第六章 微分中值定理及其应用

§1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理及不定式极限§3泰勒公式§4

函数的极值与最值§5函数的凹凸性与拐点§6

函数图象的讨论第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性一问题的提出我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。二微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1预备定理——费马（Fermat）定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。几何解释:证明:几何解释:2罗尔(Rolle)定理证注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.例12）唯一性由零点定理即为方程的正实根.矛盾,证：1）存在性3拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为化归证明法作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：例2证由上式得第四节函数的单调性

二单调性的判别法第四节（I）函数的单调性三单调区间求法四单调性的应用五小结与思考判断题一问题的提出1问题的提出若在区间（a,b)上单调上升若在区间（a,b)上单调下降三函数的单调性2单调性的判别法定理证应用拉氏定理,得例1解例2解注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．3单调区间求法1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．2、单调区间的划分例3解单调区间为例4解单调区间为解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20练习：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。例4：解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)

单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-4单调性的应用例5证四.小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论.2.函数单调性的判定方法与步骤.3.作业：P124:1(1)~(2).2(1)~(2).3.4(1)~(3).5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3).

思考判断题1区间内个别点导数为零,影响区间的单调性.3单调函数的导函数仍是单调函数。第六章微分中值定理及其应用§2柯西中值定理及不定式极限一、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例1二、不定式极限洛必达(L’Hospital,1661-1704)定理1洛必达法则证则有辅助函数所以定义定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例2解例3解例4解例5解例6解注意：1)使用罗必塔法则必须验证条件，不是未定式不能用罗必塔法则；2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限.例7

定理2例8解注意3：若导数比的极限不存在，不能判断原函数极限不存在。例如，事实上例题三其他未定式例8解解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型例9解例10解例11四小结与思考判断题Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理四小结与思考判断题洛必达法则思考判断题思考题

1拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立.2第六章微分中值定理及其应用§3泰勒公式一问题的提出不足问题1、精确度不高；2、误差不能估计。分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交三泰勒(Taylor)中值定理证明:定理1（带lagrange余项的泰勒定理）如果f(x)在点邻域内有n+1阶导数，则拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项定理2（带peano余项的泰勒定理）如果f(x)在点邻域内有n+1阶导数，则几点说明：（3）（麦克劳林公式）四常用n阶泰勒公式及其简单应用解例3求在x=1点的四阶泰勒公式例4：求极限罗尔定理Lagrange定理柯西定理泰勒公式罗必塔法则条件，结论五小结与思考判断题其它函数的麦克劳林公式第六章微分中值定理及其应用§4函数的极值与最值1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.1）函数f(x)的定义域为（-∞，+∞）2）又f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)令f’(x)=0,得x=1或x=2.3）4）单调增区间为(-∞，1]和[2，+∞）单调减区间为[1，2]xf’(x)f(x)(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞）++00-解：复习引入2.根据单调性画出函数f(x)的草图由图知：f(x)在x=1处的函数值大于它近两旁各点的函数值；而f(x)在x=2处的函数值小于它近两旁各点的函数值。xy12-1-212f’(1)=0f’(2)=00一.极值的概念定义：设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)极值极小值极大值极值点极小值点极大值点注：1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大。3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。讲授新课极大值,极大值点.极小值,极小值点.几何特征：结论：1）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)=0

2）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)在x0的左右两旁的符号要改变。f’(x)从+到-f’(x)从-到+xy0xy0x0+-x0+-二.判定定理定理:极大值.极小值.

极值的求法：1）求出函数f(x)的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部驻点。4）用驻点把函数的定义域划分成若干个部分区间，考察每个部分区间内f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。例题与练习解：xf’(x)f(x)(-∞，-3)-3(-3，3)3(3，+∞）++00-极大值

22极小值

-14由上表得极大值f(-3)=22,极小值f(3)=-14练习1.求函数y=xln2x例2.求函数f(x)=(x2-1)3的极值解：xf’(x)f(x)(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，1）++00-极小值

-1-(1，+∞)10练习2.解：xf’(x)f(x)+0-极大值

练习3.例4：求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在[-2，6]上的极值.解：(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)(2)令f'(x)=0，(3)列表考察f'(x)的符号xf'(x)f(x)(-2，-1)+(-1，3)(3，6)300-1+-(4)极小值f(3)=-22,极大值f(-1)=10草图：由图知，极大值为10但不是最大值。问题：求f(x)=x3-3x2-9x+5

在[-2，6]上的最大(小)值.(-2,3)-1-2106(3,-22)3(-1,10)(6,59)极大值

10极小值

-22xy0函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.三.函数的最值例题与练习解：(1).f(x)的定义域为(-∞，1)，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得驻点为(5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为，最小值为-5.(4).练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间[-3，10]上的最大值和最小值例2.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1.当x∈(-∞，1)时，f’(x)<0,单调递减.当x∈(1，+∞)时，f’(x)>0,单调递增.(二)若函数在一个开区间或无穷区间(-∞，+∞)内可导，且有唯一的极值点.

例3.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应这样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域..(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)

问生产多少个单位时获得的利润最大？解：(1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2(x>0).(2)P’(x)=1-0.00002x(3)令P’(x)=0得驻点x=5×104∵x=5×104是唯一驻点，又利润最大值存在.练习：∴当生产5×104个单位时获得的利润最大.

小结与作业1）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部驻点。4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：小结与作业最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f'(x)；令f'(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出函数y=f(x)的导数，令f‘(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.作业：P146:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其应用§5函数的凸性与拐点

1.函数y=f(x)单调性的判定K切=f'(x)>0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方.K切=f'(x)<0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.几何特征Ｉy=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.复习引入一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲线的凹凸与拐点ab1.几何特征Ⅱ凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.••••••x1x2x3x1x2x3讲授新课连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点称为拐点.曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的单调性来判定.

即y=f(x)的凹凸性与f″的符号有关.(x)

(x)设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″.(x)(1)如果在(a,b)内f″>0,那末曲线在(a,b)内

是凸的.(x)

(2)如果在(a,b)内f″<0,那么曲线在(a,b)内

是凹的.

(x)

2.结论:二.定理:三.定义:例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定义域为(−∞,+∞)y'=2ax+b当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在(−∞,+∞)内是凸的.当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在(−∞,+∞)内是凹的.注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口方向相结合。y"=2a例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点1.y=x4

−2x³+1解：（1）定义域为（−∞,+∞）（2）y'=4x³−6x²y"=12x²−12x=12x(x−1)（4）列表xy″y（−∞，0）+∪00（0，1）−∩10拐点（0，1）拐点（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲线的凸区间为（−∞，0）∪（1，+∞），凹区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12解：（1）定义域为（−∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)³（3）显然x∈

(−∞,+∞),y"≥0∴凸区间（−∞，+∞），无拐点

2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)²1.下列结论是否正确（1）.由f"(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点.2.求下列曲线的凸区间与拐点（2）y=ln(1+x²)（2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f'(x)<0,

f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减且凸向上.练习（1）y=3x−4x³+14小结:作业:1.如何来研究函数的凹凸性.2.凹与凸的定义,拐点的定义.3.凹与凸的判定.P153:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其应用§6函数图象的讨论引例1：引例2：xy0xy011新课讲解一.水平渐近线和垂直渐近线.定义1.那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.那么直线y=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.如：引例1中.引例2中.例1.求下列曲线的水平渐近线