小升初典型奥数：三角形面积与底的正比关系(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

三角形的面积与底的正比关系三角形的面积与底的正比关系【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单+方法技巧知识清单+方法技巧三角形的面积：s=11．当底相同时：S1：S2＝a：b；2．当两个三角形相似时：S1：S2＝（a：b）2．第二部分第二部分典型例题例题1：已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点．△ADG的面积比△EFG的面积大6平方厘米，△ABC的面积是多少？【答案】见试题解答内容【分析】观察图形可知，△ADG的面积比△EFG的面积大6平方厘米，则△ADG的面积+三角形DEG的面积比△EFG的面积+三角形DEG的面积大6平方厘米，即三角形ADE的面积比三角形FDE的面积大6平方厘米，由中点的性质可求得，三角形ADE面积等于三角形ABC面积的14，三角形FDE面积等于三角形ABC面积的18，所以三角形ADE的面积与三角形FDE的面积之差就是三角形ABC面积的18，所以三角形ABC【解答】解：根据题干和图形可得：因为△ADG的面积﹣△EFG的面积＝6平方厘米，所以三角形ADE的面积﹣三角形FDE的面积＝6平方厘米，因为D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，所以三角形ADE的面积=12三角形ADC的面积=1三角形FDE的面积=12三角形FDC的面积=14三角形ADC的面积所以14三角形ABC的面积−18即18三角形ABC所以三角形ABC的面积为：6÷1答：三角形ABC的面积是48平方厘米．【点评】解答此题的关键是，由割补法得出三角形ADE的面积比三角形FDE的面积大6平方厘米；再由中点的性质将它们分别化成三角形ABC的14和18，从而求出三角形ABC的面积的例题2：如图所示，在三角形ABC中，D为BC的中点，CE=13AE，AD和BE相交于F点，已知三角形ABC的面积为42平方厘米，求三角形【答案】3。【分析】如图，作DG‖BE，则△ABC和△FBD在底边BC上的高之比H：h＝AD：FD＝AG：EG＝（3CE+12CE）：12CE＝7；△ABC【解答】解：△ABC和△FBD在底边BC上的高之比H：h＝AD：FD＝AG：EG＝（3CE+12CE）：12CE＝7；△ABC所以△ABC和△FBD的面积之比为2×7＝14S△FBD＝S△ABC×＝42×＝3（平方厘米）答：三角形BDF的面积是3平方厘米。【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是求得阴影部分面积与大三角形的面积比。例题3：如图，ABCD是平行四边形，AB＝4BE，BC＝3BF。△BEF的面积是12cm2，平行四边形ABCD的面积是多少cm2。【答案】288平方厘米。【分析】连接AF、CF，如图：根据AB＝4BE，三角形ABF的面积是三角形BEF面积的4倍；根据BC＝3BF，三角形ABC的面积是三角形ABF的面积的3倍，用三角形ABC的面积乘2就是平行四边形ABCD的面积。【解答】解：12×4×3×2＝48×3×2＝288（cm2）答：平行四边形ABCD的面积是288平方厘米。【点评】解答本题的关键是连接AF和AC后分析出三角形ABF的面积是三角形BEF面积的4倍，三角形ABC的面积是三角形ABF的面积的3倍。第三部分第三部分高频真题1．如图，四边形ABCD是长方形，其中AB＝8厘米，AE＝6厘米，ED＝3厘米。并且点F是线段BE的中点，点G是线段FC的中点。求三角形DFG（阴影部分）的面积。2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在AB、AD上，且∠ECF=12∠BCD．求证：△AEF的周长等于AB+3．如图，三角形ABC的面积为2平方厘米，分别延长AB、BC、CA至M、N、P，使得2AB＝BM，3BC＝CN，4CA＝AP，则三角形MNP面积是多少？4．如图，已知图中三角形ABC的面积为1998平方厘米，是平行四边形DEFC面积的3倍。那么，图中阴影部分的面积是多少？5．如图所示，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26，那么三角形DBE的面积是多少？6．如图，平行四边形ABCD的面积是96平方厘米，EC＝2AE，BF＝3FC。三角形DEF的面积是多少平方厘米？7．如图，D是AB的中点，BE＝EF＝FC，已知涂色部分的面积是15cm2，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？8．如图，已知△ABC的面积为27，且BD=12DC，AF=12FD，CE=9．在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC的中点。阴影部分的面积与三角形ABC的面积比是多少？10．如图，已知三角形ABC的面积为11cm2，AF＝FE、BE＝2CE，求△AGF和△ECF面积之和．11．如图，在△ABC的三边BC，CA，AB上分别有三点D，E，F，且CD=14BC．AE=15AC，BF=1612．如图，正方形ABCD的面积是100平方厘米，三角形ABE的面积是35平方厘米．阴影部分的面积是多少？13．如图，DC＝2BD，AO＝OD，三角形AOG的面积是16cm2，三角形ABC的面积是多少？14．如图所示，三角形ABC的面积是10，且AD=12AC，BE=12BC，DF＝15．正方形ABCD的边长为8，正方形EFGH的边长为3，正方形EFGH可在线段AD上滑动，且每秒滑动的长度为1。现正方形EFGH从最左边运动到最右边，设其运动时间为t（0≤t≤5），△ECG的面积为S。（1）求初始位置面积与末位置面积之差S1；（2）当t＝3时，求出三角形的面积S2；（3）试写出面积S与时间t之间的关系式。16．如图，△AEF、△ABF、△BFD的面积分别是3，2，1，阴影部分的面积是多少？17．三角形ABC中，∠ACB是直角，已知AC＝3，CD＝3，CB＝5，AM＝BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是多少？参考答案与试题解析1．如图，四边形ABCD是长方形，其中AB＝8厘米，AE＝6厘米，ED＝3厘米。并且点F是线段BE的中点，点G是线段FC的中点。求三角形DFG（阴影部分）的面积。【答案】12平方厘米。【分析】因为△DFG与△CDF等高，FG=12CF，所以△DFG的面积是△CDF的一半，过F作HI⊥AB交AB于H，交CD于I，可以得出HI平行于AD，因为F是BE中点，所以，HF=12AE，从而可以求出FI的长度，根据三角形面积公式求出△【解答】解：过F作HI⊥AB交AB于H，交CD于I，如图：因为四边形ABCD是长方形，所以，AD⊥AB，AB∥CD，所以，HF∥AE，FI⊥CD，HI＝AD又因为F是BE中点，所以，HF=12所以，FI＝HI﹣FH＝（6+3）﹣3＝6（厘米）所以，S△CDF=1因为△DFG与△CDF等高，FG=12所以△DFG的面积是△CDF的一半，即S△DFG=1答：三角形DFG（阴影部分）的面积为12平方厘米。【点评】本题主要考查了三角形面积与底的正比关系，解答过程用到了平行线的性质，略有超纲，知道中位线知识的同学，也可以直接用中位线来直接求解。2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在AB、AD上，且∠ECF=12∠BCD．求证：△AEF的周长等于AB+【答案】见试题解答内容【分析】延长EB到G，使BG＝DF，连接CG和AC；通过直角三角形的判定定理得出△ABC和△ADC全等，求出BC＝CD；根据三角形判定定理SAS得出△BCG和△CDF全等，求出CF＝CG，∠1＝∠2；根据三角形判定定理SAS得出△ECG和△ECF全等，可知EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF，即可求出△AEF的周长等于AB+AD．【解答】解：延长EB到G，使BG＝DF，连接CG和AC，因为∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，所以△ABC≌△ADC（HL），BC＝CD；因为BG＝DF，∠CBG＝∠ADC＝90°，BC＝CD，所以△BCG≌△CDF（SAS），∠1＝∠2，CF＝CG；因为∠ECF=12∠BCD，所以∠2+∠3＝∠BCD﹣∠ECF=12∠BCD，∠1+∠3=1因为CG＝CF，∠ECG＝∠ECF=12∠BCD，CE＝CE，所以△ECG≌△ECF（SAS）；所以EF＝GE＝BE+BG＝BE+因为△AEF的周长为：AE+AF+EF，所以AE+AF+EF＝AE+AF+BE+DF＝AB+AD；所以△AEF的周长等于AB+AD．【点评】本题的关键是通过作辅助线把EF这条线转化到和AB、AD线相关的三角形中，通过三角形的判定定理解决问题．3．如图，三角形ABC的面积为2平方厘米，分别延长AB、BC、CA至M、N、P，使得2AB＝BM，3BC＝CN，4CA＝AP，则三角形MNP面积是多少？【答案】见试题解答内容【分析】连接MC，AN，根据高相等的三角形，它们面积的比是底边的比可知：三角形BCM的面积是三角形ABC面积的2倍是4平方厘米，三角形MNC的面积是BCM面积的3倍，所以三角形MNC的面积是4×3＝12平方厘米，根据4CA＝AP可知三角形APM的面积是三角形AMC面积的4倍是4×（4+2）＝24平方厘米，三角形ACN的面积是三角形ABC面积的3倍是6平方厘米，三角形ANP的面积是三角形ACN面积的4倍是24平方厘米，据此可求出三角形MNP的面积，据此解答．【解答】解：连接MC，AN因2AB＝BM，所以S△BCM＝2S△ABCS△BCM＝2×2＝4（平方厘米）因3BC＝CN所以S△MNC＝3S△BCMS△MNC＝3×4＝12（平方厘米）S△ACN＝3S△ABCS△ACN＝3×2＝6（平方厘米）因4CA＝AP所以S△ANP＝4S△ACNS△ANP＝4×6＝24（平方厘米）S△AMP＝4S△AMCS△AMP＝4×（2+4）＝24（平方厘米）S△MNP＝S△ABC+S△BCM+S△MNC+S△ACN+S△ANP+S△AMPS△MNP＝2+4+12+6+24+24S△MNP＝72（平方厘米）答：三角形MNP的面积是72平方厘米．【点评】本题重点考查了学生根据高相等的三角形面积的比等于底边的比这一知识来解决问题的能力．4．如图，已知图中三角形ABC的面积为1998平方厘米，是平行四边形DEFC面积的3倍。那么，图中阴影部分的面积是多少？【答案】333平方厘米。【分析】根据平行四边形的性质可知，DE∥CF，所以，三角形BDE和平行四边形DEFC等底等高，根据等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，平行四边形DEFC的面积根据倍数关系可求，从而得出三角形DEB的面积。【解答】解：1998÷3÷2＝666÷2＝333（平方厘米）答：图中阴影部分的面积是333平方厘米。【点评】本题主要考查了三角形和平行四边形的面积公式，得出阴影部分与平行四边形DEFC等底等高是本题解题的关键。5．如图所示，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26，那么三角形DBE的面积是多少？【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形面积与底的关系可知，S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝（89+28）：26＝9：2，所以S△ADE：S△DBE＝9：2．所以S△DBE＝89×2÷9=178【解答】解：因为S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝（89+28）：26＝9：2所以S△ADE：S△DBE＝9：2所以S△DBE＝89×2÷9=178答：三角形DBE的面积是1789【点评】本题主要考查三角形的面积，关键利用三角形面积与底的关系做题．6．如图，平行四边形ABCD的面积是96平方厘米，EC＝2AE，BF＝3FC。三角形DEF的面积是多少平方厘米？【答案】28。【分析】观察图形可以发现：三角形DEF的面积＝三角形DEC面积+三角形EFC的面积﹣三角形DFC的面积，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，可知，高相等时，底边长的比等于面积比，据此计算出△EDC、△EFC、△DFC的面积和平行四边形面积的关系，然后计算求出△DEF的面积即可。【解答】解：设平行四边形ABCD的面积为S，连接AF，由图可知：S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC根据三角形和平行四边形的面积公式可知，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，S△ADC＝S△ABC=1对于△ADC和△EDC，高相同，底AC＝EC+12EC=所以，S△DEC=23S△ADC=2对于△ABC和△AFC，高相同，底BC＝FC+BF＝FC+3FC＝4FC，所以，S△AFC=14S△ABC=1对于△AFC和△EFC，高相同，底AC=32所以，S△EFC=23S△AFC=23对于平行四边形ABCD和△DFC，高相同，底BC＝4FC，所以，S△DFC=14×1所以，S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC=13S+1＝（824+=7=7＝28（平方厘米）答：三角形DEF的面积是28平方厘米。【点评】本题主要考查了平行四边形、三角形的面积公式的应用，需要学生掌握等底等高平行四边形与三角形的面积的关系，以及等高的两个三角形面积之比与底边之比的关系。7．如图，D是AB的中点，BE＝EF＝FC，已知涂色部分的面积是15cm2，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？【答案】见试题解答内容【分析】等底等高三角形的面积相等，三角形CDF、三角形FDE、三角形DEB的高都是D到BC的距离，且BE＝EF＝FC，所以它们的底和高分别相等，这三个三角形的面积相等，即三角形DCB的面积就是三角形CDF面积的3倍，就是15×3＝45（平方厘米）；又D是AB的中点，所以BD＝DA，三角形DCB和三角形CDA的高都是C到AB的距离，所以这两个三角形的面积相等，所以三角形ABC的面积就是三角形DCB的2倍，即45×2＝90（平方厘米）．【解答】解：因为BE＝EF＝FC，所以三角形CDF、三角形FDE、三角形DEB这三个三角形等底等高；三角形DCB的面积＝15×3＝45（平方厘米）；同理可得：三角形DCB和三角形CDA等底等高，它们的面积相等；三角形ABC的面积是：45×2＝90（平方厘米）答：三角形ABC的面积是90平方厘米．【点评】解决本题根据等底等高的三角形的面积相等进行求解．8．如图，已知△ABC的面积为27，且BD=12DC，AF=12FD，CE=【答案】8。【分析】根据三角形面积公式：S＝ah÷2，可知，高相等时，面积比等于底的比，据此依次计算出△ACD、△CDF、△DEF的面积即可。【解答】解：根据BD=12DC，AF=12FD，可知，CD=23BC，DF=23AD，△ABC与△ADC等高，底CD=23所以，S△ACD＝S△ABC×2同理可得：S△CDF=23S△ACD，S△DEF=23所以，S△DEF=23×=8＝8答：△DEF的面积为8。【点评】本题主要考查了三角形面积与底的正比关系，根据已知条件求出底边的关系是本题解题的关键。9．在三角形ABC中，D、E分别是AB、BC的中点。阴影部分的面积与三角形ABC的面积比是多少？【答案】1：4。【分析】从D点向BE边引垂线△DEC的高DG，从A点向BC边引垂线作△ABC的高，DG∥AF，△DBG∽△ABF，BD：BA＝DG：AF＝1：2△DEC的面积＝EC×DG÷2=12BC×=18BC△ABC的面积＝BC×AF÷2=12BC△DEC的面积：△ABC的面积=18BC×AF：12=18：＝1：4【解答】解：从D点向BE边引垂线△DEC的高DG，从A点向BC边引垂线作△ABC的高，DG∥AF，△DBG∽△ABF，BD：BA＝DG：AF＝1：2△DEC的面积＝EC×DG÷2=12BC×=18BC△ABC的面积＝BC×AF÷2=12BC△DEC的面积：△ABC的面积=18BC×AF：12=18：＝1：4故答案为：1：4。【点评】本题考查了学生利用转化思想来解决数学问题的能力。10．如图，已知三角形ABC的面积为11cm2，AF＝FE、BE＝2CE，求△AGF和△ECF面积之和．【答案】见试题解答内容【分析】典型的燕尾模型习题，连接BF，则（S△ABF+S△ACF）：S△BCF＝AF：EF，下来应用高相等面积比等于底之比即可解出答案．【解答】方法一、解：连接BF．则：（S△ABF+S△ACF）：S△BCF＝AF：EF＝1：1所以S△BCF=12S△ABC=12因为S△BEF：S△CEF＝BE：CE＝2：1所以S△ECF=13S△S△ACF：S△ECF＝AF：EF＝1：1所以S△ACF=116（cm又因为AG：BG＝S△ACF：S△BCF=11所以S△AGF=14×2所以S△AGF+S△ECF=116+11答：△AGF和△ECF面积之和为114cm2方法二：连接GE因为AF＝FE所以S△CEG＝S△AGC，S△AGF＝S△GEF所以S△AGF+S△ECF＝S△GEF+S△ECF＝S△CEG又因为BE＝2CE所以S△GBE＝2S△CEG所以S△CEG=14S△ABC=14×11即S△AGF+S△ECF=114（cm答：△AGF和△ECF面积之和为114cm2【点评】本题考查了等高模型和燕尾模型的结论，掌握好结论就可轻松做出本题．11．如图，在△ABC的三边BC，CA，AB上分别有三点D，E，F，且CD=14BC．AE=15AC，BF=16【答案】见试题解答内容【分析】对应边长的比等于对应边上高的比，S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDF﹣S△CDE先求这三个小三角形和大三角形的面积比．【解答】解：分别做EG、FH、DM垂直于：AB、BC、AC．在△AEF中AE=15AC，BF=16BA．S△AEF=15×在△BDF中CD=14BC，BF=16BA．S△BDF=16×在△CDE中CD=14BC，AE=15AC．S△CDE=14×S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDF﹣S△CDE＝（1−16−18−15答：三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比为61：120．【点评】对应边长比等于对应边上高的比．12．如图，正方形ABCD的面积是100平方厘米，三角形ABE的面积是35平方厘米．阴影部分的面积是多少？【答案】15平方厘米。【分析】已知正方形ABCD的面积是100平方厘米，则正方形的边长是10厘米，又知三角形ABE的面积是35平方厘米，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么a＝2S÷b，据此求出BE等于7厘米，所以CE＝10﹣7＝3（厘米），因为AB平行CF，所以FCAB=CEBE，FC10=3另外一种方法：连接AC，根据等底等高的三角形的面积是正方形面积的一半，可以求出三角形ABC的面积，因为等底等高的三角形的面积相等，所以三角形ABC的面积等于三角形ABF的面积，那么阴影部分的面积等于三角形ABF的面积减去三角形ABE的面积。据此解答。【解答】解：方法一：正方形ABCD的面积是100平方厘米，则正方形ABCD的边长是10厘米，三角形ABE的面积是35平方厘米，则BE＝35×2÷10＝7（厘米），CE＝10﹣7＝3（厘米），因为AB∥CF，所以FCFCFC×7＝10×3FC=7×＝30÷2＝15（平方厘米）方法二：如图：连接AC，三角形ABC的面积等于正方形ABCD面积的一半，即100÷2﹣50（平方厘米）；三角形ABC和三角形ABF等底等高，所以三角形ABF的面积是50平方厘米。阴影部分的面积等于三角形ABF的面积减去三角形ABE的面积，即50﹣35＝15（平方厘米）。答：阴影部分的面积是15平方厘米。【点评】此题主要考查三角形的面积与底的正比例关系的应用，关键是求出阴影部分三角形的底和高。13．如图，DC＝2BD，AO＝OD，三角形AOG的面积是16cm2，三角形ABC的面积是多少？【答案】240cm2【分析】如图：连接GD，根据等底等高的三角形面积相等可知，S△AGO＝S△GOD＝16cm2，S△AOC＝S△DOC，所以S△CGA＝S△CGD；因为DC＝2BD，根据等高三角形的面积的比等于底的比可知，S△CGD＝2S△BDG，所以S△ABC＝5S△BDG，因此只要求出S△BDG就可以求出S△ABC的面积，可设S△BDG＝1，则S△CGA＝S△CGD＝2，则可求出AG：GB＝S△CGA：SCGB＝2：3，由此可以求出S△BDG的面积，从而就可以求出三角形ABC的面积了。【解答】解：S△AGO＝S△GOD＝16cm2，S△AOC＝S△DOC，所以S△CGA＝S△CGD；因为DC＝2BD，根据等高三角形的面积的比等于底的比可知，S△CGD＝2S△BDG，所以S△ABC＝5S△BDG设S△BDG＝1，则S△CGA＝S△CGD＝2，则AG：GB＝S△CGA：SCGB＝2：3，所以S△ABD＝16×2÷22+3=80（S△ABC＝80×（1+2）＝240（cm2）答：三角形ABC的面积是240cm2。【点评】此题考查了三角形的面积与底的正比关系，在做题时应理清关系。14．如图所示，三角形ABC的面积是10，且AD=12AC，BE=12BC，DF＝【答案】1.25。【分析】根据等高三角形的面积比等于底边长的比，可以得出△BCD和△ABC的面积关系、△CDE和△BCD的面积关系、△CEF和△EDF的关系，从而可以求出△EFC的面积。【解答】解：因为△ABC和△BCD等高，且CD=12所以，S△BCD=12S△因为△BDE和△BCD等高，且CE=12所以，S△CDE=12S△因为△EFC和△CDE等高，且CF=12所以，S△EFC=12△答：三角形EFC的面积为1.25。【点评】本题主要考查了三角形面积与底的正比关系，正确找出每组等高三角形是本题解题的关键。15．正方形ABCD的边长为8，正方形EFGH的边长为3，正方形EFGH可在线段AD上滑动，且每秒滑动的长度为1。现正方形EFGH从最左边运动到最右边，设其运动时间为t（0≤t≤5），△ECG的面积为S。（1）求初始位置面积与末位置面积之差S1；（2）当t＝3时，求出三角形的面积S2；（3）试写出面积S与时间t