北师大版七年级上册数学期末复习讲义

第一章、丰富的图形世界

一'生活中的立体图形

常见的立体图形有两种分类方法:

‘球

柱L体｛f枝圆柱

①按形状分类：立体图形,

维体｛氏

1棱钵

1•阅台

台体t楼台

立体I多面体（由平面围成的立体图形）

②按构成分类:图形［旋转体（绕某一轴旋转一周）

圆柱、棱柱、圆锥和球的异同

相同点：圆柱和棱柱都有两个底面.

不同点：①圆柱的底面是圆形，棱柱的底面是多边形；②圆柱的侧面是一个曲面,

棱柱的侧面是多个四边形；③圆锥的底面是圆形，侧面是曲面；④球只有一个曲面。

1.下列图形中，属于立体图形的是（）

2.下列立体图形中，有五个面的是（）

A.四棱锥B.五棱锥

C.四棱柱D.五棱柱

知识点点、线、面构成立体图形

（1）点：任何几体图形都是由个点构成的.

（2）线：有直线和曲线之分.

⑶面：有平面和曲面之分.

（4）点、线、面、体之间的关系是：点动成线，线动成面，面动成体，面

与面相交得到线,线与线相交得到点.

1

3、如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是().

3§

q/

CD

二、展开与折叠

知识点正方体的展开与折叠

正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表

面展开，可以得到U种不同的展开图，如图①〜⑪所示.为了方便大家熟悉这U种展开图，

我们把它归为四类：一四一型(①〜⑥)，二三一型(⑦〜⑨)，二二二型(⑩)，三三型(⑪).

⑨⑩⑪

4.如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，那么在原正方体中，与数字6

相对的面上的数字是()m

C.5D.2

知识点棱柱、圆柱'圆锥的表面展开图

⑴圆锥的展开图由一个扇形和一个圆形组成,并且圆形与扇形的弧相连，不能

与其他地方相连，如图①所示.

(2)圆柱的展开图由两个(大小一样)和一个长方形组成，且两个圆形要在长方形的

两侧，不能在同一侧，如图②所示.

(3)棱柱的展开图由两个相同的多边形(形状、大小均相同)和一个大长方形(由多个小

2

长方形组成）组成，两个多边形的边数与组成大长方形的小长方形的个数相同，且两个多边形

在大长方形的两侧，如图③④所示.

1.下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（B）

2.如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（D）

3.下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的是（A）

三、截一个几何体

1、定义

用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、

六边形或圆等等

1、说出下列几何体截面的形状.

解：长方形圆梯形长方形

四、从三个方向看物体的形状

3

一般是从以下三个方向：（1）从正面看；（2）从左面看；（3）从上面看.（如下图）

从上面U

从左面行

BnEbff13

从正面看从左曲看从上曲而

从正面看

1.有两个完全相同的长方体，按如图的方式摆放,从正面看到的形状图是（C）

正面

2.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,则从正面看到的图形是（A）

BCI)

正面

第二章、有理数及其运算

一、有理数的分类

r「正整数'正整数

正有理数

整数j零.正分数

有理数、负整数有理数v零

正分数,负整数

分数负有理数

负分数.负分数

2.如果“上升7米”记作+7米,那么一5米表示（A)

A.下降5米B.上升12米

C.下降2米D.上升2米

_5

3.把下列各数:—3,4,—0.5,—0.86,0.8,8.7,0,一%'-7,分别填在相应的大括号

里.

正数集合：｛4,0.86,0.8,8.7,___•,•｝»

负数集合：｛

-3,-0.5,—J—-7,---*,•｝；

整数集合：（一3,4,0,—7,...［；

二'数轴与绝对值

1、数轴三要素：①原点②单位长度③正方向

2、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个

4

数互为相反数.特别地，0的相反数是0.

3、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.

1、、A,3是数轴上两点，线段A3上的点表示的数中，有互为相反数的是()

2、实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是()

abed

।•।-1-----L->-J----^9_।——L—

•4-4-2-101234

A.aB.bC.cD.d

3、下列说法正确的是()

A.一同一定是负数B.只有两个数相等时它们的绝对值才相等

C.若同=同，则a与b互为相反数D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数

4、若卜―6|+|y+9|=0,则％+丁的值为.

三'有理数加减法

1、有理数加法法则：

①同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，和取绝对值较大

的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③一个数与0相加仍得这个数；

2、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.

3、加减混合运算步骤

①可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法；

②再写成省略加号和括号的形式；

③最后用加法法则和加法运算律进行运算.

4、直接省略括号的方法

①括号前是“+”号，括号内数的符号不发生改变；

②括号前是“一”号，括号内数的符号变成相反的符号.

1、(1)(-1.8)+(0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2)；

解：原式=-0.9.

(2)(—16)+(+17)+(—9)+23+(—14)；

解：原式=1.

5

⑶(+8务+11+息+(—7。+(—5：)；

1.4JT：o

解：原式=—2；.

三、有理数乘除法

1、有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

②任何数与0相乘，积仍为0.

2、互为倒数：两个有理数的乘积为1.

3、乘法运算定律：

①乘法交换律：axb=bxa

②乘法结合律：(axb)xc=ax(Z?xc)

③乘法对加法的分配律：ax(b+c)=ab+ac

4、有理数的乘方：求“个相位竺士算叫做乘方.

5、有理数的除法：除以一个数等于乘上这个数的倒数.

①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

②0除以任何非0的数都得0.

注意：0不能作除数.

科学计数法

1、过度包装既浪费资源又污染环境.据测算，如果全国每年

减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3120000吨，

把数3120000用科学记数法表示为(B)

A.3.12X105B.3.12X106

C.31.2X105D.0.312X107

有理数的混合运算

1、有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.

6

1、计算下列各式：

⑴―0.752.(—1，+(-1)2。2*一52；

解：原式=^x捺+(_1)、阂=1一表=卷.

⑵俘一哥-i)U)

解：原式=^＜（-30）+（一知*（一30）+1X（—30）+（一1）*（一30）=—20+3—5+12

-10.

第三章、整式及其加减

知识点1单项式

(1)像已。2,|x,&h等,都是数和字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一

个数字和一个字母也叫单项式.

⑵一个单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数和叫做这个单

项式的次数.

知识点2多项式

⑴几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其

中不含字母的项叫做常数项.

(2)一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.

知识点3整式

单项式和多项式统称整式.

1.下列各式中不是单项式的是(D)

AqB」

A・2・4

c-°d-!

2.已知一个单项式的系数是3,次数是2,则这个单项式可以是(D)

A.~2xy2B.2X3

C.2xy3D.3x2

知识点1同类项的概念

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项，几个常数项也是」1

类项.

知识点2合并同类项

7

(1)合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.

(2)合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项系数相加，字母和字母的指数

不变.

7.已知3*5,2和一2/勺”是同类项，则6加一3〃的值为4.

8.若3xm+5y2与x3yn的和是一Q单项式，则m"=4.

9.代数式x2—8—3j2+3kxy中不含孙项，则k=~~.

(1)3。一(2a—1)；

解：原式=3a—2a+l=a+l.

(2)5m2—[5m2—(2m2—mn)—7mn-5].

解：J^^=5m2—[5m2—2m2+mn—7mn—5]=5m2—5in2-\-2m2—mn+7mn+5=2in2-[-6mn-\-5

四、探索与表达规律

1、一般步骤：

①观察；②归纳；③猜想；④验证

1.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x的值为(C)

A.135B.170

C.209D.252

第四章、基本平面图形

知识点1、2线段'射线、直线的概念及它们之间的区别与联系

(1)线段：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看做线段，线段有两个特征：一是直

的；二是有两个端点.

(2)射线：将线段向一个方向无限延长就形成了」^射线有三个特征：一是直的；

二是有一个端点；三是向一方无限延长.

(3)直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线有三个特征：一是直的；

二是没有端点；三是向两方无限延长.

知识点3直线的基本性质

8

两点确定一条直线.经过一点的直线有条.

7.(知识点3)(5分)作线段AB,在AB的延长线上取点C,使BC=2AB,M是5c的中点，

若A5=30cm,求5M的长.

解：如图所示，因为A5=30cm,所以5C=60cm,而M为5c的中点，所以5M="c=30cm.

AHQC

8.(综合题)(7分)(1)如图，点C在线段A5上，且AC=10cm.5C=18cm,点N分别是

AC,5c的中点，求线段“V的长度；

AMCNB

(2)若AC=acm,BC=bcm,其他条件不变，请用代数式表示的长度；

(3)若将第(1)问，“点C在线段A5上”改为“点C在直线A5上”，其他条件不变，结果会有变

化吗？如果有，求出结果.

知识点1角的概念及表示方法

⑴角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.

(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.

⑶通常可以用以下方式表示角：

484c或N4乙aAl

①②③

知识点2角的度量及单位换算

(1)度量角的工具是量角器.

(2)角的单位换算：1。=60',r=60".

知识点3方向角

方向角指的是在某观测点，观察某物在该位置的某个方向的角.

8.(知识点2)(8分)如图，已知OE平分NAOC,OF平分N50C.

9

⑴若NA05是直角，N5OC=60。，求NEOb的度数；

(2)若NAOC=x。，ZEOF=y°,ZBOC=60°,请用x的代数式来表示y；

(3)如果NAOC+NEOb=210。，N5OC=60。，那么NE。b是多少度？

第五章、一元一次方程

1、.解方程：

(l)4x+16=8+2x;

(2)2x-2=3x+3.

三、一元一次方程的应用

1、等积变形：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：

①形状面积变了，周长没变；②原体积=变化后体积.

常用的面积,体积公式：

长方形的周长公式：(长+宽)X2；面积公式：长X宽

长方体的体积公式：长义宽X高

正方形的周长公式：边长义4；面积公式：边长X边长

正方体体积公式：边长X边长X边长

圆的周长公式：C=»d=2次；面积公式：S="2；

圆柱的体积公式：V柱=底面积X高；

圆锥的体积公式：v锥=3x底面积X高

2、利润问题：

①利润率=挡寒X1。。％=售收？本X1。。％

成本成本

②标价=成本(或进价)X(1+利润率)

③实际售价=标价x打折率

④利润=售价一成本(或进价)=成本X利润率

3、分配问题：

①分配问题中主要考虑“总量不变”；

②比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系,或是量与量之间的比

例关系

10

4、行程问题：

(1)三个基本量间的关系：路程=速度X时间

(2)基本类型有：

①相遇问题(或相向问题)：

I.基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间

II.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.

②追及问题：

I.基本量及关系：追及路程=速度差X追及时间

II.寻找相等关系：

同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；

同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.

③航行问题：

I.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度一水流速度，

顺水速度一逆水速度=2X水速；

II.寻找相等关系：

两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变

1、分配问题：

例题1、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，

则还缺25本.问这个班有多少学生？

设这个班有x个学生，则

3x+20=4x-25

x=45

2、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺

钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生

产螺母？

利润问题

3、一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%,这种商品每件标价

是多少？

工程问题

4、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。若甲先单独做4小时,剩下的部分

由甲、乙合做，还需几小时完成？

计分问题

5、在2002年全国足球甲级联赛A组的前11轮比赛中，大连队保持连续不败，共积23分，按

11

比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？

解：设该队胜了X场，那么平了(11—X场)，则

3X+1*(11-X)=23

解得X=6答：该队胜了6场.

收费问题

6、根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题

方式一方式二

月租费30元/月0

本地通话费0.30元/分钟0.40元/分

钟

(1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？

(2)对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？

行程问题

7、(相遇问题)甲、乙两人从相距为180千米的A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，

沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为15千米/小时，乙的速度为45千米/小时。

8、(追及问题)市实验中学学生步行到郊外旅行。(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/

时，(2)班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一

名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。

(1)后队追上前队需要多长时间？

(2)后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？

(3)两队何时相距3千米？

(4)两队何时相距8千米？

第六章、数据的收集与整理

知识点1普查与抽样调查

(1)普查：为了某一特定的目的而对所有考察对象进行全面调查，称为普查.

(2)抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，称为抽样调查.

知识点2总体'个体与样本

总体、个体、样本是统计学中三个重要概念，要注意它们的区别与联系.

(1)总体：所要考察对象的全体称为总体.

(2)个体：组成总体的每一个考察对象称为个体.

(3)样本：从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本.

总体、个体、样本都可以对考察对象进行量化，所不同的是范围的大小不同.

1、以下问题，不合适用全面调查的是(D)

A.旅客上飞机前的安检

B.学校招聘教师，对应聘人员的面试

12

C.了解全班学生的课外读书时间

D.了解一批灯泡的使用寿命

2、小明的