第二章模糊控制系统

第二章模糊控制系统2.1概述2.2模糊数学基础2.3模糊控制的基本原理2.4模糊控制系统的分析和设计2.5 模糊控制的工程应用模糊控制的发展简史模糊理论是美国加利福尼亚大学的自动控制理论专家L.A.Zadeh教授最先提出的。1965年，他在“InformationandControl”杂志上发表了“FuzzySets”一文，首次提出了模糊集合的概念1974年英国教授Mamdani首次将模糊集合理论应用于加热器的控制，他将基于规则系统的想法与模糊参数相结合来构造控制器，模仿人类操作者的操作经验1985年Takagi和Sugeno提出了另一类具有线性规则后项的模糊控制器，称之为Takagi-Sugeno（TS）模糊控制器模糊控制的发展简史模糊控制在许多领域都获得了成功的应用：小到家用的微控制器系统，大到大规模的过程控制系统、医疗仪器和决策系统等基于模糊技术的家用电器产品：洗衣机、电冰箱、微波炉、空调、洗碗机、摄像机、家用加热器/冷风机和许多我们每天在使用的其它产品实时控制设备：已有许多商用的模糊控制器。日本仙台地铁系统安装的自动地铁操作系统是世界上模糊控制系统最早成功的应用之一许多模糊VLSIs和CAD工具使得模糊控制器的硬件实现可采用专用集成电路而变得简单易行模糊控制应用的历史

Steamengine (1974,British)Heatexchangerandcementkiln (1977,Denmark)Wastewatertreatmentprocess (1980,USA)Subwaytrain (1983,Japan)Modelcar (1984,Japan)Fuzzyexpertsystemonachip (1985,USA)Fuzzycontrolhardware (1986,Japan)Automotivetransmission (1988,Japan)

Postsurgicalpatients (1989,USA)Autofocusvideocamera (1990,Japan)Washingmachines (1990,Japan)Airconditioners (1990,Japan)Anti-shakingvideocamera (1991,Japan)others模糊控制的研究进展模糊控制器的模型结构（1）模糊控制器的解析结构（2）模糊控制器的代数模型（3）模糊控制器的语言模型（4）模糊控制器的颗粒模型（5）模糊控制器的细胞模型模糊控制器的解析结构根据常规控制理论来解析地分析模糊控制器的结构，被认为是发展模糊控制技术的一条重要途径许多模糊控制器被证明是具有可变增益的非线性PID控制器。它们包括基本的Mamdani模糊PI、模糊PD、模糊PID、模糊PI＋D、模糊PD＋I、串行模糊PI＋PD、并行模糊PI＋PD和模糊(PI＋D)2控制器一种基于开－关控制技术的时变模糊控制器被证明是一个带有可变控制偏量的非线性PD控制器模糊控制器的解析结构各类TS模糊控制器也被解析地证明了是非线性PI（PD、或PID）控制器模糊控制器与线性PID控制器相联系的解析结构，揭示了模糊控制器在非线性、时变和纯滞后等系统的应用中比线性PID控制器优越的机理，也提供了根据它们之间的增益关系来解析设计模糊控制系统并确保其稳定性的一种方法典型和复杂的各类模糊控制器从结构上还被证明是非线性增益规划器。从另一方面解释了模糊控制器在处理非线性问题中的有效性。基于以上解析结构，其稳定性和设计方法可被讨论模糊控制器的解析结构分析了模糊控制器类似滑模变结构控制器。同常规滑模控制相比，模糊控制具有更高鲁棒性的优点，且模糊控制器的变结构特性有助于人们设计鲁棒稳定的模糊控制器模糊控制器的输入－输出特性具有多值继电器特性。根据模糊控制器与多值继电控制器的关系，可采用经典控制理论中描述函数方法来分析和设计模糊控制系统并确保其稳定性一些研究学者注意到，当模糊控制规则的数目增加到足够大时，对被控过程的影响很小或没有影响，这就是模糊控制器的极限结构理论模糊控制器的解析结构为了更好地理解MIMO模糊控制器的本质和特性，其结构也被解析地探讨通过对模糊控制器结构的解析分析，可以在很大程度上揭示模糊控制器的本质和工作机理，建立模糊控制器与经典控制器之间的关系，对于模糊控制的实际应用有一定的指导意义模糊控制系统的非线性分析

（1）李亚普诺夫稳定性分析（2）绝对稳定性和圆判据方法（3）基于滑模变结构系统的方法（4）稳态跟踪误差的分析（5）描述函数方法（6）小增益理论方法（7）相平面分析方法（8）其它方法模糊系统万能逼近理论万能逼近存在性理论：模糊系统主要应用在于它能够逼近任意的非线性模型和实现任意的非线性控制规律各种类型的Mamdani和TS模糊系统在过去几年中都被证明是万能逼近器，它们能一致逼近定义在闭定义域D上的任意连续函数到任意高的逼近精度。这些模糊系统有：加法模糊规则系统、模糊输入—输出控制器、Sugeno模糊控制器的变型、非独点模糊逻辑系统、一般Mamdani型模糊系统、采用线性规则后项的TS型模糊系统、广义模糊系统、递阶模糊系统等模糊系统万能逼近理论逼近特性分析：模糊系统作为万能逼近器的存在性理论表明了模糊系统的逼近能力。为了更好地揭示模糊系统作为万能逼近器的内在机理，人们从定性和定量两个方面研究了模糊系统的逼近特性在定性方面，主要是证明各类模糊系统具有万能逼近特性，并分析存在这种逼近特性的内在机理在定量方面，着重点在于建立逼近偏差范围和分析各类模糊系统的逼近精度模糊系统万能逼近理论充分条件：实际应用中，人们关心的是如何设计一个模糊控制器使得被控过程满足给定的性能，或如何建立一个模糊模型使得被表达过程满足理想的精度。这就促使一些学者研究模糊系统作为万能逼近器的充分条件充分条件推导了为满足任意给定的逼近精度，需要的输入模糊集、输出模糊集和模糊规则数目的明晰计算公式。给定一个被逼近的函数，很容易地得到模糊系统的具体规则数，使模糊系统逼近这个函数模糊系统万能逼近理论必要条件：由于花费太多模糊集和模糊规则来获取较好的逼近，无论从理论上还是在实际中都不是所期望的。这促使我们研究模糊系统作为万能函数逼近器并拥有最小系统构成的必要条件，从而使这些必要条件能用于指导模糊系统开发者设计更紧凑的模糊控制器和模糊模型必要条件设置了需要的输入模糊集、输出模糊集和模糊规则，表明了模糊系统需要的输入模糊集和模糊规则的数目依赖于被逼近函数的极值点的数目和位置模糊系统万能逼近理论必要条件同时揭示了模糊逼近器的优点和局限：(1)仅需要较少数目的模糊规则就可以一致逼近那些具有复杂表达式但只有少量的极值的多变量连续函数。这些分析解释了为什么在许多模糊控制和模糊建模的成功应用中，模糊系统仅需要较少的模糊规则(2)需要很多数目的模糊规则来逼近周期性或高度振荡的连续函数，也就是说，对于周期性或高度振荡的连续函数，模糊系统不是理想的函数逼近器。这些新的结果在设计模糊控制器和模糊模型时具有重要的理论和实际意义模糊系统万能逼近理论构造方法：给定一个非线性函数，人们感兴趣的是如何构造一个模糊系统来逼近这个函数并达到所期望的精度。为此，一些学者提出了从输入－输出数据对构造模糊函数逼近器的不同方法这些构造方法是在测量的数值数据和以经验表征的模糊知识之间建立联系，能导致人们更好地理解模糊系统的本质，从而更好地分析和合成模糊系统模糊系统万能逼近理论主要方法有：（1）构造一个接近最小构成的模糊系统来逼近一个非线性函数的有效算法（2）寻找最优规则来逼近函数顶点（3）基于一组训练样本，先自动构造一个模糊图，再由模糊图来逼近函数（4）采用多项式扩展和傅立叶系数的模糊逼近的构造（5）采用网格点采样和单值分解法来进行模糊逼近模糊控制系统的设计模糊控制器的设计（1）确定模糊控制器的输入变量和输出变量（2）设计模糊控制器的控制规则，这是模糊控制器设计的关键，包括选择描述输入输出变量的词集，定义各模糊变量的模糊子集及建立模糊控制器的控制规则（3）确定模糊化和非模糊化的方法（4）选择模糊控制器的输入变量及输出变量的论域并确定模糊控制的参数（5）编制模糊控制算法的应用程序（6）合理选择模糊控制算法的采样时间模糊控制系统的设计采用经典控制理论的设计方法：模糊控制器与经典控制器相联系的解析结构可用于指导模糊控制器的解析设计（1）模糊控制器与常规PID相联系的解析结构可用于在线解析或试凑设计模糊控制器（2）对于线性系统，可采用稳定、最优和鲁棒设计方法；对于非线性系统，可采用监督控制、滑模变结构、描述函数、相平面分析等方法指导设计模糊控制系统（3）用模糊状态方程表示的TS模糊模型及基于此模型的稳定性分析方法模糊控制系统的设计多变量模糊控制系统的设计：对于多输入－多输出相关（耦合）控制系统，目前研究的兴趣主要在多变量模糊控制系统的结构、模糊控制器的简化算法及多变量解耦模糊控制器的设计和实现等提高模糊控制性能的设计方法：（1）从提高控制稳定精度的角度，有多层递阶模糊控制、模糊－PID复合控制、自寻优控制、模糊－积分混合控制等（2）从提高模糊控制滞后对象能力的角度，有模糊－Smith控制、模糊自适应Smith预测控制及模糊预测控制等模糊控制系统的设计模糊系统辨识与模糊预测：用模糊集合理论，从系统输入和输出量测值来辨识系统的模糊模型是系统辨识的一条有效途径，主要方法有：基于模糊关系模型的系统辨识，自适应模糊预测模型，基于TS模型的模糊系统辨识，基于模糊控制系统的模型预报模糊控制系统的设计自适应、自组织和自学习模糊控制：为了避免由于被控过程的非线性、时变性及随机干扰等因素的影响，要求模糊控制参数和规则在控制过程中自动地调整、修改和完善，从而使系统的控制性能不断完善，达到满意的控制效果。主要有：基于规则修改的自适应模糊控制、参数自校正模糊控制、模型参考模糊自适应控制、自适应递阶模糊控制等。典型学习算法有：反向传播、OLS、表格查询、最邻近聚类、迭代学习及增强式学习等方法

杂合控制器

–—模糊控制与常规控制的结合UsefuzzylogictoenhancetheperformanceofconventionalcontrollersWidelyusedinpracticalapplicationsExamples:fuzzygainschedulePIDcontrollersfuzzyslidingmodecontrollersfuzzypredictivecontrollersfuzzyadaptivecontrollers带Smith预估器的模糊PID控制系统模糊PID控制器是非线性PID控制器模糊控制系统的设计与软计算集成的设计方法（1）用神经网络设计模糊系统：通过神经网络学习进行样本训练，可分配、构造和发展模糊控制规则，发现优化输入输出隶属函数，在线修正隶属函数等（2）用遗传算法设计模糊系统：一个模糊控制器的设计实际上是一个寻优的过程。遗传算法可以有效地确定出模糊控制器的结构和参数。将遗传算法应用于模糊控制器的设计可分为三类：应用在推理规则的前件；应用在推理规则的后件；应用在推理规则的前件及后件模糊控制软件开发工具与模糊控制芯片近年，美国、日本、德国及我国相继研制出多种模糊控制开发工具。目前主要的开发工具有：Motorola模糊控制软件（美国Motorola公司），FIDE模糊推理开发环境（美国Aptronix公司），MATLABfuzzy工具箱（美国MATLAB公司），NeuFuz神经模糊控制软件（美国NS公司），fuzzyTECH模糊系统开发工具（德国Inform公司），TILShell模糊控制开发工具（美国TogaiInfralogic公司），Fuzzy-Shell模糊控制开发工具（ThomasTilli公司）等模糊控制软件开发工具与模糊控制芯片用于模糊推理的模糊芯片，如模糊微处理器、模糊推理板及模糊单片机等，直接通过硬件实现模糊逻辑运算及推理，为模糊控制系统的硬件实现提供了强有力的工具。主要产品有：FC110和FCA（美国TIL公司）、FP-3000和FB-30AT（日本Omron公司）、NLX230（美国Neuralogix公司）、Fuzzy-166（德国Siemens公司和Inform公司）等模糊数学基础模糊集合（1）模糊子集的定义：所谓给定论域上的一个模糊子集，就是给定有论域到区间[0，1]的一个映射：（2）映射叫作模糊子集的隶属函数模糊子集的表示法（1）Zadeh表示法：（2）序偶表示法：=（0.80,0.75,0.87,0.40,0.59）Age(year)隶属度135Fig.1.1.Onepossibledescriptionofvagueconcept“young”byclassicsets.0Age(year)11030500.750.1Fig.1.2.Onepossibledescriptionofvagueconcept“young”byfuzzysets.70900经典集合&模糊集合隶属度Fig.1.3.Trapezoidalshapemembershipfunction.x(x)10x(x)10Fig.1.4.Triangularshapemembershipfunction.Fig.1.5.Gaussesshapemembershipfunction.x(x)10Fig.1.6.Bellshapemembershipfunction.x(x)10模糊集的一些典型例子Singleton模糊逻辑操作

AND算子:

Zedeh:Product:

OR算子:

Zedeh:

Lukasiewicz:模糊规则用IF－THEN控制规则形式给出的信息模糊系统主要用以下两种形式的模糊规则(1)Mamdani模糊规则

IFx1isAandx2isBTHENu

isC

(2)Takagi-Sugeno(TS)模糊规则

IFx1isAandx2isBTHENu=p0+p1x1+p2x2orTHENu=f(x1,x2)模糊推理基于模糊规则，采用模糊逻辑操作和推理方法，进而获得模糊输出常用的模糊推理方法有：Lukasiewicz、乘、最小、Zadeh和Dienes-Rescher等模糊化&解模糊化模糊化接口：将实值输入转换成模糊输入。模糊化器主要有独点和非独点两种模糊化器。非独点模糊化器能抑制输入信号中的噪声，而独点模糊化器则不能。常用的模糊化器有三角形、梯形和高斯形隶属度函数解模糊接口：将模糊输出集转换成系统的数值输出。最常用的解模糊器有重心、中心平均和最大平均解模糊器。Filev和Yager提出了一般化的解模糊器。重心解模糊器和最大平均解模糊器是它的二个特例两种类型的模糊控制和模糊模型

Mamdani型:采用Mamdani型模糊规则集

TS型:采用TS型模糊规则集模糊控制器的基本结构模糊控制系统的组成（1）模糊控制器：一台带有模糊系统的微计算机。（2）输入/输出接口：（3）广义对象：包括被控对象及执行机构（4）传感器：传感器是将被控对象或各种过程的被控制量转换为电信号的装置。模糊控制系统的组成Desiredoutputr(n)+-Plantoutputy(n)Fig.1.7.Structureoftypicalfuzzycontrolsystemsconsistingoftypicalfuzzycontrollersandaplantundercontrol.InputvariablecalculationandscalingFuzzificationPlantFuzzyinferenceDefuzzifi-cationControlleroutputcalculationOutputvariablescalarsDefuzzifierInferencemethodsFuzzylogicoperatorsFuzzycontrolrulesInputfuzzysetsInputvariablescalarsSP(n)+-y(n)InputvariablescalculationandscalingSystemDefuzzifierFuzzyrules,fuzzylogic,andfuzzyinferenceInputfuzzysetsInputfuzzysetse(n)D(n)R(n)E(n)

u(n)

U(n)U(n)U(n-1)Fuzzyrules,fuzzylogic,andfuzzyinferenceKu++++FuzzyPIcontrolFuzzyDcontrol模糊PI+D控制器SP(n)+-y(n)InputvariablescalculationandscalingSystemDefuzzifierFuzzyrules,fuzzylogic,andfuzzyinferenceInputfuzzysetsInputfuzzysetse(n)D(n)R(n)E(n)

u(n)

U(n)U(n)U(n-1)Fuzzyrules,fuzzylogic,andfuzzyinferenceKu++++FuzzyPIcontrolFuzzyPDcontrol模糊PI+PD控制器y1(n)InputvariablescalculationandscalingTITOSystemDefuzzifierInputfuzzysetsInputfuzzysetsR1(n)E1(n)SP2(n)+-e2(n)U1(n)InputvariablescalculationandscalingFuzzyrulesFuzzyrulesDefuzzifierU2(n)y2(n)SP1(n)+e1(n)R2(n)E2(n)-TITO模糊控制系统

模糊rules:IFx1isA1andx2isA2and…xnisAnTHENy=p0+p1x1+…+pn

xn

任意类型的AND模糊逻辑

常用的重心解模糊器TS模糊控制器的输出:TS模糊控制器特例:IFx1isA1andx2isA2and…xnisAnTHENy=p0实际上是一种带独点输出模糊集的Mamdani型模糊控制器:TS模糊控制器什么时候采用模糊控制？两个准则:被控系统的数学模型得不到但具有强的非线性、时变的或者具有时间滞后PID控制不能产生满意的系统性能两个准则:被控系统是线性的，而不管能否得到数学模型被控系统是非线性、时变的或者具有时间滞后的，但PID控制能产生满意的系统性能什么时候避免采用模糊控制？模糊控制器的解析结构

线性离散PID的表达式为：许多模糊控制器都被证明能表示成以上形式，只是控制器的增益随着其输入的变化而变化，也就是说，模糊控制器是非线性PID控制器简单Mamdani模糊控制器的结构分析两个输入模糊集模糊化

(P,N)简单Mamdani模糊控制器的结构分析三个独点输出模糊集(P,Z,N)简单Mamdani模糊控制器的结构分析四条模糊规则：

IFe(nT)isPandr(nT)isPTHENu(nT)isNIFe(nT)isPandr(nT)isNTHENu(nT)isZIFe(nT)isNandr(nT)isPTHENu(nT)isZIFe(nT)isNandr(nT)isNTHENu(nT)isP

重心解模糊器

Zadeh的模糊逻辑AND和OR算子解析推导Mamdani模糊PI控制器结构时，输入空间的划分当e(n)和r(n)在12个不同ICs里的计算结果当e(n)和r(n)在12个不同ICs里模糊PI控制器的增量输出当e(n)和r(n)在12个不同ICs里模糊PI控制器的增量输出模糊控制器是一个增量形式的非线性PI控制器与线性PI控制器相比，模糊控制器具有增益变化特性：模糊PI控制器的增益总是比其稳态增益大，且最大时是其稳态增益的两倍L的值影响系统的总体控制性能和的值越大，将导致的非线性越强，从而模糊控制器的非线性越强一种简单的Takagi-Sugeno模糊PI控制器的解析结构和稳定性

TS模糊PI控制器的构成(1)两个输入模糊集(2)四条TS模糊控制规则(3)Zadeh模糊逻辑AND(4)重心解模糊器简单TS模糊控制器的结构分析定理2.3：简单TS模糊PI控制器是一个带有可变比例增益和积分增益的非线性PI控制器TS模糊控制器的结构与线性PI控制器两者之间一个最重要的差别是它们的增益：线性PI控制器采用线性增益，而TS模糊控制器采用非线性增益。解析推导TS模糊PI控制器结构的输入空间划分简单TS模糊控制器的结构分析TS模糊PI控制器的结构分析定理.TS模糊PI控制器是带有可变比例增益KP(e,r)和积分增益KI(e,r)的非线性PI控制器。引理.KP(e,r)和KI(e,r)在每一个IC里单调增加 或减少。定理.对于TS模糊PI控制器，(1)KP(e,r)(KI(e,r))在IC9-IC12其中一个的整个区域达到最大值，在其余三个ICs其中一个达到最小值；

(2)KP(e,r)和KI(e,r)满足下列不等式：min{b1,b2,b3,b4}KP(e,r)max{b1,b2,b3,b4}min{a1,a2,a3,a4}KI(e,r)max{a1,a2,a3,a4}.TS模糊PI控制器增益变化特性典型Takagi-Sugeno模糊控制器：解析结构和BIBO稳定性分析(1)三个及多个梯形输入模糊集(2)N2

条TS模糊控制规则(3)Zadeh模糊逻辑AND(4)重心解模糊器典型TS模糊控制器的构成典型TS模糊控制器的结构分析定理.TS模糊控制器是带有可变比例增益KP(e,r)和积分增益KI(e,r)的非线性PI控制器。解析推导TS模糊控制器结构的输入空间划分:e(nT)和r(nT)都在[-L,L]里解析推导TS模糊控制器结构的输入空间划分:e(nT)或r(nT)在[-L,L]外TS模糊PI控制器的KP(e,r)和KI(e,r)在不同ICs的明晰表达式四个输入模糊集基于开－关控制技术的模糊控制器的解析结构模糊控制器的构成八个独点输出模糊集模糊控制器的构成十六条模糊控制规则模糊控制器的构成模糊控制器的输出：

Zadeh模糊逻辑AND

重心解模糊器模糊控制器的构成模糊控制器的结构分析定理.模糊控制器是带有可变比例增益、微分增益和控制偏量的非线性PD控制器。模糊控制系统的稳定性分析李亚普诺夫方法：（1）基于李亚普诺夫直接方法，但没有一般有效方法来解析地寻找一个公共李亚普诺夫函数（2）使用李亚普诺夫线性化方法（3）一种在大系统中使用的向量李亚普诺夫直接方法（4）李亚普诺夫第二方法被用于判别模糊系统量化因子选择的稳定性（5）波波夫－李亚普诺夫方法李亚普诺夫的一些稳定性条件通常较保守模糊控制系统的稳定性分析把模糊控制系统写成如下形式：定理2.8

如果对所有子系统，存在一个公共正定矩阵P，使则模糊系统对平衡状态是全局渐近稳定的。模糊控制系统的稳定性分析BIBO稳定性：定理2.8非线性TS模糊PI控制系统是BIBO稳定的充分条件为：（1）给定的非线性对象有一个有界范（或增益）(i.e.,)；（2）TS模糊PI控制器的设计参数满足

其中BIBO稳定性分析定理.非线性TS模糊控制系统BIBO稳定的充分条件是：(1)给定的非线性对象有有界范(即)；(2)TS模糊控制器的设计参数满足：其中，模糊系统万能逼近理论一般MISOMamdani模糊系统作为万能逼近器的充分条件一般MISOTS模糊系统作为万能逼近器的充分条件一般MISOMamdani模糊系统作为万能逼近器的最小系统构成的必要条件典型TS模糊系统作为万能逼近器的最小构成的必要条件TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较模糊系统万能逼近理论重要问题:模糊系统是万能函数逼近器？什么是模糊系统作为万能函数逼近器的内在机理？什么是模糊万能逼近器的充分或必要条件?模糊系统作为万能逼近器的

有效性取决于两个因素：（1）模糊系统的构成（i.e.,输入和输出模糊集，模糊规则，模糊推理方法和解模糊器）（2）被逼近函数的数学特性假设被逼近函数f(x)是连续的，且定义在：

=[a1,b1]···[ar,br]

给定了f(x)的所有极值点和它们的位置给定了f(x)的所有极值点

的值一般MISO模糊系统的构成Ni+1个凸的、正规的和连续的输入模糊集任意Mamdani

型模糊规则乘积模糊逻辑AND一般化解模糊器模糊控制器的输出：一般MISO模糊系统作为万能逼近器的充分条件为满足任意给定的逼近精度，需要的输入模糊集、输出模糊集和模糊规则数目的明晰计算公式给定一个被逼近的函数，根据这些充分条件很容易得到模糊系统的具体规则数，。也就是说，基于这些充分条件，给定一个连续函数，只要模糊集和模糊规则增加到所需要的数目，总能使模糊系统逼近这个函数但由于逼近偏差范围是对各类模糊系统适用的一般情况，估计值有可能较保守充分条件表明，只要模糊集和模糊规则的数目被允许增加到足够多，一般MISO模糊系统总能逼近某个函数仅知道充分条件是不够的一般MISO模糊系统已被证明是万能逼近器，并建立了充分条件那么什么是一般MISO模糊系统有可能作为万能逼近器却拥有尽可能小的系统构成的必要条件？因为人们总是希望设计更有效和紧凑的模糊控制器和模糊模型，花费太多模糊集和模糊规则来获取较好的逼近，无论从理论上还是在实际中都是不期望的一般MISOMamdani模糊系统作为万能逼近器的最小系统构成的必要条件

定理2.11（一般MISO模糊系统的分解定理）一个r

个输入的一般模糊系统总能被分解成r

个简单模糊系统之和：第一个模糊系统只有一个输入变量，第二个模糊系统有二个输入变量，以此类推，最后一个模糊系统有r

个输入变量。因为在这个和表达式中，输入变量有r!种不同的排列，故也有r!种不同的分解。r!种不同分解的其中之一为：必要条件给定:--f(x)的顶点

--极值的投影的位置（假设在xi

轴上有Ki个投影点）1) [ai,bi]必须划分为至少Ki+1个子区间

2) 2r模糊规则分配到每个r维超面体

forji=0,1,

,Ki.模糊规则总的数目：3) 独点输出模糊集必须如下定义以满足

必要条件必要条件的使用Firstsituation:ComplicatedfunctionsbuthaveonlyasmallnumberofextremaIllustrativeexample:Acomplicatedfunctionwithtwomaximum/minimumpoints,markedby/.Necessaryconditions: 6fuzzysetsforx1 6fuzzysetsforx2 36fuzzyrules必要条件的使用Secondsituation:SimplefunctionsbuthavemanyextremaIllustrativeexample:

f(x1,x2)=sin(10x1)cos(12x2)has1,050

extremaon[0,3

]

[0,3

].Necessaryconditions: 32fuzzysetsforx1 37fuzzysetsforx2 1,184fuzzyrules!Illustratedfunctionis

f(x1,x2)=sin(2x1)cos(3x2)一般MISO模糊系统作为万能逼近器的强处和局限即使逼近偏差范围很小，为数不多的模糊规则就能使模糊系统足够一致地逼近那些具有复杂表达式但只有几个极值的多变量连续函数。这个深刻分析解释了在模糊控制和模型的大多数成功应用中，仅需要很少的模糊规则就能获得满意的结果需要采用很多的模糊规则来一致逼近那些简单的但有许多极值的连续函数，也就是说，对于周期或高振荡的连续函数，模糊系统不是理想的函数逼近器这些结果在模糊系统，尤其是模糊控制器和模糊建模的应用领域具有重要的理论和实际意义典型TS模糊系统作为万能逼近器的最小构成的必要条件典型TS模糊系统的构成梯形隶属度函数

典型TS模糊系统作为万能逼近器的最小构成的必要条件典型TS模糊系统的构成采用带有线性规则后项的任意模糊规则乘积模糊逻辑AND用于计算规则后项的结合隶属度采用常用的重心反模糊器TS模糊系统的输出：

典型TS模糊系统作为万能逼近器的最小构成的必要条件定理2.14为了逼近f(x1,x2)到任意小的偏差范围，必须分别选择N1

和N2，将[a1,b1]和[a2,b2]进行划分，使得典型的TS模糊系统在每一个单元最多只有一个极值。相对应地，需要最少的模糊规则数为，在规则后项中的参数数目为3作为万能逼近器，有可能仅需要为数不多的模糊规则就能使TS模糊系统一致且精确地逼近那些具有复杂表达式但只有几个极值的多变量连续函数。另一方面，需要采用很多的模糊规则来逼近那些简单的但有许多极值的连续函数TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较被逼近的函数有二个极大值点，其位置由

标出，有二个极小值点，其位置由

标出TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较根据定理2.14，TS模糊系统中，N1=N2=2，[a1,b1]和[a2,b2]分别划分为二个子区间的一种可能的方法如图2.16(a)

所示。相对应地，TS模糊系统最少需要九条模糊规则和27个规则后项参数对于同样的函数和Mamdani模糊系统，根据定理2.12，[a1,b1]和[a2,b2]必须划分成如图2.16(b)所示的三个子区间。因此，Mamdani模糊系统仅需要16条模糊规则。由于每个独点输出模糊集只有一个参数，也就是说，只需要16个参数由于需要更多的设计参数，TS模糊系统不比Mamdani模糊系统经济TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较被逼近的函数有二个极大值点，其位置由

标出，有二个极小值点，其位置由

标出TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较图2.17(a)二个极小值点的位置与图2.16中稍微不同。此时，TS模糊系统中，[a1,b1]和[a2,b2]的划分与图2.16(a)

所示的相同，其最小系统构成的要求也是相同的，即最少需要27个规则后项参数对于Mamdani模糊系统，[a1,b1]和[a2,b2]的最优划分必须是如图2.17(b)所示的五个子区间，其中N1=N2=5。因此，Mamdani模糊系统需要36个设计参数TS模糊系统的最小系统构成比Mamdani模糊系统更经济TS和Mamdani模糊系统作为万能函数逼近器的最小系统构成的比较从最小系统构成上考虑，TS模糊系统采用非梯形或非三角形的