河南省濮阳市2025届高三数学5月模拟考试试题文（含解析）

河南省濮阳市2025届高三数学5月模拟考试试题文（含解析）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={1]-2<无<2},8={刈[<-1卜则Ac3=(

)

A.{x|x<0}B.{x\x<2}C.{x|-2<x<0}D.

{^|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】

解分式不等式求出集合3,依据交集定义求出结果.

［详解】B=jx||<-lj={x|-3<x<0}

则Ac3={乂-2（尤<0}

本题正确选项：C

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.

2.欧拉公式*=cosx+，sinx（，为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数

的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用特别重要

的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式可知，e?'表示的复数在复平面中位于（

）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由欧拉公式*=cosx+z'siru,可得e2'=cos2+isin2,e"表示的复数在复平面中的象限.

【详解】解：由欧拉公式*=cosx+z'siru，可得e2'=cos2+isin2,

此复数在复平面中对应的点为（cos2,sin2）,易得cos2<0,sin2>0,

可得此点位于其次象限，

故选B.

【点睛】本题主要考查复数几何意义应用，敏捷运用所给条件求解是解题的关键.

3.某校有文科老师120名，理科老师225名，其男女比例如图，则该校女老师的人数为（）

文科教师理科教师

A.96B.126C.144D.174

【答案】D

【解析】

【分析】

先由统计图表数据得到女老师所占的概率，再分别计算文科老师和理科老师中女老师的人数,

即可求解，得到答案.

【详解】由统计图表可知，该校文科老师中女老师的人数为120x0.7=84人，该校理科老师

中女老师的人数为225x0.4=90人，所以该校女老师的人数为84+90=174人，故选D.

【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用，其中解答中依据统计图表得出该校文科老师

和理科老师中女老师所占的频率是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.

4.在等比数列中，=1,58=3,则。13+。14+。15+。16的值是（）

A.8B.15C.18D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

设等比数列｛4｝的公比为4,依据64=1,项=3,求得=2,又由%+44+45+46=r,

即可求解.

【详解】设等比数列｛/｝的公比为4,

因为—1,5g—3,即％+/+/+=1，%+R+%+/=2,

贝°qa=四+1+%+”=2,

'1+%+%+/

又由包+%+%+&=/2=23=8,故选A.

〃]+出+/+

【点睛】本题主要考查了等比数列性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理运算

是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

5.已知圆。：犬+丁2—2x=0,在圆C中任取一点P,则点P的横坐标小于1的概率为（）

211

A.—B.—C.—D.以上都不

万42

对

【答案】C

【解析】

分析：画出满意条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于1的面积，除以圆的面积。

点睛：几何概型计算面积比值。

jr

6.要得到丁=以《(2*-7)的图象，只需将y=sin2x的图象()

77冗

A.向左平移一个单位B.向左平移一个单位

48

77TT

C.向右平移一个单位D.向右平移一个单位

48

【答案】B

【解析】

'Ji'Ji'Ji'JiJri

试题分析：y=cos(2x——)=sin(2x——)+—=sin(2x+—)=sin2(x+—),故要得到

4L42j48

JT77

y=cos(2x—Z)的图象，只需将y=sin2x的图象向左平移g个单位

考点：函数y=Asin3a+°)的图像和性质

x+y..3

7.若变量％,V满意约束条件(x—丁2-1,则z=»的最大值为()

2x-y<3X

15

A.4B.2C.-D.-

24

【答案】B

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得出当过点A时，直线的斜率最大，即可求解,

得到答案.

x+y..3

【详解】画出约束条件<x-yN-1所表示平面区域，如图所示，

2x-y<3

由目标函数z=2,可化为z=2二9表示平面区域的点与原点0(0,0)连线的斜率，

xx-0

结合图象可知，当过点A时，此时直线的斜率最大，

x+y=32-0

又由4,,解得力,所以目标函数的最大值为z=——=2,故选B.

x-y=-l1-0

/d/X

【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式

组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重

考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题.

8.设四面体ABCD各棱长均相等，S为的中点，。为上异于中点和端点的任一点,

则ASQD在四面体的面BCD上的的射影可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知四面体为正四面体，依据正四面体的特点可求得S在平面BCD上的射影点T在中

线DE上,且。T=又。,。右平面BCD,可得射影三角形，从而得到结果.

【详解】四面体各棱长相等，可知四面体A3CD为正四面体

取中点E，连接DE,如下图所示:

2

作AF_L平面BCD,垂足为P，由正四面体特点可知，P为ABCD中心,且。尸=—£)£1

3

作ST,平面BCD,垂足为T,可知ST//AF,且T为。尸中点，则

3

即S在平面BCD上的射影点为T

又DQe平面BCD

ADQT即为ASQD在平面BCD上的射影，可知③正确

本题正确选项：C

【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.

9.已知平面内的两个单位向量近，0B，它们的夹角是60°,OC与近、05向量的夹角

都为30°,且|。。|=2百，若=+〃08,则2+〃值为()

A.2百B.4g_C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由OC在NA03的角平分线上，得到彳=〃，即。。=几(。4+。8),再由口G=2百，依

据向量的数量积的运算列出方程，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，可得0乙在NA03的角平分线上，所以OC=MOA+O3),

再由=AOA+/JOB可得九=〃，即OC=A(OA+OB),

再由|。4=2百，

得2后="2(04+03)2=”2(。/+2OAOB+OB2)=722(1+2xlxlcos60°+1)，

解得/l=2,故〃=2,所以2+〃=4,故选D.

【点睛】本题主要考查了平面对量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平

面对量的基本定理，得到彳=〃，再利用向量的数量积的运算公式，精确运算是解答的关键,

着重考查了推理与运算实力，属于基础题.

10.已知函数小bcosx+lnm，若［盖［++［黯］=

1009（。+〃）ln»（a>0,〃>0）,则工+石的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

依据〃x)+/(»—力=2山不，采纳倒序相加的方法可得S=20181n»,从而得到

a+b=2,依据基本不等式求得最小值.

【详解】由题可知：

7l（7l-x\0

/（x）+/（〃-x）=cosx+lnnX+cos（乃-%）+In-----------=In%2=21n〃

71—Xx

712018万）

令s=f+f2019J

2019

I2019）I2019J2019J

于是有2s=21n»+21n〃H----i-21n^-=2x20181n^-nS=20181n〃

因此a+Z>=2

［（2+2）=2

当且仅当a=5=1时取等号

本题正确选项：A

【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和最小值问题.关键是能够通过函

数的规律求得。与b的和，从而能够构造出基本不等式的形式.

11.已知抛物线C：V=4x的焦点为歹，过歹的直线/交抛物线。于A、8两点，弦的

中点"到抛物线。的准线的距离为5,则直线/的斜率为（）

A瓜R娓rn-Li

A.±-------15.±-------U.土---U.十I

一232一「

【答案】B

【解析】

【分析】

求得抛物线的焦点/（1,0）,利用定义得到/+"=5,求得%=4,再由三左=?，，

求得C:,进而可求解直线的斜率，得到答案.

【详解】由题意，抛物线C：V=4x的焦点/（1,0）,

设4（*,必）,3（々,上），线段AB的中点”（天,%）,所以/=、%%,

由弦AB的中点〃到抛物线C的准线的距离为5,即天+5=5,则毛=4,

又由＜一©2,两式相减得（%+%）（%一/）=4（玉一居），

也=4%'"

„,r弘一上儿一°咐、|2%一°2%一0

又由化=------------7,所以——=----7，即一一下一T

%一％Xo-1%x0-iy04-1

解得C:,

所以直线的斜率为左=2=±逅，故选B.

为3

【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的中点弦问题，以及斜率公式的应用，其中解答中合

理利用平方差法和斜率公式，列出关于先的方程，求得方的值是解答的关键，着重考查了推

理与运算实力，属于中档试题.

12.已知函数f(x)=.],又g(x)=[/(x)]2+//-(%)(?eR),若关于左的方程g(x)=-1有四

个不同的实根，则实数f的取值范围为()

/+162+1e2+1

A.(田,-------)B.(-----,+oo)C.(--^^,-2)D.

22e

【答案】A

【解析】

=e*+xex>0

当了之0时，/(x)=xe］./'(x)=e*+xeX>0恒成立，.•./(;(;)在［0,+。。)上单调递增，当

尤<0时，/(x)=-xex(x)=-ex-xex=-ex(1+%),由尸(x)>0,得x<-l,由

/'(x)<0,得—l<x<0,.•./■(尤)在(-8,-1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，

.•./(%)=|回在S,0)有一个最大值，=要使方程/⑴+"⑴+1=09e尺)

有四个不同的实数根，令/(%)=加，则方程加2+.+1=。应有两个不等的实根叫，帆2且

mjeQ,+co^,4g(m)=m2+Zm+1,g(0)=l>0,.•.只需g［，］<0,即

1te2+1(/+1、

下+―+l<0,得/<—幺二，即f的取值范围是—8,------,故选A.

e-ee\e)

【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)干脆法,

干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法，

先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一

平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一是转化为两个函数

y=g(x),y=//(%)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数

零点的个数，二是转化为y=a,y=g(x)的交点个数的图象的交点个数问题.

第n卷(非选择题，共90分)

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.某公司的组织结构图如下图所示，则信息部被干脆领导.

【答案】总工程师

【解析】

【分析】

依据组织结构图的定义及其要素间的从属关系可得结论.

【详解】依据给定的组织结构图，可知信息部从属于总工程师，所以填总工程师.

故答案为：总工程师.

【点睛】本题主要考查对结构图的理解与应用，组织结构图是将组织分成若干部分，并且标

明各部分之间可能存在的各种关系，属于简洁题.

14.若数列｛4｝满意4+1+«„.r.2a,2）,则称数列｛4｝为凹数列.已知等差数列出｝的公

差为d,伪=2,且数列，是凹数列，则d的取值范围为.

【答案】（-8,2]

【解析】

试题分析：因为等差数列｛2｝的公差为d,4=2,所以2=2+（〃—l）d,又数列是

bb2b

凹数歹U,所以—+a2j,化简,解不等式干脆可得d<2,故d的取值范围为（-8,2],

n—1n

考点：1.新定义；2.等差数列性质.

15.已知直线/与曲线,=三—x+i有三个不同的交点4（&弘），B（x2,y2）,。（毛,%），且

\AB\=\AC\,则X(%+%)=

【答案】3

【解析】

【分析】

依据函数的对称性得出函数的对称中心，得到三点的坐标和，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，函数丁=三-x是奇函数，则函数y=x的图象关于原点对称,

所以函数y=x+1的函数图象关于点（0,1）对称，

因为直线/与曲线y=x+1有三个不同的交点4（%,乂）,6（9,％），。（七，%），

且|A5|=|AC\,

所以点A为函数的对称点，即A（（M）,且民C两点关于点A（0,l）对称，

所以石+々+退=0,%+%+%=3,于是+

【点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中依据函数的基本性质，得到

函数图象的对称中心，进而得到点A为函数的对称点，且民C两点关于点（0,1）对称是解答的

关键，着重考查了推理与运算实力，属于中档试题.

16.如图，在正方体ABC。—A4G2中，点。为线段的中点.设点P在线段CG上，直

线OP与平面A3。所成的角为戊，则sina的取值范围是.

【解析】

【分析】

71冗

由题意可得直线利于平面4初所成的角。的取值范围是NAOA，5oNG。4!，,，再

利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围.

【详解】由题意可得：直线利于平面4劭所成的角a的取值范围是

717t

/AOA，,U404,5,

不妨取Z庐2.在Rt/\AOA\中，si/i/AOAi==—,=—^―,

A044+23

sinZGOAr=sin—2ZAO^)=sin2ZAO\=2sinZAO^cosZAO\

_OA/6A/3_2A/2V6

3333

since的取值范围是］

【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推

理实力，属于中档题.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

个试题考生都必需作答.第22,23题为选考题，考生依据要求作答.

17.如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发觉正前方B处有一立柱，测得立柱顶

端。的仰角和立柱底部B的俯角均为30。，已知S的身高约为3米(将眼睛距地面的距离按

百米处理)

(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点。在S与立柱所在的平面内旋转.摄影者有一视

角范围为60。的镜头，在彩杆转动的随意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明

理由.

【答案】（1）摄影者到立柱的水平距离为3米，立柱高为米.（2）摄影者可以将彩杆全

部摄入画面.

【解析】

试题分析：（1）如图，不妨将摄影者眼部设为S点，做SC垂直0B于

C,NCSB=30JS8=6（T.

又Si二n故在扁迪融喷中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米.....3分

由SC=3,,二磁@'“在感溪魁3中，可求得01=、匚

又露二&k信,故。5-A三即立柱高为米.--------------6分

⑵（注：若干脆写当MY_SO时，最大，并且此时心嬲娥C”，得2分）

连结SM,SN,在ASON和ASOM中分别用余弦定理，

2-2^1

—>l..Z*VSAr<60'

aba*+&*13

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.10分

考点：解三角形的实际应用；余弦定理。

点评：在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再依据题意正确画出示意图，通过这一

步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题。解题中，要留意正、余弦定理的应用。

18.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD,PA=26，BC=CD=2,

71

ZACB=ZACD=~.

B

（I）求证：应），平面PAC；

（II）若侧棱PC上的点/满意PE=7EC,求三棱锥P—5DP的体积.

7

【答案】⑴见解析⑵一

4

【解析】

试题分析：（1）由于月4_L&BCD,可以证明H4J■即,要证明M_L面F4C,只需证明

从而3。1面PAC中的两条相交直线，DA.AC.（2）由（1）知必。为等腰

三角形，面积简洁求出，考虑以BCD为底面.F为顶点的三棱锥，以及以BCD为底面，P为

顶点的二棱锥面积简洁求出，所以\'P-BDF=''RBCD-'F-BCD.

试题解析：（1）证明：因为BC=CD,所以4BCD为等腰三角形，

又/ACB=/ACD,故BD±AC.因为PA_L底面ABCD,所以PA±BD.

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，所以BDL平面PAC.

11

(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积SABCD=-BC・CD-sinZBCD=-X2X2Xsin1-=/.

由PAL底面ABCD,得Q也二SABCD,PA二一X.乂2拒=2.

由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为工PA,

8

故-,SAHCD,PA=X、J、XX2,

V

384

=

所以T；gDF~^pKD~Brn^~—=一•

考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积公式.

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，属于中档题.求

三棱锥的体积公式的方法有：间接法，用已知几何体体积减去部分体积即得所求几何体体

积.干脆法，干脆求该几何体的一条高与所对应的底面积，这里求几何体的高可通过几何法

干脆做出高并计算，也可以在空间直角坐标系中用点到面的距离公式来解决.

19.随着手机的发展，“微信”渐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“运用微信支

付”的看法进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“运用微信支付”赞成人

数如下表.

年龄

（单位：[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

岁）

频数510151055

赞成人数51012721

（I）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2x2列联表，并推断是否有99%

的把握认为“运用微信支付”的看法与人的年龄有关；

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计

赞成

不赞成

合计

（II）若从年龄在［55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不

赞成运用微信沟通的概率.

参考数据：

Pg.k。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

壮2n(ad-bc)4一，，

K=----------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

9

【答案】⑴见解析⑵—

10

【解析】

试题分析：

(1)结合所给的数据绘制列联表，据此计算可得段=5°x(3xK)—27xl°j心仇98>6.635.

37x30x13x20

则有99%的把握认为“运用微信沟通”的看法与人的年龄有关.

(2)设年龄在［55,65)中不赞成“运用微信沟通”的人为4B,C,赞成“运用微信沟通”的人

为a,b,据此列出全部可能的事务，结合古典概型公式可得2人中至少有1人不赞成“运用

9

微信沟通”的概率为々一.

10

试题解析：

(1)2X2列联表如下:

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计

赞成102737

不赞成10313

合计203050

/=5°x(3xl0—27x10)2~635.

37x30x13x20

所以有99%的把握认为“运用微信沟通”的看法与人的年龄有关.

(2)设年龄在［55,65)中不赞成“运用微信沟通”的人为4B,C,赞成“运用微信沟通”的人

为a,b,

则从5人中随机选取2人有4?,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10种结果，其中

2人中至少有1人不赞成“运用微信沟通”的有46,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb、Ca、Cb,共9

9

种结果，所以2人中至少有1人不赞成“运用微信沟通”的概率为P=—.

V22

20.已知椭圆C：=+y=l(a〉6〉0)的两个焦点分别为耳、工，N闾=2,点。在椭圆

a

上，且AQ耳心的周长为6

(I)求椭圆。的方程；

(II)若点P的坐标为(2,1),不过原点。的直线/与椭圆C相交于4,3两点，设线段

的中点为“，点尸到直线/的距离为d,且M,O,P三点共线，求上二屋的

1316

最大值.

2252

【答案】(I)土+乙=1;(II)—.

433

【解析】

【分析】

(I)依据焦距和焦点三角形周长可求得。，。，利用62="2一°2求得匕，从而可得椭圆的方

程；(II)当直线/斜率不存在时，可推断出“，O,P三点不共线，不符合题意；所以可假

设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出X1+Z和X/2；由三点共线得到斜率

相等关系，从而可求得上=-5；利用弦长公式和点到直线距离公式求得|A@和d,代入可整

理出：—IABI2+-d2=--(m+^]+—,可知当根=—3时取最大值.

13164(3)33

【详解】(I)由题意得：2c=2,2a+2c=6

解得：a=2,c=l/.b2=a2-c2=3

22

•••椭圆。的方程为土+二=1

43

(H)设双孙％)

当直线/与X轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点〃在X轴上，且与。点不重合

明显"，O,P三点不共线，不符合题设条件

故可设直线/的方程>=辰+〃7(相片。)

ykx+m,消去丁整理得：(3+4左2)X2+8hnx+4m2-12=0①

3%2+4y=12')

则/=Mk2nr—4（3+4左2乂4加2-12）＞0

-8km4m2-12二点,Ms的坐一标一为“〔3一+44kmk33+m"）

3+4左2$23+442

3m

.3+4严=1

*.*M，0,P二点共线,.k°M=k0p

•-4km2

3+4k~

c,3

mwQ/.k=--

2

此时方程①为：3x2-3mr+m2-3=01则△=3（12—"）＞。me（-273,273）

则%+々=，九，苞々=--—

；JAB『=（1+5）［（玉+尤2）~_4%々=£（12一加2）

,|8—2mI2|m-4|

又公军hFT

12,213,2(62、(m-4)23(4?52

一\AB\-+——d~=(12-m-}+-----—=——m+-+—

1316v744^3)3

...当机=—ge(-273,26)时，^||AB|2+j|j2的最大值为y

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直

线与椭圆综合问题时，常采纳联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求

的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.

21.设函数/(x)=e*-ax+g,a>0.

(1)若曲线y=/(x)在点(L/(D)处的切线与％轴平行，求。；

(2)当X<1时，函数f(x)的图象恒在X轴上方，求。的最大值.

【答案】(I)a=e；(II)a的最大值为2e；

【解析】

【分析】

(I)先求导数，再依据导数几何意义得切线斜率，最终依据条件列方程解得a；(II)先求

导数，再依据导函数零点与1大小分类探讨，依据函数单调性确定函数最小值，最终依据最

小值大于零，解得a的取值范围，即得最大值.

【详解】(I)Vf(x)=ex—ax+^,fJ(x)=ex_a,.*.f,(1)=e_a,

由题设知f'(1)=0,即e-a=0,解得a=e.

阅历证a=e满意题意.

(II)令f'(x)=0,HPex=a,则x=lna,

(1)当InaVl时，即OVaVe

对于随意*£(-8,Ina)有f'(x)<0,故f(x)在(-°°,Ina)单调递减；

对于随意*£(Ina,1)有f'(x)>0,故f(x)在(Ina,1)单调递增，

因此当x=lna时，f(x)有最小值为a-alna+'=a[m—lna]>0成立.所以0<a<e,

(2)当lna'l时，即aee对于随意xe(-℃>,1)有f'(x)<0,

故f(x)(-8,1)单调递减，所以f(x)>f(1).

因为f(x)的