2025年中考数学复习：一元一次方程 专项练习

一元一次方程核心考点专题练习

专题一一元一次方程

核心考点一一元一次方程的定义

01.指出下列各式中哪些是一元一次方程，把序号填在横线上：.

①x+3=2x-3;②x2-2x=0;③2x-3x+7;④3x-2y=6;⑤2y+5=3y-4;(6)x+[=2.

02.若((a-l)x|a|=6是关于x的一元一次方程，则a的值为()

A.±1B.-1C.1D.2

03.若方程(m2-l)x2-mx-x+2=0是关于x的一元一次方程，则代数式|m-l"的值为()

A.0B.2C.0或2D.-2

核心考点二一元一次方程的解、根

04.若关于x的方程2(x-l)-a=0的解是3,则a的值是.

05.已知方程x2-6%=%-6及两数1,6,下列说法正确的是()

A.仅1是此方程的根B.1,6都是方程的根

C.1,6都不是方程的根D.仅6是方程的根

06.若关于x的方程((k+2)久2+4kx-5fc=。是一元一次方程，则k=_,方程的解x=_.

核心考点三等式的性质

07.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由.

(1)如果7x-9=12,那么7x=12+,根据;

(2)如果-4x=16,那么x=,根据__________________;

(3)如果x+^=y-0.75,那么x=，根据;

(4)如果三=2,那么x=，根据.

08.下列各式进行的变形中，不正确的是()

A,若a=b,则2a=a+bB.若a=b,则a2=b2

C,若3a=2b,则£=《D.若a=b,则£=1

09.下列各式运用等式的性质变形，正确的是()

A.若-m=-n,则m=nB.若b=c,贝！]■=上

aa

C.若ab=ac,贝!Jb=cD.若|x|m二|x|n,则m=n

10.以下等式的变形：①如果］=1,那么?=1；②如果ax+b=ay+b,那么x=y;③如果，+1=(+1那么x=y;④如果

x=y，那么”=*•正确的有()个・

az+laz+l

A.1B.2C.3D.4

11.利用等式的性质解下列一元一次方程：

(1)2+x=2x-7;(2)-3(x+2)=-12.

核心考点四根据题意列方程

12.长江上有A,B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2h,从B到A(航线相同)逆水航行要用时3.5h.

已知水流的速度为15knVh,求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为xkm/h,则可

列方程为()

A.(x-15)x3.5=(x+15)x2B.(x+15)x3.5=(x-15)x2

》x-15x+15门x+15x-15

C.-----=------L).---=----

3.523.52

13.有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3机2未能装修；

每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5mZ若一名熟练工人每天比一名初级工人多

装修3m2,设每个房间地面面积xm2,一名初级工人每天装修.ya?下列方程中正确的有()

①5x+43=7x-5+3:②5x-34-7x+6=3:③4(y+5)+3=6y/;@4(y+3)-3=6y

A.①③B.②④C.①④D.②③

核心考点五一元一次方程的解小综合

14.下列命题：①若a+b+c=0,则(a+c)2=②若a+b+c=0,且abc丰0,则等=-1;③若a+b+c=0,且a#),则x=l一

定是关于x的方程(ax+b+c=0的解；④若a+b+c-0,abc牛。，则abc>0.其中正确的是()

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④

专题二解一元一次方程

核心考点一移项解方程

01.解方程:

(l)4a-7=6a+10;(2)3x+7x=9x+8.

核心考点二去括号解方程

02.解方程：

(1)4x-3(20-x)=6x-7(9-x);(2)5x-3(2x+l)=6x-4(5-3x).

核心考点三去分母解方程

03.解下列方程：

核心考点四解含小数点的方程

04.(1)1-0.5x

专题三解特殊方程与构造方程

核心考点一解多层括号的一元一次方程

01.解方程：4=21.

核心考点二裂项法解一元一次方程

02.方程升京+京+…+2029：2031=1的解是X，

核心考点三构造一元一次方程

03.在1+：+/+++/+…中，"…”代表按规律不断求和，设1+：+/+/+f+=x,则有％=1+?%,解得

2242，2，2242，2，2

x=2,故1+巳+蠢+套+或+=2.类似地1+京+或'+崇+…的结果是=.

04.问题解决：

0.9=1是小学大家都承认的事实，但你能推理说明其中的道理吗？小明与小白有如下的探究：

【小明的解答】

解：V0.9=0.9999...,二可设0.9=x，则10x=9.999....,

10x-x=9,解得x=l,/.0.9=1.

实践探究：请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：①0.7

3;②0.432.

拓展延伸：直接写出将0.432化成分数的结果为.

05把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以0.7为例，设0.7=x，由0.7=0.777…，可知,10x=7.777…，所以

10x-x=7.解方程,得久=（于是0）=（仿照上述方法，无限循环小数O.i化成分数是一.

专题四含参一元一次方程

核心考点一等式的性质和参数

01.小军同学在解关于x的方程告1=詈—1去分母时，方程右边的-1没有乘2,因而求得方程的解为3,则m的

值和方程的正确解为()

A.2,2B.2,3C.3,2D.3,3

核心考点二解含参数的一元一次方程

02.解关于x的方程：

(1)2a+5x=7x-2b(a,b为已知数)；(2)解关于x的方程：y(x+n)=|(x+m).

核心考点三同解一元一次方程与参数

03.已知关于x的方程与1=彳与哼l=x+：—r的解相同，则m的值是.

4Zo3Z

04.如果关于x的方程等=(与U=2|刈-x的解相同，那么m的值是()

A.1B.+lC.2D.±2

05.已知关于x的方程3卜-2[-()]=4比和昔_詈=1有相同的解，求这个数.

核心考点四换元法

06.已知关于x的一元一次方程：2023%+m=x-2023的解为.x=6,,则关于y的一元一次方程2023(5-y)-m=20

28-y的解为y=()

A.y=-llB.y=2C.y=10D.y=ll

核心考点五方程的解不变

07.如果a,b为常数，关于x的方程中=2+可,无论k为何值时，它的解总是1,求a,b的值.

DO

核心考点六参数（方程）的应用

08.一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥

到车离开大桥）所用的时为（）

4M秒B.b/a秒C.x;a秒秒

a-a

核心考点七整数解问题

09.下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.

课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数

七年级12.543

八年级10.533

九年级7ab

表格中a,b的值正确的是（）

A.a=2,b=3B.a=3,b=2C.a=3,b=4D.a=2,b=2

核心考点八参数与最值分析

10.如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始.月历中，“U型，

“十字型，，两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左

右移动）,设'U型”覆盖的五个数字之和为Si,“十字型覆盖的五个数字之和为S2.若&+S2=186厕S2-S

1的最大值为.

日一二三四五六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728

专题五一元一次方程的应用(1)——配套、工程、数字与盈不足问题

核心考点一配套问题

01.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉120个或螺母200个，两个螺母与一个螺钉配套，怎

样安排工人使每天的产品刚好配套？

核心考点二工程问题

02.一项工程，由一个人做要40小时完成.现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时完成任

务.若这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？

核心考点三数字问题

03.有一个两位数，十位上的数是个位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得的新的两位

数比原来的两位数小27,求这个两位数.

核心考点四盈不足问题

04.有一些相同的房间需要粉刷墙面.一天3名一级技工粉刷8个房间，结果还有50平方米没有刷完；同样时间5

名二级技工粉刷完10个房间外，还多刷了另外的40平方米.已知每名一级技工比二级技工一天多刷10平方

米，求每个房间需要粉刷的墙面面积.

专题六一元一次方程的应用（2）—利润与盈亏

核心考点一盈亏问题

01.已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60%,另一个亏损20%,在这次买卖中，这

家商店（）

A.不盈不亏B.亏损10元C.盈利10元D.盈利20元

02.某药厂对售价为m元的药品进行了降价，现在有三种方案.方案一：第一次降价10%,第二次降价30%；方案

二：第一次降价20%,第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%.三种方案哪种降价最多（）

A.方案一B.方案二C.方案三D.不能确定

03.某药店在甲工厂以每包a元的价格买进了41盒口罩，又在乙工厂以每包b元（a<b）的价格买进了同样的59盒口

罩.如果以每包等元的价格全部卖出这种口罩，那么这家药店（）

A.亏损了B.盈利了C.不盈不亏D.盈亏不能确定

核心考点二利润问题

04.某商店开张，为吸引顾客，所有商品一律按8折优惠出售.已知某种皮鞋进价60元一双，8折优惠出售后商家

获利40%.问：这种皮鞋标价多少元？

核心考点三利率问题

05.“盛中”商场为了促销新上市的新款A牌汽车，决定2023年“国庆节”期间购买该车者可以分两期付款：在购买时

先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为8%）在2024年“国庆节”付清.已知该汽车每辆售价为74074元，

若购车者的两次付款恰好相同，则每次应付款多少元？（结果保留整数）

专题七一元一次方程的应用（3）—行程问题

核心考点一顺水（风）逆水（风）

01.轮船在顺水中的速度为28千米/时，在逆水中的速度为24千米/时，则水流的速度是一千米/时.

02.一艘轮船航行在A,B两个码头之间，已知水流的速度为3千米/时，轮船顺水航行需用5小时，逆水航行需用

7小时，求轮船速度和A,B两地之间的距离.

核心考点二过桥问题

03.一桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了1分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒.求火车

的长度及行驶速度.

04.一列火车匀速行驶，完全通过一条长450米的隧道需要25秒的时间，隧道顶上有一盏灯垂直向下发光，灯光照

在火车上的时间是10秒，则火车的速度为一米/秒.

核心考点三时钟问题（转化为追及问题）

05.某人在下午五点多离开家时看了一下时钟，发现时针和分针的夹角是110°,不到下午6点时回家发现时针和分

针的夹角还是110°，则他外出的时间是分钟.

核心考点四年龄问题一相差不变问题

06.今年父亲的年龄与兄妹两人年龄之和相等，且哥哥比妹妹大4岁.已知24年前，父亲的年龄是兄妹年龄之和的

5倍.那么今年父亲、兄妹各多少岁？

核心考点五环形运动

07.甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别为200米/分和160米/分.两人同时从起点同向出发.当

两人起跑后第一次并肩时经过了多少时间？这时他们各跑了多少圈？

核心考点六追及问题

08.甲、乙两人从A地同时出发去B地，速度为15千米/小时，走了3千米时，甲发现重要物品忘在A地,立即返

回拿到物品并追赶乙，若返回和追赶速度都是原速的L2倍，且两人同时到达B地，则A,B两地相距多少千

米？

核心考点七无长度相遇

09.甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小

时行驶50千米，如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，求A,B两市的距离.

核心考点八有长度相遇

10.某校中学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时行4500米，一列火车以每小时120千米的

速度迎面开来，测得从火车头与队伍首位学生相遇，到车尾与队伍末尾学生相遇共经历60秒，如果队伍长50

0米，那么火车长是多少米？

专题八一元一次方程的应用(4)—分段计费

01.下表是某网约车公司的专车计价规则.

计费项目起租价里程费时长费远途费

单价15元2.5元/公里1.5元/分1元/公里

注：车费由起租价、里程费、时长费、远途费四部分构成，其中起租价15元含10分钟时长费和5公里里程

费，远途费的收取方式为：行车里程10公里以内(含10公里)不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里

收1元.

(1)若小李乘坐专车，行车里程为20公里，行车时间为30分，则需付车费一元；

⑵若小李乘坐专车，行车里程为x(7<xW10)公里，平均时速为40km/h,则小李应付车费多少元？(用含x的代

数式表示)

(3)小李与小王各自乘坐专车，行车车费之和为76元，里程之和为15公里(其中小王的行车里程不超过5公里).

如果行驶时间均为20分钟，那么这两辆专车此次的行驶路程各为多少公里？

02.某市居民使用自来水，每户每月水费按如下标准收费：月用水量不超过8立方米，按每立方米a元收取；月用

水量超过8立方米但不超过14立方米的部分，按每立方米b元收取；月用水量超过14立方米的部分，按每立

方米c元收取.下表是某月部分居民的用水量及缴纳水费的数据.

用水量(立方米)2.51561210.34.791716

水费(元)533.41225.621.529.418.439.436.4

(1)①a=_,b=_,c=一;

②若小明家七月份需缴水费31元，则小明家七月份用水米3；

⑵该市某用户两个月共用水30立方米，设该用户在其中一个月用水x立方米，请列式表示这两个月该用户应

缴纳的水费.

专题九一元一次方程的应用（5）一方案选择

01.某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利

润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元.

该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式

不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方

案：

方案1：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好四天完成，你认为选择哪种方案获利较多，为什么？

02.某超市开展“元旦”促销活动，出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：

AB

标价（单位：元）100110

方案1

每件商品返利按标价的30%按标价的15%

例:买一件A商品,只需付款100（1-30%）元

若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计），则按标价的20%返

方案2

利

（同一种商品不可同时参与两种活动）

（1）某单位购买A商品30件，B商品90件，选用何种活动方案划算？能便宜多少钱？

⑵若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多2件,请问该单位该如

何选择才能获得最大优惠？请说明理由.

专题十一元一次方程的应用⑹一答题得分类应用题

01.12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题

分值相同，每题必答，下表记录了其中2名参赛学生的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B17379

(1)参赛学生c得72分，他答对了几道题？答错了几道题?

⑵参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗？为什么?

02.某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录

了其中2名学生参赛后的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A18286

B17379

(1)参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什么?

⑵参赛学生D说他可以得94分，你认为可能吗？为什么？

03.某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中5名参赛者的

得分情况，观察并完成下面的问题.

(1)由表可知，答对一题得一分，答错一题得一分(直接写出结果)；

⑵某参赛者说他答完20道题共得70分，你认为可能吗？请说明理由.

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

专题H--------元一次方程的应用⑺一球赛积分类应用题

01.下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分（篮球比赛没有平局）.

球队比赛场次胜场负场积分

A1210222

B129321

C127519

D116517

E1113

（D观察积分榜，请直接写出球队胜一场积____分，负一场积分；

⑵根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？

（3）若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗?

请说明理由.

02.下表是某赛季欧洲足球冠军杯第一阶段G组赛（G组共四个队，每个队分别与其它三个队进行主、客场比赛各一

场，即每个队要进行6场比赛）积分表的一部分.

排名球队场次胜平负进球主场进球客场进球积分

1切尔西6??1138513

2基辆迪纳摩632183511

3波尔图63129X510

4特拉维夫马卡比60061100

备注积分=胜场积分+平场积分+负场积分

⑴表格中波尔图队的主场进球数x的值为____本次足球小组赛胜一场积分，平一场积—分，负一场积

—分；

⑵欧洲冠军杯奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛每支球队可以获得参赛奖金1200万欧元，另外,

小组赛中每获胜一场可以再获得150万欧元，平一场获得50万欧元.请根据表格提供的信息，求出在第一

阶段小组赛结束后，切尔西队一共能获得多少万欧元的奖金？

专题十二一元一次方程的应用(8)——分析表格数据

0L下表是某校七、八年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中七、八年级同一兴趣小组每次活动时间相同.

科技小组活动次

年级课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数

数

七年级18.667

八年级1555

(1)文艺小组和科技小组各活动1次，共用时—h；

(2)求文艺小组每次活动多少h?

02.下表是某校四~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.

课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数活动总次数

四年级18.57310

五年级165a

六年级9

七年级12.5437

八年级10.5336

九年级7b

⑴文艺小组每次活动—h,科技小组每次活动h,a=;

(2)该校六年级文艺小组活动总时间能等于科技小组活动的总时间吗？

⑶该校计划在四年级不改变总时间的前提下，增加活动的总次数，试通过计算设计符合条件的所有方案.

专题十三一元一次方程的应用⑼一生产与销售

01.“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2500kg,含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产

量提高了300kg,含油率提高了10个百分点.A村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜,虽然

种植面积比去年减少5公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了5000kg.

⑴分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：

种植面积(公顷)每公顷产量(kg)含油率总产油量(kg)

去年X250040%

今年2500+30040%+10%

求出：A村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？

⑵去年和今年A村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后都以每千克15元的价格卖给批发商，批发商将去

年菜籽油按照每千克20元定价，目全部售出.由于销售火爆，批发商今年比去年每千克提高了a元定价，

也全部售出，且今年比去年多盈利130000元，求a的值.

02.某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920t,其中含铁率为50%,每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330t,且褐铁矿的含

铁率比菱铁矿提高了1。个百分点.钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一

期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750t.

⑴设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表(结果需要化简)：

开采天数(天)每天开采量(t)含铁率总产铁量(t)

一期X192050%

二期1920+33050%+10%

并分别求出一期和二期的开采天数；

⑵该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出.由于成本增加，

该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的

值.

专题十四一元一次方程的应用（10）—古代问题

核心考点一追及问题

01.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里.

弩马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢

马先走12天，快马几天可以追上慢马?”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列

方程为（）

A.（240-150）x=150xl2B.150（x-12）=240x

C.240x+150xl2=150xD.12x=（240-150）

核心考点二盈不足问题

02.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问

物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问这

个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（）

A.8x-3=7x+4B.8x+3=7x+4C.—=—£>,—=—

8787

03.我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九

人步，问人与车各几何?”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最

终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（）

A-+2=-+9B.-+2=—。音