高考数学一轮复习题型与专项训练：复数题型战法

第五章平面向量与复数

5.2.1复数(题型战法)

知识梳理

一复数的有关概念

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于—1，即『=—1；(2)力的周期性：严=1,z4,1+1=i,六"+2=_i,严+3=T(〃eN*).

2.概念形如。+初的数叫复数，。叫复数的实部，6叫复数的虚部。

3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：

［实数3=0)；

z=a+bi(a.beK)t一一一

虚数3w0)=＞当。=0且bw0时为纯虚数

4.复数相等的充要条件：如果a,Z7,c,deR,那么a+初=c+山oa=c且Z?=d.

5.共辗复数：复数z=a+初和z=〃一次()互为共辗复数。

二复数四则运算

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

(a+Z?z)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbe-ad.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c2+d2

三复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：iyZ(a⑼

Q'................."

~~■对应

复数z=a+bi<>复平面内的点Z(a,b)

：X

・

2.复数的模"0

|z|=《a2+Z?2.

题型战法

题型战法一复数的四则运算

典例1.(l+i)+(-2+2i)=()

A.—1+3iB.1+iC.-1+iD.-1-i

变式1-1.（2-i）-（l+2i）等于（）

A.3+iB.4+3iC.4iD.l-3i

变式1-2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

变式1-3.君=()

1+21

43.43.

A.11B.—iC.-------1D.-+-i

5555

变式1-4.已知复数z满足（l+i）z=l-i,其中i为虚数单位，则z=()

A.0B.-iC.-l+3iD.-1

题型战法二虚数单位及其性质

典例2.已知复数z满足zl=l+i5（其中i为虚数单位），则Z=()

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

3.\2022+z.M.\2023

A.-1+iB.-1-iC.0D.-2

变式2-2.复数（+i）'。等于（）

1-i

A.16+16iB,-16-16iC.16-16iD.-16+16i

变式2-3.»i+i2+i3++i2020+i2021的值为（）

A.0B.iC.1+iD.-1-i

变式2-4.已知i为虚数单位，复数z=■—r,则z+z2+z3+z4++z2022=()

l-i

A.iB.-1C.-1+iD.0

题型战法三复数的实部与虚部

典例3.已知复数z=（3-4i）（2-i）,则z的虚部为（）

A.2B.11C.-11D.-lli

已知复数一口

变式31.则z的实部是（)

1

A.-2B.-1c.1D.2

复数z=¥电，则

变式3-2.z的虚部为（).

1+1

A.3B.-3c.-iD.-1

变式3-3.已知z(3+4i)=i2022,则Z的虚部为()

4334

A.—B.—c.D.——

2525~2525

变式3-4.设机eR,若复数4=-2+i的虚部与复数々="7+而的虚部相等，则4乌=（）

A•—3+iB.-1-iC.3-iD.-3-i

题型战法四复数的分类

典例4.设i为虚数单位，若复数(l-i)(l+«i)是实数，则实数。的值为()

A.-1B.0C.1D.2

变式4-1.若复数z=(7-西(1+i)为纯虚数，则实数。=()

A.-7B.-5C.7D.5

已知复数与不

变式42.Z都是纯虚数，则z=()

1+1

A.iB.-iC.2iD.-2i

若复数套十一是实数，则实数八()

变式43.

A.1B"C.-D.2

2

如果复数z=/

变式44.(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么的虚部为()

二

AB.-/c-D.--i

133J33

题型战法五共舸复数

典例5.设复数z满足(l+i)z=i,i为虚数单位，则共扼复数三=()

B

A.1-i-mC.-+-iD.---i

2222

已知复数2=罟，其中i为虚数单位，

变式5-1.则复数I的虚部为()

1-1

33

AA.-3i.B.—iC.-D.--

2222

变式5-2.已知复数Z满足Z(l—i)=3-i,贝Uzi=()

A.5B.屈C.2如D.2

变式5-3.若复数z满足：z=l+i,则z2-2z的共扼复数的虚部为()

A.-2B.iC.0D.2

变式5-4.设i是虚数单位，若复数2=三+1(awR),且z的共和复数是实数，则。的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

题型战法六复数的相等

典例6.已知复数(1+五)i=2—河，x,”R,则x—y=()

A.3B.1C.—1D.—3

变式6-1.若(a+历)-i=l+i(，涉$R,i为虚数单位)，则〃+b=()

A.2B.0C.-2D.1

变式6-2.复数z满足(2+i)z=7-4(i是虚数单位)，则复数z的共辗复数彳=()

A.3+iB.—3—iC.—1+iD.—1—i

变式6-3.若复数z满足z；+2z=l+2后.则Z等于()

A.-1+V2iB.-1-V2iC.1+V2iD.1-V2i

变式6-4.若i-l是关于X的方程Y+px+q=O(p,qeR)的一个根，则。+4=()

A.-2B.0C.2D.4

题型战法七复数的坐标表示

典例7.已知复数z=|±i（i是虚数单位），则［所对应的点所在象限为（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

变式7-1.复数z=（9-7i）i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

变式7-2.若z（l+i）=2i,则在复平面内复数z对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

变式7-3.复数（3-i）〃-（1+i）对应的点在第三象限内，则实数机的取值范围是（）

A.根B.m<-\C.-l<m<-D.无解

33

变式7-4.若复数z=（l+2i）（a-i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数。的取值范围是（）.

题型战法八复数的模

典例8.已知i是虚数单位,z=号，则|z|=（）

A.2B.1C.V2D.V3

变式8-1.若复数z满足z+2-i=（3+i）（l-2i）,则z的模为（）

A.5B.3C.75D.6

变式8-2.若复数z的共轨复数是I，且Z+W=6,|z|=5,则2=()

A.3+4iB.3-4iC.3±4iD.4±3i

变式8-3.复数Z1,Z2满足Z16R,Z2=l+i,|z]—z?卜亚，则Z1=()

A.1B.2C.0或2D.1或2

变式8-4.复数z满足|z-2|=1,则目的最大值为()

A.1B.V2C.3D.百

第五章平面向量与复数

5.2.1复数(题型战法)

知识梳理

一复数的有关概念

1.虚数单位，：

(1)它的平方等于一1,即/=—1；(2)，的周期性：产=1,产六"+2=-1,

产+3=7("”).

2.概念形如。+初(a,beR)的数叫复数，。叫复数的实部，〃叫复数的虚部。

3.复数与实数、虚数、纯虚、。的关系：

z=a+初忙乎"十…

虚数3w0)=＞当。=0且bw0时为纯虚数

4.复数相等的充要条件：如果eR,那么a+c+==

5.共舸复数：复数z="+初和z=〃一次(a/wR)互为共轨复数。

二复数四则运算

(a+bi)土(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c1+J2

三复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

PZ(a㈤

.—,—对应Q-------------------

复数z=a+4<------->复平面内的点Z(a,b)

：X

2.复数的模

~0

|z|=y]a2+b2.

题型战法

题型战法一复数的四则运算

典例1.(l+i)+(-2+2i)=()

A.-l+3iB.1+iC.-1+iD.-1-i

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的加法运算直接计算作答.

【详解】

(l+i)+(-2+2i)=-l+3i.

故选：A

变式1-L(2-i)-(l+2i)等于(

A.3+iB.4+3iC.4iD.l-3i

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由复数的减法运算求解即可.

【详解】

(2-i)-(l+2i)=2-i-l-2i=l-3i.

故选：D.

变式12(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【详解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

变式13盘=（）

43.43.

A.-1B.-iC.—一-iD.—+—i

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由复数的除法法则求解即可

【详解】

2-i(2-i)(]-2i)_-5i.

l+2i-(l+2i)(l-2i)一丁-t

故选：B

变式1-4.已知复数z满足(l+i)z=l-i,其中i为虚数单位，则2=)

A.0B.-iC.-l+3iD.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数除法即可求得复数z

【详解】

由(l+i)z=l-i,可得===T

故选：B

题型战法二虚数单位及其性质

典例2.已知复数Z满足zT=l+i5(其中i为虚数单位)，则2=()

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数乘方化简可得结果.

【详解】

i4=1,由zf=l+i5可得z=l+i.

故选：A.

z.\2022z.X2023

变式2』.计算1:用+&=()

A.-1+iB.-1-iC.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】

直接由复数的除法及复数的乘方运算求解即可.

【详解】

l+i_(l+i)(l+i)_2i_.1-i_(l-i)(l-i)_-2i_.

因力l-i(l-i)(l+i)2'l+i(l+i)(l-i)2，

Z1.X2022z.N2023

2022(_^2020_..

故[罟]=i+(_ip=,2020.p+=1+

故选：A.

变式22复数管等于（）

A.16+16iB.-16-16iC.16-161D.-16+16i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法、乘方与除法法则化简可得结果.

【详解】

因为(1+。°=[(l+i)[=(2i7=32i,

(l+i)10_32i_32i(l+i)

所以,=16i(l+i)=-16+16i

1-i

故选：D.

变式23复数i+i?+i3++[2。2。+吁的值为（）

A.0B.iC.l+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的乘方计算即可.

【详解】

因为i?=—1,i3=—i,i4=1>

所以i+i2+i3+i4++i2021=505(i+i2+i3+i4)+i2021

=505(i-l-i+l)+(i2)1010.i=i.

故选：B

变式24已知i为虚数单位，复数z=二，贝Uz+z?+z3+z4++z2022=()

1-1

A.iB.-1C.-1+iD.0

【答案】c

【解析】

【分析】

先由复数的除法运算计算出z=i,再按照乘方运算计算即可.

【详解】

1+i(l+i)(l+i)2i

B1]z+z2+z3+z4=i+i2+i3+i4=0,

z5+z6+z7+z8=i4(i+i2+i3+i4)=0,L,故

20222212022222

Z+%?+z3+z4++Z=Z°+Z=i°°(i+i)=-l+i.

故选：C.

题型战法三复数的实部与虚部

典例3已知复数z=（3-4i）（2-i）,则z的虚部为（）

A.2B.11C.-11D.-lli

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数乘法求出z,即可确定其虚部.

【详解】

因为z=（3—4i）（2-i）=2—lli,所以z的虚部_n.

故选：C

变式3-1.已知复数z=",则z的实部是（）

1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出复数z,即可得到z的实部.

【详解】

由z=-=-l-2i,可得复数z的实部为T.

1

故选：B.

2-4i

变式3-2.复数z=--，---则--z的虚部为（）.

1+i

A.3B.-3C.-iD.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.

【详解】

2-4i(2旬(一)26i

复数=-l-3i

1+i(l+i)(l-i)2

所以z的虚部为-3,

故选：B.

变式3-3.已知2（3+旬1022,则z的虚部为()

A±34

BC.D.

'25-I2525

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算及复数的概念即可求解.

【详解】

解：因为Z(3+4i)=i2022(i2)1011=(-l)1011=-l,故

-1-1(3-4i)_3+4i34.

Z=---------------1-------1,

3+4i(3+4i)(3-4i)252525

所以Z的虚部为2・

故选：A.

变式3-4.设%eR,若复数z[=-2+i的虚部与复数Z2=m+mi的虚部相等，则为2=

()

A.-3+iB.-1-iC.3-iD.-3-i

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得加的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】

因为复数z】=-2+i的虚部与复数Z2=m+mi的虚部相等,则机=1,则Z2=l+i,

因此,Z]-z2=(-2+i)(l+i)=-3-i.

故选：D.

题型战法四复数的分类

典例4.设i为虚数单位，若复数(1-讥1+砌是实数，则实数。的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解.

【详解】

(l-i)(l+ai)=1+ai-i-ai2=1+a+(A-l)i,它是实数，

则a—1=0,a=l.

故选：C.

变式4-1.若复数z=(7-硝(1+i)为纯虚数，则实数。=()

A.—7B.-5C.7D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解.

【详解】

解：「z=(7_qi)(l+i)=7+力一ai—fli?=7+a+(7—o)i,

又・复数Z为纯虚数，

故选：A.

变式4-2.已知复数z与片都是纯虚数，贝ljz=()

1+1

A.iB.-iC.2iD.-2i

【答案】c

【解析】

【分析】

设z=ai(aeR),再设言=6i(6eR)求解即可

【详解】

设z=ai(a£R),^-=/?i(Z?eR),贝!]一2+而=一匕+历，故人，解得a=b=2,故z=2i

故选：C

变式4-3.若复数白+胃是实数，则实数机=()

1+12

A.1B.1C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

化简复数等-"i,结合复数的分类，列出方程，即可求解.

【详解】

一“〃m1+i根(l-i)1+im—mi1+im+1m—1.

由题意,旻数---'---=7---77---r---=------1---=----------1

攵型"1+i2(l+i)(l-i)22222

因为复数言+与是实数，所以小=。，解得…

故选：A.

变式4-4.如果复数z==(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么z的

l+3z

虚部为()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数除法运算化简复数z,结合纯虚数即可求解结果.

【详解】

_.2-历(2-历)。-3i)2-366+6.

""l+3i-(l+3i)(l-3i)-^0HT1

为纯虚数，

：.b=-

3

•_2.

・・z——1

3

2

•••z的虚部为

故选：A

题型战法五共姬复数

典例5.设复数z满足(l+i)z=i,i为虚数单位，则共扼复数3()

A.1-iB.占C.-+-iD.---i

22222

【答案】D

【解析】

【分析】

根据虚数单位i的性质结合复数的除法运算，可求出z,即可求得「

【详解】

ii(l-i)i-i2i+1-11.

z=......----------------------——-----,Z=----------1.

1+i(l+i)(l-i)1-i2222

故选：D.

变式5-1.已知复数2=罟，其中i为虚数单位，则复数三的虚部为()

1-1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数Z,利用共胡复数的定义结合复数的概念判断可得出合适

的选项.

【详解】

2+i_(2+i)(l+i)_l+3i_13.-13

则z=------i

1-i(l-i)(l+i)22222

3

故三的虚部为

故选：D.

变式5-2.已知复数z满足z(l-i)=3—i,则zi=()

A.5B.y/lQC.2A/2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

运用复数的运算及共加复数的概念即可得到结果.

【详解】

由z(l-i)=3-i得,

3-i(3-i)(l+i)_3+2i-i24+2i

=2+i

1-i(l-i)(l+i)-1-i22

贝U2=2—i,

所以，z-z=(2+i)(2-i)=4-i2=5

故选:A.

变式5-3.若复数z满足：z=l+i,则z?-2z的共规复数的虚部为()

A.-2B.iC.0D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.

【详解】

因z=l+i,则z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=2i—2-2i=-2,

所以所求共辗复数为-2,其虚部为0.

故选：C

变式5-4.设i是虚数单位，若复数z=/L+i—且z的共辗复数是实数，则

a的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简复数Z,得出共拆复数已根据[是实数，列方程，即可

求出a的值.

【详解】

由题意，»z=^+i=4^+i=-«+-(2-«)i,则W

1+i1—i2222

因为复数三是实数，所以#2-a)=。，解得。=2,

即实数。的值为2.

故选：D.

题型战法六复数的相等

典例6.已知复数(l+xi)i=2-W，x,yeR,贝1Jx—y=()

A.3B.1C.—1D.—3

【答案】c

【解析】

【分析】

利用复数相等的充要条件，求出X、y,进而求出％-上

【详解】

(l+xi)i=2-yi,:.-x+i=2-yi,

[x=—2

故选：C.

变式6-1.若(a+历)-i=l+i(a/£R,i为虚数单位)，贝l」a+b=()

A.2B.0C.-2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数乘法及复数相等可得a=l,b=-l,即可得答案.

【详解】

由（a+历），=ai-Z?=1+i,即a=1,8=-1,

所以a+b=0.

故选：B

变式6-2.复数z满足（2+i）z=5-4（i是虚数单位），则复数z的共辗复数N=（）

A.3+iB.—3—iC.—1+iD.—1—i

【答案】B

【解析】

【分析】

设2=。+历（a力eR）,代入（2+加=彳-4中化简可求出。,6的值，从而可求得答案

【详解】

设z=a+bi（a,b£R）,

因为（2+i）z=N-4,

所以（2+i）（a+历）=a—历一4,

所以（2a—Z?）+（2Z?+a）i=（a—4）—bi,

-rf—b=ci—4[Q=-3

所以工工1,斛得匕1,

[2b+a=—b[8=1

所以z=-3+i,所以z=-3-i,

故选：B

变式63若复数z满足zi+2z=l+2".则z等于（）

A.一l+0iB.-1-V2iC.1+6D.1-V2i

【答案】A

【解析】

【分析】

设出复数2=。+〃，由共辗复数及复数的乘法化简得到4+62+20+2万=1+2"，解

方程即可求解.

【详解】

l§_z=a+bi,则z=a-6i,z-z+2z=(<2+M)(a-Z7i)+2(a+Z?i)=a2+b2+2a+2bi=1+2后i,

a~+b~+2a=1a=-1

则，解得故z=—1+-\/2i.

2b=20b=A/2

故选：A.

变式6-4.若i-1是关于x的方程x2+px+q=0（p，4eR）的一个根，则P+q=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

将iT代入方程，利用复数相等，列出满足的等量关系，即可求得结果.

【详解】

依题意，（i_l）2+p（i_l）+q=（_p+q）+（p_2）i=0,

所以所以ft则P+i.

[p-2=0,国=2,

故选：D

题型战法七复数的坐标表示

典例7.已知复数2=二（i是虚数单位），则1所对应的点所在象限为（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

化简z=2-i,由共辗复数的定义知I=2+i，再由复数的几何意义知I所对应的点为

（2,1）,在第一象限，即可得出答案.

【详解】

3+i(3+i)(l-i)4-2i

则，

T+i-(l+i)(l-i)-2z=2+i

1所对应的点为（2,1）,在第一象限.

故选：A.

变式7-1.复数z=(9-7i)i在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算算出z,然后可得答案.

【详解】

由题意得z=7+9i,所以z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A

变式7-2.若z(l+i)=2i,则在复平面内复数z对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先由已知求得复数z,即可确定复数z对应的点所在象限.

【详解】

解：由z(l+i)=2i可得，述=二二21(尸)=2=]+i

“\'E1+i(l+i)(l-i)2

则在复平面内复数z对应的点为(U),位于第一象限

故选：A.

变式7-3.复数(3-i)根-(1+i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是()

A.m<jB.m<-lC.