2025年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.（3分）-7的倒数是（）

11

A.7B.-C.-7D.-y

7

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（O2）5=/B.a2*a4=a6

D.(犷=竽

C.3。26-3加=0

3.（3分）下面的图案中，不是轴对称图形的是（）

A.(6,9)B.(-6,9)C.(-6,-9)D.(6,-9)

6.(3分)方程｝=的解为()

3%%+5

A.x=-1B.x=0C.x=-3D.x=\

7.（3分）如图，CD为OO的直径，过点。的弦OE平行于半径。若/。的度数是50°,

则/N的度数为（）

第1页（共22页）

A.50°B.40°C.30°D.25°

8.（3分）在△/BC中，ZA=35°,ZB=55°,BC=5,则4B边的长是（）

5

A.——B.5cos55°C.5tan55°D.5sin55°

cos55°

9.（3分）如图，矩形/BCD中，AC=2AB,将矩形沿对角线/C翻折，点8的对应点为点

B',CB，交4D于点、E,若4E=6,则CO=()

10.（3分）如图，在△NBC中，点。、£分别在BC、48边上、DF//AB,交/C边于点”,

EF//BC,交NC边于点G.则下列结论中错误的是（）

A.-----=-----B.-----=-----C.-----=-----D.-----=------

BEGCGFGHAHBDCDCH

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.（3分）将682000000用科学记数法表示为.

12.（3分）函数y=%匕中，自变量x的取值范围是.

13.（3分）把多项式2/-4x+2分解因式的结果是.

14.（3分）计算而一电的结果是.

（3—3x>1

15.（3分）不等式组的解集是.

16.（3分）将抛物线>=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解

析式为.

17.（3分）一个袋子中装有2个黑球1个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完

全相同.搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个黑球的概率

第2页（共22页）

是.

18.（3分）一个扇形的弧长是20TTC%,半径是24cm,则此扇形的圆心角是度.

19.（3分）在矩形488中，AC,BD交于点O.过点。作。交射线8c于点E,

若BE=2CE,4B=3,则的长为.

20.（3分）如图，在菱形48CD中，AC,3。交于点O,点E在线段OD上，连接CE,若

BE=CD=2DE,AC=2小,贝UCE的长为.

三、解答题（其中21〜22题各7分，23〜24题各8分，25〜27题各10分，共60分）

X—25

21.（7分）先化简，再求代数式——+（———3+吗的值，其中x=8cos30°-2tan45°.

x+3x+3

22.（7分）如图1,图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫

做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求画出符合条件的格点三角形.

（1）在图1中，画出以N5为直角边的等腰直角三角形△A8E；并直接写出ANBE的面

积；

一1

（2）在图2中，画出以CD为一边的等腰三角形△«＞「；且保证一个内角的正切值为万

并直接写出△CD尸的面积.

23.（8分）为了解哈市某中学学生的体育爱好情况，老李对该校九年级的部分同学的体育

爱好进行了调查，并且绘成了统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

第3页（共22页）

（1）求一共调查了多少人；

（2）根据以上信息，请把条形图补充完整；

（3）如果全校共有4000人，那么请你根据以上调查结果，估计该校约有多少人喜欢篮

球.

24.（8分）如图，在△/BC中，。为48的中点，点E在/C上，尸在DE的延长线上，DE

=EF,连接CF,CF//AB.

（1）如图1,求证：四边形DBCF是平行四边形；

（2）如图2,若请直接写出图中与线段CF相等的所有线段.

25.（10分）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书

的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.

（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？

（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同，这所中学今年

计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，

这所中学今年至少要购买多少本文学书？

26.（10分）已知：四边形/BCD为OO的内接四边形，连接OC,若

第4页（共22页）

DFF

图1图2图3

(1)如图1,求N4DC的度数;

(2)如图2,连接NC,点尸为弧4。上一点，连接月。并延长交NC于点£,若AE=

CE,ZFAD=ZBAC,求证：4B=CD；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DRBE,若DF=2,BE=与,求。。的半径.

27.(10分)已知：如图，抛物线y=-f+6x+c与x轴交于/、2两点，与了轴交于点C,

(2)点尸为抛物线第一象限上一点，过点尸作y轴的垂线垂足为E,连接为、PC,PA

交y轴于点。，设PE的长为△尸CD的面积为S,求S与/的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，点〃为。尸延长线上一点，射线。X与射线£尸交于点尸，过点

81

尸作X轴的垂线交射线CB于点G.连接GP、GE,若NDHC=45°,4PEG的面积为二,

O

求点P的坐标.

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2025年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1.（3分）-7的倒数是（）

11

A.7B.-C.-7D.-y

7

【解答】解：-7的倒数是—今

故选：D.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.（。2）5=/B.q2・q4=q6

D.废）2=竽

C.3a2b-3ab2=0

【解答】解：A.（〃2）5=小,错误,不符合题意；

B、Q2・Q4=Q6,正确，符合题意；

C、3/6与3a扶不能合并，错误，不符合题意;

D、居）2=竽，错误，不符合题意;

故选：B.

3.（3分）下面的图案中，不是轴对称图形的是（)

【解答】解：4是轴对称图形，故此选项不合题意;

3、不是轴对称图形，故此选项符合题意;

C、是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、是轴对称图形，故此选项不合题意；

第6页（共22页）

故选：B.

4.（3分）如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是（）

【解答】解：从左边看易得第一层有2个正方形，第二层有4个正方形.

故选：A.

1c

5.（3分）二次函数y=2（%-6）2+9的顶点坐标为（）

A.（6,9）B.（-6,9）C.（-6,-9）D.（6,-9）

【解答】解：由二次函数的性质可得，二次函数y=4（x—6）2+9的顶点坐标为（6,9）,

故选：A.

12

6.（3分）方程丁=—的解为（）

3%%+5

A.x=-1B.x=0C.x=-3D.x=l

【解答】解：去分母得：x+5=6x,

解得：x=l,

经检验x=l是分式方程的解，

故选：D.

7.（3分）如图，C7）为。。的直径，过点。的弦QE平行于半径若NQ的度数是50°,

则N4的度数为（）

A.50°B.40°C.30°D.25

【解答】解：・・・。4〃。玲

/.ZD=ZAOD=50°，

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'：OA=OC,

1

；./4C0=N04C=^/40D=25。.

故选：D.

8.（3分）在△/BC中，NN=35°,/B=55°,BC=5,则48边的长是（）

5

A.---------B.5cos55°C.5tan55°D.5sin55°

cos55°

【解答】解：由题意可得：ZC=180°-/A-NB=90°,

△NBC为直角三角形，如下图：

Rrc

由三角函数的定义可得，sinA=cosB=而，即s讥35。=cos55。=也，

可得48=~rro='［匚。'

cos55sin35

/选项符合题意，B、C、。选项不符合题意，

故选：A.

9.(3分)如图，矩形Z5CQ中，AC=2AB,将矩形沿对角线4C翻折，点8的对应点为点

B’,CB'交AD于点E,若4£=6,贝I」CD=()

【解答】解：在中，

・.・sinN/C5=兼，AC=2AB,

1

sinXACB=2，

ZACB=30°,

由折叠得，BC=B，C,ZACB=ZACBr=30°,

：・/ECD=90°-30°-30°=30°,

第8页（共22页）

・・•矩形4BCQ,

：.AD//BC,

：./ACB=/EAC,

AZEAC=ZACB,=30°,

：.EA=EC=6,

在RtADEC中，CD=EC,cos/ECD=6x圣=3V3,

故选：D.

10.（3分）如图，在△43C中，点。、E分另I」在3C、AB边上、DF//AB,交/C边于点H,

EF//BC,交NC边于点G.则下列结论中错误的是（）

EFAG

A.-----=-----B.-----=-----C.-----=------D.

BEGCGFGHAHBDCDCH

【角军答】解：-DF//AB,EF//BC,

・••四边形即。尸是平行四边形，BE=DF,EF=BD,

4、,:EF〃BC,

AEAG

・・靛-Q

故4不符合题意，

B、*：DF〃AB,

.EGAG

••GF-GH'

故B不符合题意，

C、":DF〃AB,

CHCD

9'AH-BD'

故C不符合题意，

D、・：DF〃AB,

*_C_D__B_D_

••，

CHAH

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•_C_D___E_F

••—，

CHAH

EFAH

"CD~CH'

故。符合题意，

故选：D.

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11.（3分）擀682000000用科学记数法表示为632X1（）8.

【解答】解：682000000=6.82X108；

故答案为：6.82X108.

12.（3分）函数丫=云之中，自变量x的取值范围是#2

J2%—4------------

【解答】解：要使得函数y=春有意义，则2x-4W0,

解得xW2,

故答案为：xK2.

13.（3分）把,多项式2x2-公+2分解因式的结果是2（x-1）2

【解答】解：2x2-4x+2,

=2（x2-2x+D,

=2(x-1)2

故答案为：2（x-1）2.

,一[78VS

14.（3分）计算&U-的结果是―至-一

【解答】解：原式=2小—竽

875

—山、，8A/5

故答案为：—.

3—3x>12

15.（3分）不等式组―,%+5>4的解集是一IVxW变

3-3x>1①

【解答】解:

.无+5>4(2)'

由得，xW可,

由②得，x>-1,

不等式组的解集为-1＜立半

第10页（共22页）

故答案为-1VxW宗

16.（3分）将抛物线＞=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解

析式为v=2（x+2）2-3.

【解答】解：将抛物线＞=2,向下平移3个单位得＞=2x2-3,再向左平移2个单位，得

y=2（x+2）2-3；

故所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2-3.

故答案为：y—2（x+2）2-3.

17.（3分）一个袋子中装有2个黑球1个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完

全相同.搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个黑球的概率是

【解答】解：列树状图为:

开始

7\/\

黑2白黑1白黑1黑2

由树状图可知共有6种等可能结果，其中摸出的两个黑球的可能性有2种，即概率为:=7.

,心》,1

故答案为：--

18.（3分）一个扇形的弧长是20Tle冽，半径是24c加，则此扇形的圆心角是150度.

【解答】解：根据/=愣=等念=20冗,

loUloU

解得：〃=150,

故答案为：150.

19.（3分）在矩形48CD中，AC,3。交于点O.过点。作。交射线于点E,

若BE=2CE,AB=3,则4D的长为3行或旧.

【解答】解：如图，当点E在3c的延长线上时，

第11页（共22页）

D

•:BE=2CE,

：.BC=CE,

・：OE【BD,

:・OC=BC=CE,

・・,四边形45CZ）是矩形，

:・AO=CO=BO=DO,AD=BC；

：.BO=CO=BC,

**•/\BOC是等边三角形，

・・・ZACB=60°

ARl

tanXACB=瓦;=V3,

:・BC=V3=AD,

如图，当点E在线段5C上时，设直线。£与直线45,CD交于点F,点H,

：.AF=CH,

■:AB〃CD,

第12页（共22页）

・・・△EBFs^ECH,

tCHCE1

,•BF-BE-2’

:・BF=2CH=2AF,

：.3+AF=2AF.

：.AF=3=ABf且

：.AO=AB=AF=3,

•：AO=BO=CO=DO,

：・AO=AB=BO,

：.AABO是等边三角形，

ZABD=60°,

AH「

tanXABD=—V3,

：.AD=3^3f

故答案为：3W或W.

20.（3分）如图，在菱形/5CQ中，AC.8。交于点。，点E在线段。。上，连接CE,若

BE=CD=2DE,AC=2夕，贝ljCE的长为2鱼.

1Q

【解答】解：设BE=CD=2DE=x,则DE=＞，BD=|x,

121

由菱形的性质可得ZC_L5Z）,OD=-^BD=-rx,OC=-^AC=V7,

L4,L

o

在RtAOCD中，0c2+。。2=82,gp（Jx）2+7=刀2,

解得x=4,（负值舍去），

：.DE=2,OD=3,

：.OE=1

由勾股定理可得：CE=VOC2+0E2=2V2

故答案为：2a.

第13页（共22页）

三、解答题（其中21〜22题各7分，23〜24题各8分，25〜27题各10分，共60分）

X—25

21.(7分)先化简，再求代数式一--(—7-3+%)的值，其中x=8cos300-2tan45°.

x+3x+3

x—25

【解答】解：/+w

x-25_(3r)(x+3)]

x+3x+3~x+3」

_x—2.5—9+/

-x+3•x+3

_x—2x+3

—x+3(x+2)(x—2)

1

x+2f

-2tan45°=8x字-2义1=4百一2时，原式=一-=y|.

当x=8cos30°

乙4V3-2+2

22.（7分）如图1,图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫

做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求画出符合条件的格点三角形.

图1图2

（1）在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形△A8E；并直接写出△A8E的面

积；

一1

（2）在图2中，画出以CD为一边的等腰三角形△CDF；且保证一个内角的正切值为5

并直接写出尸的面积.

【解答】解：（1）如图1,△/2E即为所求；

1

△4aE■的面积为：-x5X5=12.5；

第14页（共22页）

（2）如图2,△CDF即为所求;

根据网格可知：

DF=V82+42=4^5,

找格点G,连接CG,则CGLDF,

:.DG=2亚,

CG=Vl2+22=V5,

./CG_&_1

••tanCDCJ—.-7T,

DG2V52

1

...△CE厅的面积为：-X4V5xV5=10.

23.（8分）为了解哈市某中学学生的体育爱好情况，老李对该校九年级的部分同学的体育

爱好进行了调查，并且绘成了统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题:

4人数

90

90--------

60-

0篮球排球乒乓球滑冰靠目

（1）求一共调查了多少人;

（2）根据以上信息，请把条形图补充完整；

（3）如果全校共有4000人，那么请你根据以上调查结果，估计该校约有多少人喜欢篮

球.

【解答】解：（1）依题意，一共调查了90・45%=200（人）

（2）喜欢滑冰的人数为30%X200=60（人），喜欢排球的人数为200-20-60-90=30

（人）

第15页（共22页）

补全统计图，如图所示,

(3)估计喜欢篮球的人数为4000x照=400(人).

24.(8分)如图，在△/8C中，。为N3的中点，点£在/C上，/在。£的延长线上，DE

=EF,连接CF,CF//AB.

(1)如图1,求证：四边形D3CF是平行四边形;

(2)如图2,若AB=4C,请直接写出图中与线段CF相等的所有线段.

【解答】(1)证明：•••(；尸〃48,

/A=/ECF,

又Z.AED=ZCEF,DE=FE,

.♦.△4DE乌ACFE(AAS),

：.AD=CF,

,:D为AB的中点，

：.AD=BD,

：.BD=CF,且CWBD,

...四边形DBCF是平行四边形；

(2)解：与线段。尸相等的所有线段为ND、BD、AE,CE；理由如下:

由(1)得：BD=AD=CF,AE=CE,

,JAB^AC,

第16页(共22页)

BD=AD=AE=CE=CF.

25.(10分)某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中故事书的单价比文学书

的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等.

(1)求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？

(2)若今年文学书的单价比去年提高了25%,故事书的单价与去年相同，这所中学今年

计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，

这所中学今年至少要购买多少本文学书？

【解答】解：(1)设去年文学书单价为x元，则故事书单价为(x+4)元，根据题意得：

1200800

x+4x'

解得:x=8,

经检验x=8是原方程的解，当x=8时x+4=12,

答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元.

(2)设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得.

8X(1+25%)y+12(200-y)W2120,

代140,

最小值是140；

答：这所中学今年至少要购买140本文学书.

26.(10分)已知：四边形/BCD为OO的内接四边形，连接。/、OC,^ZAOC=ZABC.

(1)如图1,求NADC的度数；

(2)如图2,连接NC,点尸为弧AD上一点，连接尸。并延长交/C于点E,若/£=

CE,ZE4D=ABAC,求证：AB=CD；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DRBE,若DF=2,求。。的半径.

第17页(共22页)

【解答】（1）解：四边形48co为O。的内接四边形,

/.ZABC+ZADC=ISO°,

由圆周角定理可得：ZAOC^2ZADC,

：.ZAOC=ZABC=2ZADC,

：.2ZADC+ZADC^180°,

解得//DC=60。；

图2

'：AE=CE,。为圆心，E、F、。三点共线，

：.EF±AC,

...△NFC为等腰三角形，

,：AC=AC,

：.ZAFC=ZADC=60°,

...△/FC为等边三角形，

:.NE4E=/E4D+NDAC=60°,

由(1)可得：NABC=180°-ZADC^120°,

：.ZBAC+ZBCA=1SO°-ZABC=60°,

NE4D=ZBAC,

：.ZDAC=ZBCA,

：.AB=CD；

(3)解：作47〃8E交C8延长线于点“，作连接CM,如图3：

第18页（共22页）

：.BC=DF=2,

由（2）可得E为ZC的中点，ZABM=60°,

,:AH〃BE,

：.AACHsAECB,

.ACAHHC

­=2，即3”=2,AH=小,

BHCB

设则W=2-x,

在RtZUBM中，可得4B=2x,由勾股定理得：AM=Wx,

由勾股定理可得：HA42+AM2^AH2,即（2-x）2+3f=7,

解得x=^|或"T（舍去），

DF5Q7

:.AB=3,AM=詈，BM=^,CM=p

由勾股定理可得：AC=VXM2+CM2=V19,

由（2）可得：AF=V19,

在RtZ\4EF中，4E=孚，EF=y/AF2-AE2=

设CM=OF=r,则。5二号一小

由勾股定理可得：AE2+OE2=AO2,即（零产+（孚一r）2=

解得「=孚.

27.（10分）已知：如图，抛物线y=-x2+6x+c与x轴交于/、8两点，与y轴交于点C,

OB=OC=5.

第19页（共22页）

(2)点尸为抛物线第一象限上一点，过点P作y轴的垂线垂足为£,连接为、PC,PA

交y轴于点D，设PE的长为/,△PCD的面积为S,求S与/的函数解析式；

(3)在(2)的条件下，点