2025年高考数学一轮复习：一元函数导数及其应用

2025年高考数学一轮复习之一元函数导数及其应用

选择题(共9小题)

1.下列命题正确的是()

A.(sinir)'=cosn

B.已知函数/(x)=ln(2x+l),若f(xo)=1,则xo=O

C.已知函数/(x)在R上可导，若f(1)=2,则而/(1+2竽_/(1)=2

9

⑵--

D.设函数/(x)的导函数为/(x),且/G)4

2.曲线f(%)=3/一］在点(1,/(1))处的切线的方程为()

A.10x+y-8=0B.10x-y-8=0C.8x-y-6=0D.8x+y-6=0

3.如果函数y=/(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则以下关于y=/(x)判断正确的是(

A.在区间(2,4)上是严格减函数

B.在区间(1,3)上是严格增函数

C.x=-3是极小值点

D.x=4是极小值点

1

3

-X2

4.已知/(%)3-%在区间(m,6-m)上有极小值，则实数机的取值范围是()

A.(一8,V5)B.(-2,V5)C.[-2,V5)D.(-V5,1)

5.函数/(%)=%+(-仇%的单调递减区间是()

A.(-2,3)B.(-8,一2)U(3,+8)

C.(3,+8)D.(0,3)

6.已知/(%)=/+3扇+法+。2在工=-1处有极值0,贝！J()

A.11或4B.一4或一HC.11D.4

7.已知函数/(x)=/+〃%,若，叫‘0+^2'⑴=&则。=()

A.8B.6C.4D.2

f(l+2d%)一/⑴

8.已知函数/(x)的导函数为了(龙)，且/(1)=5,则〃TH

Ax

5

A.2B.-C.5D.10

2

9.下列说法正确的是()

A.函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值

B.函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值

C.函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值

D.函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值

二.填空题(共6小题)

11

10.若曲线>=/“(无+。)的一条切线为y=e尤-b(e为自然对数的底数)，其中a,b为正实数，则一+二的

''eab

取值范围是.

3

11.若函数f(x)=号一恭2+4X+1在区间(1,4)上不单调，则实数a的取值范围是.

12.若直线>=尤+1和曲线y=a/力尤+2相切，则实数a的值为.

13.已知函数/(x)=kec-2x,若腕€R,f(xo)WO,则实数人的最大值是.

14.若函数/(x)ex-2x,则使得/(x)>/(2x-1)成立的尤的取值范围是.

15.已知函数/(x)=logax(a>0且aWl),若f1(1)=1,则a=.

三.解答题(共5小题)

16.已知函数/(%)=々炉+区+1在x=0处有极值2.

(I)求a,b的值；

(II)证明：f(x)>ex-x.

1

17.已知函数/(%)=I—％+a仇％,6/GR.

(I)求曲线y=/G)在(1,/(D)处的切线方程；

(II)若/(x)在区间(3,+8)上单调递减，求〃的取值范围：

(III)若〃>0,于(x)存在两个极值点xi,X2,证明："J"2)<a一2.

18.若函数y=/(x)存在零点〃，函数y=g(x)存在零点。，使得则称/(x)与g(x)互为

亲密函数.

1

(1)判断函数/(x)=2%+x-2与g(%)=%①(2%)-％-而是否为亲密函数，并说明理由；

42

(2)若函数/z(x)=/2_1+1与％a)=x+mjc+(2根+1)x+m+2互为亲密函数，求机的取值范围.

附：物3n1.1.

19.已知函数尤)=a/+simx+l在区间(0,刍内恰有一个极值点，其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：f(x)在区间(0,堂内有唯一零点.

1

20.已知/(X)=2ae2x—(2a+l)e"+2x.

(1)当。＞0时，讨论函数的单调性；

(2)若/(x)W0,求实数a的取值范围.

2025年高考数学一轮复习之一元函数导数及其应用

参考答案与试题解析

一.选择题(共9小题)

1.下列命题正确的是()

A.(sinn)'=cosn

B.已知函数，(x)=ln(2x+l),若f(xo)=1,则%o=O

C.已知函数/(x)在R上可导，若f'(1)=2,则〃根丝土丝上@=2

D.设函数/(x)的导函数为(无)，且/(x)=/+3对7(2)+lnx,则/''(2)=—

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】根据导数的定义可判断AB的正误，根据导数的四则运算可判断。的正误，根据复合函数的导

数的运算规则可判断C的正误.

【解答】解：对A：(sinit)'=0,故4错误；

1221

对2：广(久)=盖1(2久+1)'=春;，若f(xo)=1,则另F=1即&=*，故8错误；

对C：碗"1+2：止'⑴=2f(1)=4,故C错误；

x^O△%

11Q

对D(x)=2x+3/’(2)+。，故/'(2)=4+3/'(2)+京故/，(2)=—故。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题.

2.曲线/Xx)=3*一,在点(1,7(1))处的切线的方程为()

A.10x+y-8=0B.10x-y-8=0C.Sx-y-6=0D.8x+y-6=0

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】求出函数/(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

11

【解答】解:由/(久)=3/—3得//(乃=9/+衰，则/(1)=10,而/⑴=2,

则曲线f(x)=3/一［在点(1,/(1))处的切线的方程为y-2=10(x-1),

即1Ox-j-8=0.

故选：B.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

3.如果函数>=/（无）的导函数y=f（x）的图象如图所示，则以下关于y=/（x）判断正确的是（）

A.在区间（2,4）上是严格减函数

B.在区间（1,3）上是严格增函数

C.x=-3是极小值点

D.x=4是极小值点

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】B

【分析】根据图象分析/（%）在不同区间上取值的正负，然后判断了（x）相应的单调性，即可判断每

个选项.

【解答】解：对于A,由图象知/（x）在（2,4）上取正值，所以/（x）在（2,4）上递增，A错误；

对于2,由图象知/（无）在（1,3）上取正值，所以/（x）在（1,3）上递增，B正确；

对于C,由图象知/（无）在某个（-3-c,-2）上取负值，这里c>0,

所以/（x）在（-3-c,-2）上递减，从而x=-3不可能是/（x）的极值点，C错误；

对于。，由图象知，（x）在（3,4）上取正值，在某个（4,4+4）上取负值，这里1>0,

所以了（无）在（3,4）上递增，在（4,4+d）上递减，从而x=4是/（%）的极大值点，D错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题.

4.已知/（%）=一%在区间（m,6-n?）上有极小值，则实数“Z的取值范围是（）

A.（-8,V5）B.（-2,V5）C.[-2,V5）D.（—遍，1）

【考点】由函数的极值求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】D

【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系可求.

【解答】解：f(x)=x2-1,

易得，当尤>1或X<-1时，/(x)>0,函数单调递增，当-1〈尤<1时，/(无)<0,函数单调递

减，

故当x=l时，函数取得极小值，

因为/'(久)=/产—万在区间(m,6-m2)上有极小值，

所以；77<1<6-tn2,

解得一百<m<1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题.

5.函数/(久)=x+3-bur的单调递减区间是()

A.(-2,3)B.(-8,一2)U(3,+8)

C.(3,+8)D.(0,3)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】对应思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】求导，令f(%)<0,并结合函数的定义域，得解.

【解答】解：函数的定义域为(0,+8),

n/、r61X2—x—6(x—3)(工+2)

f(x)=1——7=----5——=------W-----

令f(x)<0,则-2c尤<3,

又x>0,所以0<x<3,

所以了(无)的单调递减区间为(0,3).

故选：D.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解函数的单调性与导数之间的联系是解题的关键，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

6.已知无)=?+3以2+bx+/在x=-1处有极值0,贝!Ja+6=()

A.11或4B.-4或-11C.11D.4

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】c

【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.

【解答】解：根据题意，f(x)=3^+6ax+bf

・・•函数/(%)在冗=-1处有极值0,

:.f(-1)=3-6〃+Z?=0且/(-1)=-1+3〃-Z?+〃2=o,

・・〃=1,b=3〃=2,Z7=9,

a=l,Z?=3时/(x)=37+6x+3N0恒成立，此时函数无极值点,

・・・〃=2,6=9,

〃+/?=n.

故选：c.

【点评】本题考查导数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题.

7.己知函数/(x)—x'+ax,若lim/⑴=8,则。=()

2ix->o

A.8B.6C.4D.2

【考点】变化率的极限与导数的概念.

【专题】整体思想；定义法；数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意得lim"1+q2―"1)=八1),再求导求解即可解出.

【解答】解：根据导数的定义得：lim/(1+^~/(1)=f(1),即7(1)=8,

因为/(x)=4x3+a,所以/(1)=4+a=8,

解得。=4.

故选：C.

【点评】本题考查了导数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题.

8.已知函数/(x)的导函数为/(x),且/(1)=5,则碗'(1+2，)-f⑴=()

5

A.2B.-C.5D.10

2

【考点】含Ax表达式的极限计算与导数的关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意，由极限的性质和导数的定义可得limf(l+2第二41)=2f(1),进而得到答案.

【解答】解：函数/（X）的导函数为了（X）,且了（1）=5,

/(1+24%)一/1)/(1+2/x)—/⑴

则Um=2xlim=2/(1)=10,

Zlx->0Ax2Ax

故选：D.

【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题.

9.下列说法正确的是（）

A.函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值

B.函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值

C.函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值

D.函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；逻辑推理.

【答案】B

【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断.

【解答】解：如图，为函数y=/（x）在区间［。，切上的图象：

对于选项A：极大值无1）＜极小值/（X4）,故A错误；

对于选项2：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故2正确；

如图所示，函数/（无）在区间团，切上的极大值/（X3）,而不是最大值，故C错误；

同时，最大值/（b）不是极大值，故。也错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查函数的极值与最值的概念，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题.

二.填空题（共6小题）

11

10.若曲线y=/〃（尤+a）的一条切线为y=e尤-b（e为自然对数的底数），其中a,b为正实数，则一+工的

''eab

取值范围是⑵+8）

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】［2,+8）.

【分析】先令导数值等于切线斜率，求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程，得到a,b的关系式,

11

最后结合函数思想求出一+工的范围.

eab

【解答】解：由己知令=±=e,

11

解得故切点为（一一a,-1）,

ee

代入切线得2=b+ea>0,故OVaVg

111111bea1

所以一+-=-(6+ea)(一+,)=一(2+—+—)>-(2+2

eab2eab2'eab72'

当且仅当6=1,4=《时取等号，

11

故一+722即为所求.

eab

故答案为：［2,+8）.

【点评】本题考查导数的几何意义、基本不等式的应用，属于中档题.

3

11.若函数/⑺=a-拄2+4X+1在区间（1,4）上不单调，则实数a的取值范围是（4,5）

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】函数思想；方程思想；构造法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】由己知，得，（无）=尤2-派+4=0在（1,4）上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新

函数的单调性后，可得实数。的取值范围.

3

【解答】解：•函数/（久）=今一品2+4x+1,（x）=J?-ax+4,

若函数/（无）在区间（1,4）上不单调，

则，（无）=/-办+4=0在（1,4）上存在变号零点，

4

由/-得，

QX+4=0,a=%+-x

令0（%）=%+$xC（1,4）,g/（X）=（久+2学—2）,

・・・g（x）在（1,2）递减，在（2,4）递增,

444

-9-1+-9⑷-4+-5

而g（2）=2+2-4,1-5,4-

・・・4V〃V5,

实数。的取值范围为（4,5）.

故答案为：（4,5）.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想与方程思想，属中档题.

12.若直线>=尤+1和曲线y=a说计2相切，则实数a的值为1.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】首先求导得y，再设切点为（xo,yo）,根据斜率左=1,得色=1,再将（xo,yo）分别

代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数a.

【解答】解：已知y=a玩什2,得y，=%设切点为（尤o,yo）,

已知直线斜率左=1,得巴=1,再将（尤o,yo）分别代入直线与曲线中，

（ay

x（a=1

可得（>0=久0+1,解得久0=1.

,,9Do=2

（y。=alnx0+2，

故答案为：1.

【点评】本题考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

2

13.已知函数/⑴=kex-2x,若"ER,f（xo）WO,则实数左的最大值是".

【考点】利用导数求解函数的最值.

【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】

e

【分析】根据题意，转化为kw奈设9（%）=黄，利用导数求得函数g（x）单调性与最大值，即可求

解.

【解答】解：由/（尤）W0,可得左/-2xW0,即kW等，

设9。）=留，可得9'（x）=号等=

当0<尤<1时，g'（%）>0,g（%）单调递增；

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以，当x=l时，g(x)取得最大值，最大值为g⑴

22

因为AoER,/Go)W①所以所以实数人的最大值为一.

,,,2

故答案为：二

e

【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题.

14.若函数/G)=^-e~x-2x,则使得/(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是{x|x<l}.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间.

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】{无仇<1}.

【分析】利用导数判断出函数/(x)的单调性，得出/(x)>/(2x-1)等价于X>2x-1,求解即可.

【解答】解：由/(尤)="-/「2彳可得：函数定义域为R,/(尤)=/+〃-2.

因为，+黑工N2,当且仅当尤=0时等号成立，

所以,(尤)NO,

则函数/(无)=炉-I*-2x为R上的增函数.

所以/(x)>/(2尤-1)等价于％>2尤-1,解得：x<l.

故答案为：

【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题.

15.已知函数/(%)=logax(a>0且),若/'(1)=1,则a=e.

【考点】基本初等函数的导数.

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算.

【答案】e.

【分析】根据已知条件，对/(x)求导，再结合,(1)=1,即可求解.

【解答】解：函数/(X)=logaX(4>0且。=1),

则了9=焉，

f⑴=1，

1

则了(1)=而而=L解得"=e.

故答案为：e.

【点评】本题主要考查基本初等函数的导数，属于基础题.

三.解答题(共5小题)

16.已知函数/(%)=〃/+公+1在x=0处有极值2.

(I)求mb的值；

(II)证明：f(x)>ex-x.

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值.

【专题】方程思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(I)〃=1,b=-1.

(II)见证明过程.

【分析】(I)/(x)=aex+b,根据函数/(x)=〃/+法+1在x=0处有极值2,可得/(0)=0,f

(0)=2,解得b.即可得出.

(II)由(I)可知，f(%)="-x+1.要证f(x)>ex-x.只需证：/-x+l>ex-x.即-ex+1

>0.令g(x)=ex-ex+L利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可证明结论.

【解答】(I)解：f(x)=〃/+'

•・•函数/(%)=〃/+法+1在％=0处有极值2,

:(0)=〃+/?=0,f(0)=〃+1=2,

解得a=l,b=-1.

经检验，a=l,Z?=-l符合题意.

(II)证明：由(I)可知，f(x)

要证/(x)>ex-x.

只需证：-x+l>ex-x.

即/-e%+l>0.

令g(x)-ex+1,则(x)="-e.

令父(%)=0,解得％=1.

列表如下：

X(-8,1)1(1,+°°)

g'(X)-0+

g⑴单调递减1单调递增

可得：尤=1时，g(x)有最小值g(1)=e-e+l=l>0.

故/(x)成立.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

1

17.已知函数/1(%)=彳—x+aZnx,aeR.

(I)求曲线y=/(x)在(1,/(D)处的切线方程；

(II)若f⑺在区间(3,+8)上单调递减，求。的取值范围：

(IID若40,/(%)存在两个极值点无1,无2,证明：<a-2.

Xi-X2

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(I)y=(a-2)(x-1)；

(II)(-8,韵；

(IID证明见解析.

【分析】(I)利用导数的几何意义即可求得切线方程；

(II)根据单调性可知X?-办+1〉。在(3,+8)上恒成立,利用分离变量法可得a<X+p由/(x)=%H-i

>h(3)可得结果；

11

(III)设OVxiV%2,则X2>1,将所证不等式转化为丁一%2+2仇%2V°，令g(%)=鼠一%+2仇%,利

用导数可求得g(%)<0,由此可证得结论.

【解答】解：(I)由题意知：f/(x)=-当-1+：,〃久)定义域为(0,+8),

•:f(1)=4-2,又/(I)=0,

，曲线y=/(x)在(1,/(D)处的切线方程为>=(〃-2)(x-1)；

(II)(久)=_*]+'=-2孩+1,又/(X)在区间(3,+8)上单调递减，

..._尤2监+1w0在(3,+8)上恒成立，即/-以+120在(3,+8)上恒成立，

X乙

1

・・・。4%+艮在(3,+8)上恒成立，

11

设力(%)=%4—，则〃/(%)—1--29

XX乙

1n

当x>3时，h'(x)>0,：.h(x)单调递增，M.〃(x)>/(3)=号,

：.a<^-,即实数。的取值范围是(—8,学];

证明：(III)由(II)知：XI,X2满足了2-依+1=0,.\X1X2=1,

不妨设0<XlVx2,则X2>1,

1Znx1-Znx2lnxr-lnx2-2lnx2

-l+cz=-2+a=­2+Q

1,打一％2%1%2Xi-%2%l-%2---x?

%2

则要证“巧一"犯)<a_2,即证q聿竺Z<a,

第1一汽2十一%2

x2

11

即证22<x2—彳，也即证丁一%2+21nx2<0成立，

2

设函数g(%)=--x+2lnx,则gz(x)=-^-l+-=-('？<0,

XX乙xX乙

•9.g(x)在(0,+8)单调递减，又g(1)=0,

・••当(1,+8)时，g(x)<0,

1r

———x?+2lnx?VO,BP-----------<a—2.

X2Xr-X2

【点评】本题考查导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等

式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为

关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题.

18.若函数y=/(x)存在零点〃，函数y=g(x)存在零点b,使得则称/(x)与g(%)互为

亲密函数.

(1)判断函数/(x)=2*+x-2与g(x)=xbi(2x)-x-而是否为亲密函数，并说明理由；

(2)若函数h(x)—ex~2-x+1与k(x)=x4+/ra:2+(2加+1)x+m+2互为亲密函数，求m的取值范围.

附：加3yl.1.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)是，理由见解析；

43

⑵[一石，-1]-

【分析】(1)先判断函数y=/(x)和y=g(x)的单调性；再根据零点的存在性定理确定零点的存在区

间；最后根据亲密函数的定义即可判断.

(2)先利用导数判断函数无(x)的单调性，求出最值，得出函数/?(无)的零点；再根据h⑺与k(x)

互为亲密函数得出函数左(x)零点b的取值范围1W6W3,从而将题目条件转化为方程-爪=等在

0+1)2

[b3]上有解；最后构造函数/⑶=1+%+/(1WxW3),利用导数研究该函数的单调性和值域即可求

。+1)

解.

【解答】解：(1)记。是函数y=/(x)的零点，6是函数y=g(x)的零点.

因为/'(无)=2%x-2在R上单调递增，且/&)=四+*-2<0,/(I)=2+1-2>0,

所以由零点的存在性定理可得：ae8,1).

11

因为<9(%)=%伍(2%)—x--JQ-x[Zn(2x)—1]—

所以函数丁=且(x)的定义域为(0,+8),g'(%)=ln(2x).

令屋(x)>0,得工>.；令屋(x)<0,得OVxV.,

所以g(x)在(0,》上单调递减，在8,+8)上单调递增.

又因为g(l)=ln2—1—点VO,又擀)=,"3——白>0,

所以由零点的存在性定理可得：66(1,1).

所以|a-6|WL故/(x)与g(x)互为亲密函数.

(2)因为刀(x)=ex~2-x+1,

所以〃(X)=，一2一1,函数〃(％)的定义域为R.

令〃(X)>0得x>2；令h'(无)<0得x<2,

则/?(x)在(-8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,

所以//(尤)min=h(2)=0,故(X)有唯一的零点2.

记6是函数y=%(x)的零点.

因为//(x)与k(x)=x4+mx2+(2m+1)尤+加+2互为亲密函数,

由|2-例W1,得1W6W3,

所以左(x)=0在口，3]上有解.

x4+x+2_X4+X+2

由（）可得一

kx=0,m=22

x+2x+l-（x+i）

设.)=*("“三与，则〜⑺=皆落干.

设G（尤）=2d+4尤3-尤-3（1WXW3）,则G'（无）=8x3+12?-1,

G'(无)在［1,3］上单调递增，则G'(x)》G'(1)=19>0,

所以G(x)在［1,3］上单调递增，则G(尤)NG(1)=2>0,

所以产(%)>0,从而尸(x)为增函数，则E⑴令(x)WF(3),即lWF(x)W箸.

所以1W—mW普，解得一竿■WmW—1,故机的取值范围为［一善，—1］.

【点评】本题主要考查函数零点存在性定理，方程与函数的关系及利用导数研究函数的性质等，考查运

算求解能力，属于中档题.

19.已知函数/⑴=a/+sinx+l在区间(0,今内恰有一个极值点，其中a€R,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：/(%)在区间(0,岑)内有唯一零点.

【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值.

【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)(-1,0)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)求导得/(x),分和a<0讨论,(无)的单调性，并保证在(0,刍内有唯一零点

XI即可；

(2)利用导数确定了(无)在区间(0,苧)上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.

【解答】解：(1)由题意可得了'(x)=aex+cosx,当x€(0,*)时，cosxG(0,1),

①当a20时，/(x)>0,/(%)在(0,今上单调递增，没有极值点，不合题意；

②当。<0时，令g(x)=f(x),则在(0,*)上g'(X)=aex-siiix<0,

所以/(无)在(0,刍上单调递减，

因为广(0)=a+L/z(|)=a—V0,且/⑴连续不间断，

所以,(0)=a+l>0,解得a>-l,

由零点存在定理，此时,(尤)在(0，刍内有唯一零点XI,

所以当尤6(0,xi)时，f'(无)>0；当xe(“时，f'⑴<0,

所以/(x)在(0,刍内有唯一极大值点尤1,符合题意，

综上，实数a的取值范围为(-1,0).

(2)证明：由⑴知-当xe匿，.)时,y=aex<0,y=cosxWO,

所以在匿，竽)上,(X)=a，+cosx<0,f(x)在匿，竽)上单调递减，

所以当xe(0,xi)时，f(x)单调递增，当xe(%]，芋)时，f(%)单调递减，

又因为/(XI)>/(0)=<7+1>0,所以在(0,XI)内无零点，

当比6(”等)时，因为/(XI)>0,/(苧)=ae竽V0,且/(无)连续不间断，

所以由零点存在定理，/⑴在(“堂内有唯一零点，即/(无)在(0,孝)内有唯一零点.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及函数零点问题，考查运算求解能力，属于中档

题.

1

20.已知f(%)=-^ae2x—(2a+l)ex+2x.

(1)当〃>0时，讨论函数的单调性；

(2)若/(%)W0,求实数〃的取值范围.

【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值.

【专题】分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)答案见解析；

(2)[ln2-1,0].

【分析】(1)根据题意，求得f(%)=(〃/-1)(炭-2).分0<a<^,a=^,■^三种情况讨论，

进而求得函数/(x)的单调区间；

(2)分〃W0,。>0两种情况讨论，结合函数.f(x)的单调性与最值，即可求解.

【解答】解：(1)f(x)=(〃炭-1)S-2),

11

当〃>0时，f'(x)=0,c%=-或，=2,即％="一或％=/〃2,

Jaa

当a=2时，x=ln-=ln2,f(x)20,f(x)在(-8,+oo)上单调递增；

当0V]时，x-In->ln2,

当x</〃2或久>》公时，f(x)20,当仇2V¥〈仇公时，f'(x)<0,

所以了(%)在(-8,1n2)递增，在(仇2,仇》递减，在(仇+8)递增.

11

当时，x=Zn-<ln2,

11

当％V仇一或x〉/几2时，f(x)20,当"一Vr<7九2时，f(x)<0,

aJaJ

所以/(x)在(一8,递增，在(m:，"2)递减，在(山2,+8)递增.

(2)当aWO时，f'(x)=("-2),

f(x)=0,x=ln2,

当xV加2时，f(x)20,当x>加2时，f(x)<0,

所以/(%)在(-8,历2)递增，在(济2,+8)递减.

•*ymax=f(/〃2)=2〃-2(2。+1)+2/H2--2〃-2+2/几2,

由/(x)W0可得，-2〃-2+2/〃2W0,解得：仇2-IWaWO.

/(x)=yae2x—(2a+l)ex+2x

1rx2Q+1、2Q1(2a+l)2

2'aJ2a2

_2

1x2(z+l.2Io(2(1+1)

=-^ar(ex-------Y+2%---——；

2'aJ2a

2

若a>0,则取久>(2%D,有/(x)>0,与已知/(x)WO矛盾.

综上，实数a的取值范围为[/〃2-1,0].

【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题.

考点卡片

1.变化率的极限与导数的概念

变化率的极限与导数的概念

2.含Ax表达式的极限计算与导数的关系

含△了表达式的极限计算与导数的关系

3.基本初等函数的导数

【知识点的认识】

1、基本函数的导函数

①。=0(C为常数)

②(V)'=nx,l''(n£R)

③(sinr)'=cosx

(4)(cos尤)'=-siiu-

⑤S)'="

111

⑥(a*)'—(aY)*lna(a>0且a¥l)©[logo%)]'=-*(logae)®[lnx]'-

2、和差积商的导数

①,(x)+g(x)]'=f(尤)+g'(尤)

②[/'(x)-g(尤)]'—f'(尤)-g'(尤)

③1/(X)g(尤)]'=f(无)g(x)+f(x)g'(尤)

④[3,「(x)g(x)—f(x)g'(x)]

g(x)[g(x)2]

3、复合函数的导数

设y=u⑺，t=v(x),则y'(无)=u'(/)v'(x)=u'[v(x)]v'(无)

【解题方法点拨】

1.由常数函数、塞函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公

式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.

2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且

要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失

误.

【命题方向】

题型一：和差积商的导数

典例1：已知函数八尤)=酸血+疗+4(fl£R,6eR),f(x)为/(x)的导函数，则/(2014)+/(.-2014)

+f(2015)-f(-2015)=()

A.0B.2014C.2015D.8

解：f(x)=acosx+3bx2,

'.f(-x)=acos(-x)+3b(-x)2

•,./(x)为偶函数；

f(2015)-f(-2015)=0

：.f(2014)+f(-2014)

=asm(2014)+Z?«20143+4+asin(-2014)+b(-2014)3+4=8；

：.f(2014)+f(-2014)+f(2015)-f(-2015)=8

故选。.

题型二：复合函数的导数

典例2：下列式子不正确的是（）

1

A.(3/+cosx)'=6x-siiu-B.Qlnx-2')=---2xln2

x

sinxxcosx—sinx

C.(2sin2x)'=2cos2xD.(——)

x

解：由复合函数的求导法则

对于选项A,（3X2+COSX）'=6x-sinx成立，故A正确；

对于选项5,（仇%-2"）'=2一2%仇2成立，故5正确；

对于选项C,（2sin2x）'=4cos2xW2cos2x,故。不正确;

对于选项0,（陋），=xcosqs讥尤成立,故。正确.

XX乙

故选c

4.简单复合函数的导数

【知识点的认识】

1、基本函数的导函数

①C'=0（C为常数）

②(V)/=m〃「1(HGR)

③(siiir)'=cosx

④(cosx)'=-sinx

⑤(")'=/

11

⑥(〃)'=(〃)*(。＞0且〃W1)⑦[logax)]'=-*(logae)(。＞0且aWl)⑧[加划’=

2、和差积商的导数

①[f(x)+g(%)],=f(x)+g'(x)

②[f(x)-g(x)]'=f(x)-g'(x)

③1/(X)§(X)r=f(%)g(x)+f(x)g'(x)

④答了二[f(x)g(%)—f(x)g'Q)]

g(x)[g(x)2]

3、复合函数的导数

设y=u(?),t=v