2024年高考数学复习题型归纳讲义 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第39讲圆的方程、直线与圆的位置关系(精讲)

题型目录一览

①圆的方程

②点与圆的位置关系

③与圆有关的轨迹问

题

④直线与圆相交

⑤直线与圆相切、相离

、知识点梳理

一、圆的基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

二、圆的基本性质、定理与公式

1.圆的四种方程

(1)圆的标准方程：(X-4)2+(y-6)2=/，圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0)

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为，g-g),半径

y/D2+E2-4F

r=-------------

2

(3)圆的直径式方程：若4不,乂),2(々,%),则以线段为直径的圆的方程是

0—石)0-尤2)+0—%)0—%)=0

(4)圆的参数方程：

=rcos

①/+V=r\r>0）的参数方程为ff（e为参数）；

[y=rsinc/

cccc,八、“，、e7\x=a+rcos0八、“，、

②(x-a)2+(y-b)2=厂(r>0)的参数万程为《,八(z。为参数).

[y=b+rsm3

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcos&6+rsin。)(6为参数，

(a,6)为圆心，厂为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利

用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2.点与圆的位置关系判断

(1)点尸(4,%)与圆(x-a)2+(y-bf=r2的位置关系：

①。一4+⑶一力点尸在圆外;

②(x-a)2+(y-6)2=尸o点P在圆上;

③(x-"+(y—力2</=点尸在圆内.

(2)点尸(%,％)与圆尤2+y2+Dx+4+厂=0的位置关系：

①x；+y；++坳)+P>0o点P在圆外；

②芯+y：+D%+4。+尸=0o点P在圆上；

③x；+y：+£>%+胡,+P<0=点尸在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

四'直线与圆的位置关系判断

(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)

圆心(a,b)到直线加++C=0的距离，贝U1*+劭+口:

yJA2+B2

21

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,。，IPQ|=2^1r-d；

d=ro直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)

由!-+消元得到一元二次方程pd+qx+f=o,P尤2++「=0判别式为公，贝心

[(x-a)+{y-b)=r

△>00直线与圆相交;

A=0o直线与圆相切；

△<0。直线与圆相离.

【常用结论】

关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆/+丁=/上一点p（x°,%）的圆的切线方程为X/+%'=，.

（2）过圆（非—4）2+⑶―6）2=尸上一点尸（%,%）的圆的切线方程为

（%-a）（x-a）+（%-b）（y-b）=r2

（3）过圆尤2+y2+.+砂+尸=。上一点P（M，%）的圆的切线方程为

%x+%y+»Y+E•与+尸=0

（4）求过圆尤2+y=/外一点p（x。,%）的圆的切线方程时，应注意理解

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为丫-%=左（彳-/），利用圆心到

切线的距离等于半径，列出关于左的方程，求出太值.若求出的左值有两个，则说明斜率不存在的情形不符

合题意；若求出的左值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

二、题型分类精讲

题型一圆的方程

策略方法求圆的方程的两种方法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和

几何法——

半径,进而写出方程

①若已知条件与圆心（a,6）和半径7•有

关，则设圆的标准方程，求出Q,6,r的值；

待定

——②选择圆的一般方程，依据已知条件列出

系数法

关于尸的方程组，进而求出尸的

值

【典例1】己知圆M过三点A（L3）,8（4,2）,C（l,-7）,则M的圆心和半径分别为（）

A.(1,-2),5B.(-1,2),5

C.(1,-2),75D.(-1,2),亚

【答案】A

【分析】利用斜率可以推出.ABC是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，

据此求解.

Q_71__7]_7

【详解】由题意，kAB=^-=--,kBC=-^—=3,即心/血=-1，

故AB即ASC是直角三角形，且AC为斜边，

直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，

又|AC卜J(l-l)2+(3-(-7)＞=10,

于是一ABC的外接圆半径为5,圆心是AC的中点，即(1,-2).

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)若方程Y++表示圆，则加实数的取值范围为()

A.(—00,—)B.(—00,0)C.(^0,-1)D.(—℃,2)

【答案】A

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得小的取值范围.

【详解】由圆的一般式方程可得。2+序-4尸＞0,即1+1-4加＞0,求得根＜；,

故选：A

2.(2023•全国•高三专题练习)已知圆C的方程为无2+；/+2x-4y-4=0,则圆心C的坐标为()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-2,4)D.(2,-4)

【答案】A

【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.

【详解】圆C的标准方程为(x+l)，(y-2y=9,圆心C的坐标为(-L2).

故选：A.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知直线/:5+y—l=O(m£R)是圆C:x2+y2—4%+2y+l=0的对称轴，则

m的值为()

A.1B.-1

C.2D.3

【答案】A

【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线/上可求得结果.

【详解】由圆C方程得：圆心C(2,-l),

直线/是圆C的对称轴，，圆心C在直线/上，即2祖-1-1=0,解得：m=l.

故选：A.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知一ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-2,2),则其外接圆的方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(1)2+(,+1)2=2

C.(^-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

【答案】A

【分析】先设圆的方程为a-a)、(y-力2=/,根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.

【详解】设ABC的外接圆的方程为。-4+⑶-疗二户，

因为一ABC的顶点4(0,0),川0,2),C(-2,2),

a2+b2=r2a=-1

所以，/+(2一勿2=/，解得＜6=1,

(-2-4+(2"=产|r=夜

因此(x+IP+(y-1)2=2即为所求圆的方程.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.

5.(2023•全国•高三专题练习)以点(-3,1)为圆心，且与直线3x+4y=。相切的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(j-1)2=4

C.(x-3)2+(y+l)2=lD.(x+3)2+(y-l)2=l

【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.

|-3x3+lx4|

【详解】由题得圆心到直线的距离”r

方+4「

所以圆的方程为(x+3)2+(y-l)2=l.

故选：D.

6.(2023•全国•高三专题练习)圆C：(x_l)2+(y_2)2=2关于直线》-y=0对称的圆的方程是()

A.(尤-l)2+(y+2)2=2B.(X+1)2+(J+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

【答案】C

【分析】根据点关于直线，=%对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.

【详解】由圆C(x-l)2+(y-2)2=2,可知圆心坐标：(1,2),半径为血，

因为点(1，2)关于直线V=%的对称点为(2,1),

所以圆C：(*-1)2+(丫-2)2=2关于直线》7=。对称的圆的方程是

(x—2)2+(y-1)-=2,

故选：C

7.(2023・高三课时练习)关于尤、y的方程取y+C/+£)x+Ey+尸=0表示一个圆的充要条件是().

A.B=0,且4=。。0

B.B=l,且。2+£2-44尸>0

C.8=0,且4=。彳0,D2+E2-4AF>0

D.B=0,且4=%0,£)2+E2-4AF>0

【答案】D

【分析】根据圆的一般式方程可得答案.

【详解】关于x、y的方程Ax?+8呼+Cy2+£)x+Ey+尸=0表示一个圆的充要条件是

8=0

<A=C^0,即3=0,KA=C^0,£)2+E2-4AF>0.

故选：D

8.(2023秋•湖南•高三临澧县第一中学校联考开学考试)已知圆C:/+y2-4x-2y-4=。，过点尸(6,-2)作

圆C的两条切线，切点分别为A,B.则四边形R4CB的面积为().

A.6B.12C.14D.18

【答案】B

【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.

【详解】依题意，圆C:(x-2『+(y-l)2=9,圆心为C(2,l),半径为3,

贝！||ACj=3,==5，

故M=_|AC]=4,由对称性可知，APAC与.PBC全等，

故四边形B4cB的面积5=|到缶。=12.

故选：B

9.(2023秋・山东•高三校联考开学考试)过点4(1,1),3(3,3)且圆心在直线y=3x上的圆与y轴相交于尸，Q

两点，则|尸。|=()

A.3B.3亚C.26D.4

【答案】C

【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为则圆的方程为(x-ay+(y_3a)2=/，结合已知条件即

可求出圆的方程，在圆的方程中令x=0,即可求出P,Q两点的坐标，由此即可得解.

【详解】因为圆心在直线＞=3x上，所以设圆的圆心、半径分别为3.)/,

则圆的方程为(工一。)2+(?-3。)2=产，

/、/、(l-a)2+(l-3a)2=r2[a=l

将8(3,3)代入圆的方程有。。，解得2_一

(3—Q)+(3—3Q)=F[r-4

所以圆的方程为(x-l『+(y-3)2=4,

在圆的方程中令％=0得（y-3）2+1=4,解得y=3±G,

所以归。|=|（3+6）-（3_6）|=2岔.

故选：C.

二、填空题

10.（2023秋•上海黄浦•高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆¥+/-4丫+〃22=0的面积为兀，贝|]

m=.

【答案】±73

【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，圆的半径『=；，16-4m2=，4一加2.

所以，圆的面积为兀/=（4-，/）兀=兀,

所以，m2=3,解得m—±A/3.

故答案为：土

11.（2023秋・云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆C:/+/+2尤-4y+a=0的半径

为3,贝.

【答案】-4

【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.

【详解】将圆C:尤2+/+21舛°=0的方程转化为（》+1）2+（k2）2=5-4,

因为圆C的半径为3,所以5—。=9,即。=7.

故答案为：-4.

12.（2023秋・江西吉安・高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点。（0,0）,且与直线无+>-4=0相切的

圆的标准方程，为.

【答案】（x-l>+（y-l）2=2（答案不唯一）

【分析】写出一个符合条件的圆的标准方程即可.

【详解】设。为直径的一个端点，。到直线无+y-4=0的距离〃=美=2忆

可知半径「=血，又若圆心力）在直线y=x上，且/+从=2,

解得a=8=l,所求圆的方程为（x-l）2+（y-l）2=2.

故答案为：（%-璞+“-1）2=2（答案不唯一）.

13.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，过4（-2,4）,3（2,6）,C（-l,-3）,O（2,T）四点的圆的方

程为.

【答案】x2+y2-4x-2y-20=0

【分析】根据题意，设圆的方程为炉+/+Dx+Ey+F=09取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得

到结果.

【详解】设圆的方程为V+y2+Dx+Ey+F=0,

将点AC,D的坐标分别代入可得，

'20-2D+4E+F=0f£>=-4

<W-D-3E+F=0,解得彳£=-2

20+2D-4E+F=0[F=-20

贝!I可得圆的方程为1+/一4..2,-20=0

故答案为：x2+y2-4x-2y-20=0

14.（2023春•河南商丘•高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆/+»2+2工+分+6=0的圆心

重合，且过点（-2,1）的圆的方程为.

【答案】X2+j2+2x+8y-9=0

【分析】根据同圆心设出方程式+/+2x+8y+机=0,代入点（-2,1）求出加即可求解.

【详解】依题意，

设所求圆的方程为x2+/+2x+8y+机=0，

由于所求圆过点（-2,1）,所以（-2y+12+2x（-2）+8xl+m=0,

解得〃z=-9.所以所求圆的方程为x2+/+2x+8y—9=0.

故答案为：x2+/+2x+8y-9=0.

15.（2023•全国•高三专题练习）已知圆C：x2+y1+2x—2my—4—4m=0（weR）,则当圆C的面积最小时，

圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.

【答案】V5+1

【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可.

【详解】x2+j2+2x-2my-4-4m=0^>(x+l)2+(y-m)2=m2+4m+5=(m+2)2+l,

所以半径r=J(〃z+2)+lNl,当且仅当加=-2时，半径最小，

此时圆心为C(-l,-2),圆心到原点的距离为d=J(-l)2+(_2)2=百，

因为(0+1)2+(0+2)2>1,

所以原点在圆外，根据圆的性质，

圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=45+l,

故答案为：V5+1

16.(2023春•湖南长沙•高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习)在平面直角坐标系中，经过直线

x+y-2=0与两坐标轴的交点及点(0,0)的圆的方程为.

【答案】x2+y2-2x-2y=0

【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.

【详解】令>=°,得x+0-2=0,解得x=2,

所以直线元+y-2=0与X轴的交点为A(2,0),

令x=0,得0+y-2=0,解得y=2,

所以直线尤+〉-2=0与〉轴的交点为川0,2),

设圆的方程为x2+V+Dx+Ey+尸=0,贝!J

因为4(2,0),5(0,2),。(0,0)三点都在圆上,

22+2£>+F=0

所以<22+2E+/=0,解得。=—2,E=-2,/=0,

F=0

故所求圆的方程为八户2了-2、=0

故答案为：x2+y2-2x-2y=0.

题型二速与圆的位置关系

畲策略方法判断集合关系的三种方法―—

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束

条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

【典例1]是“点p(1,1)在圆C：N+i_2mx=0外”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由x2+y2-2mx=0可得,该方程表示圆，所以有〃件0,

当点P(1,1)在圆C：x2+y2-2mx=0夕卜时，

有1+1-2加>0=>〃7<1,所以此时机e(-co,0)(0,1),

显然由加<1不一定能推出根€(一0,0)(0,1),但是由〃7€(-8,0)(0,1)一定能推出〃2<1,所以"m〈l"是"点

P(1,1)在圆C：x2+y2-2mx=0夕卜”的必要不充分条件，

故选：B

【题型训练】

一、单选题

1.(2023春・福建•高三校联考阶段练习)设圆C：x2-2x+y2-3=0,若直线/在,轴上的截距为1,则/与C

的交点个数为()

A.0B.1C.2D.以上都有可能

【答案】C

【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可.

【详解】解：直线/在y轴上的截距为1,

••・直线/过定点(0,1),

02-2X0+12-3=-2<0,

.••点(0,1)在圆内,

直线/与C的交点个数为2个.

故选：C.

2.(2023・全国•高三专题练习)已知两直线y=x+2左与y=2x+左+1的交点在圆尤?+y2=4的内部，则实数左

的取值范围是().

A.--<k<-lB.一一<k<l

55

C.—<Z<1D.—2<^v2

3

【答案】B

【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.

【详解】圆尤2+>2=4的圆心为（0,0）,半径为2,

fy=x+2k（x=k—1

由.c,，得.，，，则两直线丁=尤+2人与，=2x+%+l的交点为a-1,3左-1）,

[y=2x+K+l[y=3K-l

依题意得（4—1）2+（3左一1）2<4,解得_g<左<]

故选：B

3.（2023•全国•高三专题练习）点"（知九）为圆/+丫2=4（a>0）外一点，则直线=/与该圆的位

置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解；

【详解】因为点M（玉,几）为圆x2+y2=a\a>0）外一点，

所以+>/.

圆％2+y2=〃2（〃>0）的圆心（0,0）,半径为丁=a,

所以圆心（0,0）到直线xox+=/的距离为

Io+0—1〃2

d=―/-<I——=a,BP<r.

后+y：必

所以直线%尤+=a2与该圆的位置关系为相交.

故选：A.

4.（2023•辽宁•校联考二模）已知圆O:/+y2=严，直线/：3尤+4了=/，若/与圆。相交，贝U（）.

A.点尸（3,4）在/上B.点尸（3,4）在圆。上

C.点网3,4）在圆。内D.点尸（3,4）在圆。外

【答案】D

【分析】根据1与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.

【详解】由已知1与圆O相交，，可知圆心到直线的距离小于半径，

I户|户

则有^^=七</，故厂<5,

V32+425

把尸(3,4)代入3x+4y=9+16=25>/,所以点不在直线1上，故A错误；

又|3=5>乙则点尸(2,5在圆O外,故D正确.

故选：D.

5.(2023・全国•高三专题练习)已知点尸(1,—2)在圆C：/+/+依+4了+/+1=0的外部，则左的取值范围

是()

A.—2<左<1B.1<k<2C.k<—2D.—2vkv2

【答案】B

【分析】根据条件得到圆C的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到3-t/>0；再根据点尸(1,-2)在

圆C的外部得至IJ1+4+左一8+/+1>0,即可求解得到上的取值范围.

【详解】由/+9+丘+4>+左？+1=0,得］x+gj+(y+2)2=3—1左2,

则3-m不>0,解得：_24<2①，

4

又•.•点网1,-2)在圆C的外部，

二1+4+左一8+左2+i>o,gpk2+k-2>0,解得左<一2或左>1②，

由①②得1<左<2,

故选：B.

二、填空题

6.(2023•全国•高三专题练习)若坐标原点在圆(x-w)2+(y+机>=4的内部，则实数小的取值范围为.

【答案】(-"夜)

【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可.

【详解】•••原点(。，0)在圆(x-%)2+(y+/)2=4的内部，

(0-m)2+(0+m)2<4,

解得-夜<m<\[2

所以实数加的取值范围为卜夜，夜)

故答案为：(-72,72)

7.(2023•北京•北京四中校考模拟预测)已知圆C:d+(y-l)2=2,若点尸在圆C上，并且点P到直线丫=无

的距离为YZ,则满足条件的点P的个数为.

2

【答案】3

【分析】设尸(X。，为)，根据点P到直线y=X的距离为等，求得X：+y；-2x°y。=1,再由(七,%)在圆C上，

得到%(%T)=O,取得%=。或%=1,进而求得满足条件的点的个数，得到答案.

【详解】设尸亿，为)，由点P到直线丫=无的距离为走，得七期=正

2V22

两边平方整理得到X；+北-2x。%=1①

因为(5,%)在圆C上，所以芯+(%-1『=2,即x；+y；-2%=l②

联立①②得%(飞—i)=o,

解得%=。或%=1,

当%=0时，由①②可得君=1,解得％=1或%=T,即P(l,0)或P(-LO)

当天=1时，由①②可得4-2%=0,解得%=0或%=2,即尸(1,0)或尸(1,2)

综上，满足条件的点P的个数为3.

故答案为：3.

8.(2023・全国•高三专题练习)设点P(x,y)是圆：尤2+。一3)2=1上的动点，定点4(2,0),2(—2,0),则PAPB

的最大值为.

【答案】12

【解析】由平面向量的数量积公式，可得P4P8的解析式；再由尸是圆Y+(y-3)2=1上的动点，可

得X,y的取值范围；从而求得P4PB的最大值.

【详解】尸(x,y)是圆f+(>-3)2=1上的动点，且42,0),5(-2,0),

PAPB=(2-x,0-y)-(-2-.r,0-y)=(2-%)-(-2-x)+(-y)2=x2+y2-4,

由f+(y-3＞=1,^.x2+y2=6y-8,且2融4,

.-.x2+y2-4=6y-12,,24-12=12,

的最大值为：12

故答案为：12.

题型三与圆有关的轨迹问题

畲策略方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法

⑴直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.

⑵定义法：根据圆的定义列方程求解.

(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.

(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.

【典例1】已知直线，：＞=尤+1,点A(a,O)与点8关于原点对称，若直线/上存在点尸满足NAP3=90。，则

实数。的取值范围为()

A.母+8)B.口乎］悍小

C.惇，+8)D.［l,+oo)

【答案】B

【分析】由NAPB=90。求出点尸的轨迹，由直线/与此轨迹存在公共点求出。的范围作答.

【详解】依题意，B(-a,O),设点尸(x,y),贝(JAP=(x-a,y),3P=(x+a,y),

由ZAPB=90,^AP-BP=(x-a)(x+a)+y2=0,即x2+y2=a2,由已知得同＞0,

而点尸既在直线/：x—y+l=O上,又在圆/+匕因此直线/与圆./+产=/有公共点,

又圆/的圆心为原点，半径为于是#+(_］『＜⑷,解得a"号或心存,

所以实数。的取值范围为(-co,-4］北孝,+00).

故选：B

【题型训练】

一、单选题

1.(2023•湖南林B州•统考模拟预测)已知A,B是C：(*-2)2+。-4)2=25上的两个动点，P是线段AB的

中点，若|AB|=6,则点P的轨迹方程为()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(j-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(^-4)2+(y-2)2=ll

【答案】C

【分析】由圆的垂径定理得CP_LAB,利用勾股关系求得|C"=4,结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.

【详解】因为A2中点为P,所以CPLAB,又|明=6,所以旧=小5一日：=4,

所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为(彳-2)2+仃-4)2=16.

故选：C.

2.(2023秋・湖南永州•高三永州市第一中学校考阶段练习)在平面内，是两个定点，C是动点，若

|C4+CQ=|AB],则点C的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

【答案】A

【分析】由平行四边形法则易得=可知AC/BC,可判断点C的轨迹为以线段AB为直径的圆.

【详解】设O为线段AB的中点，CA+CB=2C。.因为|。4+以|=,@,所以,q=2「。|,所以|co|=g|A5|,

所以AC/3C,当点C在点A或8时也满足|CA+Cq=k4,所以点C的轨迹为以线段A8为直径的圆.

故选:A.

3.(2023春・安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考专题练习)平面直角坐标系中，A(-2,0),B(2,0),动

点尸满足1M=两阳，则使为等腰三角形的点P个数为()

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】设尸(x,y),根据|丛|=百]狎可得动点尸的轨迹方程为圆M:(x-4)2+y2=i2,再结合二的为等

腰三角形分析即可求解.

【详解】设尸(x,y),由|尸4=两期,

得J(尤+2了+、=旧0-2)2+9,

整理得(1)2+/=12,记为圆M.

又|幺=四即＞|即，_皿为等腰三角形，

则有|冏=|AB|=4或|PB|=|AB|=4.

因为圆4：。+2)2+/=16与圆河相交，故满足|必=|AB|=4点尸有2个；

因为圆8：(x-2月=16与圆加相交，故满足|冏=|AB卜4点p有2个，

故使皿为等腰三角形的点尸共有4个.

故选：D.

4.(2023•全国•高三专题练习)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比

为常数七伏,0,人1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系万6中，A(-4,0),

8(2,0),点M满足照=2,则点”的轨迹方程为()

\MB\

A.(x+4)2+y2=16B.(x-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16

D.x2+(y-4)2=16

【答案】B

【分析】直接设"(x,y),根据两点间距离公式|AB1="占一%)2+(第一%)2代入运算整理.

【详解】；喘=2,^\MA\=2\MB\

设则去+4)2=2&-2『+/,整理得(尤-4)?+=16

故选：B.

5.(2023・四川宜宾・四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测)已知圆，：(》+3)2+9=1,圆02：(彳-1)2+»2=1,

过动点P分别作圆。I、圆。2的切线出，PB(A,8为切点)，使得|上4卜0「耳，则动点P的轨迹方程为

().

22

A.—+^=1B.x2=4y

95,

C.y-y2=1D.(x-5)2+y2=33

【答案】D

【分析】由条件结合圆的切线性质可得出「一1=2(|尸02「一1),结合两点间的距离公式可得出答案.

【详解】由网=闺冏得|尸4「=2|尸砰.

因为两圆的半径均为1,则|股「-1=2(|POj-1),

贝1J(X+3)2+丁-l=2[(x-l)2+r-l],BP(x-5)2+/=33.

所以点P的轨迹方程为(X-5)2+/=33.

故选：D

6.(2023秋・北京・高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知直线，：y=x+l,点A(a,0)与点B关于原点对

称，若直线/上存在点尸满足NAPB=90。，则实数。的取值范围为()

C.D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】由NAPB=90。求出点尸的轨迹，由直线/与此轨迹存在公共点求出。的范围作答.

【详解】依题意,B(-a,0),设点尸(x,y),则AP=(x-a,y),BP=(x+a,y),

由ZAP2=90,得APBP=(x-a)(x+a)+y2=0,即/+;/=/,由已知得同>0,

而点尸既在直线/：尤-'+1=0上，又在圆尤2+y2=/上，因此直线/与圆x2+y2="有公共点，

又圆/+产=/的圆心为原点，半径为于是小2+；_1)2解得aM一与或a],

所以实数。的取值范围为(-8,+00).

故选：B

7.(2023・河南•校联考模拟预测)已知圆O的直径AB=4,若平面内一个动点/与点A的距离是它与点8距

离的0倍，则△加的的面积的最大值为()

A.64B.12C.60D.80

【答案】D

【分析】以。为原点，A3所在直线为x轴，线段A3的垂直平分线为>轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，设M(x,y),利用1MAi求出点M的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果.

【详解】以。为原点，AB所在直线为无轴，线段A3的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，

则A(-2,0),2(2,0),设M(x,y),

因为IMA|=四IMB],所以J(x+2)2+(y-0)2=T27U-2)2+(y-0)2,

整理得(x-6>+J=32,

所以点M在以(6,0)为圆心，以4夜为半径的圆上，M到直线A3的距离的最大值为4夜,

因此ABM的面积的最大值为:x4x4收=8亚.

二、填空题

8.(2023秋・湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习)已知圆A：x2+(y-3)2=l,过动点P作圆A的切线网

(3为切点)，使得卜⑺，则动点P的轨迹方程为.

【答案】/+(7=4

【分析】由勾股定理得I”1=2后列式求解

【详解】设尸(无,目,由|冏=6得|尸8『=3,则/+(1-3)2-1=3,即寸+⑶一3>=4.

故答案为：x2+(y-3)2=4

9.(2023秋・云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知点人(-3,0),3(3,0),C(-l,0),点P满足|E4卜2|冏,

则点尸到点C距离的最大值为.

【答案】10

【分析】设尸(x,y),根据题意求出点p的轨迹方程，然后利用圆的性质求得答案.

【详解】设尸(％y),

•：\P^=2\PB\,.-.(x+3)2+y2=4[(x-3)2+/],化简得(*-5)?+V=16.

则点P的轨迹是以。(5,0)为圆心，半径等于4圆，

•••|田=6,故|PC|的最大值为|国+4=10,

故答案为：10.

10.(2023春•云南红河•高三开远市第一中学校校考阶段练习)已知点4-2,0),3(0,2),动点M满足

则点M到直线y=%+2的距离可以是.(写出一个符合题意的整数值)

【答案】0或1(只写一个即可)

【分析】由题设知”的轨迹为(x+iy+(y-If=2,根据圆心到>=尤+2距离得到M到直线距离的范围，

即可写出一个值.

【详解】由题设知即M在以A3为直径的圆上，且圆心为(7,1),半径为0,

所以M的轨迹为(x+l)2+(y-I)2=2,

而(T1)到y=x+2的距离为d=£=0,即直线过圆心，

所以M到直线y=x+2的距离范围[0,V2],

所以点M到直线y=尤+2的距离的整数值可以是。或1.

故答案为：0或1(只写一个即可)

11.(2023・全国•模拟预测)己知O为坐标原点，M是抛物线V=_4x准线上的一点，点尸在圆(x+lp+y?=4

上.若MP的中点在圆V+(y_2)2=1上，则|0闾的取值范围为.

【答案】|V65

【分析】设尸(x»),由已知条件求点P轨迹方程，与圆(x+l)2+V=4联立方程组，求交点坐标，代入|OM|

中求取值范围.

【详解】抛物线产=-4尤的准线方程为x=l,设M(l,加)，尸(x,y),MP的中点为N5,%),则毛=三匕

y+m

由题意，知N（%,%）在圆^+（『2）2=1上，所以鳄,

伴了-2=1,即(X+1/+什+相-4『=4,

(x+1)2+(37+m-4)2=4,

联立2：消去X可得®_4)(2y+加-4)=0,

(x+1)+/=4,

当m=4时，M(l,4),此时|OM|=打；

4—m9

当mw4时，y=—--,由P在圆(x+1)+y2=4Jt,可知一2WyW2,

-4-m入

-2<-------<2,

所以v2,BP0<m<4^4<m<8,

znw4,

而(M=JI+病,所以J百或而病.

综上所述，|。闾的取值范围为菌病.

故答案为：JV65

12.（2023•浙江温州・乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆x2+y2-4x-2y+4=0上，点。在直线x+y=O

上，。坐标原点，且。尸•尸。=0,则点。的横坐标的取值范围为.

【答案】卜8,一4一4日[-4+4也+8）

【分析】设点。的坐标为亿T）,点尸的坐标为（加,〃），由条件可得点尸在以。。为直径的圆上，由条件列

不等式可求点Q的横坐标的取值范围.

【详解】因为点Q在直线x+y=o上，

故设点。的坐标为&T）,设点P的坐标为（加,"），

则OP={m,n),PQ=(t-m,-t-n),

因为OPP0=O,所以加Q-加）+〃（一,一九）=0,

所以（加一；）+[〃+；）~~29

即点尸（私冷在圆，一上,

又点在圆/+/-4工-2，+4=0上，

所以两圆有交点，

又圆/+9_4尤一2、+4=0的圆心坐标为（2,1）,半径为1,

所以1-齐

所以l+++,

所以-何4T+44印，

所以卜+4区例

所以产+8/—1620,

所以此-4+4五或区-4-4应，

所以点。的横坐标的取值范围为卜s，-4-4应][-4+4应,+可.

故答案为：4-4夜][-4+4上,+oo）.

13.（2023・四川成都三模）已知4（9,36）,“（加,〃）是圆0：尤2+丁=9内一点,对圆。上任意一点「都有^^

为定值，贝”根的值为.

【答案】述

16

PMPM

【分析】设尸（x，y）,—\\=左（%为正常数），把\—\=启用羽M根，〃次表示后整理即得圆。方程，由此可

附陷

求得见W,左，得出结论.

\PM\

【详解】设尸（x,y）,9=左（%为正常数），显然左片1,否则尸点轨迹是线段4W的中垂线，

|PM|_J（x_m）2+（y_"）2_卜

lPAlJ（x一9y+（y-3后’

222ml8k

整理得x+y--\x_2"6芈=io."",这就是圆o的方程，

1-F1-k21-k2

m=—34

2m-18^2=0^

所以(2“-6尿2-

=0解得＜n=^4

108F-疗一川-

k=6

所以mn=.

16

故答案为：巫

16

题型四直线与圆相交

争策略方法直线与圆的相交问题

（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长;、弦心距d和半径厂之间形

成的数量关系（夕2+相=，.

（2）弦长问题

①利用垂径定理：半径"圆心到直线的距离d,弦长/具有的关系/=废+（夕，这也是求弦

长最常用的方法.

②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式

计算弦长.

③利用弦长公式：设直线/：>=丘+6,与圆的两交点（公，%），（%，%）,将直线方程代入圆的方

程，消元后利用根与系数关系得弦长：I=后一%|="（1+公）+%了一钻%]=,（1+公）•育.

【典例1】直线/：x—y-2=0截圆x2+y2-4x+4y-l=0所得的弦长等于（）

A.77B.—C.2币D.377

2

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.

【详解】圆（x-2>+（y+2）2=9的圆心C（2,-2）,半径r=3,

|2-(-2)-2|

点C至!I直线》_y_2=0的距离〃==也,

心+(-1)2

所以所求弦长为2户彳=2/2_（挺）2=2近.

故选：C

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）圆尤2+（y+l）2=i与直线x+2y+3=0的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

【答案】A

【分析】运用几何法d与r的关系判断圆与直线位置关系即可.

【详解】圆《+（y+l）2=i的圆心为（0,-1）,半径为1,

所以圆心至！J直线x+2y+3=0的距离1=??=9<1,

所以直线与圆的位置关系为相交.

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）直线/：，=左0-1）+1和圆/+/-2〉=0的位置关系为（

A.相交B.相切

C.相离D.无法确定

【答案】A

【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断即可.

【详解】由好+产一2,=0,得/+（,一1）2=1,

所以圆心为（0,1）,半径为1,

而直线/：、=左（》一1）+1可化为左（x-D-y+i=o,

所以圆心（0,1）到直线/：，=依》-1）+1的距离为"='^^=-/^<1,