教研教培课件：《深度学习背景下数学原理教学的课堂实践》

深度学习背景下数学原理教学的课堂实践

数学教育本来是要普渡众生的，现在却变成了苦海无涯。——项武义（2008.11.28)广东省教育科研十三五规划课题《基于深度学习的数学原理教学的实践研究》课题编号：2019YQJK327CONTENTS目录一、什么是数学原理？三、深度学习背景下原理教学的课堂践行二、初中数学原理学习情况的调查分析什么是数学原理？一1.1什么是数学原理？

数学原理的学习对应于加涅的“规则”和“高级规则”的学习，或对应于奥苏贝尔的“命题学习”。

我们把数学中的公理、定理，公式、法则，数学对象的性质等的学习统称为命题学习，命题学习也可以称为规则学习。数学原理：数学中的公理、定理、公式、法则、性质的统称。(1916-2002)加涅，美国认知教育心理学家，信息加工学习理论的代表人物。

人类的学习是复杂多样的，是有层次性的，总是由简单的低级学习向复杂的高级学习发展，构成了一个依次递进的层次与水平。联结与连锁学习辨别学习概念学习规则学习高级规则学习学习层次

奥苏贝尔，美国教育心理学家。认知主义的代表人物，强调学习是学习者主动建构的过程。

有意义言语学习理论不仅用认知结构同化论的观点解释知识的获得、保持和遗忘，而且用认知结构的观点来解释知识学习的迁移。(1918-2008)表征学习概念学习命题学习有意义学习类型上位学习（从特殊到一般）组合学习（类比）下位学习（从一般到特殊）概念形成概念同化1.2什么是知识？知识——人们在社会实践中所获得的认识和经验的总和。从字的起源上讲，就是指那些所有已经知道的能够表达出来的、可以识别的、标记的东西。

知识是一种结果，可能是思维的结果，也可能是经验的结果。以知识为本的教育，在本质上是一种结果的教育。这样的教育缺少什么呢？我认为是缺少智慧。智慧表现在过程中。——史宁中1.3知识的分类

只有借助于隐性知识的力量，人类所有的显性知识才得以发生和发展，人类的知识创新才有根基，隐性知识深深地镶嵌于人类的实践活动之中，只有通过在行动中的体验，才能达到学会和提高的目的。（顾泠沅）启示1.3知识的分类类别定义子类别事实性知识学生熟悉法则，解决问题必须知道的基本元素1、术语的知识2、具体细节和要素的知识概念性知识在基本元素共同作用的机构中，元素之间的相互关系1、类别与分类的知识2、原理和通则的知识3、理论、模式和结构的知识程序性知识（如何做）如何使用技能、法则、技巧和方法的准则1、具体学科技能和法则的知识2、具体学科技术和方法的知识3、确定何时运用适当程序的准则知识元认知知识（一般认知和自我认知）关于认知的知识，自我认知的意识和知识1、策略性知识2、关于认知任务的知识，包括情境性和条件性知识3、关于自我的知识是什么1.4数学知识的分类类别子类别例子事实性知识1、数学概念三角形、实数、多项式、不等号2、具体细节和要素的知识三角形的边、三角形的三线、多项式的次数概念性知识1、类别与分类的知识实数的分类、四边形的分类2、原理和通则的知识图形性质、勾股定理、等式性质3、理论、模式和结构的知识乘法公式、初中的数与式的结构等程序性知识（如何做）1、具体学科技能和法则的知识各种运算法则、因式分解、解不等式、方程组2、具体学科技术和方法的知识实际问题的审题选择模型的知识，各种方案选择，数形结合、分类讨论等思想方法、3、确定何时运用适当程序的准则知识确定圆的切线的证明方法、确定解一元二次方程的方法、确定画树状图或列表法、确定用什么语言符合准确表达、确定用什么方式检验答案等。元认知知识（一般认知与自我认知）1、策略性知识做学习笔记、做错题本辅助学习，用联想的方式编码记忆，知道需要检查答案，知道绘制概念图或结构框架图。2、关于认知任务的知识，包括情境性和条件性知识知道自己最擅长哪类数学题，知道自己要怎样学习会更适合等3、关于自我的知识知道评价自己的知识水平，知道自己对学科的兴趣和态度，知道自己是擅长于推理还是运算等1.4数学知识的分类1.数学概念；2.数学原理（公理、定理、法则、公式、性质）3.数学思想方法（内容反映的）4.运算、推理、作图、制作处理数据的技能硬件和软件构成为一个有机的整体，相互协调，数学知识才能有效地运用。1.5数学原理是揭示概念之间关系的判断袁智贤

林崇德

《思维发展心理学》——概念、判断和推理，共同组成思维形式的整体，它们既是思维的理性材料，又是思维的结果。理性的材料，主要是指概念，概念是思维的细胞，是思维的主要形式。判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。推理是从一个或几个已知判断推出另一个新的判断的思维形式，是对判断之间逻辑关系的认识。数学原理揭示几个概念之间的关系，表示了某种规律，数学原理的学习比概念学习要复杂。[分析]解答本题需要的数学知识有以下几类：1、联结的数学概念有：线段、线段的长、三角形、三角形的边、三角形的周长、三角形的顶点、角、等腰三角形、等腰三角形的边即腰和底边、等腰三角形的周长等。这些概念是思维的细胞，构成一个组块，是我们解决问题的出发点。2.要理解的数学原理有：三角形三边的关系，以及中间推理得到的一系列判断；3、还需要了解或掌握一些程序性知识，如分类讨论的思想、方程思想、运算技能，以及准确使用数学语言表征的符号意识和方法（包括边的倍数关系刻画）。案例12016年9月2日星期五

今天继续研究三角形的边，以研究在边方面的性质为主。在讲课之前，先复习了一下研究三角形的思路：从定义---分类----性质。对定义的研究从文字叙述、符号表示、组成要素，在复习分类时，问为什么要进行分类？部分学生似乎还是不甚明了。我强调是为了后面研究性质更有针对性，在分类中可以有重点有方向。——指向特殊的三角形：等腰、直角。

对性质的研究，一样的从组成要素出发，先从边方面进行。学生们因为自学，能够说但不能讲为什么？我补充讲了理由，同时，对性质的运用，专注于两种类型。一是直接判定三边是否成三角形，另一类是等腰三角形的边、周长等。对课本中的典例，我选择示范，但方法有变，并重在引导他们如何自学例题：看题先不看答案；自做完再对答案；对完答案想其他做法；改编等。我以设腰长为x，讲完之后，对第二问采用计算方法。后又改数据4cm为7cm，之后直接进入拓展提升。将第三边的范围为核心进行了研究。布置的作业是完成教学案。2016年9月5日星期一批改学生的周末作业发现，学生对教材P3的三角形的边的那个等腰三角形的例题效果仍然表现不佳。七班都只有三分之一的人理解了掌握了，表述清楚。主要问题在：1、做了之后没有结果或者没有表述结果。2、没有分类进行研究。3、把底边与腰长的倍数关系弄反。当晚布置了改编后的作业，但问题仍是限在所围成的三角形只有一种情况的。2016年9月6日星期二……傍晚，找了作业不够理想的两班各近10人，去更正作业。强调严格按照课本例题的分类讨论的模板来完成。第一步：（交待说明）根据……分……种情况讨论；第二步：（按照所分的情况，一种情况一种情况地研究）；当……时，……当……时，……第三步：（总结讨论成果）由以上讨论可知，……反思：1、原理学习不是孤立的，连接着很多其他知识；任何一个概念、其他原理都可能构成思维的障碍；2、由边求周长容易，顺向思维；由周长求边，这是逆向思维，困难有挑战。3、关于分类讨论的数学语言的表述不易掌握；4、第一次教学时对问题的困难性估计不足，没有做好深入变式，把问题讲透。引例：写出一组使三角形周长为18cm的三边长

.写出一组使等腰三角形周长为18cm的三边长

.例1（人教版八上P3）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？（3）能围成有一边长为8cm的等腰三角形吗？为什么？（4）能围成有一边长为10cm的等腰三角形吗？为什么？（5）研究围成的等腰三角形腰长的取值范围.改进版本质属性：数学原理从知识的分类上属于明确知识，是概念性知识和部分程序性知识的集合。过程性：要想知识的学习传递走向深刻，一定要注重过程，重视实践活动中的体。迁移应用性：知识（数学原理）的学习要注重在不同的情景中个体经验的积累。

联结性：数学知识之间是一个有机的整体，数学原理不是孤立的存在。目的性：数学原理是一种判断，判断是逻辑思维的重要形式。数学原理的学习，是为了促进思维能力的发展。对数学原理认识的小结初中数学原理知识清单年级序号数学原理名称七上

1有理数加法法则2有理数减法法则3有理数乘法法则4有理数乘法运算律5有理数除法法则6合并同类项7去括号规律8整式加减运算法则9等式的性质10一元一次方程的解法11余角和补角性质

七下

12对顶角性质13垂线性质14平行线的判定定理15平行线的性质定理16平移的性质17平方根的特征18立方根的特征19坐标系平移规律20二元一次方程组的解法21不等式的性质22不等式的解法23一元一次不等式组的解法

八上

24三角形的三边关系25三角形的内角和定理26三角形的外角性质27多边形的内角和定理28多边形的外角和29全等三角形的判定定理SSS30全等三角形的判定定理SAS31全等三角形的判定定理AAS、ASA32角平分线的性质定理33角平分线的判定定理34垂直平分线的性质定理35垂直平分线的判定定理36坐标系中对称点规律37等腰三角形的性质定理38等腰三角形的判定定理39等边三角形的性质与判定定理40含30度的直角三角形性质41同底数幂乘法法则42幂的乘方法则43积的乘方法则44整式乘法（单乘多）45整式乘法（多乘多）46整式除法法则47乘法公式1（平方差公式）48乘法公式2（完全平方公式）49去括号法则50提取公因式法因式分解51公式法因式分解52分式的基本性质53分式的乘除运算法则54分式的加减运算法则55整数指数幂的规定八下

56二次根式的性质57二次根式的乘法法则58二次根式的除法法则59二次根式的加减法法则60勾股定理61勾股定理的逆定理62平行四边形的性质定理63平行四边形的判定定理64三角形的中位线定理65矩形的性质定理66矩形的判定定理67菱形的性质定理68菱形的判定定理69正方形的判定定理70正比例函数的性质71一次函数的性质特征72一次函数与方程、不等式关系73加权平均数计算公式74中位线、众数计算方法

九上75配方法解一元二次方程76公式法解一元二次方程77因式分解法解一元二次方程78直接开平方法解一元二次方程79根的判别式与一元二次方程根情况80一元二次方程根与系数关系81二次函数的性质82二次函数与一元二次方程关系83旋转的性质84中心对称的性质85垂直于弦的直径86弧、弦、圆心角定理87圆周角定理88点与圆的位置关系89直线与圆的位置关系90切线的判定定理91切线的性质定理92切线长定理93弧长公式94扇形面积公式95概率计算公式

96

方差计算公式九下97反比例函数性质98相似三角形的判定定理初中数学原理学习现状的调查分析三（2017年省·第18题）（2018年省·第18题）（2019年省·第18题）得分率88.67%得分率86.3%得分率86.8%2.1从中考中窥见初中数学原理学习状况案例2典型错例及存在问题：1.直接代入.2.完全平方公式和平方差公式记错记淆.3.漏项.4.化简或运算不彻底5.书写不规范.（2020年省·第18题）零分人数有一成。（1）直接代入.（2）没有掌握并熟记完全平方公式和平方差公式.

（3）计算漏项（4）计算或化简彻底说明：部分同学初一、二年级的乘法公式、整式运算法则（数学原理）的学习理解和运用很不到位，没有形成个体较强的运算技能，与深度学习的要求相差甚远。根据有关文献，我们将数学原理理解和掌握的检测维度确定在以下五个方面：（1）数学原理的重述：是指学生能对原理进行客观重述，但不理解原理的本质，因此还不能对原理进行多种表征（2）数学原理的多种表征：是指学生不仅能重述数学原理，还能根据自己的对原理的理解用多种方式表征数学原理（3）数学原理的应用（双向运用）：是指学生能应用数学原理解决数学问题，包括原理的正向应用和逆向应用。（4）数学原理推导或证明（针对定理、公式）：是指学生能够推导或证明定理、公式。（5）数学原理的关联：是指学生能够建立相关数学原理的知识网络，形成数学命题结构体系或者命题线。2.2初中数学原理学习状况调查问卷的设计意图测评数学原理（法则）的掌握与问题的数学化。指向数学原理的运用2.2初中数学原理学习状况调查问卷设计指向原理重述与多元表征数学原理的推导与证明2.2初中数学原理学习状况调查问卷设计指向数学原理的结构与之相关的一般观念2.2初中数学原理学习状况调查问卷设计1能正确举例94.50%不能举例5.50%2合并同类项依据表述正确4.25%合并同类项依据表述错误或不知95.75%3解一元一次方程步骤表述完全正确45.25%解一元一次方程步骤基本正确37.50%解一元一次方程步骤表述不正确17.25%能够正确说明解方程的依据24.75%解方程依据表述不正确或不知75.25%2.3初中数学原理学习状况调查结论1

运算法则的学习理解程度不高2.3初中数学原理学习状况调查结论题号学生回答结论类型百分比4能够正确表述不等式性质36.25%不能正确表述不等式性质63.75%正确表述不等式性质的来源12.25%不能正确表述不等式性质来源87.75%6能够正确证明三角形内角和定理38.50%不能证明定理61.50%2对数学对象的性质、定理推导与证明水平不高2.3初中数学原理学习状况调查结论题号学生回答结论类型百分比6能够清晰正确表述整式学习的基本路径1%对整式学习路径略知一二6%对整式的学习路径完全不知或留空8.50%能够清晰正确表述几何图形学习的基本路径10.75%对几何图形学习路径略知一二27.50%对几何图形的学习路径完全不知或留空25.50%能够清晰正确表述函数学习的基本路径6.50%对函数学习路径略知一二8.75%对函数的学习路径完全不知或留空5.25%7能以结构框架图等合适方式有序组织所学数学知识19.50%只是列举表述若干数学知识章节或知识点68%留白或表达所学数学知识少于五项12.50%3对数学知识的整体结构和内在联系的理解和掌握情况不够理想“听不懂，不明白”“先看题目条件，看图形有什么性质、定理，标记图象，作答”、“先大概估测一下几何图形的特殊性，再根据相关图形的性质进行证明，完成题目（解答），不然就放弃”，“先预习，再听课不断写题，不懂就问”、“记笔记上课专心，认真听讲，整理错题，无时不刻不想着学习，不懂就问”。问题6：我们学习整式（或函数或几何图形）的学习路径是怎样的？“先自己自学一遍，然后再听老师讲一次，查漏补缺，课后多练题”、“多做导教导学案，课堂导学案，课堂大考卷，课时分层作业本”、“多刷题，摸清规律，一般出什么题型，学会运用定理”、“先学会知识点，再运用并多次练习”、“通过不断地做题刷题；看每一个星期的数学周测和老师让我们在课堂上的做的练习题；课本的教学、归纳总结；周末作业”、“听课，看练习册，做题，学习函数原理”……问题6：我们学习整式（或函数或几何图形）的学习路径是怎样的？问题7：“请你用合适的方式，梳理表述到目前为止，你在初中阶段学过的所有数学知识”由调查可见，学生对数学原理的学习不容乐观。主要表现在四个方面：1、对原理的重述不流畅，似是而非，不能进行多种表征；2、不懂原理的发生发展，不能推理论证数学原理。3、数学原理之间没有联结构成体系，处于零散和分离状态。4、对数学原理的理解欠缺深度，机械应用，学习局限在重复做题和技能的训练。对数学原理学习现状调查的小结数学原理教学的课堂实践三有结构的原理、有逻辑的原理，有源头的原理、有灵动的原理、有实效的原理3.1深度学习理论

近十年来，国际上最先进的教学理论其实根本不是国内疯传的“翻转课堂”等技术性的策略，而是源于人工智能和脑科学的深度学习理论。深度学习注重让学生沉浸于知识的情境和学习的情境，强调批判性思维，注重实现知识的内在价值。理解深度学习理论对深化我国的教学改革具有重要的意义。摘自郭元祥《深度学习：本质与理念》一文（2017.7）学习维度深度学习浅层学习知识内容能掌握普遍的方式和内在的原理，但并不特别在意知识的深度和难度。主要表现在于记住知识和例行的解题过程，内容浅显没有挑战记忆方式强调理解的基础上记忆机械记忆、死记硬背知识体系在新、旧知识间建有联系，对概念、原理及思想方法建立有完整的结构化体系零散孤立的、无关联的知识，且概念、原理等处于浅层的无结构化的知识状态关注焦点关注解决问题所需的核心论点和概念关注解决问题所需的公式、外在线索反思状态逐步加深理解、批判性思维、自主反思缺少自主反思，很少反思自己的学习目的和策略迁移能力能够将所学的知识迁移到其他实践情景中不能灵活运用所学知识思维层次高阶思维低阶思维学习动机自身需要外在压力投入程度自主学习被动学习学习情感主动地参与到学习，主动地发现和解决问题被动地完成作业等任务，学习是为了考试3.1深度学习理论本表格参考黎加厚、周先荣两位作者的两篇文献整理。迁移说为迁移而学习的过程，能够让学生将从一个情境中习得的知识用于其他的情景中。素养说什么是深度学习？3.1深度学习理论2005年第5期发表何玲、黎加厚的文章《促进学生深度学习》他认为：深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，能够将已有的知识迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习。3.1深度学习理论迁移说为迁移而学习的过程，能够让学生将从一个情境中习得的知识用于其他的情景中。素养说深度学习是学生敏锐理解学科内容，并将知识用于解决课堂和工作中的问题而必须掌握的一系列素养。什么是深度学习？3.1深度学习理论深度学习，是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观，成为极具独立性、批判性、创造性，又有合作精神，基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会历史实践的主人。

——摘自刘月霞郭华主编《深度学习：走向核心素养》

2014年以来，教育部基础教育课程教材发展中心组织专家团队实施了深度学习教学改进项目，将其作为深化基础教育课程改革的重要抓手和落实学生发展核心素养及各学科课程标准的实施途径。3.1深度学习理论国内有关深度学习文献的年代分布从图1中的数据可以看出，2005年到2014年，我国关于深度学习的期刊论文数量仅有178篇，说明我国在2014年之前对深度学习的研究仍处于起步阶段。从2015年到2019年这五年间，有关深度学习的期刊论文达到8075篇，由此可见，我国的研究者们对深度学习的研究越来越多，关注度也不断增高。3.1深度学习理论

初中数学深度学习

是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的数学学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的数学学习过程。在这个过程中，学生开展以从具体到抽象、运算与推理、几何直观、数据分析和问题解决等为重点的思维活动，获得数学核心知识，把握数学的本质和思想方法，提高思维能力，发展数学学科核心素养，形成积极的情感态度和正确的价值观，逐渐成为既具独立性、批判性、创造性，又有合作精神的学习者。

——《深度学习：走向核心素养》(学科教育指南·初中数学）

3.1深度学习理论

教师引领。有挑战性的学习主题。学生经历的有意义的学习过程。聚焦于核心素养的思维活动。达成数学育人的根本目的。初中数学深度学习概念内涵梳理3.1深度学习理论“深度学习”教学改进项目组指出：判断深度学习是否发生，可以下列五个特征来作为判据——联想与结构；活动与体验；本质与变式；迁移与应用；价值与评价。初中数学深度学习的五大特征：1.体会数学知识的整体结构和联系；2.积极参与富有思维含量的数学活动过程；3.体会数学核心内容的本质；4.能够将知识迁移到新的情境中加以应用；5.形成正确的价值观和批判性思维；初中数学深度学习特征3.1深度学习理论案例3问题1：你能说说学习方程的一般路径吗？问题2：回顾你学习的经验，说说在解决实际问题时，一般需要经历什么样的步骤？实际问题审题，选择合适的模型数学问题（方程、方程组、不等式）问题答案检验模型思想数学问题的解（方程、方程组的解、不等式的解集）设未知数,列（方程、方程组、不等式）求解（集）设列解答检审

重点讲解

问题3参加一次聚会的每两个人都握了一次手，n个人参加聚会，握手的总次数是多少？你是如何知道的？2人1次3人3次1+24人6次3+35人10次4+3+2+1………n1+2+3+…+(n-1)3+2+1

重点讲解

解：设有人参加聚会，则整理，得答：有5人参加聚会。解得（不合题意，舍去）例1

参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

重点讲解

变式圣诞节来临，班级每一位同学都要给其他同学赠送一张卡片，共赠送了870张卡片，设班级有x名同学，可列方程为______________________。变式与例1一样吗？握手时存在重复计数，所以要除以2；赠送礼物不存在重复计数，不用除以2。

难点突破

例2

有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：（1）本题的等量关系是什么？

（2）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，如何用含有x的式子表示两轮后患流感的总人数？

难点突破

假设流感患者每次可以传染给3人，流感传染的源头第二轮的传染源传染给x人呢？流感患者被传染人被传染人…被传染人被传染人⁞…被传染人被传染人⁞流感患者被传染人被传染人⁞第二轮传染源为个

难点突破

难点突破

解：每轮传染中平均一个人传染了x个人整理，得答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。方法①：（舍去）依题意列方程，得因式分解，得方法②：原方程变形为直接开平方，得（舍去）

难点突破方法②：故第三轮后，患流感的人数为方法①：第二轮感染的121人成为新一轮的传染源，他们可以传染人.追问：按照问题的传染速度，那第三轮后，患流感的人数是多少？由于第二轮后有人患流感，经过第三轮传染后，患流感的人数可表示为：把代入,人。

难点突破归纳：第一轮后患流感的人数为：…第二轮后患流感的人数为：第三轮后患流感的人数为：第n

轮后患流感的人数为：

归纳提升1.握手问题与传染问题基本模型：握手问题：送礼物问题：传染问题：2.方程、不等式、函数都是数学模型，应用模型解决实际问题，体现了数学建模的思想，解答过程要体现全过程。P61：整体体现课程内容的核心课标中对教材编写的“见林”要求这样的设计，特色在于：1、把一元二次方程当作是解决问题的模型，置于前面已学过的一元一次方程、二元一次方程组、不等式（组）、分式方程的模型“森林”之中，使学生与头脑中原来的应用模型解决实际问题的认知联结起来，形成整体的认识，体现了用相同的方法解决不同的问题的模型精髓。2、从学生的最近发展区开始。在深度学习过程中，教师引领首先要体现在确定学生的最近发展区。传染问题和握手问题相比较，握手问题因为在一元二次方程概念学习过程中已有作为引入概念的问题背景呈现过，现在重现可以算是对第一节课的回眸，追问为什么，是为了促进学生对规律的推理过程的理解，同时也为传染问题对传播过程的模拟提供方法上的帮助。3、在小结概括阶段，不满足于解决具体问题，更追求对问题一般化、模型化的理解和归纳，促进迁移到其他类似的问题情景。学科素养的培育在很大程度上需要通过深度学习来实现。核心素养是深度学习的结果。深度学习将核心素养从一个抽象的概念变成了一个看得见、摸得着的行动。3.2原理教学要关注整体性数学是一个彼此有机联系的整体。任何数学知识都不是孤立存在的，都一定会与其他数学知识发生关联。整体性指向的是知识的结构体系，指向的是数学知识之间的相互联系。数学原理反映的是数学概念之间的关系，本身就是数学概念之间的桥梁。数学的整体性既要体现在单元章节复习中，也要体现在新授课的教学中，以帮助学生形成结构功能良好、迁移能力强的数学知识结构。在原理教学中坚持整体地学，联系地学，指向就是深度学习的“联想与结构”特征。以“整体”为关键词，共可以有27个结果。仅在P61页就出现了9次在高中课标中搜索有47次《义务教育数学课程标准（2011年版）》P45：当然，整体性并不要求整节课都在感受知识的整体性，而是要抓住关键点，在合适的时机合适的情景下，引出知识之间的联系，拓展学生的视野，激活学生思维。1.四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是____________.一、情境导入，复习回顾平行四边形(1)若AB=8，BC=11，则CD=_____,AD=_____,理由是________________________;811平行四边形的对边相等(2)若∠ABC=28°，则∠ADC=_____,

理由是_______________________;平行四边形的对角相等28°(3)连接AC、BD相交于点O，若AC+BD=36，则OA+OB=___;理由是______________________.18平行四边形的对角线互相平分81128°定义2.下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）.A.AB=CD，AD=BCB.AB∥DC，AD∥BCC.AB∥DC，AD=BC

D.AB∥DC，AB=DCC性质判定特例通过导入阶段，联结过往，强化原理研究的结构线。案例4思考：1、学习完有理数的性质之后，接下来我们要学习什么？2、计算：3+5=（+3）+（+97）=（+1000）+0=有理数的加法，包括小学学过的正数+正数、正数+0等，在加入负数之后，可能还有哪些类型？人教版“有理数加法法则”一课案例5

套路：“背景——定义——性质——运算——应用”要心中有数（素）五、课堂小结1、有理数的加法法则；（三条：同号、异号、加0

）2、有理数加法法则的运算过程：

先确定类型——定和的符号——定和的绝对值3、我们是如何得到这条法则的？4、根据本节课的学习，你能否提出新的学习问题？人教版“有理数加法法则”一课的小结设计应当还有其他的运算，那运算法则又应当如何探索？从具体到抽象、从特殊到一般、归纳解决一个问题，产生一个新问题。小结是概括阶段，通过延伸引出新的问题，联结未来的知识，让学习在不断解决问题的过程中走向深入。这是培养学生的问题意识，学会发现和提出问题，分析和解决问题的能力的好机会。同时，也可以体现迁移，引导学生用类似的方法，解决相同的问题。课堂小结是呈现数学整体性的好机会（延伸未来）丽煊制作——见到树木也见到森林的作品课堂小结是呈现数学整体性的好机会案例6SAS定理的学生课堂小结我们鼓励学生在单元整体教学过程中，多个连续的课，共用一个课后小结的做法。每上完一节课，就在这个思维导图上添加相应的内容。四、课堂小结，整体延伸

对称性研究方法边

观察猜想验证证明（推理）应用证明思路截长补短直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，那第三边与这两边又有怎样的数量关系？假如直角三角形中的30°变成45°，那还有类似结论吗？我们又应当如何研究？性质研究展望BAC案例730度直角三角形定理的课堂小结四、课堂小结，整体延伸求线段长勾股定理

（方程直角三角形实际问题数学问题实际问题应用建模实验、猜想、论证特殊一般勾股定理的逆定理判定直角三角形案例8勾股定理逆定理的课堂小结3.2注重让学生经历原理的生成归纳或论证推理过程由深度学习的特征要求，学生是要通过数学活动经历有意义的学习过程。在经历知识产生的过程、经历数学知识再发现的过程中，让学生体会到其中的数学思想方法，形成数学的思维方式。

让学生亲自经历探索、操作、理解、感悟数学原理生成的过程！！先行组织者策略？这里的几种情况的思考有没有效？对于加法类型的区分，可能是在最后由算式总结法则时分类归纳才有用。案例91、教师引导出示问题情景：

小明在东西方向的马路上活动，我们规定向东为正，向西为负（结合数轴）(1)向东走5米，再向东走3米，两次运动后总的结果是什么？(2)向西走5米，再向西走3米，两次运动后总的结果是什么？

2、合作探究：模仿上述过程，举例（或生活实例）合理解释下面式子的含义，并研究运算结果是多少.（-5）+（+3）=

（+5）+（-3）=（-10）+（+16）=（+8）+（-10）=（+5）+0=（-5）+0=3、思考讨论：根据上述所得到的8个算式，从符号和绝对值两个方面考虑，尝试归纳总结有理数加法的运算方法.（+5）+（+3）=+8（-5）+（-3）=-84、总结法则：在学生表达的基础上，规范出示有理数加法法则的文字表述。5、法则理解：根据法则，讨论梳理有理数加法运算的操作流程。先分类型——再定符号——最后定绝对值。设计特点：1、重视感悟法则的生成过程。符合深度学习的“活动与体验”特征。2、在教师引导后，让学生模仿，尝试举例探究，这是符合深度学习的“迁移与应用”特征。3、法则的生成，先让学生讨论所得到的算式，分类归纳算法，文字表述，法则操作理解。培养学生运算能力（会法则、懂算理，熟练、优法），理解法则，就是要将法则的文字表述转化成可操作的步骤或流程，如同教公式、教方程的解法一样。这符合深度学习的本质与变式特征。项武义：代数学的根源在于代数运算。运算的各种法则、定理、公式是如何来的呢？归纳法是整个代数学的基本大法和基本功。教好归纳就是落实学生学科核心素养。人教版八上P37—38全等三角形判定SAS定理，案例10说明：这里的预习对学生是有极高挑战的。一是学生对上一节课刚刚所学的尺规作图作一个角等于已知角还不够熟悉，不能在这里即刻应用；二是学生普遍对这种尺规作图的语言表述陌生，不能理解其意。三是画图与定理分离。很多人没有注意到这句话，也很难把这两句话统一起来。一、课前预习作业：1、已知∠α，尺规作图，使∠A＝∠α.2、画一个三角形，使∠A=45°，AB=3cm，BC=4cm，画完后剪下来与周围同学对照，看作品是否重合，并简略描述你画这个三角形的步骤.

二、课堂环节1、课堂上，在厘清判断三角形全等给三个条件（二边一角）的二种位置关系后，小组讨论交流，形成共识，有必要时，老师点拨。（1作图的共识：先画一线段再画角再画另一线段，或先画角A，再在两边上画AB、AC；2全等的共识：无论是谁画的，只要按照边角大小标准，做的三角形彼此都全等，谁画的，