2025年高考数学大题复习：圆锥曲线中定值问题的七种类型（原卷）

第10讲圆锥曲线中定值问题的七种类型

考法呈现

和线段有关的最值

弘题型一：和斜率有关的定值问题

例题分析

【例1】

已知4B是椭圆C上的两点，4(2,1),力、B关于原点。对称，M是椭圆C上异于48的一点，直线MA和MB的斜

,

率满足媪4kMB=—

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率存在且不经过原点的直线Z交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点)，当小OPQ的面积最大

时，求kop/.Q的值.

求定值问题常见类型以及解题策略：

(1)常见类型：

①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再化

简，即可得出定值；

②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条件化简，

即可证明；

③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值，写出各量的目标函数

解析式，再做消参处理即可.

(2)常用策略：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

0变式训练

【变式1-1】椭圆。:5+《=1(£1>8>0)的离心率6=巳，过点(0,⑹.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点(go)且斜率不为0的直线I与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为4求直线4M与直线力N的斜率之

积.

2-

【变式1-2］如图，椭圆后v宏+俨=i(a>1)的左、右顶点分别为4B,Q(—a,a),N为椭圆上的动点且在第

一象限内，线段QN与椭圆E交于点M(异于点N),直线0Q与直线交于点P,。为坐标原点，连接M4M4,AP,

且直线力M与BP的斜率之积为-七.

⑴求椭圆E的方程.

(2)设直线力N,4P的斜率分别为右,卜2,证明：a/2为定值・

【变式1-3］在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(l,0),定直线1:久=4,动点P在/上的射影为Q,且满足

\PQ\=2\PF\.

(1)记点P的运动轨迹为E,求E的方程；

(2)过点F作斜率不为0的直线与E交于M,N两点，/与x轴的交点为“，记直线MH和直线NH的斜率分别为

klfk2f求证：fci+fc2=0.

弘题型二：和面积有关的定值问题

22

【例2】已知椭圆C：S+a=l(a>6>0)的左、右顶点分别为4B,长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运

动,且AABP面积的最大值为8.

⑴求C的方程；

⑵若直线I经过点Q(l,0),交C于M,N两点，直线力MBN分别交直线久=4于D,E两点，试问AABD与△力QE

的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

变式训练

【变式2-1】已知双曲线C:《—9=l(a〉0,b>。)，渐近线方程为y±；=0,点4(2,0)在C上;

(1)求双曲线C的方程；

⑵过点4的两条直线4P,4Q分别与双曲线C交于P,Q两点(不与4点重合)，且两条直线的斜率的，伍满足自+

卜2=1，直线PQ与直线工=2,y轴分别交于M,N两点，求证：△4MN的面积为定值.

222

【变式2-2】已知椭圆Ci：+y2=1(a>1)与椭圆C?：=1(0<&<2V3)的离心率相同，且

椭圆。2的焦距是椭圆Ci的焦距的百倍.

⑴求实数。和6的值；

(2)若梯形力BCD的顶点都在椭圆的上，AB//CD,CD=24B,直线3c与直线4D相交于点尸.且点尸在椭

圆。2上，试探究梯形力BCD的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

222

【变式2-3】已知椭圆的:宏+方=l(a>%>0),椭圆的：亍+俨=1.点P为椭圆。2上的动点，直线。P与

椭圆A交于力，B两点，且a=2而.

⑴求椭圆的的标准方程；

(2)以点P为切点作椭圆。2的切线I，/与椭圆的交于C,。两点，问：四边形力CBD的面积是否为定值？若是，

求出该定值；若不是，求出面积的取值范围.

为题型三：和周长有关的定值问题

【例3】已知尸为圆C：久2+'2一2久一15=0上一动点，点N(-1,O),线段PN的垂直平分线交线段PC

于点

⑴求点Q的轨迹方程；

⑵点M在圆/+产=3上，且M在第一象限，过点“作圆/+产=3的切线交。点轨迹于4,2两点,

问AABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

【变式3-1】已知椭圆「：《+/=l(a>6>0)的左焦点为F,左、右顶点分别为4B,上顶点为P.

(1)若APF8为直角三角形，求r的离心率；

⑵若a=2,b=1,点Q,Q'是椭圆「上不同两点，试判断"|PQ|=|PQ「是"Q,Q'关于y轴对称”的什么条件?

并说明理由；

(3)若a=2,b=点T为直线％=4上的动点，直线747B分别交椭圆「于C,D两点，试问AFCD的周

长是否为定值？请说明理由.

22

【变式3-2】已知椭圆。京+力=l(a>6>0)的长轴长为4,A,8是其左、右顶点，M是椭圆上异于/,

3

B的动点，且左此4，=~7,

4

(1)求椭圆。的方程；

(2)若尸为直线x=4上一点，PA,网分别与椭圆交于C,。两点.

①证明：直线CD过椭圆右焦点电；

②椭圆的左焦点为F1，求AC%。的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

【变式3-3］在平面直角坐标系％Oy中，动圆尸与圆Q:(久++y2=；内切，且与圆。2：(%-1)2+y2=：

44

外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为公、&，7为直线1：%=4上的动点，且T不在久轴上，直线T%与C的另

一个交点为M,直线T42与C的另一个交点为N,F为曲线C的左焦点，求证：AFMN的周长为定值.

弘题型四：和线段有关的定值问题

例题分析

22

【例4】如图，已知椭圆的:%+方=l(a>6>0)的左右焦点分别为%,尸2，点4为Ci上的一个动点(非左

右顶点)，连接力Fi并延长交的于点B,且△力的周长为8,面积的最大值为2.

⑴求椭圆Ci的标准方程；

(2)若椭圆。2的长轴端点为尸1，尸2，且。2与Q的离心率相等，P为与。2异于Fi的交点，直线PFZ交加于M,N

两点，证明：|4B|+|MN|为定值.

【变式4-1】已知椭圆C：5+，=l(a>b>0)的焦距为4,左右顶点分别为公,42，椭圆上异于41，42

的任意一点尸，都满足直线P4,P42的斜率之积为-去

(1)若椭圆上存在两点BQ&关于直线y=%+m对称，求实数冽的取值范围;

(2)过右焦点4的直线交椭圆于M,N两点，过原点。作直线儿W的垂线并延长交椭圆于点2那么，是否

存在实数上使得高+春为定值？若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

【变式4-2］在平面直角坐标系xOy中，圆％：(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圆鼻上的一个动点，线段

PF2的垂直平分线I与直线PFi交于点M.记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程;

(2)过点尸2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于，，B两点，线段N3的垂直平分线交x轴于点“，求证:

黑为定值.

仍2”1

【变式4-3】已知椭圆C：?+捺=19>8>0)过点。(0,-1),且有两个顶点所在直线的斜率为右过椭圆

左顶点2的直线I与椭圆C交于点M,与y轴交于点N.

⑴若的面积为也求直线/的方程;

(2)设过原点。且与直线(平行的直线/‘交椭圆于点P,求证：端等为定值.

为题型五：和参数有关的定值问题

【例5】已知双曲线C:，，=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为鼻,尸2，且1%加=4,C的一条渐近线

与直线l：y=-/x垂直.

(1)求C的标准方程；

(2)点M为C上一动点，直线M%,MF2分别交C于不同的两点力，队均异于点M),且丽=苏",哂=

问：4+〃是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【变式5-1]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆D:(x-I)2+(y-2)2=4恰与C的准线相切.

(1)求C的方程及点F与圆。上点的距离的最大值；

(2)。为坐标原点，过点M(0,l)的直线/与C相交于4,3两点,直线4。,8。分别与37轴相交于点2,0,丽=祖丽,

MQ-nMO,求证：以为定值.

【变式5-2】已知圆锥曲线E上有两个定点M(VX1)、N(——1),P为曲线E上不同于M,N的动点，

且当直线PM和直线PN的斜率丽，题都存在时，有kpM,kpN=—[.

(1)求圆锥曲线£的标准方程；

⑵若直线/：%=爪'+鱼与圆锥曲线后交于/、8两点，交x轴于点尸，点/,F,3在直线1：x=2V2±

的射影依次为点。，K,G

①若直线/交y轴于点7,且a=%q，TB=A2BF,当加变化时，探究%+乙的值是否为定值？若是，

求出％+4的值；否则，说明理由；

②连接/G,BD,试探究当机变化时，直线/G与2。是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予

证明；否则，说明理由.

【变式5-3】已知椭圆捺+5=1（。＞6＞0）的离心率为手，四个顶点构成的四边形面积为2a.

⑴求椭圆方程；

（2）若直线y=kx+m交椭圆于力Oi，%），3（无2，丫2），且SAAOB=苧，求证/+虐为定值.

弘题型六：和距离有关的定值问题

,*&例题分析

：=_

【例6】如图，已知直线=百%,Z2yV3x,M是平面内一个动点，%4〃%且MZ与匕相交于点A（A位

于第一象限），MB〃h，且MB与"相交于点B（B位于第四象限），若四边形（MMB（。为原点）的面积为日.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

⑵过点（2,0）的直线I与C相交于P,Q两点，是否存在定直线Lx=t,使以PQ为直径的圆与直线］相交于E,F

两点，且盥为定值，若存在，求出/'的方程，若不存在，请说明理由.

【变式6-1】已知双曲线C:?—5=1（。＞0,匕＞0）的离心率为亨，且经过点M（2,0）.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知过点G（%i，yi）的直线+4yly=4与过点”（%2，y2）（%2丰的直线+4y2y=4的交点N

在双曲线。上，直线GH与双曲线。的两条渐近线分别交于P,。两点，证明4|。川2-|。尸|2一|0（2|2为定

值，并求出定值.

【变式6-2】已知双曲线。9一*=1,直线/过C的右焦点F且与C交于MN两点.

(1)若M,N两点均在双曲线C的右支上，求证：焉+亳为定值；

\Mr\\DJr|

(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【变式6-3】已知双曲线。捻-9=l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±届，过其右焦点厂且垂直于x

轴的直线与C交于4,2两点，且|4B|=6.

(1)求C的方程.

(2)设P(&,yo)为C上的动点，直线I：贵—翠:=1与直线48交于点与直线x=t(与直线4B不重合)交

于点N.是否存在/,使得黑为定值？若存在，求才的值，若不存在，请说明理由.

弘题型七：和向量有关的定值问题

।函例题分析

【例7】已知双曲线C:/—3=l(b>0)的左、右焦点分别为Fi，尸2,4是C的左顶点，C的离心率为2.设

过尸2的直线，交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限.

(1)求c的标准方程；

(2)若直线4P、4Q分别交直线x=T于"、N两点，证明：丽・福为定值；

(3)是否存在常数人使得=%”力?2恒成立？若存在，求出％的值；否则，说明理由.

【变式7-1】已知椭圆M:5+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,斜率不为0的直线I过点Fd

与椭圆交于4B两点，当直线2垂直于x轴时，\AB\=3,椭圆的离心率e=1.

(1)求椭圆M的方程；

(2)在x轴上是否存在点P,使得方•而为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式7-2］如图椭圆C：5+3=1((1>6〉0)的离心率为争点(一1,里)在椭圆0上.过椭圆的左焦点产

的直线/与椭圆C交于C,。两点，并与了轴交于点M,A,3分别为椭圆的上、下顶点，直线4D与直线

8c交于点N.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知。为坐标原点，当点M异于/,3两点时，求证：加•而为定值.

【变式7-3】图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E5+3=l(a>6>0)过点(1,今，且椭圆的离心率为当

直线Z:y=x+t与椭圆E相交于48两点，线段的中垂线交椭圆E于C、D两点.

(1)求E的标准方程;

(2)求线段CD长的最大值;

(3)证明：尼•同为定值，并求此定值.

变式训练

国真题专练

v2.-1

1.设A,B,C为椭圆及金+产=旧>1)上的三点，且点4c关于原点对称，kAB-kBC=-1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若点2关于原点的对称点为。，且的c•MD=-最证明：四边形48co的面积为定值.

2.已知抛物线E:y2=2px(p>0),双曲线C:/一。=1,点力(右,乃)在C的左支上，过力作久轴的平行线交E

于点M,过M作E的切线匕，过4作直线G交"于点P，交E于点N,且而=前.

(1)证明：%与E相切；

(2)过N作x轴的平行线交C的左支于点8(久2，、2)，过P的直线£平分4MPN，记b的斜率为k2MPN=心若

COS0=一卜2,证明：—+!恒为定值.

XlX2

22

3.已知双曲线C:%-3=1((1>0,6>0)的离心率为2,焦点到一条渐近线的距离为旧.

(1)求双曲线C的方程.

(2)若过双曲线的左焦点F的直线/交双曲线于4B两点，交y轴于P,设方=4而=〃丽.试判断4+〃是否

为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

4.已知双曲线。捺-段=l(a>0)的虚轴长为2必，左焦点为下.

(1)设O为坐标原点，若过尸的直线/与C的两条渐近线分别交于/,8两点，当11。8时，求A40B的面

积；

(2)设过尸的直线/与C交于"，N两点，若x轴上存在一点P,使得|而『-(忸花『+|丽。为定值，求

出点P的坐标及该定值.

22—

5.已知椭圆C:%+3=l(a>6>0)的右焦点为F,点P,Q在椭圆C上运动，且|PF|的最小值为逐一百；

当点P不在久轴上时点P与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为-

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线2y=0与椭圆C在第一象限交于点A,若NPAQ的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ

的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.

6.以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边

三角形被称为勒洛三角形.如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形。尸。为勒洛三角形，且P(2,§,。在极

轴上，C为舁的中点.以极点。为直角坐标原点，极轴。x为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.

(1)求宛所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程；

⑵过。引一条射线，分别交圆尸，直线C。于4,2两点，证明：|。川-lOBl为定值.

7.已知椭圆C：[+S=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸疗2,离心率为]尸为椭圆C上一点(除左、

ab2

右顶点)，直线尸£,PF2与椭圆C的另一个交点分别为4B,且西=小无?，配=n取，当加=1

时，|P川=3.

(1)求椭圆。标准方程；

(2)试判断机+n是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由.

8.在非RtAABC中，已知sin/lsinBsin(C—8)=后也?。，其中tan。=■!(()<8<■!)・

⑴若tanC=2,A=l,求高+熹的值;

⑵是否存在2使得++熹+意为定值？若存在，求a的值，并求出该定值为多少；若不存在，请说明理由.

9.已知圆。的方程为/+y2=4,尸为圆上动点，点/坐标为(1,0),连OP,FP.过点P作直线灯的垂

线/,线段尸尸的中垂线交。尸于点直线松交/于点N.

⑴求点/的轨迹方程；

(2)记点/的轨迹为曲线C,过点G(4,0)作斜率不为0的直线〃交曲线。于不同两点S,R,直线x=l与直

线〃交于点“，记4=1^〃=＞受，问：九〃是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

HFSGFR

v2,,2

10.已知椭圆E:%+患=1,。＞6＞0)的离心率为墨短轴长为2.

(1)求椭圆£的方程；

(2)如图，已知4B,C为椭圆E上三个不同的点，原点。为△ABC的重心；

①如果直线AB,0C的斜率都存在，求证：为定值；

②试判断△ABC的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

11.已知椭圆E：捻+]=l(a>b>0)的离心率为乎,短轴长为4.

(1)求椭圆£的方程；

(2)设直线y=k久-l(keR)与椭圆E交于C,D两点,在y轴上是否存在定点0,使得对任意实数左，直线

QC,。。的斜率乘积为定值？若存在，求出点0的坐标；若不存在，说明理由.

_-.2.,2-I

12.已知椭圆E:云+与=16>6>0)的离心率为右其左、右顶点分别为4B,左、右焦点为鼻,52，点

P为椭圆上异于4B的动点，且APF1F2的面积最大值为百.

⑴求椭圆E的方程；

⑵设过定点7(-1,0)的直线交椭圆E于M,N两点(与4B不重合)证明：直线AM与直线BN的交点的横坐

标为定值.

„2.,2、/7

13.已知椭圆C展+与=l(a>b>0)的离心率为苧椭圆C的左、右顶点分别为4,42,上顶点为。，点41

到直线42。的距离为亨

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点(2,1)的直线I交椭圆C于P,Q两点，过点P作x轴的垂线交直线42(2于点M,点N为PM的中点，证明:

直线4N的斜率为定值.

14.已知椭圆氏5+3=1(口>6>。)的离心率为苧，且过点(1,日).

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线/:%=1与无轴交于点M,过时作直线/1/2/1交£于43两点，％交后于&。两点.已知直线AC交，于点G,

直线BD交2于点H.试探究黑是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

\MH\

15.已知椭圆出5+，=19>6>0)的离心率为0,且过(2,0),(l,e)两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若经过M(l,0)有两条直线",%，它们的斜率互为倒数，人与椭圆£交于43两点，%与椭圆£交于C，

。两点，P,。分别是力B,CD的中点.试探究：AOPQ与AMPQ的面积之比是否为定值？若是，请求出此定

值；若不是，请说明理由.

16.已知双曲线7一方=1,C2：^2-^2=l(a>