2024中考数学专项复习：三角形中的经典模型【九大题型】含答案

2024中考数学专项复习三角形中的经典模型【九

大题型】含答案

三角形中的经典模型【九大题型】

＞题型梳理

【题型1人字模型】.................................................................................1

【题型28字模型】................................................................................3

【题型3飞镖模型】.................................................................................6

【题型4双垂直模型】..............................................................................9

【题型5老鹰抓小鸡模型】.........................................................................15

【题型6两内角角平分线模型1.........................................................................................................19

【题型7两外角角平分线模型】.....................................................................21

【题型8一内一外角角平分线模型】................................................................26

【题型9三角形折叠模型】.........................................................................29

►举一反三

知识点1：A字模型

已知&ABC,延长AB至。,延长AC至E,则/I+/2=/A+180°

【题型1A字模型】

1.（23-24八年级•全国・专题练习）如图，中，乙4=65°,直线DE交于点。，交AC于点E,则4BDE

+/CED=().

C.235°D.245°

2.（23-24八年级•全国・专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若/I=120。，那么Z3-Z2的度数为

-1•

3.（23-24八年级•河北沧州•期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD,则下列判断错误

的是（）

D

A.变成四边形后对角线增加了两条B.变成四边形后内角和增加了360°

C.外角和没有发生变化D.若剪掉的角的度数是60°,则/1+/2=240°

4.（23-24.浙江杭州.二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若/I=130°,则

Z2的度数为____.

知识点2：8字模型

①已知相交于O,则乙4+=

②已知线段AP平分/R4D,线段CP平分ABCD，则/P=1+/。）

【题型28字模型】

5.（23-24八年级・浙江金华•期末）如图，BP平分AABC,交CD于点F,_DP平分AADC交AB于点E,AB与

GD相交于点G,乙4=42°.

-2•

D

E

（1）若/ADC=60°,求4AEP的度数；

（2）若/C=38°,求/P的度数.

6.（23—24八年级.河南漠河.期末）如图，AB和CD相交于点O,/A=/C,则下列结论中不能完全确定正确的

是（）

A.NB=/DB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.

7.（23—24八年级.北京怀柔.期末）如图，在由线段组成的平面图形中，/。=28°,则/A+

/B+/C+/F的度数为（）.

A.262°B.152°C.208°D.236°

8.（23—24八年级•全国•专题练习）如图，求乙4+/B+ZC+AD+AE+ZF+/G+六个角的和.

知火点3：飞像模型

①已知四边形ABGD,则/。=乙4+/3+/。

-3-

A

②已知四边形ABCD，线段8。平分/4BC,线段平分2ADC，则/O=£（/A+/。）

【题型3飞集模型】

9.（23-24.河北秦皇岛.一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点。在直线BD的上方），且=70°,

/BCD=120°,若使/AB。、乙40。平分线的夹角/E的度数为100°,可保持/A不变，将/BCD（填

“增大”或“减小”）°.

10.（23-24八年级•江苏苏州•阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件,如果ZA

=52°,ZB=25°,ZC=30°,ZD=35°,/E=72°,那么NF=°,

11.（23—24八年级.全国.专题练习）如图，若115°,则ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=.

-4-

A

C

D

12.（23-24.河北邯郸•一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有

一个是标错的;嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改:若/A,/B,保持不变，则将图中（填

“增大”或“减小”）度,淇淇说，“改得不错”.

知铜点4：双垂直模型

已知=90°.则4BAC=ADCE,ZACB=ZCED.

【证明】•••=/。=NACE=90°；AABAC+/ACS=90°：又AECD+ZACB-90°；AABAC=ADCE

同理，乙4CB+/DCE=90°,且/CED+/OCE=90°；.•.乙4cB=/CED,得证.

【题型4双垂直模型】

13.（23-24八年级.广东珠海.期末）如图1,于点B,CDLBC于点。，点E在线段BC上，且

DE.

（1）求证：NEAB=NCED；

⑵如图2,AF,DF分别平分/BAE和/CDE,则/F的度数是（直接写出答案即可）；

（3）如图3,EH平分的反向延长线交/BAE的平分线AF于点G.求证：EGLAF.（提示:三角形

内角和等于180°）

-5-

cC//D

14.（23—24八年级.陕西西安.期末）如图，在等腰皮△ABC中，乙4cB=90°,。为BC的中点，DE，AB,垂足

为E,过点B作B?〃AC交DE的延长线于点F,连接CF.

⑴求证：ADLCF.

（2）连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由.

15.（23—24八年级•山西晋中•期中）请把下面的证明过程补充完整

如图，在△48。中，乙4cB=90°,AB是角平分线，GD是高，AE、CD相交于点F,求证：CF=CE.

证明：；AE平分/CAB（已知），

NCAE=AFAB（）,

­.•乙4CE=90°（已知），

ANCAE+ZCEF=90°（）,

•/CD是△ABC的高（已知），

A/CDA=90°（三角形高的定义），

）,（直角三角形的两个锐角互余）,

ANCEF=NAFD]）,

ACFE=NAFD（）,

ANCFE=4CEF（）,

CF=CE（）.

16,

16.（23—24八年级•江苏扬州•阶段练习）在Rt/\ABC中,NCAB=90°,AB=AC,点。是BC的中点，点P是射

线CB上的一个动点（点P不与点。、。、B重合），过点。作CE_LAP于点E,过点B作，AP于点F,连

接EO,OF.

（问题探究）

如图1,当P点在线段CO上运动时，延长EO交BF于点G.

⑴求证：△AEG笃/\BFA；

（2汨G与AF的数量关系为:（直接写结论，不需说明理由）；

（拓展延伸）

（3）①如图2,当P点在线段OB上运动，E。的延长线与的延长线交于点G,/OFE的大小是否变化？若不

变，求出/OEE的度数;若变化，请说明理由；

②当P点在射线上运动时，若AE=2,。七=6,直接写出△OEF的面积，不需证明.

知识点5：老鹰抓小德模型

如图，乙4+/。=/I+Z2；口诀:腋下两角之和等于上下两角之和

17.（23-24八年级•江苏扬州•阶段练习）如图，把△ABC沿EF对折,叠合后的图形如图所示.若=60°,/I

=95°,则/2的度数为（）

A.24°B.35°C.30°D.25°

18.（23—24八年级•重庆渝北•阶段练习）如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与厅点重合，若/1+/2=80°,

则ZB的度数为.

-7-

19.（23—24八年级.安徽铜陵.期中）如图，将△48。纸片沿DE折叠，使点A落在点4处，且4B平分/ABC,

4。平分乙4cB，若/1+22=120°,则/B4C的度数为（）

A.120°B.110°C.100°D.90°

20.（23—24八年级.山东烟台・期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何

中可以得到新的解读.已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中Z1+/2（或Zl-Z2）与ZA的数量

关系.

CCC

图①图②图③

⑴如图①，若/A=80°,沿图中虚线。E截去则/I+/2=.

（2）如图②，若/4=80°,沿图中虚线。E将/A翻折，使点A落在BC上的点⑷处，则/I+/2=.

⑶如图③，翻折后，点A落在点加处，若/1+/2=80°,求ZB+/。的度数

（4）如图④，△4BC纸片沿DE折叠，使点A落在点加处，若/1=80°,/2=24°,求乙4的度数.

知火点6;两内角角平分线模型

在△4BC中，BI.CZ■分别是乙4BC和/ACB的角平分线，且相交于点/.则ZJ=90°+yZA

-8-

A

B

【题型6两内角角平分线模型】

21.（23-24八年级.河南信阳•开学考试）如图，A。，CE都是△4BC的角平分线，且交于点。，2114（7=30°,

/.ECA=35°,则AABO的度数为

22.（23-24八年级•全国•课后作业）如图，在△48。中，/ABC和ZACB的平分线BE,CF相交于点G,若乙4

=66°,则/BGC的度数为

23.（23-24八年级.河南信阳.开学考试）如图，在△ABC中，AD是边上的高，AE,分别是/BAG和

/ABC的角平分线,它们相交于点。，乙408=125°.求/OAD的度数.

24.（23-24八年级•山东烟台・期末）如图，在△ABC中，/A=90°,BE,CD分别平分NABC和/ACB,且相交

于F,EG〃BC,CG，EG于点G,则下列结论:①ZCEG=2ZDCA；②ZDFE=130°；③ZEFC=yZG：

④/AOC=/GCD；⑤AEG。是等腰直角三角形，其中正确的结论是（）

C.①②③D.①③④

-9-

知胴点7：两外角角平分线模型

在△ABC中，B/、C7分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.则/O=90°—*4

【证明】•••B。是ZEBC平分线，Z2=^-ZEBC,：是/FCB平分线，Z5=yZFCB

由△BCO中内角和定理可知：

ZO=180°-Z2—/5=180°-《/EBC-A/FCB=180°-^-（180°—/ABC）-2（180°-ZACB）=4（/ABC

+ZACB）=y（180°-ZA）=/O=90°-yZA

【题型7两外角角平分线模型】

25.（23-24八年级•全国・专题练习）如图，在△ABC中，/B=58°,三角形两外角的角平分线交于点E,则乙4EC

C

26.（23-24八年级•河南郑州•阶段练习）如图，3是AAFE两外角平分线的交点，P是AABC的两外角平分线的

交点，F,。在AN1.，又B,E在AM1.；如果AFGE=66°，那么/P=度.

27.（23-24八年级•山东聊城・期末）如图，在△ABC中，/ABC,NACB的平分线交于点O,。是/ACF与

/ABC平分线的交点，后是△4BC的两外角平分线的交点，若/BOC=130°,则/。的度数为（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

28.（23-24八年级•全国•课后作业）（分类讨论思想）△ABC的两外角平分线交于点F.

-10­

⑴如图1,若/A=30°,则NBFC的度数为.

⑵如图2,过点F作直线AW〃BC,分别交射线AB,AC于点M,N,若设=则乙4与a

+6的数量关系是.

⑶在（2）的条件下,将直线MN绕点、F转动.

①如图3,当直线7W与线段BC没有交点时,试探索/力与a,0之间的数量关系，并说明理由.

②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中与a,0之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由;

若不成立，请给出三者之间的数量关系.

知识点8：一内一外角角平分线模型

已知4ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.则/P=-j-ZA

【证明】•.•班?是2人及7平分线,.・./3=］乙43。是乙4CE平分线,.•./：!=

由△ABC外角定理可知：ZACE=ZABC+ZABP：2Z1=2Z3+ZA……①

对①式两边同时除以2,得：Zl=Z3+yZA……②又在△BPC中由外角定理可知：Z1=Z3+ZP……③

比较②③式子可知：ZP=yZA.

【题型8一内一外角角平分线模型】

29.（23-24八年级•江苏泰州•期末）如图，点B、。分别在AM.AN上运动（不与A重合），CD是/BC7V的平分

线，CD的反向延长线交/AB。的平分线于点P.知道下列哪个条件①ZABC+/ACB；②/A；③/NGD

一乙4BP；④/ABC的值,不能求乙？大小的是（）

30.（23-24八年级.四川遂宁.开学考试）如图，点。为△ABC边BC的延长线上一点，若3:4,

乙4CD=140°,乙4BC的角平分线与乙4CD的角平分线交于点Al,则/朋=度.

-11•

31.（23—24八年级•四川眉山•开学考试）如图，NABC=NACB,AD,B。、CD分别平分NEAC、/AB。和

AACF.以下结论:①4D〃BC；②乙4cB=2/ADB；③。3平分/ADC；④/ADC=90°-乙4BD.其中

正确的结论有.（填序号）

32.（23-24八年级•河南开封•期末）如图，在4ABC中，/A=48°,4ABC的内角/ABC与外角AACD的平分

线相交于点A，得到/4；/人田。与/4CD的平分线相交于点入2,得到ZA2；……按此规律继续下去，

乙4“_田。与1TCD的平分线相交于点4t，要使乙40的度数为整数，则九的最大值为（）

知铜点9:三角形折叠模型

①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点。落在线段AC上时,则Z2=2ZC.

②将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点。落在四边形4BFE内部时,则2/。=/I+/2或ZC=y（Zl+Z2）

■12•

③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点。落在四边形ABFE外部时，则2/。=/2—/I或ZC=-1-（Z2—

Z1）.

【题型9三角形折叠模型】

33.（23-24八年级・河南信阳・开学考试）如图所示,将三角形纸片ABC沿DE折叠.

⑴当点A落在四边形BCDE内部时，乙4、/1、/2的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你

的理由；

（2）当点A落在四边形BCDE外部时，/I、Z2的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明

理由.

34.（23—24八年级•上海•期中）如图，在锐角△ABC中，。、£分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿

DE折叠，点A落在点F的位置.如果DFV/BC,ZB=60°,/CEF=10°,那么NF=.

A

A

35.（23-24八年级・河南南阳・期末）在AABC中，乙BAC=90°,2/B,点D在BC边上，将/XABD^AD

翻折后得到△4ED,边AE和边AC重合时结束,边AE交边于点F.若折叠过程中，△DEF中有两个角

相等,则此时/-BAD的度数为.

・13•

A

36.（23—24八年级.四川宜宾.期末）在三角形纸片ABC中，乙4=90°,22°,点。为AC边上靠近点。处

一定点，点E为BC边上一动点,沿DE折叠三角形纸片，点C落在点。处.有以下四个结论：

①如图1,当点。落在边上时，乙4。（7=44°；

②如图2,当点。落在4ABC内部时，AADC+4BEC=44°；

③如图3,当点。落在ZVIBC上方时，ABEC-ZAD。=44°；

④当。石〃AB时，/CDE=34°或/CDE=124°,其中正确结论的个数是（）

图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

-14•

三角形中的经典模型【九大题型】

＞题型梳理1

【题型1A字模型】................................................................................1

【题型28字模型】................................................................................3

【题型3飞镖模型】.................................................................................6

【题型4双垂直模型】..............................................................................9

【题型5老鹰抓小鸡模型】.........................................................................15

【题型6两内角角平分线模型1...........................................................................................................19

【题型7两外角角平分线模型】.....................................................................21

【题型8一内一外角角平分线模型】................................................................26

【题型9三角形折叠模型】.........................................................................29

►举一反三

知识点1:4字模型

已知&ABC,延长AB至D,延长AC至E,则/I+/2=+180°

【题型14字模型】

1.(23-24八年级•全国・专题练习)如图，△AB。中，乙4=65°,直线DE交于点。，交AC于点E,则NBDE

+/CED=().

【答案】。

【分析】

根据三角形内角和定理求出NADE+/AED,根据平角的概念计算即可.

【详解】

解：：乙4=65°,

ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

-1•

ABDE+AGED=360°—115°=245°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.

2.（23-24八年级•全国・专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若/I=120。，那么Z3-Z2的度数为

【分析】根据平角的定义求出/4,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.

Z3=Z2+Z4,

Z3-Z2=Z4=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题.

3.（23-24八年级•河北沧州•期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形则下列判断错误

的是（）

A.变成四边形后对角线增加了两条B.变成四边形后内角和增加了360°

C.外角和没有发生变化D.若剪掉的角的度数是60°,则/1+/2=240°

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是

【详解】解：人、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；

B、三角形内角和为180°,变成四边形后内角和为360°,增加了180°,故错误，不合题意；

。、任意多边形的外角和是360°，故正确，不合题意；

。、若剪掉的角的度数是60°，则ZA+ZB=120°，贝||/I+/2=360°-120°=240°，故正确，不合题意；

故选：B.

4.（23-24.浙江杭州.二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若/I=130°,则

Z2的度数为.

-2•

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键,根据平行线的

性质可得ZFGH=Z1=130°,然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答.

/FGH=/l=130°,

AFGH是4EFG的一个外角，

4FGH=N2+4E,

•：/E=90°,

/2=130°-90°=40°,

故答案为：40°.

知巩点2：8字模型

①已知相交于O,则乙4+=

c

②已知线段AP平分ABAD,线段CP平分ZBGD，则/P=/(/B+ND)

【题型28字模型】

5.(23-24八年级・浙江金华•期末)如图，BP平分NABC,交CD于点、F,DP平分AADC交于点E,与

GD相交于点G,乙4=42°.

-3-

D

二E

c

⑴若4ADC=60°,求AAEP的度数；

（2）若/C=38°,求/P的度数.

【答案】（1）72°;（2）40°.

（分析】（1）根据角平分线的定义可得ZADP=~ZADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；

（2）根据角平分线的定义可得AADP=APDF,4cBp=APBA,再根据三角形的内角和定理可得ZA+

NADP=/P+AABP,ZC+4cBp=/P+/PDF,所以/A+/。=2/P,即可得解.

【详解】解：（1）平分乙4。。，

AADP=ZPDF=--AADC,

•：/AD。=60°,

/4DP=30°,

4AEP=4ADP+/A=30°+42°=72°;

（2）BP平分/ABC,DP平分AADC,

4ADP=/PDF,4cBp=APBA,

•：ZA+NADP=/P+AABP,

ZC+ACBP=ZF+/PDF,

AZA+ZC=2ZP,

•//A=42°,/C=38°,

ZF=^-（38°+42°）=40°.

【点睛】本题考查了三角形的内南和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解"8字形''的

等式是解题的关键.

6.（23—24八年级.河南漂河.期末）如图，力B和。。相交于点O,=则下列结论中不能完全确定正确的

是（）

A.ZB=4DB.Zl=ZA+ZDC.Z2>ZDD.4c=4D

【答案】。

【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.

【详解】•.♦/?!+/AOD+/D=180°,ZC+ZCOB+ZB=180°,/A=/C,2AOD=4BOC,

-4-

4B=4D,

•.•Z1=Z2=ZA+Z£>,

Z2>Z£>,

故选项A,B,。正确，

故选D

【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.

7.（23-24八年级•北京怀柔・期末）如图,在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，ND=28°,则ZA+

/3+/。+/干的度数为（）.

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】。

【分析】如图标记然后利用三角形的外角性质得/1=48+/干=/。+/3,/2=乙4+/。,再

利用/2,/3互为邻补角，即可得答案.

【详解】解:如下图标记

/l=/B+/F=/D+/3,

•.•/。=28°,

Z3=ZB+ZF-28°,

又：/2=乙4+/。，

Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

•/Z2+Z3=180°

180°=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

.•.乙4+/。+NB+NF=180°+28°=208°,

故选C.

【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意

义是解答此题的关键.

8.（23-24八年级・全国・专题练习）如图，求乙4+/B+ZC+ZD+ZE+ZF+/G+乙H六个角的和.

【答案】360°

【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：ZG+ZZ?=Z3,ZF+ZC=Z4,/E+/2,再根据三角形

-5-

内角和定理可得答案.

【详解】解：•.•/G+/D=/3,/F+/C=/4,/E+/H=/2,

ZG+ZD+ZF+ZC+ZS+/H=Z3+Z4+Z2,

ZB+Z2+Z1=18O°,Z3+Z5+ZA=180°,

.•.乙4++/2+/4+/3=360°,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZS+ZF+ZG+360°.

【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和.

知火点3：飞集模型

①已知四边形ABCD,则/。=乙4+/8+/。

②已知四边形ABCD，线段平分AABC,线段OD平分/4DC,则/O=}（/A+ZC）

【题型3飞集模型】

9.（23-24.河北秦皇岛.一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点。在直线BD的上方），且=70°,

/BCD=120°,若使乙4BC、/ADC平分线的夹角/E的度数为100°,可保持不变，将/BCD（填

“增大”或“减小”）°.

A

D

,6•

【答案】增大10

【分析】利用三角形的外角性质先求得/ABE+AADE=30°,根据角平分线的定义得到/ABC+ZADC=

60°,再利用三角形的外角性质求解即可.

【详解】解:如图，连接AE并延长，连接并延长，

ABED=ZBEF+ZDEF=NABE+ABAD+2ADE=100°,

•//BAD=70°,

A/ABE+/ADE=30°,

•:BE,DE分别是/ABC、/ADC平分线，

ZABC+2ADC=2(/ABE+/ADE)=60°,

同上可得，ABCD=ABAD+AABC+zLADC=130°,130°-120°=10°,

/BCD增大了10°.

故答案为：增大，10.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的

结论是解题的关键.

10.(23-24八年级•江苏苏州•阶段练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件,如果ZA

=52°,/B=25°,/。=30°,/。=35°,/E=72°,那么NF=°.

【答案】70

【分析】延长BE、CF,交于点G,连接AG,根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360°即可求解.

【详解】解:延长BE、CF,交于点G,连接AG,如图，

ZAGB=180°-ZB-/BAG,AAGC=180°-/。一ACAG,

ZAGB+ZAGC=180°-ZB-ZBAG+180°-AC-ZCAG=360°-ZB-ZC-ABAC=253°,

-7-

ACGB=360°-(ZAGB+ZAGC)=107°.

/BED=72°,

A/GED=108°,

AGFD=360°-AGED-AD-ACGB=110°,

A/CFO=70°.

故答案为:70.

【点睛］本题主要考查三角形内角和定理.正确的作出辅助线是解题关键.

11.（23—24八年级.全国•专题练习）如图，若NEOC=115°,则/A++/。+/。+/E+/F=.

A

D

【答案】230°

【分析】根据三角形外角的性质，得到4EOC=/E+/2=115°,Z2=Z,D+ZC,4EOC=Z1+4F=115°,

Z1=ZA+ZB,即可得到结论.

【详解】解:如图

/EOC=/E+/2=115°,/2=/D+/C,

A/E+/D+/C=115°,

/EOC=/1+/F=115°,Z1=ZA+ZB,

乙4+"+"=115°,

乙4+/B+/C+/D+/E+/F=230°,

故答案为：230°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性

质.

12.（23-24•河北邯郸・一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图）,淇淇说，这四个数据中有

一个是标错的;嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改:若/力，ZB,/BCD保持不变，则将图中（填

“增大”或“减小”）度,淇淇说，“改得不错”.

【答案】增大5

【分析】连接,利用三角形的内角和计算即可.

【详解】解:连接BD,

•/2CDB+ACBD=180°—乙4—AABC-AADC

■8•

ZGDB+&JBD=180°—/BCD

：.ZA+AABC+ZADC=zLBCD

•：乙4=90°,AABC=25°,ABCD=145°

A/ADC=145°-25°-90°=30°

30°-25°=5°

故答案为：增大，5

【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决

本题的关键.

知火点4：双垂直模型

已知/8=/。=/人您=90°.则4BAC=4DCE,NACB=NCED.

【证明】•••/B=/。=NACE=90°；/.ABAC+/ACS=90°：又AECD+ZACB=90°；A^BAC=ADCE

同理，乙4CB+/DCE=90°,且/CEO+/DCS=90°；.•.乙4cB=/CEO,得证.

【题型4双垂直模型】

13.（23-24八年级・广东珠海・期末）如图1,人8,3。于点6,。0,3。于点。，点后在线段3。上，且人后，

DE.

（1）求证：ZEAB=ZCED；

⑵如图2,AF,DF分别平分ZBAE和/CDE,则/F的度数是（直接写出答案即可）；

（3）如图3,EH平分的反向延长线交/BAE的平分线4F于点G.求证：EGLAF.（提示:三角形

内角和等于180°）

ffll图2图3

【答案】⑴见解析；（2）45°;（3）见解析

【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；

⑵过点F作FMIIAB,利用ADFA=ADFM+4AFM=14CDE+】NEAB=3（NCDE+ZEAB）即可

解决问题；

（3）想办法证明NEAG+/AEG=90°即可解决问题.

【详解】解：（1）VAB±BC,CD1BC,

ZB=ZC=90°,

/BAE+/AEB=90°,

•：AE±DE,

■9•

/AE_D=90°,

/AEB+/CED=90°,

NBAE=AGED.

(2)解:答案为45°;

过点F作F加7/AB,如图，

•：AB_LBC,CD±BC,

：./B=/C=90°,

：.AB//CD,

■：ZC=90°,

/CED+NCDE=90°,

•//LBAE=ACED,

ABAE+ACDE=90°,

•：AF、DF分别平分NBAE和ZCDE,

A4CDF=：4CDE,/BAF=g/BAE,

ACDF+/BAF=[(/BAE+NCDE)=45°,

•：FM//AB//CD,

Z.CDF=ZDFM,2BAF=AAFM,

AAFD=ZCDF+4BAF=45°.

⑶•.•EH平分/CED,

"JEH=[ZCED,

：.4BEG=[ZCED,

•：AF平分/BAE,

NBAG=[/BAE,

•/ABAE=ACED,

：.NBAG=NBEG,

•：ABAE+ABEA=9Q°,

：./BAG+NGAE+NAEB=90°,

即ZGAE+NAEB+ABEG=90°,

：./AGE=90°,

：.EG±AF.

【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造平行线解决问题,属于中考常考题型.

14.（23-24八年级•陕西西安•期末）如图，在等腰Rt/XABC中，NACB=90°，。为5。的中点，DE，AB,垂足

为E,过点B作BF〃力。交DE的延长线于点F,连接CF.

■10­

⑴求证：AD±CF.

⑵连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）AACF为等腰直角三角形；理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定.

⑴欲求证AD_LCF,先证明ACAG+AACG=90°,需证明ACAG=ABCF，利用三角形全等，易证.

⑵要判断△ACF的形状，看其边有无关系.根据(1)的推导，易证CF=AF,从而判断其形状.

【详解】(1)证明：在等腰直角A4BC中，

=90°,

A/Ca4=/GAB=45°,

•：DE±AB,

：.4DEB=90°,

：./BOE=45°,

•：BF//AC,

A/CBF=180°—/AC®=90°,

4BFD=45°=4BDE,

：.BF=DB,

又为BC的中点，

：.CD=DB,

即跳

(BF^CD

在△CBF和△AGO中，NCBF=ZACE>=90°,

(CB=AC

：.△CBFW^ACD(SAS).

：.ABCF=ACAD.

•：^BCF+AGCA=90°,

：.ACAD+ZGCA=90°,

即AD_LCF.

⑵解：△ACF是等腰三角形，理由为：

连接AF,如图所示，

由（1）知：△CBFWZV1CD,

：.CF=AD,

■：△DBF是等腰直角三角形，且BE是/DBF的平分线,

.♦.BE垂直平分。F,

AF^AD,

-11­

,:CF=AD,

：.CF=AF,

.•.△ACF是等腰三角形.

15.（23-24八年级.山西晋中.期中）请把下面的证明过程补充完整

如图，在△48。中，乙4cB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F,求证：CF=CE.

证明：：AE平分已知），

NCAE=NFAB（①）,

■：乙4CE=90°（已知），

AZCAE+4CEF=90°（②）,

•：5是△ABC的高（已知），

A/＜如=90°（三角形高的定义），

••.（③）,（直角三角形的两个锐角互余），

ANCEF=NAFD（④）,

2CFE=NAFD（⑤）,

AZCFE=ZCEF（⑥）,

ACF=CE（⑦）.

【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余;③乙£40+/AFD=90°;④等角的余角相等；⑤对

顶角相等；⑥等量代换;⑦等角对等边

【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余

是解题的关键.

根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可.

【详解】证明：•••AE平分/CAB（已知），

A4CAE=/FAB（角平分线的定义），

ZACE=90°（已知），

A/CAE+/CEF=90°（直角三角形的两锐角互余），

CD是△ABC的高（已知），

AZCEL4=90°（三角形高的定义），

A/E4D+/AFD=90°（直角三角形的两锐角互余），

A/C