2023年中考数学复习训练：圆的计算和证明含答案

2023年中考专题训练—圆的计算和证明

1.如图,AB是。。的弦，点C在过点B的切线上，且OC，OA,OC交AB于点D.

⑴判断4CBD的形状，并说明理由；

(2)若CD=3OD,AD=8,求。。的半径.

2.如图,Rt中，，点。为AB上一点，以点。为圆心，以OA为半径，作交AB于点E,边BC

与相切于点D.过点C作〃交AD延长线于点F.

⑴求证：；

⑵若,，求的半径.

3.如图，是的直径，弦于点.点是的中点，连接并延长交于点，连接，.

⑴求证：；

⑵若,，求的面积.

4.如图，是的外接圆,AB是的直径，过点A作的切线，交BC的延长线与点D,点E是劣

弧BC上的一点，连接AE,CE.

D

⑴求证：；

⑵若,，求的半径.

5.如图，以的边为直径作，交边于点D,为的切线，弦于点E连结.

(1)求证:.

⑵若点F为中点，且，求线段的长.

6.如图,AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D,过点0作交切

线DC于点E,交BC于点F.

(2)若,,求EF的长.

7.如图,AB是。0的直径，点E为线段0B上一点(不与0,B重合)，作CELOB,交。。于

点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AFLPC于点F,连接

CB.

试卷第2页，共7页

F

⑴求证：ACBE^ACPB；

(2)当且时，求扇形COB的面积.

8.如图，内接于。O,,,点E为上一点，点F为的中点，连结BF并延长与AE交于点G,连结

AF,CF.

⑴求证:.

(2)当BG经过圆心0时，求FG的长.

9.如图，已知AB为。。的直径,E是AB延长线上一点，点C是。。上的一点，连接EC、BC、

AC,且EC是。0的切线,C为切点.

(1)求证：ZBCE=ZA；

(2)过点A作AD垂直于直线EC于D,若AD=3,DE=4,求。0的半径.

10.如图，点是以为圆心，为直径的半圆上一动点(不与，重合)，，连接并延长至点，使，过点

作的垂线，分别交,，于点,，，连接.记，随点的移动而变化.

D

⑴当时，求证：；

(2)连接，当时，求的长.

11.如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点.

⑴求证：；

⑵若,，求的半径.

12.如图，的直径，点是上的动点，是经过点的弦，过点作的切线交的延长线于点，且//.

(1)若，连，分别求，的长；

(2)当点位于的什么位置时，以为顶点的四边形是菱形？请说明理由.

13.如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于.

试卷第4页，共7页

A

(1)求证：点为的中点；

⑵若的直径为3,,求的长.

14.如图，□的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且.连接、

相交于点，若，.

⑴求口。45。对角线AC的长;

学习任务：

如图，若线段AB与相交于C,D两点，且，射线AB,BF为的两条切线，切点分别为E,F,连接

⑴求证：；

(2)若,，，求的面积.

16.如图，在中,B,C是的三等分点，弦AC,BD相交于点E.

⑴求证：；

⑵连接CD,若，求的度数.

17.已知点C是AABD的边AB上一点，且,AC为的直径,BD切于点D,连接DO并延长交于

点E,连接BE交于点M.

⑴求证：；

试卷第6页，共7页

⑵若的半径为1,求线段EM的长.

18.如图，在中，，AB与相切于点C,延长B0交于点P、Q.连接CP,CQ.

⑴若，求的大小.

⑵若，的半径为.求边AB的长度.

19.如图，是。。的直径,，点E是射线上一点且，过点E作交射线于点F.

⑴求证：；

⑵求证：；

⑶当与。。相切时，若。。的半径为2,求弧的长.

20.如图,PA和PB是的两条切线,A,B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA

上，且.

(1)求证：

⑵若，当是多少度时，？请说明理由.

(3)若，当___________时，四边形DEPF为菱形.

参考答案：

1.(l)ACBD是等腰三角形，理由见解析

(2)2714

【分析】(1)由点C在过点B的切线上，且OCLOA,根据等角的余角相等，易证得NCBD=NCDB,即可

证得4CBD是等腰三角形；

(2)设OD=x,则BC=DC=3x,由勾股定理求出，在Rt中，由勾股定理得，求出x的值即可得解.

【解析】(1)4CBD是等腰三角形，

VOC1OA,

.,.ZAOC=90°,

ZA+ZADO=90°,

・・・BC切。0于点B,

AZOBC=90°,

.,.ZOBA+ZCBD=90°,

VOA=OB,

・・・ZA=ZOBA,

AZADO=ZCBD,

,/NADONCDB,

・•・ZCDB=ZCBD,

・•・CD=CB；

是等腰三角形；

(2)・・・CD=3OD,AD=8,

・•・设，则，

:.BC=3x,

在Rt中,，

,,，

在Rt中,,

,,，

解得，或(不符合题意，舍去)，

(

【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，正确识图是解答本题的关键.

2.(1)见解析；

(2)。。的半径为6

【分析】(1)连结OD,BC与。。相切于点D,,由，得到ODAC,,由，进一步得，由得，则，得到结论;

(2)设。O的半径为r,贝I.由可以得到,，由ODAC得到，得到，进一步即可得解.

(1)

证明：连结0D,

：BC与。。相切于点D,

.\OD1BC,

,,，

••

••，

.'.ODAC,

,•，

又：，

,•，

,,，

又：，

,•，

,,，

AAACF是等腰三角形，

(2)

解：设。。的半径为r,则.

由（1）知：ODAC,

.•.ZBOD=ZBAC,

ZB=ZB,

即。。的半径为6.

【点评】此题考查了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是

求的半径的关键.

3.⑴见解析

⑵4君

【分析】(1)证明即可；

(2)先求出，再利用相似求出，最后根据计算即可.

(1)

•••是的直径，弦,

•(公共角)，

AD2=AEAF；

⑵

:点是的中点,，

•于点,

【点评】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关

键.本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用.

4.(1)见解析

【分析】(1)AD与。0相切于点E,,AB是的直径，则/ABC+NBAC=90°,,又，结论得证;

(2)在,，，，求得BD,由勾股定理得到AB,即得的半径.

(1)

证明：：AD与。。相切于点E,

•\AB_LAD,

/.ZBAD=90°,

ZZMC+ZSAC=90°

：AB是的直径，

/.ZDAC=ZABC

⑵

解：在,，，，

,•，

由勾股定理得，

的半径为.

【点评】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握定

理的应用是解题的关键.

5.(1)见解析；

⑵拽

3

【分析】(1)根据切线的性质以及，可得，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可得证;

(2)连接OE,垂径定理求得，进而证明s,根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数值即可求解.

(1)

证明TAB是。。的直径,BC为。。的切线，

.,.ABBC,

VDEXAB,

.,.DE//BC,

:弧AE所对圆周角是和,

：.ZABE=ZC；

(2)

连接OE,

・・•点F为OB中点,ABBC,

EF=FD=,

・•・AF=3,

GO

即,

得,.

【点评】本题考查了切线的性质、等弧所对的圆周角相等、垂径定理、相似三角形的性质与判定，综合运用

以上知识是解题的关键.

6.⑴见解析

建

【分析】(1)证明：连接OC,利用圆周角定理及切线的性质定理求出，由圆的半径相等求出，利用平行线的

性质求出，即可得到结论；

(2)由求出,AC=6,证明求出OE,根据三角形中位线的性质求出OF,即可得至IJEF.

(1)

证明：连接OC,如图所示：

(2)

解：在中，，，

,即,

：,0为AB中点,

【点评】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练

掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键.

7.(1)见解析

⑵

【分析】(1)先证明NCEB=/CBP=90°,再由/D+/P=90°,ZCAB+ZCBE=90°,ZCAB=ZD,推

出NCBE=/P,即可证明结论；

(2)设CF=3k,CP=4k,先证明NFAC=/CAB,得至UCE=CF=3k,再由相似三角形的性质得至(JBC2=CE・CP；

从而求出sin/CBE=,贝U/CBE=60°,即可证明AOBC是等边三角形，得到NCOB=60°,据此求解即可.

(1)

解：VCEXOB,CD为圆O的直径，

.•.ZCEB=ZDBC=90°,

：.ZCEB=ZCBP=90",

；PF是切线,

，NDCP=90°,

.•.ZD+ZP=90°,

VAB是直径，

ZACB=90°

.•.ZCAB+ZCBE=90°,

•/ZCAB=ZD,

ZCBE=ZP,

:ACBEs8CPB；

(2)

解：：，

设CF=3k,CP=4k,

VPF是切线，

.\OC±PF,

VAFXPF,

・・・AF〃OC.

・•・NFAONACO,

VOA=OC,

:.ZOAC=ZACO,

・•・ZFAC=ZCAB,

.\CE=CF=3k,

VACBE^ACPB,

,•，

：.BC2=CE*CP；

:.BC=2也k

sinZCBE=,

ZCBE=60°,

VOB=OC,

AAOBC是等边三角形，

.\ZCOB=60°,

••

扇形COB的面积丝x(2道＞=2万

360

【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角

三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键.

8.⑴见解析；

【分析】(1)根据等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，补角的性质证明即可;

(2)利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等性质计算即可.

(1)

证明：;

：.ZAFC=ZAFG；

(2)

连结AO并延长AO交于点H,

连结OC,设，则，

在中,，

解得，

：OH是的中位线,

【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全

等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键.

9.(1)见解析

(2)。。的半径为［

O

【分析】(1)连结OC,根据圆周角定理由AB是。。的直径得/1+/2=90°,根据切线的性质即可得到/

BCE+Z2=90°,所以NBCE=N1,而Nl=/A,即NA=NBCE

(2)设。O的半径为r,在RtAADE中利用勾股定理计算出AE=5,则OE=5-r,OC=r,证明△EOCS^EAD,

利用相似比得到，即，然后解方程即可得到圆的半径.

(1)

如图，连接OC,

：AB是。O的直径，

AZACB=90°,

即Nl+N2=90"

又是。。的切线

：.OC±EC

即N8CE+/2=90°

:./BCE=/1

\'OC^OA

/A=NBCE

(2)

'：OC±EC

KADLEC

J.OC//AD

:.△EOCsXEM)

.EOPC

,・EA~AD

设。。的半径为r

在RtAADE中AD=3,ED=4

贝UAE=y/AD2+DE2=5

/.OE=5~r；OC=r

.5-r_r

即。。的半径为M

O

【点评】本题考察了圆的切线性质及相似三角形的判定与性质，利用圆的切线性质是解决本题的关键点.

10.⑴见解析

(2)3

【分析】(1)证△BHFs/\DHA,根据线段比例关系即可证；

(2)过点作于点，可得，设,，由正弦定义,，，则，即，由勾股定理，得，解得的长为3.

(1)

是直径，

(2)

解：如图，过点作于点.

由(2)知,.

平分.

设一

则,，,

在中，由勾股定理，得

,①

在中，，即.②

在中，，即.③

由②③，得，

・代入①中，得，

解得或（舍去）.

故的长为3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，运用相似三角形的判定和性质解题是关键.

n.（1）证明见解析

（2）5

【分析】（1）连接，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可证得结

论；

（2）连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径.

⑴

证明：连接，

:为的切线，

又：,

解：连接，

・,

...是直角三角形,

..•是的直径,

,即,

的半径是5.

【点评】本题考查了切线的性质和圆的基本性质、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形.通过作辅助

线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键.

12.(1)；

(2)当点位于的中点位置时，以为顶点的四边形为菱形，理由见解析

【分析】(1)利用勾股定理得出BC的长，再证明得出AE的长，由勾股定理得CE的长，再由垂径定理即可

得出答案；

(2)利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形求出即可.

(1)

解：：的直径，

•••的直径，

BC=\JAB2-AC2=6

:过点的的切线交的延长线于点，且.

ZAEC=ZACB

1272AE

18-120

AE=16

:.CE=DE

CD=2CE=80

(2)

解：当点位于的中点位置时，以为顶点的四边形为菱形.如图,

理也由(1)得，

当时，四边形为平行四边形，

又,：,

A以点O,C,B,D为顶点的四边形为菱形.

【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以、菱形的的判定、勾股定理等知

识.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

13.(1)见解析

【分析】(1)连接,，分别证明和，从而可得结论；

(2)根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可得结论.

(1)

连接,，

：DE是圆的切线,

：AB是的直径,

ZAZ)B=90°

又Z4BC=90°

又,

...点E为BC的中点;

(2)

在中，.

AC5

【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本

题的关键.

14.(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用弧相等，由圆周角定理推论推出，由相似三角形的性质可求的长度，再利用平行四边形的

性质可求出的长度;

（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得证.

（1）

解：：是直径,，,

又：

四边形是平行四边形,

⑵

由(1)可知:，

...是直角三角形，

,•，

:四边形是平行四边形,

口为矩形.

【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理.理

解和掌握圆周角定理的推论及相似三角形判定及性质并能进行灵活应用是解决本题的关键.

15.(l)ZCMP；ZCBM；ZBMP；APMA；见解析

(2)27

【分析】阅读材料：连接AM,BM,连接MO并延长交于点C,连接BC,证4PMA即可得出结论;

(1)由阅读材料得,，再由AC=BD,证AD=BC,即可得出结论；

(2)由阅读材料得，从而求出，再过点F作于点G,解求出，最后利用计算即可求解.

(1)

阅读材料证明：如图，连接AM,BM,连接MO并延长交于点C,连接BC.

：PM为的切线，；.NCMP,

：CM为的直径

，ZCBM,

ZBMP,

△PMA.

故答案为：ZCMP,ZCBM,ZBMP,APMA.

(1)证明：：AE,BF为的两条切线，

A,即.

(2)

解：;设，则,，

由由阅读材料得,，

即，解得，

,,，

如图1,过点F作于点G,

在中，,

【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探

究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型.

16.⑴见解析

(2)130°

【分析】(1)根据B,C是的三等分点，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；

(2)根据圆周角定理得出/CAD=NBDA=/BDC=25°,根据三角形内角和定理求出/AED,再求出答案

即可.

【解析】(1)证明：B,C是的三等分点，

.­.AB=BC=CD

AB+BC=BC+CD

ABC=BCD

：.AC=BD；

VZBDC=25°,

：.ZCAD=ZBDA=ZBDC=25°,

VZAED+ZCAD+ZBDA=180°,

ZAED=180°-ZCAD-ZBDA=180°-25°-25°=130°,

・・・NBEC=NAED=130°,

故答案为：130°.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题

的关键.

17.(1)见解析

Q)EM=三不

【分析】(1)连接CD,根据题意可得出BC=OA,CD=OD,ZAOD=ZBCD,利用SAS证明AAOD咨ABCD

即可得出结论；

(2)由△AODgz\BCD知AD=BD,运用勾股定理可得出，，连接DM,证明得，即，设EM=x,,代入相关数

据得方程，求出x的值即可.

(1)

连接CD,如图，

D

E

VBD是切线,DE是圆的直径，

•••AZ犯O是直角三角形.

...点C为OB的中点,CD为OB边上的中线,

••，

在和中，

,,，

⑵

：AC是圆的直径，

,,，

...是直角三角形，

,•，

由勾股定理得,,

由(1)知，

在中,，

连接DM,

：DE是圆的直径,

又,

，，即，

设EM=x,贝ij,

解得,,

【点评】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与

性质，正确证明是解答本题的关键.

18.(1)30°

(2)875

【分析】(1)根据切线的性质求出，再根据圆周角定理求的大小即可；

(2)证明结合即可求出BQ的长度，再由相似得到的比例即可求出BC的长度，最后根据AB=2BC求值即

可.

⑴

如图，连接CO.

；AB与相切于点C,

⑵

；PQ是的直径,

.CQ=l

'CP"2

,解得,

/.AB=8A/5

【点评】本题综合考查切线的性质、圆周角定理、正切、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，考

查的知识点比较多，但是都比较简单，正确的作出辅助线是解题的关键.

19.⑴见解析

(2)见解析

⑶红

3

【分析】(1)由垂径定理及三角形中位线定理即可求解；

(2)先证明，再根据平行线的性质得出，即可证明；

(3)连接，先证明为等边三角形，再利用弧长公式计算即可.

(1)

证明：：,

，点D是的中点，

:点O是的中