【导数极限定理的推广与应用6100字（论文）】

导数极限定理的推广与应用摘要：长期以来，导数和极限都是大学数学的基础部分，是学习高等数学的开端。而对于偏导数、方向导数、高阶导数来说,学好导数函数的基本极限定理则是毋庸置疑的第一步。导函数的极限定理是高等数学理论学习中非常基础的一个数学定理,既是导函数的基本性质之一,又是我们求导函数的重要工具,可以很好的帮助我们将高阶导数应用到偏导函数、方向导数及其他高阶导数等数学领域中。本文首先给出了导数与极限定理并给予注记，即利用函数的连续性求出limx→关键词：导数与极限；方向导数；偏导数；复数域目录TOC\o"1-2"\h\z\u1.极限与导数 31.1极限 31.2.导数 51.3关于导数极限定理的讨论 62、导数极限定理的推广 72.1导数极限定理在高阶导数中的推广 72.2导数极限定理在偏导数中的推广 92.3导数极限定理在方向导数上的推广 102.4导数极限定理在复数域中的推广 123.导数极限定理的应用 133.1导函数无第一类间断点 13结束语 14参考文献： 15引言极限和导数不仅是我们学习大学数学的第一门功课,也是我们学好高等数学乃至数学分析的重要基础,正所谓基础不牢,地动山摇,所以熟练掌握导数函数中的极限基本定理对于后面的本科学习工作是至关重要的。另一方面,微积分自1958年创立以来一直在国内外学界处于一个特殊的学术地位,近年来,随着我国微积分的不断创新发展,导函数中的极限基本定理逐渐在数学分析中的方向导数、偏导函数、复数域上得到推广与应用。1.极限与导数1.1极限设函数f定义在a，+∞上，我们研究当自变量x趋于+∞时对应的函数值能否无限的接近某个正数A.例如，对于函数fx=1x，从图像上看，当x无限增大时，函数值无限接近于0；而对于函数arctanx，则当x趋于+∞时函数值无限接近于π2.我们称这两个函数为当x趋于+∞时的极限.一般地，当x定义1.1.1设f为定义在a，∞上的函数，A为定数.若对于任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有，fx则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记做limx→∞例1.1.1证明lim证任给ε>0，取M=1x所以定义1.1.1（函数极限的ε−δ定义）设函数f在点x0的某个空心邻域Uοx0，δ'内有定义，A为定数.若对于任给的f则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记lim例1.1.2设fx证由于当x≠2时，f故对给定的ε>0，只要取δ=ε，则当0<x−2这就证明了limx→2例1.1.3证明limx→1证当x≠1时有x2若限制x于0<x−1<1此时x>0，则2x+1>1x21.2.导数定义1.2.11设函数y=fxlim存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作令x=x则上式可改写为lim△x→0所以,导数是函数增量△y与自变量增量△x之比△y△x的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数f'x0则为f例1.2.1求函数fx=x解由定义求得f'=lim由此知道抛物线y=x2在点（k=f'所以切线方程为y−1=2x−1或定义1.2.2设函数y=fxlim存在,则可以称该函数极限为正值称其为f函数在某一点的右导数,记作f类似地，我们可定义左导数f'右导数和左导数统称为单侧导数.定理1.2.1若函数y=fx在点x0的某邻域上有定义f'例1.2.2设fx=1−cosx,x≥0x，x<0，讨论f（解由于f0+△x因此ff'因为f'+0≠f'−1.3关于导数极限定理的讨论定理1.3.1（导数极限定理）若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间x0（2）在开区间x0（3）limx→x0则f（x）在点x0可导，且f'xlimx→证明对∀x∈x0，x0+δ，函数f（xf又limx→x0f'x=k，且x→x0+时ε→x0+，所以limx→x0+f'ε=limε+注定理1.3.1的条件是充分但不必要的.如函数f（x）=x2当x≠0时，f'x=2xsinf'f'则f'0f'x显然，limx→0−f'x与由此可见,函数可能在其他点x0的一个单侧函数极限不存在,但是可能在其他点x0的一个单侧导函数极限存在2、导数极限定理的推广2.1导数极限定理在高阶导数中的推广设物体的运动方程为s=s（t），则物体的运动速度为v（t）=s't，而速度在时刻lim△t→0就是一个运动中的物体在某一时刻的运动加速度.因此,加速度函数是一个速度路程函数的高阶导函数,也就是说一个路程函数s(t)的高阶导数是函数的高阶导函数,这就由此产生了一些高阶导函数的基本概念.定义2.2.1若函数f的导函数f'在点x0可导，则称f'在点x0的导数为f在点x0的二阶导数，记作limx→同时称f在点x0若f在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作f''x，x∈I，一般地，可由f的n-1阶导函数定义f的n阶导函数（或简称n阶导数）.二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f在点x0处的nfn相应的，n阶导函数记作fn这里dnydxn亦可写作为dnd定理2.1.1设fnx在Ux0连续，在Uοx0可导，limx→fn+1证fn+1x0=limx→xfn+1xlim例2.1.1f（x）=e−1x解f（x）在U0连续，在Uο0可导，limx→0f'x=limx→02x3e−1x2=0，所以f（x）在x=例2.1.2设f（x）=arctanx，求fn解f'x=11+x2，于是f'x1+fn令x=0，代入上式并化简，得fnf0=0，由上式，有f''0=0，f4f'0=1，f'''0f2k+10=−1k2k！（k=0，2.2导数极限定理在偏导数中的推广定理2.2.1（1）设gx=fx，y（2）设ℎy=fx0，y在Uy0连续,在U°y0可导，lim证记limfx例2.2.1设u=x∂u证∂u∂x=x∂u同理y∂u∂y=x∂u定理2.3.1（高阶偏导数）由于z=fx，y的偏导数fxx，y，fyx，y仍然是x与y的函数，如果他们关于x与∂∂x∂∂y∂∂x∂∂y类似地可定义更高阶的偏导数z=fx，y∂∂x∂∂y⋯⋯⋯⋯例2.3.1求函数z=ex+2y的所有二阶偏导数和解由于函数的一阶偏导数是∂z∂x=e因此有∂2z∂∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x∂2z∂和∂32.3导数极限定理在方向导数上的推广定义2.3.1设三元函数f在点P0x0，y0，z0的某邻域lim存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数，记∂f∂l容易看出，若f在点P0存在关于x的偏导数，则f在点P0沿∂f∂l当l的方向为x轴的负方向时，则有∂f∂l定理2.3.1若函数f在点P0x0，y0，fl其中cosα，cosβ，证设P（x，y，z）为l上任一点，于是x−有假设f在点P0可微，则有f上式左、右两边皆除以ρ，可得f=fx因为当ρ→0时f=fx对于二元函数f（x，y）来说相应结果是fl其中α，β是平面向量l的方向角.例2.3.1设f（x，y，z）=x+y2+z3解易见f在点P0可微.故由fcoscoscos可求得f沿方向l的方向导数为flP2.4导数极限定理在复数域中的推广数学分析很多结论可直接推广到复数域上来，本文给出复数域中直线段上的中值定理.定理2.4.1设复数量函数f（z）在区域D内部可导，D上连续，复数a，b∈D且a≠b，则存在ε，η∈fb这里（a，b）表示区域D中连续复数a，b的直线段（不包括端点），D为区域D的闭包.定理2.4.2设复变函数f在点z0满足：（1）某邻域Uz0连续，（2）Uοz0内可导，（3）极限limz→z证明显然有f(z)满足定理2.4.1的条件，故任取z∈fz因此当z∈D，z→z0（不管沿着任何方向）时，均有lim=lim=limz→由条件limz→z0f'z3.导数极限定理的应用3.1导函数无第一类间断点定理3.1.1（导函数无第一类间断点）设函数f（x）在（a，b）内处处有导数f'x，则（a，b）中的点为f'x的连续点，或者为证明因为f（x）在(a，b)内处处可导，所以对任意x0∈a，b，假设x0为f（x）的可去间断点，limx→x0f'x存在，由定理3.1.1可知f'limx→可知x0为函数f（x）的不可导点.因此在(a，b)内任一点处，f'x连续，或者f'x即也说明导数函数不可能存在跳跃间断点.下面进行举例说明，导函数不可能存在可去间断点.例3.1.1设fx=x证明假设存在函数gx满足g'x=fx，x∈limx→0知g'0证毕.结束语导数极限定理虽说只是微积分学习的一部分，但却是学习掌握大学数学不可或缺的中坚力量，在现阶段的发展中，导数极限定理更是起着不可替代的力量，随着微积分领域的不断发展，导数极限定理也在向着更深层次飞速发展，并逐步朝着方向导数、偏导数、复数域乃至更多数学分支的领域不断地推广和应用。参考文献：[1]华东师大数学系．数学分析(上册)[M]．北京：高等教育出版，2010．[2]周香孔.关于导数极限定理分析性质的讨论[J].衡水学院学报,2007(01):48-48.[3]李桂花,刘汝芳,杨军,曾艳.导数极限定理的进一步研究[J].科技信息,2010(14):519-519.[4]王冲,王金花,赵志平.导数极限定理的