2019-2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步6.1.3向量的减法课时27向量的减法练习含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-课时27向量的减法知识点一向量的减法运算1.下列各式中不能化简为Aeq\o(D,\s\up6(→))的是()A．(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→)))－eq\o(CB,\s\up16(→))B．eq\o(AD,\s\up16(→))－(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))C．－(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→)))－(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DM,\s\up16(→)))D．－eq\o(BM,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))答案D解析因为(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→)))－eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝Aeq\o(C,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))；eq\o(AD,\s\up16(→))－(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－0＝eq\o(AD,\s\up16(→))；－(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→)))－(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DM,\s\up16(→)))＝－(eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CM,\s\up16(→)))－(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(DM,\s\up16(→)))＝－eq\o(MD,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))－eq\o(DM,\s\up16(→))＝eq\o(DM,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(DM,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))；－eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋2eq\o(MB,\s\up16(→)).故选D.2.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝________，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.答案eq\o(CD,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))解析eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).知识点二用已知向量表示其他向量3.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(BC,\s\up6(→))为()A．a＋bB．－a－bC．－a＋bD．a－b答案B解析由平行四边形对角线互相平分的性质知eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，即Oeq\o(C,\s\up6(→))＝－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.4．已知从点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量eq\a\vs4\al(\o(DO,\s\up6(→)))等于________．答案b－a－c解析如图，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝a＋(c－b)＝a＋c－b.故eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝b－a－c.知识点三向量减法几何意义的应用5.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，试作向量并分别求模：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解(1)如图，由已知得，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，∴延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up6(→))，且|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).(2)如图，作eq\o(BF,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))，则eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，而eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))且|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2.6．如图所示，已知在矩形ABCD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，求|a－b－c|.解如图，b＋c＝eq\o(BD′,\s\up6(→))，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(D′B′,\s\up6(→))，则|a－b－c|＝|eq\o(D′B′,\s\up6(→))|＝eq\r(2×4\r(3)2＋2×82)＝8eq\r(7).易错点不能运用向量加减法的几何意义作图致误7.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则eq\f(|a＋b|,|a－b|)＝________.易错分析不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．答案eq\r(3)正解如图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB.∴△OAB为正三角形，设其边长为1，则|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1，|a＋b|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴eq\f(|a＋b|,|a－b|)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).一、选择题1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则Beq\o(C,\s\up6(→))－Ceq\o(D,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→))等于()A．Beq\o(C,\s\up6(→))B．eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BC,\s\up6(→)).2．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．a＋bB．b－aC．c－bD．b－c答案D解析eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－c.3．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中错误的是()A．a∥bB．a≠bC．|a|≠|b|D．b＝－a答案C解析由相反向量定义知，a与b方向相反，长度相等．故选C.4．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形答案C解析以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→)).由m，n的长度相等，可知两对角线相等，因此平行四边形是矩形．故选C.5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝16，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝()A．2B．4C．16D．8答案A解析因为|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|Aeq\o(M,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|Beq\o(C,\s\up6(→))|＝2.二、填空题6．(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))＝________；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(AB,\s\up6(→))(2)eq\o(CB,\s\up6(→))解析(1)原式＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋Beq\o(O,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).7．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝12，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．答案13解析a，b，a－b构成了一个直角三角形，则|a－b|＝eq\r(|a|2＋|b|2)＝eq\r(52＋122)＝13.8．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))相等的向量有________(填序号)．①eq\o(CF,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(BE,\s\up6(→))；④eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)).答案①④解析eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，①正确．④中eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，故④正确．⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，⑤错误．⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，⑥错误．⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，⑦错误．三、解答题9.如图所示，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)).解eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝d－a，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝d－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－a＋f－c，eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(