2025年高考数学大题复习：立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题（原卷）

专题09立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的

问题

1.如图，在多面体力BC—DEFG中，平面A8C||平面DEFG,底面A8C是等腰直角三角形，AB=BC=五,

侧面ACGD是正方形，平面ABC,且F8||GC,GE1DE.

B

(1)证明：AE1GE.

(2)若。是DG的中点，OE||平面8CGF,求直线OE与平面BDG所成角的正弦值.

2.如图，在三棱柱ABC—&B©中，AB=BC,ABX=BXC.

(1)证明：AC1BB

(2)若AB=BBi=2,ABt=V6,AABC=120°,点£为力的中点，求三棱锥C-BBiE的体积.

3.《九章算术・商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖席.阳马居二，鳖席居一,不易

之率也.合两鳖II三而一，验之以茶，其形露矣.”刘徽注：“此术席者，背节也，或日半阳马，其形有似鳖肘,

(1)若48=1,BC=2,CD=1,试求异面直线/C与AD所成角的余弦值.

(2)若BDJ.CD,AB=BD=CD=2,点尸在棱/C上运动.试求△PBD面积的最小值.

4.如图，在四棱锥P—HBCD中，四边形4BCD是正方形，PD=4D=1,PD_L平面4BCD,点E是棱PC的

中点，点F是棱PB上的一点，且EFJ.PB.

(1)求证：P4//平面EDB；

(2)求点F到平面EDB的距离.

5.如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，乙4。。=90。，4B=1,4。=2,四边形48EF为正

方形，平面ABEF1平面力BCD,P为DF的中点，AN1CF,垂足为N.

⑴求证：ANl¥ffiC£>F；

(2)求异面直线B尸与PC所成角的正切值;

(3)求三棱锥B-CEF的体积.

6.如图，在四棱锥P—4BCD中，PD=PB,底面A8CD是边长为2的菱形.

(1)证明：平面PAC_L平面力BCD；

⑵若PD1AB,PA1PC,且/BAD=p求四棱锥P-ABCD的体积

7.如图，在三棱柱4BC—4181的中，侧面BBiCiC为菱形，NCBB1=60。,AB=8C=2,4C=AB】=VI

(1)证明:平面ACBi1平面BBiCiC；

(2)求二面角力-①的一名的余弦值.

8.如图，在直三棱柱ABC—4181cl中，AC1BC,且AC=BC,4B==4,E为7Ml的中点，F为线段8停

上一点，设CF=4CBi.

⑴当4=决寸，求证：EF||平面4BC.

(2)当三棱锥Ci-ABF的体积为即寸，求4的值.

9.如图，四棱柱436-4/1的。1的侧棱A4J底面N3CD,四边形/BCD为菱形，E,尸分别为C。，441

的中点.

(1)证明:四点共面；

(2)若48=AAi=2,乙DAB=泉求点A到平面8£7内F的距离.

10.如图所示，已知三棱台力—中，AB11BBX,CB11BBX,Z.ABBX=^CBB1=60°,AB1BC,

BB1=1.

(1)求二面角力-B1B-C的余弦值;

(2)设E,F分别是棱力C,4Ci的中点，若EF1平面ABC,求棱台力BC—公/的的体积.

参考公式：台体的体积公式为0台体=1(S上+卜上S下+S下)儿

11.如图，在四棱锥P—4BMN中，△PNM是边长为2b的正三角形，AN1NP,AN//BM,AN=3V3,BM=

V3,AB=2V6,C,D分别是线段ZB,NP的中点.

A

(1)求证：CD〃平面PBM；

(2)求四棱锥P-力BMN的体积.

12.如图所示，在直四棱柱力BCD-力i/CiDi中，ABIICD,ABLAD,且48=力。=1,CD=2,M是。小的

中点.

(1)证明：BCIBiM；

(2)若1CM,求四棱柱力BCD-48传道1的体积.

13.在四棱锥P—4BCD中，△BCD为等边三角形，^DAB=120°,AD=AB=PD=PB=2,点£为PC

的中点.

p

(1)证明：8£7/平面PAD；

⑵已知平面PBDL平面4BCD,求三棱锥P-4BE的体积.

14.如图，平面多边形2BCDE,EA=ED=AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,/.BAD=p将△ADE沿

着AD翻折得到四棱锥P-A8CD,使得PB=粕,F、G分别是P8、CD的中点.

(1)证明：FG〃平面PAD；

⑵求点G到平面P4B的距离.

15.如图，矩形力BCD所在的平面与平面4BE垂直，且4E_L8E.已知力B=24。=2BE=2.

⑴求证：BE1DE；

(2)求四棱锥E-ABC。的表面积.

16.已知四棱锥P—HBCD的底面是正方形，ACCBD=O,PA=PD=衣,P0=用,力。=2,E是棱PC上任

(1)求证：平面BDE1平面P4C；

(2)若PE=2EC,求点力到平面BDE的距离.

17.在三棱锥。—ABC中，AB=8C=OB=2,N4BC=120°,平面BC。1平面SBC,S.OB1AB.

(1)证明：OB_LAC；

(2)若F是直线OC上的一个动点，求直线4F与平面力BC所成的角的正切值最大值.

18.如图，在四棱锥P-4BCD中，平面P481平面48CD,底面力BCD为菱形，△PAB为等边三角形，且PA=2,

PCLCD,。为力B的中点.

(1)若E为线段PC上动点，证明：AB10E-,

(2)求点B与平面PCD的距离.

19.如图，在多面体4BCDEF中，四边形力BCD与4BEF均为直角梯形，AD//BC,AF//BE,ZM1平面力BEF,

AB1AF,力。=力B=2BC=2BE=2,G在4尸上，且4G=1.

(1)求证：8G〃平面DCE；

⑵若BF与CE所成的角为60°,求多面体4BC0EF的体积.

20.如图1,E、F,G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三

角形FDG裁掉，再将剩下的五边形2BCFG沿着线段EF折起，连接48、CG就得到了一个空间五面体，如图2.

图1图2

(1)若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：4。//平面GCF；

(2)若乙4EB=g,求三棱锥力一BEF的体积.

21.如图，在梯形4BCD中，AB||CD,ADDCCB=1,/.ABC=60°,四边形ACFE为矩形，平面ACFE1

⑴求证：BC1平面2CFE；

(2)求二面角4-BF-C的平面角的余弦值；

(3)若点M在线段EF上运动，设平面M4B与平面FCB所成二面角的平面角为9(。W90。)，试求cos。的范围.

22.直四棱柱48CD-4%的。1，AB||DC,ABVAD,AB=2,AD=3,DC=4

⑴求证：面OCCiD；

(2)若四棱柱体积为36,求二面角a-BD-4的大小.

23.如图；在直三棱柱ABC—4B1C1中，AC=3,BCAAr=4,48=5,点。为的中点.

(1)求证AC1BC1；

(2)求三棱锥&-CD%的体积.

24.如图,在正四棱台4BCD-48也1。1中，AB=2A1B1,AAt=V3,M,N为棱当的，的内的中点，棱力B

上存在一点£使得&E〃平面BMND.

⑴求条

⑵当正四棱台2BCD-&BiCiDi的体积最大时，证明：CiCl平面BMND.

25.已知圆锥的顶点为S,底面圆心为。，半径为2,母线S4S3的长为2&，N40B=90。且M为线段

的中点.

A

(1)证明：平面SOM1平面MB；

(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小.

26.如图，在三棱锥P-4BC中，PA=PB=瓜PA1PB,AB1BC,NB4C=30。，平面PAB1平面2BC.

⑴求证：PA1BC；

(2)求PC的长度；

(3)求二面角P-AC-B的大小.

27.在图1中，△ABC为等腰直角三角形，Z.B=90°,AB=2a,△4CD为等边三角形，。为/C边的中点,

E在边上，S.EC=2BE,沿/C将△4CD进行折叠，使点。运动到点厂的位置，如图2,连接R9,FB,

FE,OE,使得F8=4.

图1图2

⑴证明：尸。1平面/8C；

⑵求点4到平面OEF的距离.

28.如图，在多面体4BCDEF中，四边形力BCD是正方形，AEL^\^ABCD,AE//CF,ABAE2CF=2m.

⑴若G为力E的中点，求证：CG〃平面DEF；

⑵若多面体ABCDEF的体积为32,求小的值.

29.如图，△ADM是等腰直角三角形，AD1DM,四边形2BCM是直角梯形，AB1BC,MC1BC,且=

2BC=2CM=2,平面力DM1平面力BCM.

(1)求证：AD1BM；

(2)若点E是线段DB上的一动点，问点£在何位置时，三棱锥M-力DE的体积为黑?

18

30.如图，在几何体4BCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面4BCD互相垂直，且力B=BC=BF=1,AD=

CD=百，EF=2.

E

(1)求证：BCJL平面CDE；

(2)求二面角E-AC-。的平面角的余弦值.

31.如图1所示，在长方形4BCD中，AB=2AD=2,M是DC的中点，将AADM沿4M折起，使得力D1BM,

如图2所示，在图2中.

图1图2

(1)求证：8Ml平面ADM；

(2)求点C到平面BMD的距离.

32.如图，四边形/BCD为菱形，EDL^\^ABCD,FB||ED,BD=ED=2FB.

(1)求证：平面BDEF1平面N"；

(2)记三棱锥力-EFC的体积为匕，三棱锥A-BFC的体积为展，求空的值.

丫2

33.在直角梯形2BCD中(如图一)，AB//DC,AD1DC,AD=DC=^AB=2.将△ADC沿AC折起，使力。1DB

(如图二).

(2)设E为线段4B的中点，求点E到直线CD的距离.

34.如图，直角梯形4BCD中，AD//BC,NBAD=90。，AB=AD=五,BC=2五,将△4BD沿8。翻折至

△a'BD的位置,使得4B1A'C.

(2)若F,H分别为BC,A'C的中点，求三棱锥力'一DFH的体积.

35.已知四棱锥P-A8CD中，底面48CD为平行四边形，AB1AP,平面PCD_L平面48CD,PD=4D.

p

AL----七

(1)若H为力P的中点，证明：力平面HCD；

(2)若AB=1,AD=炳,PA=2V2,求平面P4B与平面PCD所夹角的余弦值.

36.在图1中，ZkaBC为等腰直角三角形，乙5=90。，AB=2四,AaCD为等边三角形，。为/C边的中点,

E在边上，且EC=2BE,沿/C将△力CD进行折叠，使点。运动到点厂的位置，如