2023-2024学年北师大版七年级数学上册重难点题型突破训练：数轴与动点经典题型（四大题型）（含答案与解析）

专题05数轴与动点经典题型(四大题型)

一名丸臣女蚣独______________________________

【题型1最值问题】

【题型2线段的和倍差问题】

【题型3数轴与行程相遇综合问题】

【题型4数轴上新定义问题】

___潘一纪始鬃_________________________

【题型1最值问题】

【典例1】［问题提出］|。-1|+|。-2\+\a-3|+…+H+202”的最小值是多少？

［阅读理解］

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手，⑷的几何意义是。这个数在

数轴上对应的点到原点的距离，那么|a-1|可以看作。这个数在数轴上对应的

点到1的距离；H-1|+|«-2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2

两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究-l|+|a-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

(1)如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和

大于L

(2)如图②，。在1,2之间(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距

离

之和等于1.

(3)如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和

大于1.

因此，我们可以得出结论：当。在1,2之间(包括在1,2±)时，\a-l|+|a

-2|有最小值1.

［问题解决］

(1)请你结合数轴探究：|。-4|+|。-7|的最小值是.

(2)请你结合图④探究|a-l\+\a-2|+|a-3|的最小值是.

(3)\a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|o-5|的最小值为.

(4)\a-l|+|a-2|+|a-3|+…+|a-2021|的最小值为.

［拓展应用］已知（|〃+1|+|。-2|）X（步-2|+|升1|）X（|c-3|+|c+l|）=36,则

〃+2办+3c的最大值为15,〃+25+3c的最小值为.

।।」：।।।।»

-2-101234

图①

a

।।।i.i।।»

-2-101234

图②

-2-101234

图③

।।।।।।।A

-2-101234

图④

【变式1-1］我们知道，在数轴上，同表示数。的点到原点的距离，这是绝对值

的几何意义.进一步地，数轴上两个点/、B,分别用a,6表示，那么2、B

两点之间的距离为：AB=\a-b\.利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示x和-1的两点N、5之间的距离是.

（2）代数式|x+l|+|x+3|的最小值是.

（3）代数式|x-l|+M+|x+2|+|x-4|的最小值为,此时符合条件的整数x

为.

（4）代数式k-1|-|x-3|的最小值为,最大值为.

【变式1-2】阅读：数轴揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基

础.我们知道|2|=|2-0|,它在数轴上的意义是表示数2的点与原点(即表示0

的点)之间的距离，|5-2|也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间

的距离；|5+2|可以看做|5-(-2)|,表示5与-2两数在数轴上所对应的两

点之间的距离.一般地，点幺、点3在数轴上分别表示有理数a、b,那么点

/、点5之间的距离可表示为|。-臼.结合数轴与绝对值的知识解决下列问题：

(1)数轴上表示2和-3的两点之间的距离是；数轴上表示x和-5的

两点之间的距离是;

(2)若|x-1|+|"3|=6,则》=；

(3)求|x-1|--2|的最大值.

【变式1-3】阅读下列材料.

x(x>0)

我们知道！x|=0(x=0),现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的

-x(x<0)

代数式.例如：化简代数式|x+l|+|x-2|时，可令x+l=O和%-2=0,分别求

得x=-l和x=2(称-1,2分别为|"1|与|x-2|的零点值).在有理数范围

内，零点值.*=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情

况：xV-1；-1WXV2；x，2.从而在化简|x+l|+|x-2|时，可分以下三种情

况：①当xV-1时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+l；②当-l〈xV

2时，原式=(x+1)-(x-2)=3；③当x22时，原式=(x+1)+(x-

2)=2x-1.

-2x+l(x<-1)

.•.|x+l|+|x-2|=-3(-l<x<2),通过以上阅读，解决问题：

,2x-l(x>2)

(1)|x-3|的零点值是x=(直接填空)；

(2)化简|x-3|+k+4|;

(3)直接写出［x-1|-4附1|的最大值.

【变式1-4］如图，在数轴43上两点对应的数分别为-40、20,数轴上一点尸

对应的数为X.

4L2Q尸r

^40020

(1)若点尸在2、5两点之间，则点P到N、台两点的距离的和为.

(2)如图，数轴上一点。在点尸的右侧，且与点P始终保持相距18个单位

长度.当x取何值时，点N与点尸的距离、点3与点。的距离的和为48?

(3)结合对前面问题的思考，若(|x+4|+|x-2|)•(ly|+|y-5|)W30,求x-

2y的最大值和最小值.

【变式1-5】同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也

可以理解为5与-2数在数轴上所对的两点之间的距离，即|5-(-2)|=

7.试探索：

（1）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对的点到-1008和

1005所对两点距离相等，则》=—；

（2）类似的,+5|+,-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距

离之和，请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+5|+|x-2|=7,这样的整数

有;

（3）由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有,

写出最小值，如果没有，说明理由.

【变式1-6］我们知道，⑷可以理解为-0］,它表示：数轴上表示数。的点到原

点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点Z,B,分别

用数a,6表示，那么48两点之间的距离为=-臼，反过来，式子-

臼的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离.利用此结

论，回答以下问题：

（1）数轴上表示数-5的点和表示数3的点之间的距离是；

（2）数轴上点Z用数。表示，若同=5,那么。的值为；

（3）数轴上点/用数。表示，探究以下几个问题：

①若-3|=5,那么a的值是；

②满足|a+2|+|a-3|=5整数。有个；

③-3|+|a+2022||有最小值，最小值是：；

求|a+l|+|a+2|+|a+3+......|a+2021+|a+2022|+|a+2023|的最小值.

【变式1-7］（2022秋•龙华区期中）在学习绝对值后，我们知道，⑷表示数。

在数轴上的对应点与原点的距离.如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的

距离.而|5|=|5-0|,即|5-0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距

离.类似的，|5-3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴

上所对应的两点之间的距离.如|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点

与表示数x的点之间的距离，一般地，点/、5在数轴上分别表示数a、b,

那么N、5之间的距离可表示为|a-升

请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：

(1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上表示苴和-5的两

6

点之间的距离是;

(2)数轴上点尸表示的数是2,尸、。两点的距离为3,则点。表示的数

是;

(3)相居|的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示x的点之间

的距离；

(4)若卜〃-3|+|〃z+2|=7,则7〃=；

(5)数轴上有一个点表示数则|〃+1|+口-3|+|〃+8|的最小值为.

।।।।1111111111111A

—8—7—6—5—4—3—2—1012345678

【题型2线段的和倍差问题】

【方法技巧】

1、两点之间的距离：大的数减去小的数

注：(1)已知两点的距离和较大数，较小数=较大数一距离；

(2)已知两点的距离和较小数，较大数=较小数+距离.

2、两点的中点公式：土a.

2

3、解题方法：

(1)遇动点问题注意动点的起始位置以及方向和速度；

(2)当无法比较两数大小的时候，求两者之间的距离时需要添加绝对值；

(3)若遇相遇或追击问题，通常抓路程作为列等量关系的依据.

【典例2】(2022秋•泉港区期末)如图，已知点。为数轴的原点，点A、B、

C、。在数轴上，其中/、3两点对应的数分别为-1、3.

(1)填空：线段48的长度43=；

(2)若点N是5c的中点，点。在点幺的右侧，且点尸在线段

8上运动.问：该数轴上是否存在一条线段，当尸点在这条线段上运动时,

PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？

(3)若点尸以1个单位/秒的速度从点。向右运动，同时点E从点幺以5个

单位/秒的速度向左运动、点厂从点5以20个单位/秒的速度向右运动，M、N

分点别是尸E、O尸的中点.点尸、E、尸的运动过程中，空空的值是否发生

MN

变化？请说明理由.

_________>

O

【变式2-1］如图，数轴上三点/、B、C表示的数分别为-10、5、15,点P为

数轴上一动点，其对应的数为X.

(1)点力到点。的距离为；

(2)数轴上是否存在点尸，使得点尸到点4、点3的距离之和为25个单位长

度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

(3)设点尸到幺、B、。三点的距离之和为S.在动点尸从点/开始沿数轴

的正方向运动到达点。这一运动过程中，求出S的最大值与最小值.

APBC

-100515

【变式2-2］如图，有两条线段，AB=2(单位长度)，8=1(单位长度)在

数轴上，点N在数轴上表示的数是-12,点。在数轴上表示的数是15.

(1)点3在数轴上表示的数是—，点。在数轴上表示的数是一；

(2)若线段45以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CZ)以2

个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为，秒，当/为何值时，点

B与点、C之间的距离为1个单位长度？

(3)若线段/5、线段CD分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度

同时向左匀速运动，与此同时，动点尸从-15出发，以4个单位长度/秒的速

度向右匀速运动.设运动时间为，秒，当0V/V5时，24C-1叨的值是否发

3

生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由.

AB0CD

【变式2-3】如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点力重合，右端

与点5重合.

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到5点时，它的右端

在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移

动到/点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6(单位：cm},由此可得

到木棒长为cm.

(2)图中/点表示的数是—，3点表示的数是—.

(3)由题(1)(2)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下

列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄,

爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，

我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

_____._____「……——”……1_____►

06AB24

【变式2-4】如图，已知数轴上45两点表示的数分别为-1,3,点尸为数轴

上一动点，其表示的数为X.

AR

][]][Cj]]।[I

-6-5-4-3-2-1012345

(1)若点尸为45的中点，则x的值为；

(2)若点尸在原点的右侧，且到点4,5的距离之和为8,则x的值为—；

(3)某时刻点5分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度

同时沿数轴向右运动，同时点尸以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点

向左运动.求当点5之间的距离为3个单位长度时，点尸表示的数.

【变式2-5】数轴上有N、B、C三点，如图1,点4、5表示的数分别为〃/、〃

G〃V〃)，点C在点5的右侧，AC-AB=2.

(1)若用=-8,〃=2,点。是4C的中点.

①则点。表示的数为.

②如图2,线段瓦'=。（E在尸的左侧，<7>0）,线段£厂从2点出发，以1

个单位每秒的速度向5点运动（点产不与5点重合），点”是EC的中点，N

是加•的中点，在访运动过程中，的长度始终为1,求。的值；

（2）若〃-m>2,点。是NC的中点，若4tH3m=4,试求线段48的

长.

-------------------------——>--------•--------------•-►

ADBCAEFBC

图1图2

-----------•A

AB

备用图

【变式2-6]（2022秋•惠阳区期末）如图所示，在数轴上点N表示的数是4,

点5位于点/的左侧，与点/的距离是10个单位长度.

（1）点3表示的数是—，并在数轴上将点5表示出来.

（2）动点尸从点5出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运

动.经过多少秒点尸与点2的距离是2个单位长度？

（3）在（2）的条件下，点尸出发的同时，点。也从点力出发，沿着数轴的

负方向，以1个单位每秒的速度运动.经过多少秒，点。到点5的距离是点尸

到点N的距离的2倍？

iiiiI।।।।11d1,

-7-6-5-4-3-2-1O12345x

11111111111dI,

-7-6-5-4-3-2-1O12345x

【变式2-7]（2022春•龙凤区校级期中）已知力是最大的负整数，且0、虫c

满足Ca+2b）2+上卷|=0,请回答下列问题：

（1）请直接写出a、b、c的值：a=,b=,c=；

（2）a、Ac在数轴上所对应的点分别为/、B、C,点/、B、。开始在数轴

上运动，若点5以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点/、点C都以

每秒2个单位长度的速度向右运动，假设/秒钟过后，若点/与点3之间的

距离为48,点5与点C之间的距离为5C,请问：N5-5C的值是否随着/的

变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出45-5C的值.

【变式2-8］（2022秋•桥西区期中）在一条不完整的数轴上标出若干个点，每

相邻两点相距一个单位长度，其中点/,B,。对应的分别是整数a,b,c.

（1）若以5为原点，写出a,c的值；

（2）若c-2a=14,判断并说明月，B,。中哪个点是数轴的原点；

（3）在（2）的条件下，m点从/点以每秒0.5个单位的速度向右运动，点N

从点C以每秒L5个单位的速度向左运动，点尸从点5以每秒2个单位的速

度先向左运动碰到点〃后立即返回向右运动，碰到点N后又立即返回向左运

动，碰到点”后又立即返回向右运动，三个点同时开始运动，当三个点聚于

一点时停止运动.直接写出点尸在整个运动过程中，移动了多少个单位.

【题型3数轴与行程相遇综合问题】

【典例3】（2022秋•邺城县期末）如图，已知数轴上点幺表示的数为6,5是

数轴上在/左侧的一点，且N,5两点间的距离为10.动点尸从点2出发，

以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为fa>o）

秒.

（1）数轴上点5表示的数是—，点尸表示的数是—（用含/的代数式表

示）；

（2）动点。从点5出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,

若点尸、。同时出发.求：

①当点尸运动多少秒时，点尸与点0相遇？

②当点尸运动多少秒时，点尸与点。间的距离为8个单位长度？

-<—--Q•B•-------0•---<-—---P•---•A----►

06

【变式3-1］（2022秋•沙坪坝区校级期中）数轴上给定两点/、3,点4表示的

数为-1,点5表示的数为3,若数轴上有两点M、N,线段九W的中点在线

段48上（线段MV的中点可以与/或5点重合），则称M点与N点关于线

段48对称，请回答下列问题：

（1）数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为-3、6、7,则点

与点O关于线段48对称；

（2）数轴上，点尸表示的数为x,G为线段N5上一点，若点尸与点G关于

线段4s对称，则x的最小值为,最大值为;

（3）动点尸从-9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，

线段48以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点。从5开始以每秒1

个单位长度，向数轴负方向移动；当尸、。相遇时，分别以原速立即返回起点,

回到起点后运动结束，设移动的时间为力贝卜满足时，P与。始终

关于线段4B对称.

CABDE

IIIIIIIIIIIIIII

—6—5—4—3—2—1012345678

【变式3-2］（2022春•普陀区校级期中）如图，点/、5在数轴上表示的数分别

为-12和8,两只蚂蚁“、N分别从N、3两点同时出发，相向而行.M的速

度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒.

(1)运动一秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P;点P在数轴上表示的数是一；

(2)若运动，秒钟时，两只蚂蚁的距离为10,求出/的值(写出解题过

程).

MN

,I1.

A0B

【变式3-3](2022秋•新泰市期中)如图./、B、C三点在数轴上，/表示的

数为-10,3表示的数为14,点。在点/与点3之间，且4C=5C.

(1)求/、5两点间的距离；

(2)求C点对应的数；

(3)甲、乙分别从力、5两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s,乙

的速度是2个单位长度/s,

求相遇点。对应的数.

g_p、

-10014

【变式3-4](2022秋•永安市月考)已知，如图N、5分别为数轴上的两点，A

点对应的数为-10,3点对应的数为90.

AMB

-------------------1---------------------------------------J-----------------------------------------1------------->

-1090

(1)与/、5两点距离相等的〃点对应的数是一；

(2)现在有一只电子蚂蚁尸从5点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动,

同时另一只电子蚂蚁。恰好从幺点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设

两只电子蚂蚁在数轴上的。点相遇，则C点对应的数是—;

(3)若当电子蚂蚁尸从5点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时

另一只电子蚂蚁0恰好从Z点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，经过多

长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度？

【变式3-5](2021•新华区校级三模)已知45是数轴上两点，点/在原点左

侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位.

(1)点/表示的数是：—;点3表示的数是：—.

(2)A,3两点间的距离是一个单位，线段中点表示的数是—.

(3)现有一只电子蚂蚁尸从点5出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时

另一只电子蚂蚁。恰好从点幺出发以4个单位/秒的速度向右运动.设两只电

子蚂蚁在数轴上的点。处相遇，求点。表示的数.

—।-------------------------------------------1_►

.4B

【变式3-6](2021秋•方城县期中)如图，/、5分别为数轴上的两点，/点对

应的数为-20,3点对应的数为100.

-20100

---------------------1----------------------------------------------------1-----------------------------►

AB

(1)请写出与/、5两点距离相等的点M所对应的数；

(2)现有一只电子蚂蚁尸从5点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同

时另一只电子蚂蚁。恰好从幺点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两

只电子蚂蚁在数轴上的。点相遇，你知道。点对应的数是多少吗？

(3)若当电子蚂蚁尸从5点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时

另一只电子蚂蚁。恰好从幺点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：

当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？

【变式3-7](2022秋•太湖县期末)已知，如图5分别为数轴上的两点,

点月对应的数是-20,点3对应的数为80.

B

80

(1)请直接写出N5的中点〃对应的数.

(2)现在有一只电子蚂蚁尸从3点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，

同时另一只电子蚂蚁。恰好从幺点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设

两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇.请解答下面问题：

①试求出点。在数轴上所对应的数；

②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？

-4________.15甲8

—金二1---岔---

图3

4九415左」

一2。邳8。

QC^PB

^2080

图I

【变式3-8](2022秋•阳新县期末)如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一

个单位长度.点4、B、C、。对应的数分别是a、b、c、d,且d-3a=20.

(1)a=,b=,c=.

(2)点4以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点5以4个单

位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动.当点5到达。点处立刻返回，返回时,

点/与点5在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数.

(3)如果N、C两点分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向数轴的负

方向运动，同时，点3从图上的位置出发向数轴的正方向以1个单位/秒的速

度运动，当满足时，点/对应的数是多少？

2

Illi：111111111A

BACD

【变式3-9](2022秋•工业园区期末)如图，在数轴上，点月表示-10,点B

表示11,点。表示18.动点尸从点N出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速

度匀速运动；同时，动点。从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度

匀速运动.设运动时间为/秒.

（1）当/为何值时，尸、。两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？

（2）在点0出发后到达点3之前，求，为何值时，点尸到点O的距离与点0

到点5的距离相等;

（3）在点尸向右运动的过程中，N是4P的中点，在点尸到达点C之前，求

2CW-尸C的值.

--->

AP0

4±~c■»

A>POBg%

-io*Sii-■»

备用图

【变式3-10]（2022秋•柯城区校级期末）如图，点。为数轴的原点，N,3在

数轴上按顺序从左到右依次排列，点5表示的数为7,AB=12.

（1）直接写出数轴上点/表示的数.

（2）动点尸、0分别从幺、3同时出发，点尸以每秒3个单位长度的速度沿

数轴向右匀速运动，点Q以每秒卷个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.

①经过多少秒，点尸是线段。。的中点？

②在尸、。两点相遇之前，点”为尸O的中点，点N在线段O。上，且QV=

件.

问：经过多少秒，在尸、M.N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的

线段的三等分点？（把一条线段分成1：2的两条线段的点叫做这条线段的三

等分点）

1O

【题型4数轴上新定义问题】

【典例4】（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段45与不在线段上的点

P,给出如下定义：若点尸与线段N5上的一点的距离等于a（o>0）,则称

点尸为线段力5的距点”.

已知：数轴上点/,5两点表示的数分别是7〃，7〃+1.

(1)当〃/=1时，在-2,-1,2.5三个数中，是线段48的“2距点”

所表示的数；

(2)若数轴上的点尸为线段幺3的“。距点”，则。的最大值与最小值的差

为;

(3)若数轴上-2所对应的点是线段的“。距点”，且。的最大值与最小

值的比为2：1,求〃,的值.

-3-2-10123456789

【变式4-1】已知点尸、点N、点5是数轴上的三个点.若点尸到原点的距离等

于点/、点6到原点距离的和的一半，则称点尸为点N和点3的“关联

点”.

(1)已知点N表示1,点5表示-3,下列各数-2、-1、0、2在数轴上所

对应的点分别是B、尸2、尸3、尸4,其中是点4和点5的“关联点”的是;

(2)已知点N表示3,点3表示〃?，点尸为点N和点5的''关联点”，且点

产到原点的距离为5,求加的值.

【变式4-2］对于数轴上的B,C三点、,给出如下定义：若其中一个点与其它

两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟

点”.例如：数轴上点2,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点5是点

/,C的“联盟点”.

（1）若点/表示数-2,点5表示的数4,下列各数，3,2,0所对应的点分

别G，C2,C3.其中是点45的“联盟点”的是;

（2）点/表示的数-10,点5表示的数30,尸为数轴上一个动点，且点尸在

点5的右侧，点尸，A,5中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求

出此时点尸表示的数.

ABC

—।--------1----------i--------1----------X------1-----------

-1012345

【变式4-3】已知数轴上两点Z,B,其中/表示的数为-3,5表示的数为2.给

出如下定义：若在数轴上存在一点C,使得NC+5C=〃?，则称点。叫做点力,

B的“7〃和距离点”.如图，若点。表示的数为0,有AC+BC=5,则称点C

为点/,5的“5和距离点”.

（1）如果点N为点43的和距离点”，且点N在数轴上表示的数为-

4,那么"I的值是；

（2）如果点D是数轴上点N,3的8和距离点”，那么点。表示的数为；

（3）如果点E在数轴上（不与Z,5重合），满足且此时点后为

2

点3的“7〃和距离点”，求7〃的值.

ACB

-I——I——1——।——X——।——I-------1——

-4-3-2-101234

【变式4-4]（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点43以及一条线段尸0,（1）

若数轴上存在一点使得点M到点/的距离等于点M到点5的距离，则称

点M为点Z与点3的“中位点”；（2）若点幺与点3的“中位点”M在线

段尸。上（点〃可以与点尸或。重合），则称点幺与点3关于线段尸0“中

位对称”.如图1,点/表示的数为-3,点3表示的数为1,点〃表示的数

为-1,点〃到点/的距离等于2,点”到点5的距离也等于2,那么点M

为点/与点5的“中位点”；点尸表示的数为-2,点。表示的数为2,点/

与点3的''中位点”〃在线段尸。上，那么点/与点5关于线段尸。”中位对

称”.

根据以上定义完成下列问题：

已知：如图2,点O为数轴的原点，点/表示的数为-2,点火表示的数为

3.

（1）①若点5表示的数为-5,点”为点N与点5的“中位点”，则点〃

表示的数为—;

②若点月与点5的“中位点””表示的数为1,则点5表示的数为—；

（2）①点5,C.。分别表示的数为1,居，6,在5,C,。三点中，点/

与关于线段。？“中位对称”；

②点N表示的数为戈，若点N与点N关于线段以“中位对称”，则x的取

值范围是;

③点E表示的数为加，点尸表示的数为〃/+2,若线段”上至少存在一点与

点N关于线段石尸“中位对称”，直接写出机的取值范围.

o4

APMBQAlI-IIII

―I_I_I_i_I_i_X__I__I_I_i_L->

O234567

—4—3—2—101234—5—4—3—2—1

图1图2

【变式4-5］（2022秋•雨花区校级月考）在数轴上，把原点记作点O,表示数1

的点记作点4对于数轴上任意一点。（不与点O,点Z重合），将线段尸。

与线段PN的长度之比定义为点尸的特征值，记作p,即P喘，例如：当点尸

是线段。4的中点时，因为尸。=尸幺，所以p=i

(1)若点N为数轴上的一个点，点N表示的数是-1,则N=—；

(2)数轴上的点M满足。攸=2。4,求儿；

(3)数轴上的点尸表示有理数夕，已知2W|P|W100且p为整数，则所有满足

条件的:的和.

OA-

----------•---------•-----------・・~~A

-1012

【变式4-6](2022秋•商河县期中)阅读下列材料：

我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点/,B,若数轴上存在一点使

得点〃到点A的距离等于点M到点B的距离,则称点M为点、4与点B的“平

衡点”.

解答下列问题：

经验反馈：

(1)若点4表示的数为-3,点5表示的数为1,点”为点力与点5的“平

衡点”，则点M表示的数为—；

(2)若点/表示的数为-3,点力与点6的“平衡点表示的数为1,则

点5表示的数为—；

操作探究：

如图，已知在纸面上有一条数轴.

-5-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

操作一：

折叠数轴，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-5的点与表示

的点重合.

操作二：

折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：

①表示-2的点与表示—的点重合；

②若数轴上N,5两点的距离为7（N在3的左侧），且折叠后5两点重

合，则点/表示的数为—，

【变式4-7］（2021秋•如皋市期末）定义：数轴上有月，B两点,若点N到原

点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点Z为点6的2倍原距点.

已知点N,M,N在数轴上表示的数分别为4,〃1,〃.

（1）若点N是点”的2倍原距点，

①当点M在数轴正半轴上时，则7〃=；

②当点M在数轴负半轴上，且为线段3的中点时，判断点N是否是点力的

2倍原距点，并说明理由；

（2）若点M,N分别从数轴上表示数10,6的点出发向数轴负半轴运动，点

河每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度.若点M

为点/的2倍原距点时，点/恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所

有可能的值.

24-682

-12-10-S-6-4-2010

【变式4-8］（2022秋•黄陂区期末）在数轴上，对于不重合的三点M、N、P,

我们给出如下定义：

若点尸到点跖、N的距离之和为10（即PA什PN=10）,我们就把点〃、N叫

做点尸的“伴随点”.

例如：如图1,若尸点表示的数为-1,点尸到表示数-4的点M与表示数6

的点N的距离之和尸M+PN=3+7=10,则点〃、N为点尸的“伴随点”.

己知：不重合的点/、B、C在数轴上，点/表示数2.

（1）数轴上有三点〃、G、K,它们表示的数分别为5、7、9,其中，有两个

点为点Z的“伴随点”,则这两个点分别是;

（2）如图2,若点3表示的数为8,点5、C为4点的“伴随点”.

①请直接写出：点Z的“伴随点”C在数轴上对应的数为；（直接

写出结果）

②若C在点N的左侧，点E表示的数为〃/,点尸表示的数为〃计3,点E、产

为点。的“伴随点”，求〃,的值；

（3）若点"、N为点4的“伴随点”，点“在点力的左侧，点尸为NN的中

点，点。为的中点，若尸。=4,求点N在数轴上表示的数.

MPNAB

-------1―L--------1—>—।----------------2_>

-4-1628

图1图2

【变式4-9］（2022秋•碑林区校级期末）将一条数轴在原点O和点5处各折一

下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点/表示-10,点6表示10,点C

表示18.我们称点/和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度.动

点尸从点N出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运

动.当运动到点O与点5之间时速度变为原来的一半.经过点5后立刻恢复

原速；同时，动点。从点。出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”

向其负方向运动，当运动到点5与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O

后也立刻恢复原速.设运动的时间为/秒.

(1)动点尸从点4运动至点C需要秒，动点。从点C运动至点力需

要秒；

(2)P,。两点相遇时，求出相遇点〃在“折线数轴”上所对应的数；

(3)是否存在，值，使得点尸和点。任“折线数轴”上的“友好距离”等于

点N和点5在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出，的值；若不

存在，请说明理由.

专题05数轴与动点经典题型(四大题型)

一名丸臣女蚣独______________________________

【题型1最值问题】

【题型2线段的和倍差问题】

【题型3数轴与行程相遇综合问题】

【题型4数轴上新定义问题】

___潘一纪始鬃_________________________

【题型1最值问题】

【典例1】［问题提出］|。-1|+|。-2\+\a-3|+…+H+202”的最小值是多少？

［阅读理解］

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手，⑷的几何意义是。这个数在

数轴上对应的点到原点的距离，那么|a-1|可以看作。这个数在数轴上对应的

点到1的距离；H-1|+|«-2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2

两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究-l|+|a-2|的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

(1)如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和

大于L

(2)如图②，。在1,2之间(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距

离

之和等于1.

(3)如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和

大于1.

因此，我们可以得出结论：当。在1,2之间(包括在1,2±)时，\a-l|+|a

-2|有最小值1.

［问题解决］

(1)请你结合数轴探究：-4|+|a-7|的最小值是3.

(2)请你结合图④探究|a-l\+\a-2|+|a-3|的最小值是2.

(3)\a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|的最小值为6

(4)\a-l|+|a-2|+|a-3|+…+旧-2021|的最小值为1021110.

［拓展应用］已知(|〃+1|+|〃-2|)X(|*-2|+|i+l|)X(|c-3|+|c+l|)=36,则

〃+2办+3。的最大值为15>〃+25+3c的最小值为-6.

।1gl।।।»

-2-101234

图①

a

।।i।；।।।A

-2-101234

图②

iiiiii」iA

-2-101234

图③

iiiiiii»

-2-101234

图④

【答案】(1)3；

(2)2；

(3)4；

(4)2020；

［拓展应用］15,-6.

【解答】解：(1)根据题意可知，|。-4|表示的是。这个数在数轴上对应的点

到4的距离，|a-7|表示的是。这个数在数轴上对应的点到7的距离，

则|a-4|+|a-7|表示的是a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之

和，

数轴如图所示：

a

—।—.__।—>_—.~~•一一.」__*_。

-3-2-1012345678

图①a

----1------：_!_।_।_*-------1_

-3-2-1012345678

图②

|“，ii—।~।—।।•1・।〉

-3-2-1012345678

图③

如图①所示：。在4的左边，从图中很明显可以看出。到4和7的距离之和

大于3；

如图②所示，。在7的右边，从图中很明显可以看出。到4和7的距离之和

大于3；

如图③所示，当。在4、7之间（包括4和7上）时，距离之和最小，最小值

为3；

故答案为：3；

（2）根据题意得，|a-l|+|o-2|+|a-3|表示的是a这个数在数轴上对应的点到

1、2、3三个点的距离之和，

如图所示：

a

1--------1-------------------------------------------L->

-2-101234

图①

a

I--------1--------1------4-------4------L>

-2-101234

图②

a

I--------1--------1----------------L>

-2-101234

图③

a

।--------1--------1--------•-------・•/-------

-2-101234

图④

a

1--------1--------1-------*------*------*-------

-2-101234

图⑤

如图①所示：。在1的左边，从图中很明显可以看出。到1、2、3的距离之

和大于2；

如图②所示，。在3的右边，从图中很明显可以看出。到1、2、3的距离之

和大于2；

如图③所示，当a在1、2之间（包括1上）时，距离之和大于2；

如图④所示，当。在2、3之间（包括3上）时，距离之和大于2；

如图⑤所示，当。在2上时，距离之和最小，最小值为2；

综上所述：当。在2上时，距离之和最小，最小值为2；

故答案为：2；

（3）