部编八年级数学上册专项训练：完全平方公式与几何图形（解析版）

专题26完全平方公式与几何图形

1.如图，通过计算大正方形的面积,可以验证一个等式，这个等式是()

A.(x+j+z)2=x2+y2+z2+2y+xz+yzB.(x+_y+z)2=x2+y2+z+2xy+xz+2yz

C.(x+j+z)2=x2+y2+z2+2Ay+2xz+2jzD.(x+y+z)2=(x++2x=+2yz

【答案】C

【分析】根据大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积，即可解答.

【详解】根据题意可得：大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

故选：C

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是明确大长方形的面积=3个正方形

的面积+6个小长方形的面积.

2.根据图中面积的等量关系可以得到的等式是()

B.(a—b)~—ci~—2ab+b~

C.a{a+b}=a2+ab2D.a(a-b)=a1-ab

【答案】B

【分析】分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中各个部分面积之间的关系进行解答

即可;

【详解】解：大阴影正方形的边长为a-b,所以大阴影正方形的面积为(a-6)2,

大阴影正方形面积也可以看成从边长为。的正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再减去

两个长为(a—b),宽为6的长方形的面积,

即a2-b2-2(a-b)b=a2+b2-lab,

所以有(。-6)2=02-2"+〃，

故选：B.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的方法表示图形的面积.

3.如图，4张边长分别为。、6的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是()

A.(a+-(a=4°6B.(a+/?)"=a2+2ab+b~

C.(a-Z))2=a2-2ab+b2D.(a+b)(a-b)=a2-b2

【答案】A

【分析】根据外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积即可得.

【详解】解：由图可知，外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积,

贝°(a+-(a-6)2=4ab,

故选：A.

【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，找出图中的面积关系是解题关键.

4.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成

四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积

C.a2-b2D.(a-bp

【答案】D

【分析】中间部分的面积等于大正方形的面积减去长方形的面积，表示出大正方形的边长，则面积

可以求得;

【详解】解：大正方形边长是。+6,面积是(a+6『,

中间部分的面积是（a+6）~-2a里b=a2+b2-lab=（a-b\,

故选：D.

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键.

5.直接依据图中图形面积之间的关系，通过计算可以表示的等式是（）

L—a

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+6)2=a2+2ab+b2

C.2a(a+6)=2a2+2abD.(a+6)(a-b)—a2-b2

【答案】B

【分析】根据大正方形面积=两个小正方形面积+两个长方形面积求解即可.

【详解】解：大正方形面积=（。+6『，两个小正方形面积+两个小长方形面积=/+/+2加,

・••大正方形面积=两个小正方形面积+两个长方形面积

（a+=a?+2ab+b~,

故选B.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键.

6.如图，正方形中阴影部分的面积为（）

A.a2-b2B.a2+b2D.lab

【答案】D

【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可.

【详解】解：阴影部分的面积为:

a+bY-—a1x2--b2x2=lab,

722

故选：D.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面

积之间的关系是正确解答的关键.

7.如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形.如果大正方形的面积为

【答案】2石

【分析】根据图形的面积，设矩形的长为。，宽为6,得出(。+6)2=75,(.-6)2=3,进而得到。+6=5

^3,a-b-y/3,求出6即可.

【详解】解：设矩形的长为。，宽为6,则有(。+6)2=75,(“-6)2=3,

所以a+6=5#',a-b-^3,

所以b-2y/3,

即矩形的宽N8为26，

故答案为：2G.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，二次根式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正

确解答的前提.

8.把长和宽分别为。和6的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形

的面积均为6,大正方形的面积为25,则(a-b)2的值为

【答案】1

【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去先正方形的面积列出等式即可.

【详解】解：•.・图中每个小长方形的面积均为6,大正方形的面积为25,

二中间的小正方形的面积为：(a-6)2=(a+6y-4a6=25-6x4=l,

・•.(。-6)2的值为1.

故答案为：L

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系是解决问题的关

键.

9.边长为。的正方形/2CD与边长为6的正方形。EFG按如图所示的方式摆放，点/,D,G在

同一直线上.已知。+6=10,ab=24.则图中阴影部分的面积为.

【答案】14

【分析】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可.

【详解】解：由S阴影=S正方形HBCD+S正方形。EFG—SMBC—S“FG可得，

S阴影=标+〃-；〃-；6(。+6)

1,1,1

=—屋+—b2--ab

222

=­(a2+b2-ab)

2

[(a+b)2-3ab]

=-x(100-72)

2

=14,

故答案为：14.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用

代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键.

10.如图，在边长为q(cm)的大正方形内放入三个边长都为6(cm)(〃>6)的小正方形纸片，

这三张纸片没有盖住的面积是4cm2,则a2~2ab+b2的值为

【答案】4

【分析】由题意得到/3=8C=a,AD=EF=b,求得(a-b)2=4,于是得到结论.

【详解】解：如图，由题意得，AB=BC=a,AD=EF=b,

'-BD=a-bjBE+CF=a-b,

・••这三张纸片没有盖住的面积是4c/,

•••(。-6)2=4,

•■a2-2ab+b2=(a-b)2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的识别图形是解题的关键.

11.如图，已知两个正方形的边长分别为。、b(a>b),如果4+6=6,ab=8,那么阴影部分的面积

是.

【答案】6

【分析】根据阴影部分的面积等于S正方眼BCD+S正方形CEFG-SyABE-$VBFG，结合完全平方公式的变形计

算，即可求解.

【详解】解：根据题意，得

阴影部分的面积二S正方形43CZ)+8正方形方尸6-SvABE~BFG

=a2+b2-_gb"+b)

=—a2+—--ab

222

=；(〃+32_)

=6.

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据题意表示出各个部分的面积，再根据各个

部分面积之间的关系得出答案是解题的关键.

12.如图，"赵爽弦图"由4个完全一样的直角三角形所围成，在即/45C中，AC=b,BC=a,

ZACB=90°,若图中大正方形的面积为34,小正方形的面积为4,则6的值为.

【答案】8

【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：苏+炉=34,(b-a)2=4,再根据四个直角三角形的面

积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2a6,然后利用完全平方公式整理即可得解.

【详解】解：•••大正方形的面积为34,小正方形的面积为4,

-'-a2+b2=34,(b-a)2=4,

；.4x3.6=34-4=30,

■,-2ab=30,

(a+b)2-(b-a)2+4aZ?=4+60=64,

-'-a+b=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和

直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键.

13.试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：

O图1

方法(一)：;

方法(二)：;

从中你有什么发现，请用等式表示出来：;

利用你发现的结论，解决下列问题：

如图2,两个正方形的边长分别为a,b,且。+6=仍=9,求图2中阴影部分的面积.

【答案】a2+b2,(a+b^-2ab-a2+b2=(a+bf-2ab；27

【分析】方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积一两个小长方形面积；进而由题意可

直接得到；然后由阴影部分面积=正方形边长为。的面积+正方形为b的面积-2个三角形的面积，

可求阴影部分的面积.

【详解】解：由题意可得：

方法i：s阴影部分的面积=q2+g2,

方法2：S阴影部分的面积=(°+匕)2-2ab,

故答案为：a2+b2,(a+by-2ab；

,：a2+Z>2=(a+Z))2-lab,

故答案为：a2+b2=(a+b)2—2ab；

阴影部分的面积俗+田,b

1217217

=—a+—b——ab,

222

1

阴影部分的面积=万[(。+6)29-3ab]

1,

=5*9-3x9)

=27

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是用代数式表示图形的面积.

14.利用图1中边长分别为a,6的正方形，以及长为。，宽为6的长方形卡片若干张拼成图2(卡

片间不重叠、无缝隙)，可以用来解释完全平方公式：(0+6)2=/+2仍+乩

（1）填空：（2a+3）2=4/+尉+9,贝1|斤=；（5x+m）2=25x2+10x+»,贝！|相=,n=

(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式：

⑶利用上述拼图的方法计算：(2。+6)(。+36)=.

【答案】(1)12,1,1

⑵(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b~

⑶2/+7。6+3/

【分析】(1)利用整式的乘法和恒等式进行列式计算即可；

(2)利用矩形的面积公式和割补法两种方法计算图形的面积；

(3)利用2个边长为。的正方形和3个边长为b的正方形和7个小矩形拼成一个长和宽分别为2a+6

和a+36的矩形.

(1)

解：•■•（2fl+3）2=（2a）2+2x2ax3+32=4a2+12a+9

：.k=n

（5x+加『二（5x）2+2x5xxm+m2=25x2+10x+n

10m=10m=l

m'n'解得:

n=l

（2）

解：由题意得:

图3的面积=(2a+b)(a+6),

图3的面积=2Q2+3"+〃，

••・利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式：（2。+6）（。+6）=2/+3。6+〃；

（3）

如图：利用2个边长为。的正方形和3个边长为6的正方形和7个小矩形拼成一个长和宽分别为

2a+b和a+36的矩形，

则矩形的面积：S=（2a+b）（a+3b）；S=2a2+lab+3b2,

即可得出：（2。+6）（。+36）=2/+7。6+3〃，

故答案为：2a2+7“6+3b2-

【点睛】本题考查多项式乘多项式和图形面积.解题的关键是利用面积公式和割补法表示同一图形

的面积.

15.完全平方公式（“±4=/±29+〃进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题.

如：若x满足（9-x）（x-4）=4,求（9一x>+（x-4）2的值.解题思路；由（a+bp=/+2"+/得

a+b2=（a+b）2—2ab,可设9—x=a,x—4=b,贝M9_x）（尤-4）=a6=4,

222222

a+6=（9-x）+（x-4）=5,（9-x）+（x-4）=a+/,=（a+/>）-2aZ?=5-2x4=17；

⑴请仿照上面的方法求解下面问题：

①若x满足（5-x）（x-2）=2,求（5一（x-2『的值；

②若x满足（9+x）（2+x）=4,求（9+》）2+（2+犷的值；

（2）应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段43上的一点，以NC,8C为边向两边作正方

形，设/3=6,两正方形的面积和^+邑=18,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴①(5-x>+(x-2)2的值为5；②若(9+xy+(2+x>的值为57

9

(2)S阴影=—

【分析】(1)①设5—x=x-2=b,根据题意进行计算即可得；②设9+X=Q,2+x=b,根

据题意进行计算即可得；

(2)设/C=a,BC=CF=b,根据题意可得时=9,即可得.

(1)

解：①设5-x=a,x-2=b,

贝ij(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3,

(5—x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+Z))2—2ab=3?-2x2=5；

②设9+x=a,2+x=b,

贝ij(9+x)(2+x)=ab=4,a—b=(9+x)—(2+x)=7,

・•.(9+»+(2+X)2="+〃=(Q—6)2+2^=72+2x4=57

(2)

解：设/C=Q,BC=CF=b,

贝IJQ+6=6,/+/=18,

va2+b2=(a+Z?)2-2ab,

.•・18=36-2/

ab=9

c171c9

*,•»S|7sz=_cib=_x9=—.

阴B影222

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式.

16.两个边长分别为。和6的正方形(a>b)如图放置(图1,2,3),若阴影部分的面积分别记

为S],s2,s3.

⑴用含。，b的代数式分别表示邑，53；

(2)若S|=l,$3=3,求星的值；

⑶若对于任意的正数。、b,都有岳+〃电=左邑(见左为常数)，求加，上的值.

【答案】(1)H=(a—6)；S?=—5ab+；S3=

7

(2)邑=/

(3)"?=2,k=2

【分析】(1)图1中，直接求出阴影的边长，都是图2中，两个正方形的面积的和减去两个

白色三角形的面积的和；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2.

(2)把岳=1,$3=3,代入(1)中，便可解出仍=6,/+〃=13再根据完全平方公式的变形，

即可求解；

(3)把(1)中的三个等式代入岳+〃电=历2,经过整理，即可求解.

(1)

解：图1中，阴影的边长都是a—A，所以S|=(a-b)2；

图2中，阴影面积S?=(/+/)—-a2+—(6z+/?)&=-~~ab^—b2；

乙乙乙乙乙

图3中，S=—ab.

32

(2)

解：当5=1,&=3时,

=1

<17r，

—ab=3

12

22

解得ab=6,a+b=139

=-a2--ab+—b2=—(a2+b2}--ab=--3=—

2222、7222

(3)

22

解：因为耳=（°一6）2；s2=^a-^ab+^b-S3=^ab.

对于任意的正数。、b,都有岳+加星=裕2（加，左为常数），

（a-6）2=k^^a2-^ab+-^b2j,

整理得：2（/+b2^+ab^m-4）=^a2+b2^k+ab（^-k）,

由于加，上为常数，故由待定系数法得：

左=2,m-4=-k,

解得m=2,k—2.

【点睛】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力,

从而求得机，左值.

17.如图1是一个长为4a、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四

块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）

⑴观察图2请你写出(a+6)2,(a-6)2,而之间的等量关系是；

9

⑵根据(1)中的结论，若x+y=5,x-y^-,则x-y=____________；

4

⑶拓展应用：若(2021-加＞+(加-2022)2=2023,求(2021-加)(加一2022)的值.

【答案】(1)(a+6)2=(a-6)2+4"

(2)±4

(3)(2021-m)(m-2022)=-1011

【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用

含。和6的代数式表示可得出答案；

(2)由(1)可得出(x-y)2=(x+y)2-4孙，即可得出答案；

(3)由[(2021-m)+(m-2022)]2=(2021-m)2+(m-2022)2+2(2021-m)(m-2022),即可

求解.

(1)

解：由图2可知，大正方形的边长为。+6,内部小正方形的边长为6-a,小长方形的长为6,宽为

a,

・・・大正方形的面积为Ca+b)2,小正方形的面积为Qb-a)2,小长方形的面积为时,

由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，

即(a+b)2=Qb-a)2+4ab=Ca-b)2-\~^ab.

故答案为：Q+b)2=Sb>2+4班.

(2)

9

解：\-x+y=5,x-y=~,

9

・•・(x-y)2=(x+y)2-4xy=52-4x—=16,

・・・x-y=±4.

故答案为：±4.

(3)

解：(2021-ZM)2+(m-2022)2=2023,

[(2021-w)+(w-2022)及=(2021-W)2+(加-2022)2+2(2021-m)(m-2022),

•­-1=2023+2(2021-m)(机-2022),

(2021-w)(m-2022)=yx(l-2023)=-1011.

【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关

键.

18.图。是一个长为2加、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图6

⑴你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？

⑵请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.

方法1:_________________________________________________

方法2：_________________________________________________

⑶观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

代数式：(俏+")2,(a-"J

⑷根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：

若a+b=7,ab=5,则(a-6)?=.(请直接写出计算结果)

【答案】(1)W-M

(2)方法1：(m+«)2-4mn,方法2：(m-n)2

(3)(m-n)2=(加+")2-4mn

(4)29

【分析】(1)观察得到长为7〃，宽为〃的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；

(2)可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以

直接利用正方形的面积公式得到；

(3)利用(2)中图b中的阴影部分的正方形面积得至！］(机-〃)2=(m+〃)2-4m"；

(4)根据(3)的结论得到(a-by=(a+b>+4仍，然后把a+6=7,ab=5代入计算.

(1)

解：图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为加，宽为〃的长方形的长宽之差，即用一〃；

(2)

解：方法一：图。中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即

(rn+«)2—4mn；

方法二：图6中的阴影部分的正方形的边长等于用-〃，所有其面积为(加-

故答案为(m+n)2-4mn；(m-n)2

(3)

解：(m-w)2=(m+„)2-4mn；

(4)

解：(a-b)2=(a+b)2-4ab,

当a+b=7,ab-5,

:.（a_b¥=72-4x5=29.

故答案为29

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公

式.

19.如图1是一个长为4°、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四

块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）.

图1图2

⑴观察图2请你写出（a+6）2、（a-®）?、必之间的等量关系是:

,,9

（2）根据（1）中的结论，右x+y=5,x»y=~,则x-y=；

⑶拓展应用：若(2021-加＞+(^-2022)2=7,求(2021-加)(m-2022)的值.

【答案】（1）（。+6）2=（。-6）2+4刈

⑵±4;

(3)(2021-m)(w-2022)=-3.

【分析】（1）根据题意大正方形的边长为。+6,大正方形的由4个长为6,宽为。的长方形，中间

正方形边长为b-a组成，正方形和正方形的面积计算方法进行计算即可得出答案；

（2）根据（1）中结论代入计算即可出答案；

（3）根据题意可得（2021-加）+（加-2022）=-1,则［（2021-m）+（m-2022）］2=（2021-%）2+

（加-2022）2+2（2021-加）（m-2022）,代入计算即可得出答案.

（1）

解：根据题意由图②可得，

贝［J（a+=（＜7-+4ab.

故答案为：（。+6）2=（"6）2+4成；

（2）

解：根据（1）中结论可得，

（a+b）2=（a-b）2+4ab,

9

则52=。7)2+4'7，

4

可得(x-y)?=16,

即x-y=+4.

故答案为：±4；

(3)

解：•••(2021-m)+(m-2022)=；,

[(2021-m)+(m-2022)]?

=(2021-加炉+(〃7-