2023年高考数学模拟卷7新高考专用附参考答案

2023年高考数学模拟卷（新高考专用）

卷07数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合

M=|x||x|>2^,N==ln（x2,则McN=（）

A.但2<尤43}B.{x|x>3或x<-2}C.{尤|04x<2}D.|x|-2<x<3j

2.（2023•浙江温州•模拟预测）若复数z满足乜巴=l-2i,其中i为虚数单位，则复数z

Z

的虚部是（）

1010.

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

3.（2022•天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数

/卜）=23!1（0戈+0）［。>0,0<。<|^的图象的相邻两个零点的距离为5，/（O）=V2,则

〃x）=（）

A.V2sin|2x+—B.2sin2x+—

I4I4

C.V2sinf4-x+^-

D.2sin4x+—

I4.

4.（2022•内蒙古鄂尔多斯•高三期中（文））下列各式大小比较中，其中正确的是（）

A.V7-V5>V5-V3B.tany<sin^jC.21n3<31n2D.log]1<Q

22

5.（2022•河南•民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线♦-4=1（°>0/>0）的离心

ab

率为巫，右焦点为下，直线4,均过点尸且互相垂直，4与双曲线的右支交于4c两点，

2

FC

4与双曲线的左支交于8点，。为坐标原点，当三点共线时，（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2022糊南•高二期末）第19届亚运会即将在西子湖畔一杭州召开，为了办好这一届"中

国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈"的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛

会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在

游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概

率为（）

/、\ax+l—2a,x<1

7.(2022•广东广东•高一期中)已知函数/'(x)={2，若存在Xi，ZeR,x产9，

[x-ax,x>l

使/'(xj=/■(%)成立，则实数0的取值范围是()

A.[0,2)B.(-<»,0]C.(-oo,0]"2,+8)D.(-oo,0]U(2,+oo)

8.（2021・全国•高二专题练习）如图，在圆锥S。中，A,8是。。上的动点,

33'是。。的直径，M,N是S3的两个三等分点，NAOB=9（Q<e<G，

记二面角N-CM-B,河一48，-8的平面角分别为&,P,若则。

的最大值是（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2022•江苏・南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识

竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根

B.得分在区间[60,70）内的学生人数为200

C.该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平

均数落在区间70,80）内

10.（2022•福建•厦门市湖滨中学高二期中）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模

型为如图所示的六面体，其中四边形和8CFG为直角梯形，A,D,C,2为直角顶

点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列说法不正确的是（）

A.该几何体是四棱台

B.该几何体是棱柱，平面48c是底面

C.EGLHC

D.平面EFG”与平面/BCD的夹角为45。

11.（2022,湖北・恩施市第一中学模拟预测）己知O为坐标原点，圆

Q:（x-cos0）2+（y-sin0）2=1,则下列结论正确的是（）

A.圆。恒过原点O

B.圆。与圆/+必=4外切

C.直线x+y=竽被圆。所截得弦长的最大值为百

D.直线尤coscz+ysincz=0与圆。相切或相交

12.（2022•福建・莆田华侨中学高二期中）已知数列｛%｝满足的=28,

（1）

a„=[2"+«]a„_1（n>2）,〃wN*,数列上｝的前〃项和为S”，且

22，a

〃二1°§2（。月+2n-\）-log2（a2„-（z2„+1）,则下列说法正确的是（）

A.幺=21

a2

B.4♦g=16

C.数列[笔]为单调递增的等差数列

I«2„J

D.满足不等式邑-5>0的正整数〃的最小值为63

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2022・上海交大附中高一期末)古代典籍《周易》中的"八卦"思想对我国的建筑有一定

影响.图1是受"八卦"启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形/8CDEFGH中，若

~AC=xAB+yAH(<x,y^,贝ljx+y=.

14.(2022•天津市汇文中学高三期中)|^j-^的展开式中，/的系数是

.(用数字填写答案)

15.(2022•上海市金山中学高二期末)已知£、月为双曲线C：W-《=l(a>0,b>0)的两个焦

ab

TT

点，P、。为。上关于坐标原点对称的两点，且|尸。|=|耳区I,若直线P。的倾斜角为则

C的离心率为—.

16.(2020•黑龙江•哈九中高三期末(文))若存在实常数左和6,使得函数万(尤)和G(x)对

其公共定义域上的任意实数x都满足厂(x)2丘+6和G(x)4日+6恒成立，则称直线

y=+b为厂(x)和G(无)的“隔离直线已知函数/3=/卜©&),g(x)=-(x<0),

〃(x)=2elnx,则有下列命题：

①V=-g(无)与〃(尤)有"隔离直线"；

②〃x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且6的最小值为T；

③〃尤)和g(x)之间存在"隔离直线"，且左的取值范围是(-4,0］；

④“X)和〃(x)之间存在唯一的"隔离直线"夕=2值-e.

其中真命题的序号为.(请填上所有正确命题的序号)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题）已知正项数列｛%｝的前"

项和为S“，其中％=2,4S,=m+l）2+4（〃N2,〃eN*）.

⑴求｛与｝的通项公式，并判断｛%｝是否是等差数列，说明理由；

11111

（2）证明：当“22时，一+—+—+…+-----<-.

。2〃3anan+l

18.（2022・湖北•华中师大一附中高三期中）在锐角。3C中，角A,B,。所对的边分别为

a,b,c,已知6(/+/-c2)=26csiiM.

⑴求sin2yl+cos米的取值范围;

⑵若。是48边上的一点，且血）:£>8=1:2,5=2,求AABC面积的最大值.

19.(2022•黑龙江・哈尔滨三中模拟预测)如图，在三棱柱NBC-44G中，△4为等边

三角形，四边形44百8为菱形，AC1BC,/C=4,BC=3.

⑴求证：AB,1A,C；

(2)线段cq上是否存在一点E,使得平面N2也与平面/8C的夹角的余弦值为［?若存在,

4

求出点£的位置；若不存在，请说明理由.

20.（2022•上海市金山中学高二期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了.为

了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们

在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在

认真听课,否则就可以认为该同学目前走神了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计,

平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的

专注度情况，我们做如下两个约定：

①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；

②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.

请回答如下两个问题：

⑴若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数

学期望是多少？

⑵记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为〃分的概率为夕（比如：［表示累计得分

为1分的概率，鸟表示累计得分为2的概率），求：

①化+「目的通项公式；

②优｝的通项公式.

22/9r\

21.（2022・重庆・高二阶段练习）已知椭圆c:0+2=l（a>6>O）过点M三，三，且离

a2b②（22J

心率为e=——.

2

⑴求椭圆的标准方程；

（2）当椭圆。和圆O：/+丁=1.过点/（见0）（加>1）作直线4和/2,且两直线的斜率之积等于

1,乙与圆。相切于点P,4与椭圆相交于不同的两点/，N.

（i）求他的取值范围；

（ii）求AOMN面积的最大值.

22.(2022・重庆一中高三期中)已知函数f(x)=oxlnx,g(x)=-xe*+ex(x>0),(aeR,

g(x),g(x)</(x)

e为自然对数的底数)，〃(x)=

/(x),g(x)>/(x),

⑴若/(x)与g(x)在x=l处的切线相互垂直，求。的值并求〃(力的单调递增区间;

(2)若。=6,h(x^)=h[x1)=h(xi),x3>x2>xlt且%二加为，证明：当me(l,e)时,

x2+x3<西+1.

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合

M=|x||x|>2^,N=ln（x2,则McN=（）

A.{32<尤43}B.{尤|x>3或x<-2}C.{尤|04x<2}D.|x|-2<x<3j

【答案】B

【分析】先解不等式确定集合然后再根据交集的定义求其交集即可.

［详解］\x\>2,:.x>2^x<-2,

所以集合河=门,>2或工<-2},

N={x尤2-3X>O}={尤卜<0或:>3},

所以”门"=,上>3或：1<-2}.

故选：B.

2.（2023•浙江温州•模拟预测）若复数z满足乜土型=l-2i,其中i为虚数单位，则复数z

Z

的虚部是（）

1010.

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则求得z即可求得虚部.

【详解】由已知同叫=1一玉，故5=（l-2i）znz=!=l+2i,

故z的虚部是2.

故答案为：D

3.（2022•天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数

/（x）=2sin（0x+e）（0>O,O<e<|^的图象的相邻两个零点的距离为f⑼=6,则

〃x）=（）

A.V2sinf^x+~jB.2sin（2x+^-j

C.瓜.inf4x+^-D.2sin4x+—

I4.

【答案】B

【分析】先根据函数图象相邻两个零点的距离为g7T,求出周期，算出0的值，再根据

/（0）=血求出。的值，即可得到答案.

【详解】因为函数〃x）=2sin（ox+e）M>0,0<夕</）的图象的相邻两个零点的距离为

所以T=^x2=;r,所以0=女=至=2,所以/（x）=2sin（2x+0）,

2T7i

又因为1（0）=血，所以/（0）=2311夕=血，解得sin°=当，

因为0<夕<],所以"=?,所以/（x）=2sin12x+f.

故选：B.

4.（2022•内蒙古鄂尔多斯•高三期中（文））下列各式大小比较中，其中正确的是（）

A.V7—^5>\/5—A/3B.tan—<sinJC.2In3<3In2D.logjvjj

【答案】D

【分析】由不等式的性质，三角函数和指数对数函数的单调性，逐个判断选项是否正确.

【详解】（疗+6『=10+2M<（6+6『=10+2后，.•.近+省〈囱+石，即

V7-V5<V5-V3;选项A错误；

1•—

jr------->147r71smATT

v0<cos-<l,则兀,得sin（=）=sinvv―=tan-,故选项B错误；

5cos—55万5

5cos—

5

21n3=ln9>ln8=31n2,选项C错误；

logi-=log52<log5^=~,.Jog选项D正确.

故选：D

22

5.（2022•河南•民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线，-与=1（。>0,"0）的离心

ab

率为巫，右焦点为下，直线4，/,均过点尸且互相垂直，《与双曲线的右支交于4c两点，

2

FC

4与双曲线的左支交于8点，。为坐标原点，当4aB三点共线时，=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据题意作出图形，由双曲线的对称性及双曲线的定义，利用勾股定理建立方程求

解可得.

【详解】设双曲线另一焦点为斤'，连接AF',CF',BF',如图，

所以由双曲线的对称性知，四边形NqF为矩形，

设|4F|=x,|FY71=fx,则|/F|=2a+x,|CF'\-2a+tx,

在Rf△/尸尸中，|/尸「+|/尸尸尸「，即（2a+x>+x2=4c2,

又《=回，解得x=。或x=-3a（舍去），

2

在RfZk/PC中，M尸'『+|/C|2=|CfT，即（2a+ay+（a+〃）2=（2a+s）2,

FC

解得f=3,即F=3.

故选：B

6.（2022糊南•高二期末）第19届亚运会即将在西子湖畔一杭州召开，为了办好这一届"中

国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈"的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛

会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在

游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概

率为（）

1112

A.—B.-C.—D."

12649

【答案】B

【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.

【详解】记"甲被安排到游泳项目"为事件/,记"乙也被安排到游泳项目"为事件8,

甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为C；A；,

两人被安排到游泳项目的种数为C；A；,

故种数为C；A；+C；A；=12,

甲乙被同时安排到游泳项目的种数为A；=2,

所求概率为尸/⑷,、)n=(A3B\=A；

C；A；+C泡6

故选：B.

,、[ax+\—2a,x<1

7.(2022•广东广东局一期中)已知函数/'(x)=<2，若存在％,工2eR,x尸Z,

lx—ax,x>\

使I(xj=/(X2)成立，则实数0的取值范围是()

A.[0,2)B.(-8,0]C.(-oo,0]u[2,+co)D.(-co,0]u(2,+co)

【答案】D

【分析】对。进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得。的取值范围.

【详解】axl+l-2a=l-a,l2-axl=l-a,

y=ax+l-2a=a(x-2)+l,过定点(2,1),

y=x2-ax开口向上，对称轴x=T，

当"0时，/(x)在(--1)递减，在(1,+⑹递增，最小值为了⑴=1-。，

根据直线和抛物线的知识可知：存在国,％eR,再Ax?,使/(占)=)(超)成立.

/\fl,X<1/\/\

当“=0时，/(-2)=/(-1)=1,

所以存在花,3eR,X[WX2,使/(不)="々)成立，

当◊〈■|41,0<“<2时，/(X)在(-8,1)上递增，在(1,+8)递增，

即/(X)在R上递增，所以不存在符合题意的三,马.

当时，在(fl)上递增，在[I,]]上递减，在g+s|上递增，

根据直线和抛物线的知识可知：存在占,马€凡西R马，使/(xj=f(x2)成立.

综上所述，。的取值范围是(-*0]u(2,+B).

故选：D

【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直

线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴(单调性)有关，由此可确定分类的标

准，从而使分类做到“不重不漏"

8.(2021・全国•高二专题练习)如图，在圆锥S。中，A,B是OO上的动点，89是。。的

直径，M,N是S3的两个三等分点，NAOB=9（0<e<G，记二面角N-CM-B,

州-49-2的平面角分别为a,/3,若aM/3,则。的最大值是（）

【答案】B

【解析】设底面圆的半径为「，OS=。,以"8所在直线为x轴，以垂直于"2所在直线为了轴,

以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角

N-0/-3与刊-/9-3夹角的余弦值,结合即可求得。的取值范围，即可得。的最大

值.

【详解】设底面圆的半径为，，OS=a,以小2所在直线为x轴，以垂直于小8所在直线为V轴,

以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：

贝I］由

可得0（0,0,0）,8（厂,0,0）,5（0,0,。）,/（厂00$仇八足仇0）,"（-外,0,0）

是S3的两个三等分点

则唬,o,7间”最

所以况=（rcos6»,rsine,0）,^=|^y,0,三］

设平面NCM的法向量为zj

(xj,,Zj)•(rcos^,rsin,0)=0

m-OA=0八、.

则和丽=。,代入可得

（2i，z）*=。

阳/cos0+必尸sin6=0

化简可得<2xraz

--x-1---x=0

I33

cos。2r

令XI=1,解得力=-

嬴万'句=一1

cos32r

所以加二

sin6'a

平面OAB的法向量为1二（0,0,1）

由图可知，二面角N-CM-3的平面角a为锐二面角，所以二面角N-04-5的平面角a满

足

2r

m-n_______a______

cosa=

m-n[~~cos204r^

J1+—^+―r

Vsin0a2

设二面角M-48，-8的法向量为元=卜2，及/2）

5,^=(r+rcos0,rsin0,O),AMJ-rcos。,一升sin。.

(x,>>,z)-(r+rcos0,rsin0,O)=0

没二代入可得222

则^-rcos0,-rsin

(x2,y2,z2)-=0

x2r+x2rcosO+y2rsin0=0

化简可得*xr八.2azzc

2——々/cos"一％尸sm”H——=0

-l-cos02r

令％2=L解得及=--------,z2=

sin。-----a

所以石=1,匚*，一2

Ism，a

平面的法向量为万=（0,0,1）

由图可知，二面角M-AB,-B的平面角B为锐二面角，所以二面角M-AB'-B的平面角B

由二面角的范围可知04a4万

结合余弦函数的图像与性质可知cosa>cos13

所以。<。4才

所以。的最大值是年27r

故选:B

【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直

角坐标系，求得平面的法向量，即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂，属于难题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2022•江苏・南京师大附中高二期中)为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识

竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照

[50,60),[60,70),[70,80)x[80,90),[90,100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根

B.得分在区间[60,70)内的学生人数为200

C.该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80

D.估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间[70,80)内

【答案】ABD

【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.

【详解】对于A,由频率分布直方图性质得：(a+0.02+0.035+0.025+a)xl0=l,解得。=0.01,

故A正确；

对于B,由频率分布直方图得：成绩落在区间［60,70)的频率为0.2,所以人数为

0.2x1000=200,故B正确；

对于C,由频率分布直方图得：［50,70)的频率为(0.01+0.02)x10=0.3,［70,80)的频率为

0.035x10=0.35,所以成绩的中位数位于区间［70,80)内，故C错误；

对于D,估计成绩的平均数为：

元=55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5,所以成绩

的平均数落在区间［70,80)内，故D正确.

故选：ABD.

10.(2022•福建•厦门市湖滨中学高二期中)如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模

型为如图所示的六面体，其中四边形/DE7/和3CFG为直角梯形，A,D,C,8为直角顶

点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列说法不正确的是()

A.该几何体是四棱台

B.该几何体是棱柱，平面/8CZ)是底面

C.EGLHC

D.平面EFG”与平面NBCD的夹角为45。

【答案】ABC

【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从

而确定正确答案.

【详解】因为四边形/。硒和3CFG为直角梯形，A,D,C,B为直角顶点,其他四个面

均为矩形，

所以这个六面体是四棱柱，平面4DEH和平面8CFG是底面，故A,B错误；

由题意可知ON,DC,OE两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则£(0,0,4),G(l,3,3),C(0,3,0),//(1,0,3),函=(1,3,-1),函=(1,一3,3),

则就.丽:=1-9-3=-11片0，所以EG,不垂直，故C错误；

根据题意可知DE，平面ABCD,所以方=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量，

丽=(1,0,-1)环=(0,3,0),

设7=(x,%z)为平面EFGH的法向量，

n•EH=x-z=0,

则有＜则可取3=(1,0,1),

n•HG=3y=0,

n-DE4e

贝ljcos〈?DE〉=

\n\-\DE\~4x722

所以平面与平面/BCD的夹角为45。，故D正确.

故选：ABC

11.(2022・湖北・恩施市第一中学模拟预测)已知O为坐标原点，圆

Q:(x-cos0)2+(y-sin0)2=1,则下列结论正确的是()

A.圆。恒过原点O

B.圆。与圆/+廿=4外切

C.直线x+y=竽被圆。所截得弦长的最大值为百

D.直线xcoscz+ysina=0与圆。相切或相交

【答案】ACD

【分析】A.代入点(0,0)可判断；B.计算圆心距离与半径差的大小关系；C.利用垂径定理求弦

长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断.

【详解】对于A代入点(0,0)得(-co入y+(-sin行=1恒成立,A正确;

对于B：7cos20+sin20=|1-2|,即两圆心距离等于两圆半径差，两圆内切，B错误;

sin^+cos^=V2sm

即直线尤+了=?被圆。所截得弦长的最大值为百，C正确；

COQnCCSzy_|_mf-jcitizy1

对于D：圆心到直线的距离一,2.2=|cos（0-a）|<1,故圆和直线相切或相交,

A/COS~a+sin~a

D正确；

故选：ACD.

12.（2022•福建•莆田华侨中学高二期中）已知数列｛。,｝满足。3=28,

6=[2（一）"+〃卜1（”22）,〃eN*,数列也,｝的前〃项和为S",且

aa

bn=1°§2(2n+2'2n-l)-log2(a2„-(z2„+1),则下列说法正确的是()

A.幺=21

a2

B.%•42=16

C.数列[=]为单调递增的等差数列

I%J

D.满足不等式工-5>0的正整数〃的最小值为63

【答案】ABD

【分析】由。3=28和递推公式a〃=[2（一°玲?=8玲q=2,%=168玲A选项正确，

B选项正确；

a,=12（一邛+22）好区=2（可+〃>2=2（-甲+2n=2〃+2为单调递增的等差数

aa

L」n-\2n-\

列玲C选项不正确；

〃+2〃+2

b〃=log1玲S〃=log——>5玲〃〉62-D选项正确

2n+l22

【详解】因为%=28,所以？=2（一以q+B4=28,所以。2=8,

则a2=2（T）•ax+2ax=8,解得4=2,

&=2（T，q+M=168，所以£=21,aca2=16,所以A选项正确，B选项正确；

因为为=上3）"+“卜1（"22）,所以9=2（少+”（心2）,

所以乌-=2(M"+2〃=2〃+2,又“eN*,

a2n-\

所以刍=2〃+2一2〃=2,〃wN*

a2n-\a2n-3

所以,出〔为单调递增的等差数列，

则数列;罗:不是单调递增的等差数列，所以c选项不正确;

%"+2=2(-产"+2〃+2=2〃+4,

a2n+l

alon+2

则b”=10g2(a2n+2•*)-噢2@2〃•2n+l)=§2幺鼻鼻log?

。2/2〃+1〃+1

c13,41〃+l[〃+2[34n+1n+2卜0g2n+2「

5"1。%+1。叼+--+1叫”+1吗”+广1叫xx•xx>5

Q3nn+1

解得〃>62,又“eN*,

所以正整数〃的最小值为63,所以D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等,

要根据数列特征选择不同的方法.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2022•上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的"八卦"思想对我国的建筑有一定

影响.图1是受"八卦"启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形/BCAEFGH中，若

AC=xAB+yAH（x,y&R）,贝>Jx+y=.

【答案】亚+2##2+V2

【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算.

【详解】如图，连接S,则AB//CH,

不妨设/B=2,则。〃=2血+2，即配=（血+1）益，

：.AC=AH+HC=^+1）AB+AH,则x=0+l,y=l,

故x+y=>/2+2.

故答案为：拒+2.

GF

14.（2022•天津市汇文中学高三期中）的展开式中，/的系数是

.（用数字填写答案）

35

【答案】v

O

【分析】写出二项式的通项公式，然后计算即可.

【详解】因为g-的通项公式为：二£['=（T'X出"掾等，

令8-二=2得,・=4,则其系数为4

2248

35

故答案为：v

O

22

15.（2022•上海市金山中学高二期末）已知耳、乙为双曲线C4-与=1（°>0/>0）的两个焦

ab

TT

点，P、。为。上关于坐标原点对称的两点，且|P0|=|斗名若直线尸。的倾斜角为则

C的离心率为.

【答案】V3+l##l+V3

【分析】由题意画出图形，可得4。。鸟为正三角形，进一步得到四边形尸片为矩形，再

由双曲线的定义求解得答案.

【详解】如图，

又|PQ|=|片耳I，=可得△。。不为正三角形,

由对称性可得，四边形相。片为矩形，得到|尸周=G|尸阊=6c,

由双曲线定乂可得，出c-c=2a,

e=A/3+1，

故答案为：V3+1.

16.(2020■黑龙江•哈九中高三期末(文))若存在实常数左和6,使得函数尸(x)和G(x)对

其公共定义域上的任意实数x都满足尸(x)N丘+6和G(x)V履+6恒成立，则称直线

y=h+b为尸(x)和G(x)的"隔离直线已知函数/(x)=W相。/?),g(x)=—(x<0),

〃(x)=2elnx,则有下列命题:

①V=-g(x)与〃(x)有"隔离直线"；

②“X)和g(x)之间存在"隔离直线”，且6的最小值为-4；

③〃x)和g(x)之间存在"隔离直线"，且k的取值范围是(-4,0］；

④“X)和h(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2&x-e.

其中真命题的序号为.(请填上所有正确命题的序号)

【答案】②④

【分析】利用导数结合"隔离直线”的定义可判断①的正误；利用"隔离直线”的定义求出6、

上所满足的不等式，求出06的取值范围，可判断②③的正误；求出函数“X)和/z(x)图

象的公共点以及公切线方程，结合利用导数法证明出g(x)M2&x-e,结

合"隔离直线”的定义可判断④的正误.

【详解】对于①，构造函数e(x)=/(x)+g(x)=x2+L其中x<0,

贝Ud(x)=2x-5=斗^<0,所以，函数。(无)在(-刑0)上单调递减，

"(-1)=0,当9<-1时,0(x)>0(-l)=0,此时〃x)>-g(x);

当一l<x<0时，"(司<夕(一1)=0,止匕时/(x)<-g(x).

所以，了=，(可与力⑺不存在“隔离直线"，①错误；

对于②，设〃x)和g(无)之间的"隔离直线"为广b+b，

当x<0时，x2>-,则x2»Ax+b在(--。)上恒成立，

设工(x)=/一履一6,二次函数工⑴图象的对称轴为直线尤=今

当上20时，贝1]/(0)=—6N0,可得640；

当后<0时，A=r+46W0,贝I164一h.

4

不等式Ax+b之工在(-8,0)上恒成立，即b2工-fcc在(-巴0)上恒成立，

XX

若左〉0,函数>在(-8,0)上单调递减，该函数在(-8,0)上无最小值，此时b无解;

X

11

若左=0,可得62—,当x£(—°°,0)时，一G(—oo,0),贝I」/)20；

XX

若左<0,则—kx,

x

由基本不等式可得，-Ax=一1―-j+AxV-2d―-j-Ax=

当且仅当x=一古时，等号成立，则6N-2口.

由上可知，当左=0时，6=0；

,—k2,—k1

当左<0时，k=0,6=0也满足一2口J,

44

由上可知一2口三一[,整理可得一64左23，即上俨+64)40,.―44左<0.

由题意可知，卜,所以一4W6V0,故②正确；

\/max

对于③，由②可知，-44左W0,故③错误；

对于④，/(x)=x2>"(x)=2elnx,则/(《be,=2elnVe=e,则/1(五)="(能"卜

所以，函数〃x)、g(x)的图象的公共点为(右,e),

f'(x)=2x,则/(甸=2八,g[x)=F，则g，(甸=2能,所以，/，(Vej=g,(e),

所以，函数/(x)、g(x)的图象在公共点(五建)处有公切线y-e=2&'(x-/),即

y=2Vex-e.

构造函数夕"x)=%2一(2加工一0二工2一2血%+?=[一八『>0,所以，f(x)>2yjex-e.

构造函数2(%)=2e\nx-[2y/ex-e^=2elnx-2

当0<x<C时，以(X)〉0,此时函数3(%)单调递增;

当尤〉G时，必(x)<0,此时函数%(x)单调递减.

所以，氏(x)«02(八)=0,即g(x)42&x-e.

综上可知，“X)和〃(x)之间存在唯一的“隔离直线〃y=2j&-e,④正确.

故答案为：②④.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法:证明不等式/(X)〉g(x)(或/(X)<g(x))转化为证明/(X)-g(x)>0

(或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数故x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造"形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函

数.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题)已知正项数列｛4｝的前〃

项和为S“，其中％=2,4S“=m+l)2+4(〃N2,〃eN*).

⑴求｛%｝的通项公式，并判断｛%｝是否是等差数列，说明理由；

11111

(2)证明：当时，一+—+—+---+----<-.

2〃=i(\

【答案】(1)%=2；_I〃>2,数列｛与｝不是等差数列，理由见解析；

⑵证明见解析.

2

【分析】(1)由45“=(%+1『+4得，当心3时，4S„_1=(a„_1+l)+4,然后两式相减得

%~%7=2,即数歹U｛aJ从第2项起为等差数列，根据4s“=(。“++4和％=2得至I」g=3,

即可得到g-％=上2,数列｛0“｝不是等差数列，然后求通项即可；

(2)利用裂项相消的方法求」一+」一+」一+…+--一，即可证明

11111

+++…+>

【详解】(1)由45.=(q,+1)2+4得，当时，4S„_,=((/„_]+1)2+4,两式相减得

22

4册=(an+l)-(an_j+l),整理得(%+%)(%-2)=0,

因为数列｛%｝为正项数列，所以氏+《1片0,贝)]凡一％1-2=0,即。"-%一=2,

在4s“=（%+1『+4中，令〃=2,贝I」4s2=4%+4&=（g+1『+4，解得。2=3或-1（舍去）,

所以%-%=1,数列｛与｝从第2项起为等差数列，公差为2,

[2,77=1（、

所以。“=;,数列%不是等差数列.

[2n-l,n>2

（2）当"22时’丁.用=+=亍（2〃_]-2〃+]）'

111111

所以当“22时,---+----+----+•••+

°1°2。2。3。4。〃4〃+12n-l2〃+1

11

3-2(2/+1)

1八11111111_

因为2(2〃+1)所以3一班司<-,即----1----------1----------1--I-

D。2。3。3。43,

18.（2022•湖北•华中师大一附中高三期中）在锐角段5C中，角A,B,。所对的边分别为

a,b,c,已知省(/+/—c2)=26csiiM.

⑴求sin.2/+cos2B的取值范围;

⑵若。是45边上的一点，且3:08=1:2,CD=2,求AASC面积的最大值.

j_7

【答案】⑴

4?4

唔

【分析】（1）先求出C,再根据三角