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文档简介
北京市第二十七中学2025年高三5月质量调研(一模)数学试题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年2.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列3.已知的面积是,,,则()A.5 B.或1 C.5或1 D.4.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()A.0 B.1 C.673 D.6745.已知为非零向量,“”为“”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④8.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.9.设集合,,若,则()A. B. C. D.10.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.11.已知斜率为2的直线l过抛物线C:的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为1,则p=()A.1 B. C.2 D.412.M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()A.π B.π C.π D.2π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.14.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________15.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题:“今有共买物,人出八,盈三钱;人出七,不足四,问人数物价各几何?”借用我们现在的说法可以表述为:有几个人合买一件物品,每人出8元,则付完钱后还多3元;若每人出7元,则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格?答:一共有_____人;所合买的物品价格为_______元.16.已知不等式组所表示的平面区域为,则区域的外接圆的面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进行业务培训,设来自甲公司的人数为,求的分布列及数学期望.18.(12分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。19.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.20.(12分)如图,在矩形中,,,点是边上一点,且,点是的中点,将沿着折起,使点运动到点处,且满足.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.22.(10分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.2.C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.3.B【解析】∵,,∴①若为钝角,则,由余弦定理得,解得;②若为锐角,则,同理得.故选B.4.B【解析】
由题知为奇函数,且可得函数的周期为3,分别求出知函数在一个周期内的和是0,利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为为奇函数,故;因为,故,可知函数的周期为3;在中,令,故,故函数在一个周期内的函数值和为0,故.故选:B.本题考查函数奇偶性与周期性综合问题.其解题思路:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.5.B【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断;再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.6.A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.7.D【解析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.【详解】,,,当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;,,故,函数关于对称,故④正确;根据图像知:①③不正确;故选:.本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.8.D【解析】
由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.9.A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.10.A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.11.C【解析】
设直线l的方程为x=y,与抛物线联立利用韦达定理可得p.【详解】由已知得F(,0),设直线l的方程为x=y,并与y2=2px联立得y2﹣py﹣p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0),∴y1+y2=p,又线段AB的中点M的纵坐标为1,则y0(y1+y2)=,所以p=2,故选C.本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题,利用韦达定理是解题的关键,属中档题.12.C【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.20,21【解析】
由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14.0.35【解析】
根据对立事件的概率和为1,结合题意,即可求出结果来.【详解】解:由题意知本题是一个对立事件的概率,抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案为:.本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题,属于基础题.15.753【解析】
根据物品价格不变,可设共有x人,列出方程求解即可【详解】设共有人,由题意知,解得,可知商品价格为53元.即共有7人,商品价格为53元.本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用,属于中档题.16.【解析】
先作可行域,根据解三角形得外接圆半径,最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域,如图中阴影部分所示,易知,故,又,设的外接圆的半径为,则由正弦定理得,即,故所求外接圆的面积为.线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),乙公司影响度高;(2)见解析,【解析】
(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【详解】(1)由直方图知,,解得,由频数分布表中知:,解得.所以,甲公司的导游优秀率为:,乙公司的导游优秀率为:,由于,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在中的有人,乙公司旅游总收入在中的有2人,故的可能取值为1,2,3,易知:,;.所以的分布列为:123P.本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,是一道中档题.18.(1);(2)存在定点,见解析【解析】
(1)设动点,则,利用,求出曲线的方程.(2)由已知直线过点,设的方程为,则联立方程组,消去得,设,,,利用韦达定理求解直线的斜率,然后求解指向性方程,推出结果.【详解】解:(1)设动点,则,,,即,化简得:。由已知,故曲线的方程为。(2)由已知直线过点,设的方程为,则联立方程组,消去得,设,,则又直线与斜率分别为,,则。当时,,;当时,,。所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值。本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力,属于中档题.19.(1)(2).【解析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直线l的方程为.本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.20.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,连接,,由,进而,由,得.进而平面,进而结论可得证(2)(方法一)过点作的平行线交于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中点,上的点,使,连接,得,,得二面角的平面角为,再求解即可【详解】(1)证明:取的中点,连接,,由已知得,所以,又点是的中点,所以.因为,点是线段的中点,所以.又因为,所以,从而平面,所以,又,不平行,所以平面.(2)(方法一)由(1)知,过点作的平行线交于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则点,,,,所以,,.设平面的法向量为,由,得,令,得.同理,设平面的法向量为,由,得,令,得.所以二面角的余弦值为.(方法二)取的中点,上的点,使,连接,易知,.由(1)得,所以平面,所以,又,所以平面,所以二面角的平面角为.又计算得,,,所以.本题考查线面垂直的判定,考查空间向量求二面角,考查空间想象及计算能力,是中档题21.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,
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