解得7=2兀，故一=2兀，可得@=一，

o2

即f（%）-tan+夕）,

又/（%）的图象过点传,即tan［：xm+1=tan悟+［=-1,

答案第9页，共19页

E、r（兀兀）兀兀左力，口兀

因为一不勺卜所以77+夕=一7，解得0=一£.

\乙乙）1/43

故/（x）=tan'x-1]

故答案为：/（x）=tanQx-y^.

【点睛】思路点睛：本题主要考查正切性函数的解析式求法，属于较难题.由已知不规则图

形面积，显然难以直接求解，故根据正切性函数的周期性，将其平移成规则图形，即可求得

周期，继而求出函数解析式.

3

14.-

7

【分析】依据题意设出边长，建立平面直角坐标系，同时在A/CD中利用余弦定理结合等面

积法和勾股定理求出点。的坐标，后依据平面向量的坐标运算建立方程，求解参数，最后

求和即可.

【详解】设V/8C边长为。，ADEF边长为b,

由题意得V/2C与AZ）EF的面积之比为7：1,可得工x也x/=Lx也x/x7,

2222

化简得/=7〃，可得a=J%，不妨设a=V7/=l,

如图，作GVLG4,以C为原点建立平面直角坐标系，

在A/C。中，设4D=根，由余弦定理得——="+（加+D-一7,解得加=1,

22m（m+1）

故/。=1,CD=2,且设。（x,y）,作DG_LNC,feS,=-x—xlx2=—,

“8rn222

故得=』xV?xOG=也，解得。G=亘，由勾股定理得CG=%夕，

“'82277

故。（乎,母），易知，（行,0），浮）,C（0,0）,

可得存二（一字,孚），就=（一板,0）,血=（耳鼻,

且彳刀=（一[4半㈤，〃就=（-伍,0）,

答案第10页，共19页

可得4万+〃%=(_12_甘〃,浮,

2"1

----A—,7//二--------"二一

2773

得到，解得,，显然丸+4=亍.

亚1a

---Z=----A=-

1277

故答案为：!3

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后求出关键

点的坐标，最后利用平面向量的坐标运算得到所要求的参数值，再求和即可.

15.(1)证明见解析

【分析】(1)根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判断定理证明即可证明

(2)根据二面角定义即可求出二面角的平面角.

【详解】(1)连接

•.・平面尸平面POLAD,平面RIOc平面23。=/。，POu平面尸ND,

尸。_L平面4BCD,

因为/Ou平面/5C。，所以尸OL4D,

由题意可知，等腰梯形/BCD的高为1,

故等腰梯形/BCD的面积为：S=|x(l+3)xl=2,

12

VpABCD=—x2xPO=—,

PO=\,

在Rt^POD中，PD=4i,PO=l.

：.OD=2,即49=1,

二。为的三等分点，

BOLAD.

又：尸0("|80=0,80u面尸08,尸Ou面尸08,

AD1平面POB,

:尸3u平面尸。3,PBVAD.

答案第11页，共19页

R

M

BC

(2)取O。中点E,连接BE,则四边形8CDE为平行四边形，

BE//CD.

,:M,N分别为PD,PC的中点，

MNHCD,

：.MNIIBE,

四点共面.

连接OC交BE于尸，连接NF,则二面角O-MN-B即二面角。-MN-尸.

P0±平面ABCD,CDu平面ABCD,

POLCD,

易知四边形3CE。为正方形，则

BEIICD,：.OCLCD,

又尸OPIOC=O,尸Ou平面尸OC,OCu平面尸OC,

/.。_1平面尸。。.

VMN//CD,MV_L平面尸。C,

:双。^:平面尸。。，NFu平面POC,

:.MN工NO,MNINF.

NONF是二面角。-ACV-B的平面角，

在RtA;VFO中，NF=、PO=L,OF==0C=旦,

2222

•CVe.NF百

••ON=—，••cos/ONF=---二—，

2ON3

，二面角。-B的余弦值为理.

3

16.(1)|

答案第12页，共19页

n-1

⑵沼1

2

⑶鲁局

【分析】（1）根据条件概率公式求解；

（2）设事件G="第〃轮甲轮空”，由全概率公式可得尸（。）的递推公式，利用构造法得

P（q）的通项公式；

（3）设一轮比赛中甲胜的局数为x,则x=o,i,2,前六轮比赛中甲参与的轮次数为y,则

y=3,4,5,6,分别求出x和y的期望，即可求解.

【详解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有：｛第一、二、三轮甲全胜｝,｛第一轮甲输，第三

轮甲胜｝,

设4="甲在第，轮获胜”，则尸（阕4）=八

'）尸⑷P（444）+P（44）"3

(2)设事件C“=“第〃轮甲轮空，，，Ki]p(c„)=Jp(c„_1c„)+jp(c„_1c„),

=尸(％)尸(CJc〃T)+尸(GT)尸©c„_,)=|[i-p(c„_1)],

.")W]P(CI)-"G)=O，

(3)设一轮比赛中甲胜的局数为X,则X=0,1,2,

P(X=0)=出=:，尸(x=D=c；出=；，

P(X=2)=&+C(>i...E(X)V

前六轮比赛中甲参与的轮次数为y,则y=3,4,5,6

9

P(Y=3)

16

答案第13页，共19页

4

尸(X=5)=叱

喈

，局胜的局数为:詈，：=绘（局）.

17.⑴ae(l,6]

3338

（2）①存在；一《；②5'~T

【分析】（1）设M（x,y）,记==-（〃-1）/-4>+/+4,根据对称轴的位置结合

二次函数的性质、基本不等式可得答案；

2

（2）由（1）得椭圆£：,+必=1,①设/优，%）,可得直线尸N、尸8方程，分别与椭圆

方程联立，利用韦达定理可得3、。两点坐标，求出8。的斜率即可；②由①知直线8。方

程，与直线/C方程联立，求出此代入椭圆方程得求出x,可得。的轨迹方程可得答案.

【详解】（1）设由题知,26=2,即6=1,

2

则'+/=1,即尤

a

22222

记/（7）=|JWP|=x+（y-2）=-（（z-1）/-4j^+a+4,

则“力在［-U］上的最大值为9,对称轴为〉=U<0,

①当胃1，即。e（l,百］时，/3）max=/（T）=9,成立；

②当方一7>-1，即4〉百时，

a-1

222

/（y）max=/f^-.V«+4+^-=«-l+^—++5>2L-l）^i-+5=9,

\a-\）a-1a-1V，如-1

4

当且仅当/-1=士，即/=3时等号成立，可知不成立；

a-1

综上，a£;

（2）由（1）得，/=4=pi=1一,

aaa

2

所以当Q二百时，离心率达到最大，此时，椭圆石：,+/=1,

答案第14页，共19页

3

①存在％=_1，理由如下,

设/伉,心），贝|JC（-X。,一线），其中,+左2焉=1,即（3^+1卜：=3,

…kx-2-

PA:y=--a——x+2,

%

kx-2石

y=---a------x+2

%

由，

2

工21

一+V=1

13'

得［（3左?+1卜；-12丘。+12卜：2

+12x0（kx0-2）¥+9%Q=0,

2

BP（5-4Ax0）x+4x0（Ax0-2）龙+3x：=0,

b”3町-3x%-2-3x5Ax-4

所以%=0＜'寸0+2=中0,

-3XQ5kx0—4j

所以8

4kx0-5'4g-5『

尸C：＞=尾±Z、+2,

x0

/a+2"

y=-2n—x+2

%

由，

2

X21

一+V=1

13'

得［（3人2+1）%；+12•o+12J%2+12/（kx。+2x+9x；—C,

艮|］（5+4布0）尤2+4x0（5kx0+2）x+3x：=0,

所以一“乱产-3/y=＞。+2乂_3/।2=5心+4

4Ax0+5'x04fa0+54Ax0+5

-3x05/+4、

可得。

4k%+5'4Ax°+5J'

5kXq+45kXq—4

4Ax+54Ax-5_18Ax

所以，8。的斜率〃=000

-3x0-3x030x05

4kxQ+54kxQ-5

②由①知,

3%5kx0—4316飙-2034

BD\y=——kxH———~~~—|+二——k7x+---------Ax7+—,

4Ax0—5J4AXQ—555恤-5）55

答案第15页，共19页

34

BDy——kxH—341

由55yy+丁n即nj=5,

AC:y=kx

13

将v=5代入椭圆方程得：％=±3，

所以，0的轨迹方程为y=:[-

所以，线段尸。长度的取值范围为

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这

个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

18.(1)。9=9,。8=54

n9n=2k—1

2k

⑵。“=’(keN*),S2k=k+3-l

2-32,n=2k

(3)存在，m-\

【分析】（i）设等差数列的公差为1，等比数列的公比为然后根据已知条件解方程组可

求出"应,从而可求出。9，。8；

（2）由（1）分奇偶项可求出通项公式，利用分组求和法求$2&；

（3）分am=a2k和a,“=alk_x两种情况讨论可求得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为“，

贝U—1,a?~2,。3=1+d,=2q,a,=1+2d,

因为83=%，所以1+2+1+d=2夕，即4+d=2q,

因为牝+。5=2+%,所以l+d+l+2d=2+2]，即3d=2g,

解得d=2应=3,

所以。9="1+4d=1+8=9M&—a?q3=2x33=54；

（2）由（1）知"=2,q=3,

所以对于AeN*,有。址T=1+2（左一1）=2左-1,3=2x3"、

答案第16页，共19页

n9n=2k—1

所以。〃=＜«_j(左wN*),

2-32,n=2k

S2k=(«1+a3+"-+a2*-4)+(a2+a4+'"+a2A.)

=[1+3+…+(2左一l)]+2(l+3+3,2+…+3

k(\+2k-\),、，1一3人

21-3

=k2+3k-i

(3)在数列｛%｝中，仅存在连续三项％,出，%按原来的顺序成等差数列，此时正整数加=1,

下面说明理：

若a1n=a2k,则由am+am+2=2am+i,得2x31+2x3*=2(2左+1)，

化简得4X3"T=24+1，

此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立，

若盘=出1，则由金+%+2=2〃]，得(2左-1)+(2左+I)=2x2x3i，

化简得后=3"T,

令(=[(左eN*)，则加-1=祟-£=詈＜。《eN-)，

所以1=7]＞“＞刀＞…，

所以只有1=1,此时左=1,相=2x1-1=1,

综上，在数列｛%｝中，仅存在连续三项为按原来的顺序成等差数列，此时正整数加=1，

【点睛】关键点点睛：此题考查等差数列和等比数列的基本量运算，考查等差数列和等比数

列的求和公式的应用，第(2)问解题的关键是分奇偶项利用分组求和法求解，考查计算能

力，属于较难题.

19.(1)单调递减区间是(-3,1),单调递增区间是(-*-3),(1,+s)

(2)证明见解析

(3)-1，-().

【分析】(1)根据函数/(x)=x(；ax2+gbx+c)有三个零点，且玉+迎