天津市河北区2024年中考数学模拟试卷（含解析）

2024年天津市河北区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AOB-04B急

2.用（3分）由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的左视图是（）

flPhr

cinm

3.（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）

后EJ

4.（3分）二次函数尸BHX-3的对称轴为（）

A.x=3B.x=-3C.x=-2D.x=7

5.（3分）如图，点/、B、C都在。。上，若NZ仍=72°，则NZ”的度数为（）

1

6.（3分）下列说法正确的是（）

A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必定事务

B.天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨

C.数据6,6,7,7,8的中位数与众数均为7

D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成果的平均数相同，方差分别是S/

=0.3,S乙2=0.4,则甲的成果更稳定

7.（3分）已知x=2是一元二次方程*+矛+0=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.-3B.-6C.0D.-1

8.（3分）如图，四边形为平行四边形，E、户为切边的两个三等分点，连接〃；BE

A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1

9.（3分）如图，点。在反比例函数尸四（才＞0）的图象上，过点。的直线与x轴，y轴

X

分别交于点4B,且AB=3C,△/仍的面积为1,则A的值为（）

A.1B.2C.3D.4

10.（3分）关于x的一元二次方程（/Z7-5）*+2X+2=0有实根,则〃的最大整数解是（）

A.2B.3C.4D.5

11.（3分）如图，分别以等边三角形/回的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧，得到的

2

封闭图形是莱洛三角形，若46=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A.兀+近B.穴7^C.2兀MD.2兀-2%

12.（3分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点Z（-1,0）、点8（3,0）、点C

（4,%）,若点〃（苞，乃）是抛物线上随意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax+bx^c的最小值为-4a；

②若-1WX2<4,则0〈为W5a；

③若则质>4；

④一元二次方程cx+bx+a=0的两个根为-1和自

其中正确结论的个数是（）

A\

-134x

二、填空题（本大题共6小断，每小题3分，共18分）

13.（3分）tan30°=.

14.（3分）已知关于x的一元二次方程*-2«x+"=0有两个不相等的实数根，则k的取

值范围是.

15.（3分）已知扇形的弧长为2”，圆心角为60°,则它的半径为.

16.（3分）二次函数尸*-2x-1的图象的顶点坐标是.

17.（3分）如图，将绕点/逆时针旋转150°,得到△/庞；这时点8,C,，恰好在

同始终线上，则N8的度数为.

3

E

BCD

18.（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点/、B、C均在格点上，6c与网

格交于点P.

（I）△极7的面积等于；

（II）在/C边上有一点0,当尸0平分的面积时，请在如图所示的网格中，用无刻

度的直尺，画出匐，并简要说明点0的位置是如何找到的（不要求证明）.

三、解答题（本大题共6小愿，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.（10分）如图，一座大桥的两端位于河的48两点，某同学为了测量/、8两点之间

的河宽，在垂直于大桥4?的直线型道路，上测得了如下的数据：/破1=76.1°,ZBCA

=68.2°,5=42.8米.求大桥48的长（精确到1米）参考数据：sin76.1°-0.97,

cos76.1°-0.24,tan76.1°心4.0,sin68.2°心0.93,cos68.2°«0.37,tan68.2°

-2.5

20.（10分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形40关于y轴对称，边AD

在x轴上，点8在第四象限，直线劭与反比例函数旷=处的图象交于点8、E.

X

（1）求反比例函数及直线班的解析式;

4

（2）求点£的坐标.

21.（10分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试,

并把测试成果分为"C、6、/四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解

答下列问题:

（1）a=,b=,c=；

（2）扇形统计图中表示，等次的扇形所对的圆心角的度数为度；

（3）学校确定从4等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参与全市中学

生1000米跑竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.

22.（12分）如图，4?为。。的直径，如切。。于点G交的延长线于点〃且/斤2

（I）求/〃的度数；

（II）若。。的半径为加求切的长.

23.（12分）在中，E、户分别为线段/反/C上的点（不与/、B、C重合）

5

(I)如图1,若EF〃BC,求证：:△峡.空;

SAABC皿AC

(II)如图2,若厮不与6c平行，(/)中的结论是否仍旧成立？请说明理由.

24.(12分)如图，抛物线尸《了2+加+。与直线尸｝+3交于4，6两点，点/在y轴上,

抛物线交x轴于C、。两点，已知C(-3,0)

(I)求抛物线的解析式；

(II)在抛物线对称轴/上找一点M,使|物-加|的值最大，恳求出点〃的坐标及这个最

大值.

6

2024年天津市河北区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的）

1.（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：从不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

6、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

a既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；

A既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的学问，轴对称图形的关键是找寻对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要找寻对称中心，旋转180度后

两部分重合.

2.（3分）由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

【分析】依据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，其次层左边一个小正方形,

7

故选：D.

【点评】本题考查了简洁组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

3.（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）

【分析】依据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图

形进行分析.

【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不相同.

故选：C.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，驾驭定义是关键.留意全部的看到的棱都应表

现在三视图中.

4.（3分）二次函数尸丁+4矛-3的对称轴为（）

A.x=3B.x=-3C.x=-2D.x=l

【分析】把二次函数化成顶点式即可求得答案.

【解答】解：•••二次函数y=x?+4x-3,

/.尸（x+2）2-7,

.,.二次函数y=y+4x-3的图象的对称轴为：x=-2,

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质.抛物线的顶点式y=a（x-/7）2+a,顶点坐标为（右,

A），对称轴为直线x="

5.（3分）如图，点从B、C都在。。上，若///=72°,则///的度数为（

C.36°D.72

【分析】依据圆周角定理，由//加=72°,即可推出结果.

8

【解答】解：利=72°,

/.ZACB=36°.

故选：C.

【点评】本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行仔细分析.

6.（3分）下列说法正确的是（）

A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必定事务

B.天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的时间会下雨

C.数据6,6,7,7,8的中位数与众数均为7

D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成果的平均数相同，方差分别是

=0.3,Sd=0.4,则甲的成果更稳定

【分析】依据必定事务的概念、可能性的意义、众数和中位数及方差的定义逐一推断即

可得.

【解答】解：A.“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事务，此选项错误；

B.天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的可能性会下雨，此选项错误；

C.数据6,6,7,7,8的中位数是7,众数是6和7,此选项错误；

D.甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成果的平均数相同，方差分别是S/

=0.3,S乙2=0.4,由甲的方差小值甲的成果更稳定，此选项正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查概率的意义，解题的关键是驾驭必定事务的概念、可能性的意义、

众数和中位数及方差的定义与意义.

7.（3分）已知x=2是一元二次方程*+x+以=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.-3B.-6C.0D.-1

【分析】设方程的另一根为a,由根与系数的关系可得到a的方程，可求得/的值，即可

求得方程的另一根.

【解答】解：设方程的另一根为a,

：x=2是一元二次方程/+矛+0=0的一个根，

.'.6+^=0,

解得m=-6,

贝lj2a=-6,

解得a=-3.

9

故选：A.

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程a*+6x+c=0«W0）

的根与系数的关系为：Xi+X2=--X19X2=—.

aa

8.（3分）如图，四边形相切为平行四边形，E、尸为切边的两个三等分点，连接"；BE

父于点G,则S^EFG：S&ABG=（）

【分析】利用相像三角形的性质面积比等于相像比的平方即可解决问题；

【解答】解：・・•四边形/颇是平行四边形，

：・CD=AB,CD//AB,

VDE=EF=FC,

：.EF：AB=1：3,

:ZFCsMBAG,

.SAEFG_/EF、2_1

•百=屈=§'

故选：c.

【点评】本题考查平行四边形的性质、相像三角形的性质等学问，解题的关键是敏捷运

用所学学问解决问题，属于中考常考题型.

9.（3分）如图，点C在反比例函数了=k（*＞（））的图象上，过点。的直线与x轴，y轴

X

分别交于点4B,且AB=BC,△/出的面积为1,则A的值为（）

【分析】依据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点。和点8的坐标，再依据△/利

10

的面积为1,即可求得"的值.

【解答】解：设点力的坐标为（a,0）,

:过点。的直线与x轴，y轴分别交于点4B,且AB=BC,的面积为1,

.•.点C（-a,工），

a

点6的坐标为（0,增），

2a

-k

；•k石=1，

-2~

解得,k=4,

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数系数次的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比

例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题须要的条件，

利用数形结合的思想解答.

10.（3分）关于x的一元二次方程（〃-5）*+2矛+2=0有实根，则0的最大整数解是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】依据方程有实数根得出△》（）且0-5WO,求出不等式的解集即可.

【解答】解：•关于x的一元二次方程（.a-5）*。2*+2=0有实根，

.'.△=22-4（7-5）义220且必-5#0,

解得：/W5.5且0不5,

m的最大整数解为4,

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题

的关键.

11.（3分）如图，分别以等边三角形/8C的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的

封闭图形是莱洛三角形，若46=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A.冗+«B.H-V3C.27T-V3D.271-273

11

【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相

加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可.

【解答】解：过A作ADVBC^D,

是等边三角形，

：.AB=AC=BC=2,ABAC=AABC=Z.ACB=600,

'：ADLBC,

：.BD=CD=\,AD=MBD=M，

c-607TX22_2

D扇形BAC一------------二■w儿,

3603

莱洛三角形的面积S=3xVm-2X73=2"-273>

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能依据图形得出莱洛三角形

的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

12.（3分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点4（-1,0）、点8（3,0）、点。

（4,yi）,若点〃（上2,乃）是抛物线上随意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax+bx+c的最小值为-4a；

②若-1WX2W4,则0W%W5a；

③若为>%,则£2>4；

④一元二次方程cx+bx+a=0的两个根为-1和寺

其中正确结论的个数是（）

12

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=a^-2ax-3a,配成顶点式得尸3（x-1）

2-4a,则可对①进行推断；计算x=4时，尸:/5・1=54则依据二次函数的性质可对

②进行推断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行推断；由于6=-2a,。=-3分

则方程c*+6x+〃=0化为-3a*-2ax+a=0,然后解方程可对④进行推断.

【解答】解：抛物线解析式为（x+1）（x-3）,

即y=ax-2ax-3a,

*.*y=a（x-1）2-4a,

・••当x=l时，二次函数有最小值-48所以①正确；

当x=4时，尸〃・5・l=5a,

,当-1WX2W4,则-4后%所以②错误；

・・•点C（4,5a）关于直线x=l的对称点为（-2,5〃），

・•・当丹＞%,则照＞4或X＜-2,所以③错误；

■:b=-2a,c=-3a,

・••方程cx+bx+a=O化为-3ax-2ax+a=0,

整理得39+2xT=0,解得E=T,£2=当，所以④正确.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数尸af+6x+c（a,b,c是常数,

a=0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

二、填空题（本大题共6小断，每小题3分，共18分）

13.（3分）tan30°=强.

-3-

【分析】依据特别角的三角函数值即可求解.

13

【解答】解：tan30。=1.

3

故答案是：返.

3

【点评】本题主要考查了特别角的三角函数值，正确对特别值的记忆是解题的关键.

14.（3分）已知关于x的一元二次方程2Mx+k=Q有两个不相等的实数根，则4的取

值范围是k<3.

【分析】依据一元二次方程的根的判别式，建立关于左的不等式，求出A的取值范围.

【解答】解：，a=l,b=-2娓,c=k,方程有两个不相等的实数根，

.,.△=Z>2-4ac=12-4Q0,

：.k<3.

故填：k<3.

【点评】本题考查了根的判别式.

总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：

（1）△>00方程有两个不相等的实数根；

（2）△=。。方程有两个相等的实数根；

（3）△<（）。方程没有实数根.

15.（3分）已知扇形的弧长为2口，圆心角为60°,则它的半径为6.

【分析】依据弧长公式干脆解答即可.

【解答】解：设半径为r,

解得：r=6,

故答案为：6

【点评】此题考查弧长公式，关键是依据弧长公式解答.

16.（3分）二次函数厂=数-2x-1的图象的顶点坐标是（1,-2）.

【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，可求顶点坐标.

【解答】解：,.，=f-2x-1=（x-1）2-2,

•••抛物线顶点坐标为（1,-2）.

故答案为：（1,-2）.

【点评】本题考查了抛物线的顶点式性质.抛物线的顶点式y=a（x-加2+k,顶点坐标

为Qh,k）.

14

17.(3分)如图，将绕点/逆时针旋转150°,得到△/庞，这时点8,C,，恰好在

同始终线上，则/名的度数为15。

【分析】先推断出/掰小150°,AD^AB,再推断出△应。是等腰三角形，最终用三角形

的内角和定理即可得出结论.

【解答】解：：将△/以绕点/逆时针旋转150°,得到

：.ZBAD=15Q°,AD=AB,

,:点、B,C,，恰好在同始终线上，

...△屈〃是顶角为150°的等腰三角形，

NB=ZBDA,

；./8=工(180°-/BAD)=15°,

2

故答案为：15。.

【点评】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，

推断出三角形力劭是等腰三角形是解本题的关键.

18.(3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4B、C均在格点上，8c与网

格交于点P.

(I)△/回的面积等于9；

(II)在AC边上有一点0,当园平分△Z6C的面积时，请在如图所示的网格中，用无刻

度的直尺，画出PQ,并简要说明点0的位置是如何找到的(不要求证明)选取8c中点

D,选取点《使小〃6C,连接的再取至中点片连接阳交/C于点0,连接园即为

所求.

15

【分析】(I)利用割补法求解可得；

(II)选取优■中点D,选取点£使AE//BC,连接AE,再取四中点F,连接DF,交AC

于点&连接霖，即可得.

【解答】解：(I)的面积等于5X4-LxiX4-1-X2X4-』X2X5=9,

222

故答案为：9；

(II)如图，选取%中点〃选取点£使/£〃比；连接再取/£中点孔连接加;

交4C于点。，连接制即为所求.

理由：连接助交国于0.

,:BD=CD,

••S^ABD=S^ADCf

'：PA//DF,

・・S/^APQ=S[\APD,

••S^AOGT^SMOD,

••s四边形腑0=S/\PCQ，

・・/0即为所求.

16

故答案为：选取6c中点〃选取点£使连接再取〃中点凡连接用交

/C于点0,连接尸0即为所求.

【点评】本题主要考查作图-困难作图，解题的关键是学会利用平行线的性质，利用等

高模型解决面积问题，属于中考常考题型.

三、解答题(本大题共6小愿，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.(10分)如图，一座大桥的两端位于河的48两点，某同学为了测量/、6两点之间

的河宽，在垂直于大桥4?的直线型道路/上测得了如下的数据：/妫=76.1°,NBCA

=68.2°,切=42.8米.求大桥48的长(精确到1米)参考数据：sin76.1°-0.97,

cos76.1°"0.24,tan76.1°^4.0,sin68.2°^0.93,cos68.2°20.37,tan68.2°

【分析】设"=x米，则/C=(矛+42.8)米.在RtzX/欧中，依据三角函数得到48=2.5

(x+42.8),在Rt△/初中，依据三角函数得到43=4x,依此得到关于x的方程，进一

步即可求解.

【解答】解：设49=x米，则47=(x+42.8)米.在中，tanZ^G4=—,

AC

AR

.•.A5=AOtanN6a=2.5(x+42.8).在RtZi/M中，

AD

.•.46=4>tan/〃M=4x.A2.5(x+42.8)=4x,解得x^71.33,

.•./6=4x=4X7L33心285,

答：26的长约为285米.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是

用数学学问解决实际问题.

20.(10分)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形/犯9关于y轴对称，边AD

在x轴上，点6在第四象限，直线劭与反比例函数了=旦的图象交于点6、E.

X

(1)求反比例函数及直线物的解析式;

17

(2)求点£的坐标.

【分析】(1)依据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点/、B、，的坐标，依据

待定系数法，可得函数解析式；

(2)依据两个函数解析式，可的方程组，依据解方程组，可得答案.

【解答】解：(1)边长为2的正方形40关于y轴对称，边在段在x轴上，点6在第

四象限,

：.A(1,0),2(-1,0),6(1,-2).

:反比例函数y=皿的图象过点B,

X

.ID_

..—=-2，m=-Q2,

反比例函数解析式为y=-2,

x

设一次函数解析式为y=kx+b,

y=kx+b的图象过8、，点,

[k+b=-2k=-l

，解得

I-k+b=0b=-l

直线劭的解析式尸-x-1；

(2)...直线M与反比例函数了=皿的图象交于点£,

X

产G，解得［x=-2或｛X=1

y=-2

,:B(1,-2),

：.E(-2,1).

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利

用方程组求交点坐标.

21.(10分)为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试,

18

并把测试成果分为"C、6、/四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解

答下列问题：

(1)a=2,b—45,c—20；

(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为72度;

(3)学校确定从力等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参与全市中学

生1000米跑竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.

【分析】(1)依据/等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以，等次百分比可得a

的值，再用反C等次人数除以总人数可得尻c的值；

(2)用360°乘以。等次百分比可得；

(3)画出树状图，由概率公式即可得出答案.

【解答】解：(1)本次调查的总人数为12・30%=40人，

1QQ

；.a=40X5%=2,6=3X100=45,c=-X100=20,

4040

故答案为：2、45、20；

(2)扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°X20%=72°,

故答案为:72；

(3)画树状图，如图所示:

开始

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个,

19

故尸(选中的两名同学恰好是甲、乙)=义=《.

126

【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要

娴熟驾驭.

22.(12分)如图，9为。。的直径，如切。。于点G交26的延长线于点，，且N〃=2

(I)求/，的度数；

(II)若。。的半径为如求必的长.

【分析】(I)由的=〃C,得所以/C0D=2N4=/D,因为如切。。于点

C,所以/。切=90°,可得/A/C勿=45°；

(II)在等腰直角三角形。①中，OC=OB=m,可求得勿=血如依据必可得

出M的长.

【解答】解：(1)；04=%,

：.ZA=ZACO,

：.ACOD=ZA+ZACO=2AA,

：.ZD=Z.COD,

:PD切。。于点C,

：.ZOCD=90°,

；./，=N6W=45°.

(II)'：ZD=ZCOD,OC=OB=m,

:.CD=OC=m,

OD=\p2Jn，

：.BD=OD-OB=(«T)m.

20

【点评】本题考查圆的切线的性质，勾股定理等学问.驾驭切线的性质是解题的关键.

23.（12分）在中，E、户分别为线段/8、/C上的点（不与/、B、C重合）

（I）如图1,若EF〃BC,求证：沪生理■•黑；

SAABC皿AC

【分析】（I）证明依据相像三角形的性质得到比例式，依据相像三角

形的面积比等于相像比的平方证明结论；

（II）作加_/6于〃，FN1AB千N,证明△/2sA4£c,得到里=空，依据三角形的

CMAC

面积公式计算，证明结论.

【解答】（I）证明：:•瓦〃6G

J.^AEF^/^ABC,

.AE=AF

AB-AC，

.SAAEF_（AE）2AE.AF

,△ABCABABAC

（n）?"不与8c平行时，（/）中的结论仍旧成立，

理由如下：作酸L/3于必FN1AB千N,

则CM//FN,

:.XANFsXAMC,

21

•FN=AF

,,CM-AC

图2

【点评】本题考查的是相像三角形的判定和性质，驾驭相像三角形的判定定理和性质定

理是解题的关键.

24.（12分）如图，抛物线y=\x2+6x+c与直