1.2 空间向量基本定理（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.2空间向量的基本定理知识点一空间的基底【【解题思路】基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【例1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【解析】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底；对于B选项，假设，，共面，则存在、使得，因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立，故，，不共面，这组向量能做基底；对于C选项，假设，，共面，则存在、，使得，因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立，故，，不共面，这组向量能做基底；选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底.故选：BC.【例1-2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】依题意，共面，则存在实数，使得，于是，因此，解得.故选：B【变式】1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】由于构成空间的一个基底，故不共面，对于A，与共面，不共面，故，，不共面，否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，即，则，方程组无解，假设不成立，故，，不共面，B错误；对于C，，与共面，由于不共面，故，与不共面，C错误；对于D，，故，，共面，故选：D2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对于A，，∴，，共面，不能构成基底，A错误；对于B，，∴，，共面，不能构成基底，B错误；对于C，设，则，无实数解，所以，，不共面，构成基底，C正确；对于D，设，则，无实数解，所以，，不共面，构成基底，D正确.故选：CD3．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于选项A：因为，所以三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A错误；对于选项B：因为，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；对于选项C：因为，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；对于选项D：因为，则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，所以不共面，可以作为基底向量，故D正确；故选：BCD.知识点二空间向量基本定理【【解题思路】用基底表示向量的步骤(1)定基底：确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量(3)下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有基底的向量，不能含有其他形式的向量．【例2-1】（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为与的交点，则故选：C.【例2-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（

）

A． B． C． D．1【答案】B【解析】，，，，即，，，所以.故选：B【变式】1．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，.故选：D2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，，所以，所以，.故选：A3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（）A．- B． C． D．【答案】A【解析】因为点在线段上满足，由向量的运算法则，可得，因为，所以，所以.故选：A.4．（23-24高二上·北京·期中）平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】依题意，又，所以，.故选：C知识点三证明平行、共面问题【【解题思路】证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．【例3】（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？【答案】共线【解析】由空间向量的线性运算法则，可得，即，又由向量的共线定理，可得与共线．【变式】1．（2024江西南昌·期中）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.(1)求证：四点共面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴、、、四点共面；（2）∵，∴又因为平面,平面,所以平面又∵，∴，平面,平面,平面，又，平面所以，平面平面.2．（2024广东云浮）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EG∥AC;(2)求证:平面EFG∥平面AB1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明把{}作为空间的一个基底.(1)因为,所以=2.所以EG∥AC.(2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.因为,所以=2.所以FG∥AB1.又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.知识点四夹角、证明垂直【【解题思路】求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．【例4-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，.(1)用，，表示，并求出；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【解析】（1）由点是线段的中点，得，由点是的重心，得，所以，因为正四面体中，，，故，所以，即；（2）由（1）可知，，，所以，所以.【例4-2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，.(1)用向量表示向量，并求；(2)求直线与直线所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【解析】（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.则与所成的角的余弦值为.【变式】1．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．(1)求的长；(2)求异面直线和夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，又，，，，，故，故；（2），设异面直线和夹角为，则.2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．(1)用基底表示向量，，；(2)证明：平面．【答案】(1)，，．(2)证明见解析【解析】（1）已知，，，得：，，．（2）证明：设，又，则，且，则，得，即，同理可得，因为，，平面，平面，且，所以平面．3．（2024山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点.(1)用表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，时，.【解析】（1）（2）假设存在点，使，设，显然.因为，所以，即.设，又，即，解得，所以当时，.知识点五距离(长度)问题【【解题思路】求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．【例5】（23-24吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，故，故.故选：A【变式】1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题作图如下:由，则，由为的中点，则，则，在正四面体中，易知，.故选：D.2．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，延长交于点，的重心为，为在边上的中线，即为的中点，三棱台中，，,,，三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，，，则，得，所以.故选：D.3．（23-24高二上·广东清远·期中）如图，平行六面体的各棱长均为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，两边平方得，，所以.故选：B.【题组一空间的基底】1．（23-24高二下·四川成都·开学考试）（多选）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意；对于B，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，又不共面，则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意；对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，又不共面，则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意；对于D，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，又不共面，则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意.故选：BCD2．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如图所示，

令，则，，A：由四点共面，则向量也共面，故A不符合题意；B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意；C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意；D：由四点不共面，则向量也不共面，故D符合题意.故选：BCD.3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：因为构成空间的一个基底，所以可以得两两都不是共线向量，假设是共面向量，则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底；B：因为构成空间的一个基底，所以可以得两两都不是共线向量，因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底；C：因为构成空间的一个基底，所以可以得两两都不是共线向量，假设是共面向量，则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底；D：因为构成空间的一个基底，所以可以得两两都不是共线向量，因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底，故选：AC4．（22-23高二下·江苏·阶段练习）（多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面【答案】ACD【解析】因为为空间的一个基底，所以O，A，B，C四点中任意三点不共线，且四点不共面，若O，A，B，C四点共面，则为共面向量，不可能构成空间基底，所以选项B错误，ACD正确.故选：ACD5．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）下列命题中正确的是（

）A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底【答案】ABC【解析】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确；对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，，则，，因此共线，B正确；对于C，假定共面，则存在实数，使得，即，而不共面，于是，显然此方程组无解，即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确；对于D，由，得共面，不能作为空间的一个基底，D错误.故选：ABC【题组二空间向量基本定理】1．（23-24重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足，设，故，所以，点N为棱的中点，所以，故.故选：B．2．（23-24高二下·福建龙岩·期末）在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，.故选：C3．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中，，，，点M，N满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，即，所以，因此.故选：A.4．（2024安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意可得.故选：C5（23-24天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，所以，故选：D6．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】连，，

可得.故选：A.7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，为的中点，若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】，又，所以，所以.故选：B【题组三证明平行、共面】1．（2023·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（

）A．、、共线 B．、共线C．、共线 D．O、A、B、C四点共面【答案】D【解析】由空间向量基本定理，对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则是共面向量，因此四点四点共面，故选：D．2.（2024·江苏·高二课时练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，所以，、、为共面向量，因为、、有公共点，故、、、四点共面，因为，则、、为共面向量，因为、、有公共点，故、、、四点共面；（2），，，，，因为、无公共点，故.3．（2024广东）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.(1)证明：平面；(2)若为中点，求的长.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面(2)由题意得，故，，故【题组四夹角、证明垂直】1．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥．【答案】证明见解析【解析】因为⊥，⊥，⊥，所以，因为分别是的中点，所以．因为分别是的中点，所以，故所以⊥，得证．2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点．(1)求的长；(2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值．【答案】(1)(2)【解析】（1），因为，所以，则，所以的长为；（2），因为，所以，即，即，解得.3．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．

(1)求线段的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）设，，，则，，，又，则.（2）由，则，则.，故异面直线与所成角的余弦值为．4．（2024湖北）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．【答案】证明见详解【解析】设，由题意得，，，因为，所以，又，所以，所以.5．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：．【答案】(1)(2)证明详见解析【解析】（1）连接，则（2），所以，所以.

6．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．

(1)用以为空间的一组基底表示向量．(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，【解析】（1）由已知得，．（2）设线段上存在一点，使得，且，则．因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以，此时点与点重合，．【题组五距离(长度)问题】1．（23-24高二上·山东