2025年高考数学总复习专项训练：空间向量的应用

专练39空间向量的应用

［基础强化］

一、选择题

1.若两不重合直线/i和L的方向向量分别为%=(1，0,-1),V2=(-3,0,3),则/i和L的位置关

系是()

A.平行B,相交

C.垂直D.不确定

答案：A

解析：：％=一：V2,：.h//l2.

2.若a=(2,-2,-2),5=(2,0,4),则。与》的夹角的余弦值为()

妪遍

85u-85

C.一隼D.0

答案：C

解析：：|a|=d22+(—2)2+(—2)2=2A/3,|fe|=^/22+02+42=2小,

a-b=2X2+(—2)X0+(—2)X4——4,

.,,V__q±_______—4_V15

..cos〈a,b)-丽-24X2小一—15•

3.若直线/的一个方向向量a=(2,2,-2),平面a的一个法向量Z>=(1,1,-1),贝|()

A.l.LaB.I//a

C.luaD.A,C都有可能

答案：A

解析：：a=25,与5共线，，/_La.

4.在空间四边形ABC。中，ABCD+ACDB+ADBC=()

A.-1B.0

C.1D.不确定

答案：B

解析：

BC

如图，令A3=a,AC=b,AD=c,

则赢CD+ACUB+ADBC

=a"(c—Z>)+/>•(<1­c)+c-(Z>—a)

=a-c—a-b+b-a—b-c-\-c-b-c-a=O.

故选B.

5.若平面a,4的法向量分别为m=(2,-3,5),"=(—3,1,—4),贝!!()

A.a//PB.

C.a,/相交，但不垂直D.以上均不正确

答案：C

解析：•机与“不共线，且—6—3—20W0,

与P相交但不垂直.

6.

如图所示，已知B4_L平面48C,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,贝UPC=()

A.6y[2B.6

C.12D.144

答案：C

解析：'：AB=BC=6,ZABC=120°,：.AC=6y[3,

建立如图所示的空间直角坐标系，其中。为AC的中点，

A

则P(0,—3小,6),C(0,34,0)

A\PC\=yj(0-0)2+(3^3+3^3)2+62

=12.

7.

4

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—A/Ci,CA=CG=2CB,则直线5G与AS夹角的余弦

值为()

A.日B.冷

C.芈D.|

答案：A

解析：设BC=1,则8(0,0,1),Ci(0,2,0),A(2,0,0),&(0,2,1),

BC1=(O,2,-1),ABl=(-2,2,1),

BCl-ABl=0X(-2)+2X2+(-l)Xl=3.

|BC1|=巾,|AB1|=3,

./in—；IAn”RBC1AB13——亚

..cos(IBC1I，IAB1R-=^-^x3-5.

8.在直三棱柱ABC—Ci中，AB=1,AC=2,8C=/,D,E分别是AG和36的中点，则直线

DE与平面BBiGC所成的角为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：A

解析：

'：AB=1,AC=2,BC=y[3,：.AB2+BC2=AC2,

：.AB±BC,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(l,0,0),Ci(0,小，h),Bi(0,0,h),8(0,0,0)

1A命■

份V23-

.D2o,2

.*.5E=(—3，~2，0)，显然面B81GC的法向量为机=(1,0,0),

：.DE与平面881cle所成角a满足

1

DEm21

sinot—1X1=2

A\m\

又a£[0。，90°],

：.a=30°.

9.过正方形ABC。的顶点A作线段阴，面ABC。，若A8=B4,则平面A。尸与平面C。尸所成的二面

角为()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：D

解析：

建立如图所示的空间直角坐标系，

设A5=l,则A(0,0,0),5(1,0,0),£)(0,1,0),C(l,1,0),P(0,0,1),

显然面A£)尸的法向量帆=(1,0,0),

设平面CZ)尸的法向量〃=(x,y,z),

CD=(—1,0,0),&=(-1,-1,1),

[-x=0,

•*-1.八令y=l,贝!jz=l,

[-x-y十z=0,

・・・〃=(0,1,1),

mn=lX0+0X1+OX1=0,

・•・平面AZ)尸与平面CDP所成的角为90。.

二、填空题

10.已知四边形A8CD为平行四边形，且A(4,1,3),8(2,—5,1),C(3,7,—5),则顶点。的坐

标为.

答案：(5,13,-3)

解析：设。(X,y,z),由题意得Ab=BC,

(x—4,y—1,z-3)=(1,12,—6)

x=5,

・・."=13,AD(5,13,-3).

、z=—3,

11.已知空间三点A(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,-1,5),则以赢，AC为邻边的平行四边形的

面积为.

答案：7^3

解析：AB=(—2,—1,3),AC=(1,-3,2),

AABAC=-2+3+6=7,\AB|=5,\ACl=g.

r7ABAC71

又……x=嬴>后而=，’

/.sin<AB,AC)=乎，

平行四边形的面积S=|还|X|AC|Xsin<AB,AC）=75.

12.设正方体ABCD-A/iGDi的棱长为2,则口点到平面42。的距离为

宏1=案1.■3

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则Z)i(0,0,2),Ai(2,0,2),。(0,0,

.•.D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0).

设平面45。的法向量为〃=(%,y,z),

n-DAI=2x+2z=0

则［

(n-Dfe=2x+2y=0

令x=l,贝!］〃=(1,—1,—1),

・・・点Di到平面AxBD的距离是

IDM1-n|_2_273

D

H□jfr-［能力提升］

13.

如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，棱长为a,M,N分别为A{B和AC上的点,AiM=AN=^,

则MN与平面331cle的位置关系是（）

A.斜交

B.平行

C.垂直

D.MN在平面BBiGC内

答案：B

解析：建立如图所示

的空间直角坐标系，由于,

/2ad\(2a2a\

贝MUl州〃，T93)9^\~3~9a)9

MN=(一$0,竽).又Ci。」平面BBiGC,所以CQi=(0,a,0)为平面88cle的一个法向量.因

为就NC1D1」。,所以加_LC1D1',所以MN〃平面B31GC.

14.直三棱柱ABC—A1B1G中，若N8AC=90。，AB=AC=A4i，则异面直线8小与AG所成的角等于

)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案：C

解析：

如图所示，以4为坐标原点，All所在直线为x轴，4修为单位长度，4G所在直线为y轴，4欣所

在直线为z轴,建立空间直角坐标系4一肛z.则可得4(0,0,0),Bi(l,0,0,),Ci(0,1,0),A(0,0,

1),5(1,0,1).所以48=(1,0,1),AQ=(0,1,-1).

则|cos<A\6,AC\〉

I砧“AC/

L=A所以异面直线BA】与AC.所成

"X"2

角为60°.故选C.

15.若平面a的一个法向量”=（2,1,1）,直线/的一个方向向量为a=（l,2,3）,则a与/所成角的

正弦值为.

宏案.

口木.6

解析：设直线/与平面a所成的角为0,

则„,sin。=|I丽na|I=

12X1+1X2+1X315

A/22+12+12-VT2+22+32=6-

16.

5

如图所示，四棱锥S—A8C。中，底面ABC。为平行四边形，侧面SBC,底面42C，已知/A8C=45。，

BC=2y[2,AB=2,SA=SB=yf3.求直线SO与平面SAB所成角的正弦值为.

答案：喑

解析：如图所示，

SO1BC,垂足为。，连接A。，由侧面SBC,底面ABCD,得S。，底面