人教版数学八年级下册数学期末试卷综合测试卷含答案

人教版数学八年级下册数学期末试卷综合测试

一、选择题

1.函数>=正中，自变量x的取值范围是（）

x-1

A.x>0B.xNO且xAlC.x^lD.0<x<l

2.在以下列数值为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A.3.1,4.2,5.3B.3.2,4.3,5.4C.3.3,4.4,5.5D.3.4,4.5,5.6

3.下列哪组条件能判别四边形ABC。是平行四边形（）

A.AB//CD,AD=BCB.AB=CD,AD=BC

C.ZA=ZB,ZC=ZDD.AB=ADfCB=CD

4.甲，乙，丙，丁四个小组的同学分别参加了班级组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组

的平均分相同，其方差如下表.若要从中选出一个成绩更稳定的小组参加年级的比赛，那

么应选（）

组名甲乙丙T

方差4.33.243.6

A.甲B.乙C.丙D.T

5.如图，在四边形ABCD中，AB=8C=1,CD=26,AD=y/lQ,ABLBC,则四边

形ABC。的面积是（）

A.2.5B.3

C.3.5D.4

6.如图，在，ABC中，NB+NC=a,按图进行翻折，使B'A/C'GaBCB'E/AFG,则

NC'FE的度数是（）

aa

A.B.90°——C.a-90°D.2a-180°

2

7.如图，在中，ZC=90°,ZA=30°,AC=3,则A5的长是（

B.26C.373D.±2石

8.如图所示的图象（折线MCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发

地的距离s（千米）与行驶时间r（时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：

①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中

的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中

正确的说法共有（）

t（时）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

9.使代数式［已有意义的x的取值范围是.

10.如图，在菱形中对角线AC、2。相交于点。，若A3=3,BD=4,则菱形ABC。

的面积为.

D

11.如图，一个密封的圆柱形油罐底面圆的周长是10m,高为13m,一只壁虎在距底面

1m的A处，C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食，它爬行的最短路线长为

12.如图，在.ABC中，点、D,E分别是边A3,AC的中点，点尸是线段DE上的一点,

连接A尸，BF,ZAFB^90°.已知AB=6,3c=10,则所的长是.

13.若直线y=kx+b与直线y=2x-3平行且经过点A(1,-2),则kb=.

14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若NAOD=120。，AB=2,则BC

的长为.

区

15.正方形A与G。，ABOQQ,4B3GC2,…按如下图所示的方式放置.点4，4，

4,…和点G，Q,C3,...分别在直线丫=履+6(无＞0)和x轴上，已知正方形ABC。的

边长为1,正方形A与GG边长为2,则4的坐标是.

16.如图，在三角形纸片ABC中，ZACB=90°,BC=6,AB=10,如果在AC边上取一点

E,以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长

17.计算：

（1）

V2

（2）（V13+3）（旧-3）.

18.笔直的河流一侧有一营地C,河边有两个漂流点A,B、其中AB=AC,由于周边施

工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（4H,B在同

一直线上），并新修一条路C”，测得BC=10千米，C”=8千米，BH=6千米.

（1）判断ABC”的形状，并说明理由；

（2）求原路线AC的长.

19.图①、图②都是4x4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的

边长均为1,在图①、图②中已画出A3,点A、8均在格点上，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一个以为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC,点C为格

点；

（2）在图②中，画一个以42为底的等腰三角形点。为格点.

AA

图①图②

20.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC的中点，连接DE并延长至点F,使得DE=

EF,连接CF.

（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；

（2）若NA=N8,连接CD,BF.求证：四边形BFC。是矩形.

有这样一类题目：将而砺化简，若你能找到两个数m和n,使m2+n2=a且mn=加，

贝Ua+2场可变为m2+n2+2mn,即变成（m+n）2,从而使得Ja+22化简.

例如：5+276=3+2+276=（力）2+（0）2+2#=（力+应）2

"4"小5+2^/^==A/3+>/2

请你仿照上例将下列各式化简

⑴"+2若，（2）小一2屈.

22.福州地铁一号线实行里程分段计价票制，具体如下：起步价为5公里（含）2元；超

过5公里后，5公里〜15公里（含），按每5公里加收1元计价（不足5公里按5公里计

价）；15公里-29公里（含），按每7公里加收1元计价（不足7公里按7公里计

价）；29公里以上，按每9公里加收1元计价（不足9公里按9公里计价）.

（1）已知福州火车站到南门兜站地铁路程约为6公里，从福州火车站到南门兜站的地铁票

价为多少元？

（2）设地铁路线长为x公里，票价为y元，请直接写出当y=5时x的取值范围，并画出

当5<x<15时y关于x的函数的图象，

6

5

4

3

2

1

-1—►

O510152229x

23.如图，在菱形ABCD中，ZDAB=m°,E是对角线3D上一点，尸是线段延长线上

一点且BF=DE,连接AE.

（1）如图，若E是线段BD的中点，连接跖，其他条件不变，直接写出线段AE与斯的

（2）如图，若E是线段3D上任意一点，连接放，其他条件不变，猜想线段AE与政的

数量关系是什么？并证明你的猜想；

（3）如图，若E是线段DB延长线上一点，其他条件不变，且/及18=30。，菱形ABCD的

周长为4近，直接写出。尸的长度.

24.如图，点M（LO）,过点加做直线/平行于y轴，点3（-1,0）关于直线/对称点为C.

（1）求点C的坐标；

（2）点。在直线/上，且位于x轴的上方，将ABCD沿直线3。翻折得到AB4D,若点A

恰好落在直线/上，求点A的坐标和直线3。的解析式；

（3）设点尸在直线y=x上，点。在直线/上，当ACPQ为等边三角形时，求点尸的坐标.

25.已知，如图，在三角形AABC中，AB=AC=2Qcm,3。_LAC于。，且

30=165.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cro/s；同时点P由5点出

发，沿54方向匀速运动，速度为IOTI/S,过点尸的动直线P。//AC,交BC于点Q,连结

PM，设运动时间为f（s）（O＜，＜5）,解答下列问题：

备用图

（1）线段AD=cm；

（2）求证：PB=PQ.

（3）当二为何值时，以P、。、D、”为顶点的四边形为平行四边形？

26.如图所示，四边形ABCD是正方形，M是A3延长线上一点.直角三角尺的一条直角

边经过点。，且直角顶点E在A3边上滑动（点E不与点A3重合），另一直角边与NCBM

的平分线3尸相交于点尸.

⑴求证：ZADE=ZFEM-,

（2）如图（1）,当点E在边的中点位置时，猜想DE与政的数量关系，并证明你的猜想；

⑶如图（2）,当点E在4B边（除两端点）上的任意位置时，猜想此时DE与所有怎样的数量

关系，并证明你的猜想.

【参考答案】

一、选择题

1.B

解析：B

【分析】

根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可.

【详解】

解：由X20且X-1H0得出应0且XH1,

x的取值范围是x>0且XW1,

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关

键.

2.C

解析：C

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

解：A、3.12+4.22*5.32,故不是直角三角形；

B、3.22+4.32*5.42,故不是直角三角形；

c、3.32+4.42=5.52,故是直角三角形；

D、3.42+4.52*5.62,故不是直角三角形.

故选：C.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的

长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边

形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边

形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案.

【详解】

解：A、ABWCD,AD=8C不能判定四边形A8CO为平行四边形，故此选项错误；

B、AB=CD,判定四边形ABC。为平行四边形，故此选项正确；

C、ZA=ZB,NC=N。不能判定四边形A8CD为平行四边形，故此选项错误；

D、AB=AD,C8=C。不能判定四边形ABC。为平行四边形，故此选项错误；

故选B.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据方差的意义求解即可.

【详解】

解：由表格知，乙的方差最小，

所以若要从中选出一个成绩更稳定的小组参加年级的比赛，那么应选乙，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则与平均值的

离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

5.A

解析：A

【分析】

如下图，连接AC,在RtAABC中先求得AC的长，从而可判断△ACD是直角三角形，从而

求得△ABC和△ACD的面积，进而得出四边形的面积.

【详解】

如下图，连接AC

AB=BC=1,AB±BC

.,.在RtAABC中，AC=72，SABC=；X1X1=：

AD=V10,DC=2&

又•••(闾”2/了=(MF

，三角形ADC是直角三角形

/.5Ape=gxV5x2\/^=2

四边形ABCD的面积=《+2=：

故选：A.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测AADC是直角

三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可.

6.D

解析：D

【解析】

【分析】

设NADB，=Y，NAGC=B，NCEB，=y,NCFE=x,利用平行线的性质，三角形内角和定理

构建方程组即可解决问题.

【详解】

解：设NADB'=V，NAGC'=B，NCEB'=y,NC'FE=X,

B'D//C'G//BC,

:.Y=2B,p=AC,

y+B=NB+ZC=a,

•••EBZIIFG,

/.ZCFG=ZCEB'=y,

x+2y=180°①,

根据平行线的性质和翻折的性质可得：y=NB,BDUB'E,

y=/-B,

<y+y=2NB,

同理可得出：P+x=2ZC,

/.v+y+B+x=2a,

/.x+y=a②，

②x2-①可得x=2a-180°,

/.ZCFE=2a-180°.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参

数解决问题，属于中考常考题型.

7.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据30。所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：,在RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30。，

BC=-AB,

2

根据勾股定理得：AB--BC'=AC2,

即AB2=9,

解得：AB=2y/3,

故选：B.

【点睛】

本题考查了直角三角形30。角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形30。所对的直角边是斜

边的一半是解题的关键.

8.A

解析：A

【分析】

根据函数图像上的特殊点以及函数图像自身的实际意义进行判断即可.

【详解】

解：由图象可知，汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶

了280千米，①错；从3时开始到4时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在

停留，停留了4-3=1小时，②对；汽车用9小时走了280千米，平均速度为：280+9x30米

/时，③错.汽车自出发后6小时至9小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错.

故答案为A.

【点睛】

本题考查由函数图象的实际意义，理解函数图像所反映的运动过程是解答本题的关键.

二、填空题

9.x>-3

【解析】

【分析】

先根据分式分母不为零，再根据二次根式被开方数不为零得出不等式计算即可.

【详解】

解：有题意可知：

[x+320

则x+3>0

x>-3

故答案为：尤>-3

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件.是一道复合型的题目，要考虑前面

是重点.

10.A

解析：45/5

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出对角线AC的长，然后利用菱形面积公式计算即可.

【详解】

解：四边形48CD是菱形，BD=4,

:.OB=2,

AB=3,

22

OA=7AB-OB=A/32-22=A/5,

AC=2OA=2A/5,

贝ljS菱形ABCD=g=gx2岔x4=4百，

故答案为：475.

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出AC

是关键.

11.A

解析：13

【解析】

【分析】

根据题意画出圆柱的侧面展开图的平面图形，进而利用勾股定理得出答案.

【详解】

解：如图所示：

由题意可得：AZ)=5m,CD=12m,

则AC=>/122+52=13(m),

故答案为：13.

【点睛】

本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，正确画出平面图形是解题的关键.

12.D

解析：2

【分析】

利用三角形中位线定理得到DE=^BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到

DF=^-AB.所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可.

2

【详解】

解：•.,点0、E分别是边AB、AC的中点，

0E是△ABC的中位线，

BC=10,

1

DE=-BC=5.

2

l.'ZAFB=90°,。是AB的中点，AB=6,

I

DF=-AB=3,

2

EF=DE-DF=5-3=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理的应用以及直角三角形斜边的中线定理，解题的关键是了

解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

13.A

解析：-8

【分析】

由平行线的关系得出k=2,再把点4(1,-2)代入直线y=2x+b,求出b,即可得出结

果.

【详解】

解：1.直线y=kx+b与直线y=2x-3平行，

k=2,

直线y=2x+b,

把点A(1,-2)代入得：2+b=-2,

/.b=-4,

/.kb=-8.

故答案为：-8.

【点睛】

本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数的解析式，解题的关键在于能够熟练掌

握相关知识进行求解.

14.2K

【分析】

由条件可求得二AC®为等边三角形，则可求得AC的长，在WABC中，由勾股定理可求得

2c的长.

【详解】

ZAOD=120°,

ZAOB=60°,

四边形A5CD为矩形

AO=OC=OB,

二.AOB为等边三角形，

AO=OC=OB=AB=2,

AC=4,

在咫ABC中，由勾股定理可求得2。=2班.

故答案为：2A.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键.

15.(63,64)

【分析】

由题意易得，然后把点的坐标代入直线求解，进而可得点，，..…；由此可得规

律为，最后问题可求解.

【详解】

解：四边形，是正方形，且正方形的边长为，正方形边长为，

解析：(63,64)

【分析】

由题意易得A(0,1),4(1,1),G(1,o),&(1,2),然后把点a,4的坐标代入直线

丫=区+"左＞0)求解，进而可得点4(3,4),4(7,8),..…；由此可得规律为

4(2"T-1,2片),最后问题可求解.

【详解】

解：.•.四边形A4C0,4B2C2G是正方形，且正方形A4G。的边长为1,正方形

422c2cl边长为2,

OA=4G=ocx=44=1,&q=c,c2=B2C2=A2B2=2,

■.A(O,I)，4(I,I)C(I,O)，A(I,2),OC2=OC1+C,C2=3,

■•1点A，&，4.…在直线了=履+。(左＞。)上，

[k+b=2[k=l

二把点A，4的坐标代入得：,,,解得：八J

0=10=1

直线y=x+i,

当x=3时,则有y=3+1=4,

A(3,4),

同理可得4(7,8),

21-1-1=0,22-'-1=1,23-1-1=3,24-1-1=7,.....；

(^1-1,2"-'),

.­.4(63,64)；

故答案为(63,64).

【点睛】

本题主要考查正方形的性质及一次函数的应用，熟练掌握正方形的性质及一次函数的图象

与性质是解题的关键.

16.3

【分析】

利用勾股定理可求出AC=8,根据折叠的性质可得BD=AB,DE=AE,根据线段的

和差关系可得CD的长，设CE=x,则DE=8-x,利用勾股定理列方程求出x的值

即可得答案.

【详解】

解析：3

【分析】

利用勾股定理可求出AC=8,根据折叠的性质可得BD=AB,DE=AE,根据线段的和差关系可

得CD的长，设CE=x,则DE=8-x,利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.

【详解】

ZACB=90°,BC=6,AB=10,

AC=7AB2-BC2=A/102-62=8，

：BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，

BD=AB=10,DE=AE,ZDCE=90°,

CD=BD-BC=10-6=4,

设CE=x,贝1]DE=AE=AC-CE=8-x,

...在RtADCE中，DE2=CE2+CD2,即(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

CE=3,

故答案为：3

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相

等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键.

三、解答题

17.(1)5；(2)4

【分析】

(1)先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法计算法则求解即

可；

(2)利用平方差公式进行求解即可.

【详解】

解：(1)

(2)

【点睛】

本

解析：(1)5；(2)4

【分析】

(1)先利用二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法计算法则求解即可；

(2)利用平方差公式进行求解即可.

【详解】

+

解：⑴瓜平

72

20+30

=&

=5；

(2)(V13+3)(713-3)

=(V13)*2-32

=13-9

=4.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的除法，二次根式的混合计算，平方差公式,

解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.

18.(1)△HBC是直角三角形，理由见解析；(2)原来的路线AC的长为千

米.

【分析】

(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；

(2)根据勾股定理解答即可.

【详解】

解：（1）ABCH是直角三角形，

理

25

解析：（1）AHBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为■千米•

【分析】

（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根据勾股定理解答即可.

【详解】

解：（1）ABC”是直角三角形，

理由是：在^CHB中，

CH2+BH2=82+62=100,

8c2=100,

CH2+BH2=BC2,

•△HBC是直角三角形且NCHB=90°；

（2）设AC=AB=x千米，贝!|/W=AB-BH=（x-6）千米，

在RtAACH中，由已知得AC=x,AH=x-6,CH=8,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2,

：.x2=（x-6）2+82,

25

解这个方程，得x=］，

答：原来的路线AC的长为三千米.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理.

19.（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【解析】

【分析】

（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；

（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形.

【详解】

（1）如图所示：即为所求；

解析：（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【解析】

【分析】

（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；

（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形.

【详解】

（1）如图所示：ABC即为所求；

（2）如图所示：—ABD即为所求.

【点睛】

本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键.

20.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据三角形中位线定理可得，结合已知条件，根据一组对边平行且相等即

可证明四边形ADFC是平行四边形；

（2）先证明是平行四边形，进而根据等角对等边可得，由（

解析：（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据三角形中位线定理可得=2AC,结合已知条件，根据一组对边平行且相等即

可证明四边形ADFC是平行四边形；

（2）先证明CD2尸是平行四边形，进而根据等角对等边可得AC=3C,由（1）可知

AC=Db,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.

【详解】

（1）D,E分别是AB,BC的中点，

OE〃AC且。E=

DE=FE,

：.DF//ACS.DF=AC,

•四边形ADFC为平行四边形.

（2）连接BF,CD,如图，

由(1)知四边形ADFC为平行四边形，

CF//ABS.CF=AD,

。是AB的中点，所以A£>=8D,

CF//DB旦CF=BD,

•四边形BFCD为平行四边形，

ZA=N8,

/.AC=BCf

由(1)知，DF=AC,

：.DF=BC,

二四边形BFCD为矩形.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，掌握以上性

质与定理是解题的关键.

21.(1)1+；(2).

【解析】

【分析】

参照范例中的方法进行解答即可.

【详解】

解：(1),

,•;

(2),

解析：(1)1+百；(2)格-亚.

【解析】

【分析】

参照范例中的方法进行解答即可.

【详解】

解：(1)；4+26=仔+26+(石>=(1+白-，

"+2石=J(1+回=1+技

(2)7-2屈=(后_2W+(&y=(且无了,

77-2710=J（正-0）2=&&

22.（1）3元；（2）15Vx422,见解析

【分析】

（1）根据起步价为5公里（含）2元；超过5公里后，5公里〜15公里

（含），按每5公里加收1元计价（不足5公里按5公里计价），5<6<15,

票价在2

解析：（1）3元；（2）15<x<22,见解析

【分析】

（1）根据起步价为5公里（含）2元；超过5公里后，5公里〜15公里（含），按每5公

里加收1元计价（不足5公里按5公里计价），5<6<15,票价在2元的基础上加1元即

可；

（2）根据票价为5元，按着铁路收费的标准即可求出铁路长的取值范围，根据题意画出图

象.

【详解】

解：⑴5<6<15,且6-5=1<5,

,从福州火车站到南门兜站的地铁票价为2+1=3（元），

答：从福州火车站到南门兜站的地铁票价为3元；

（2）当票价为5元时，由题意知：

铁路长5公里时票价2元，10公里时票价2+1=3元，

15公里时票价3+1=4元，

x>15,

又•二15公里-29公里（含），按每7公里加收1元计价（不足7公里按7公里计价），

•••铁路长22公里时票价4+1=5元，

二x<22,

因此x的取值范围：15<x<22,

根据上面计算结果，画函数图象如图所示.

6-

5-

4-0~~•

3-I:

2-：;：

1■：:j

O|510152229

【点睛】

本题考查一次函数的应用，关键是分清铁路长在不同范围内的票价情况.

23.（1）；（2）,证明见解析；（3）7

【分析】

（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质

和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结

论.

⑵

解析：（1）AE=EF；（2）AE=EF,证明见解析；（3）7

【分析】

（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出/ABD=60。，由等边三角

形的性质和已知条件得出BE=BF,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出

ZBAE=NF,即可得出结论.

（2）过点E作EG//AB交AD于点G,先证明是等边三角形，得出A£>=皮），

ZADB=60°,再证明ADGE是等边三角形，得出DG=DE=GE,ZDGE=60°,然后由&4s

证得AAGEMAEBF,即可得出结论.

（3）过点E作EG//AB交0A延长线于点G,证明同（2）,得出AE=£F,证明

ZDAE=ZDAB+ZEAB=90°,ZAED=30。，则=2AD=，AE=—AD=y/21=EF,得

3

出NE4B=NEE4=30。，ZAEF=120°,贝I]NDEF=N4EF-ZAED=90。，由勾股定理即可得出

结果.

【详解】

解：（1）AE=EF；理由如下：

四边形A8CD是菱形，

.'.AD=AB,

ZDAB=60°,

/.ADAB是等边三角形,

:.ZABD=60°,

£是线段的中点，

:.ZBAE=ZDAE=30°,BE=DE,

BF=DE,

.\BE=BF,

ZF=ZBEF=-ZABD=30°,

2

..ZBAE=NF=30。,

.\AE=EF.

故答案为AE=EF；

（2）猜想线段AE与石尸的数量关系为：AE=EF；

证明：过点£作£G7/AB交于点G,如图所示：

D

A/VBF

四边形ABC。为菱形，ZDAB=60°f

:.AD=AB,ZABC=120°,AD//BC,S记与AD5C都是等边三角形,

：.ZDBC=60°,ZCBF=ZDAB=6D°,

ZEBF=120°f

又EGIIAB,

:.ZDGE=ZDAB=^°,

又二ZADB=60°,

AZX7E是等边三角形，

:.DG=DE=GE,

:.AG=BE,ZAGE=120°=ZEBFf

又BF=DE,

:.GE=BF,

在AAGE和AEB厂中，

AG=EB

</AGE=ZEBF,

GE=BF

:.AAGE=AEBF(SAS),

.\AE=EF；

(3)过点E作£G//AB交ZM延长线于点G,如图：

四边形ABC。为菱形，ZDAB=60°,菱形ABC。的周长为4近,

「.AZ14B是等边三角形，AD=AB=BC=CD=币,

.\AD=BD,ZADB=60°,

.*.Z£BF=60°,

又EGIIAB,

:.ZDGE=ZDAB=6O°f

又ZADB=60°,

AZXJE是等边三角形，

:.DG=DE=GE,

：.AG=BE,ZDGE=ZEBF,

又BF=DE,

:.GE=BF,

在AAGE和AES尸中，

AG=BE

<AAGE=ZEBF,

GE=BF

:.AAGE=AEBF(SAS),

.\AE=EF,

ZDAB=60°,ZEAB=30°f

,\ZDAE=ZDAB+ZEAB=600+30o=90°,

ADAB是等边三角形，

.\ZADB=60°,

/.ZAS)=180°-ZZME-ZAZ)E=180°-90°-60°=30°,

在HVDAE中，ZAED=30°,

DE=2AD=2近，AE=6AD=721=EF,

AE=EF,

.\ZEAB=ZEFA=30°,

ZAEF=180°-30°-30°=120°,

.­.ZDEF=ZAEF-ZAED=120°-30°=90°,

由勾股定理得：DF=y/DE2+EF2=7(2^)2+(^)2=A/49=7.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的

判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30。角直角三角形的性质、勾股定理、平行线

的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性

质，证明三角形全等和等边三角形.

24.(1)(3,0)；(2)A(1,)；直线BD为；(3)点P的坐标为(，)或(，).

【解析】

【分析】

(1)根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；

(2)由折叠的性质，得AB二CB,

解析：(1)(3,0)；(2)A(1,273);直线8口为丫=』11+走；(3)点P的坐标

33

为(®i,@±1)或(三8,上史),

2222

【解析】

【分析】

(1)根据题意，点B、C关于点M对称，即可求出点C的坐标；

（2）由折叠的性质，得AB=CB,BD=AD,根据勾股定理先求出AM的长度，设点D为

（1,a）,利用勾股定理构造方程，即可求出点D坐标，然后利用待定系数法求直线BD.

（3）分两种情形：如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ,PA.证明点P在AC的垂

直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可.如图3中，当点P在第三象限时，同法可得

ACAQ^△CBP,可得NCAQ=NCBP=30。，构建方程组解决问题即可.

【详解】

解：（1）根据题意，

1•点B、C关于点M对称，且点B、M、C都在X轴上，

又点B（-1,0），点M（1,0）,

.•.点C为（3,0）；

（2）如图：

由折叠的性质，得：AB=CB=4,AD=CD=BD,

BM=2,ZAMB=90°,

■■■AM=ylAB2-BM2=｛不一展=2百，

■■点A的坐标为：（1,273）;

设点D为（1,a）,则DM=a,BD=AD=2右一a,

在RtABDM中，由勾股定理，得

（2占-a）2=22+/,

解得：a=正,

3

・••点D的坐标为：（L空）;

3

设直线BD为>=履+），贝|

'—k+b=0\k=—

・・.直线BD为：y=^-x+-^~;

33

（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ,PA.

图2

•「△ABC,△CPQ都是等边三角形,

/.ZACB=ZPCQ=60°,

/.ZACP=ZBCQ,

/CA=CB,CP=CQ,

「.△ACPM△BCQ(SAS),

/.AP=BQ,

•「AD垂直平分线段BC,

/.QC=QB,

PA=PC,

・・・点P在AC的垂直平分线上，

A/3+1

73>/3x=

由「一32，解得，2

2/3+I

.产尤y=

2

%】).

2

如图3中，当点P在第三象限时，同法可得4CAQ2△CBP,

图3

/.ZCAQ=NCBP=30°,

B(-1,0)，

•••直线PB的解析式为y=_且尤—I,

33

f673\x=^

,y=-----x--------2

...Piz^).

22

【点睛】

本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角

形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方

程组确定交点坐标，属于中考压轴题.

25.(1)12；(2)证明见详解；(3)或t=4s.

【分析】

(1)由勾股定理求出AD即可；

(2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出NPBQ=NPQB,再由等腰三角形

的判定定理即可得出结论；

解析：(1)12；(2)证明见详解；(3)或t=4s.

【分析】

(1)由勾股定理求出AD即可；

(2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出NPBQ=NPQB,再由等腰三角形的判定定理

即可得出结论；

(3)分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,

得出MD=AD-AM=12-4t,由PQIIMD,当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出

方程，解方程即可；

②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t,AM=4t,AD=12,得出MD=AM-

AD=4t-12,由PQIIMD,当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得