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文档简介
浙江省永康市2024年中考数学押题试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色
字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知A3〃CZ>,AE与A5的夹角为48。,若CF与EF的长度相等,则NC
的度数为()
A.48°B.40°C.30°D.24°
2.在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽取了10名选手,记录他们的成绩(所用的时间)如下:
选手12345678910
时间(min)129136140145146148154158165175
由此所得的以下推断不正确的是()
A.这组样本数据的平均数超过130
B.这组样本数据的中位数是147
C.在这次比赛中,估计成绩为130min的选手的成绩会比平均成绩差
D.在这次比赛中,估计成绩为142min的选手,会比一半以上的选手成绩要好
3.已知抛物线y=ax?+bx+c(a,l)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,1),其部分图象如图所示,
下列结论:
①抛物线过原点;②a-b+cVl;③当x<l时,y随x增大而增大;
④抛物线的顶点坐标为(2,b);⑤若ax2+bx+c=b,则b?-4ac=l.
其中正确的是()
A.①②③B.①④⑤C.①②④D.③④⑤
4.如图,两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切,则劣弧AB的长
为()
A.2ncmB.47tcmC.671cmD.87rcm
xV
5.化简:4—,结果正确的是)
x—yx+y
22
R_x_+__y'工一丁22
A.122C.D.r+r
x-yy
6.下列计算结果是X5的为()
A.x10^_x2B.x6-xC.x2*x3D.(x3)2
7.运用乘法公式计算(4+x)(4-x)的结果是()
A.B.16-x2C.16-8x+x2D.
8.下列因式分解正确的是()
A.X2+2X-1=(X-1)2B.x2+l=(x+l)2
C.x2-x+l=x(x-l)+lD.2X2-2=2(X+1)(X-1)
x+l>0
9.不等式组〈x—3>。的解集是()
A.B.x>3
C.-l<x<3D.x<3
10.如图,某厂生产一种扇形折扇,OB=10cm,AB=20cm,其中裱花的部分是用纸糊的,若扇子完全打开摊平时纸面
面积为粤兀cn?,则扇形圆心角的度数为()
3
A.12J0°B.140°C.150°D.160°
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.一个圆锥的母线长15cM.高为9cM.则侧面展开图的圆心角。
12.如图,是用三角形摆成的图案,摆第一层图需要1个三角形,摆第二层图需要3个三角形,摆第三层图需要7个
三角形,摆第四层图需要13个三角形,摆第五层图需要21个三角形,…,摆第n层图需要个三角形.
已知A(xi,yD,B(X2,y2)都在反比例函数y=9的图象上.
13.若XIX2=-4,则yi,y2的值为
X
14.因式分解:mn(n-m)-n(m-n)=
15.二次根式&ZT中的字母a的取值范围是
16.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,点D是AB的中点,点E在边AC上,将AADE沿DE翻折,
使点A落在点A,处,当A£,AC时,A,B=
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)如图①,在RtAABC中,ZABC=90°,A5是。。的直径,。。交AC于点O,过点。的直线交5c于点
E,交A5的延长线于点P,ZA=ZPDB.
(1)求证:是。。的切线;
(2)若A3=4,DA=DP,试求弧50的长;
(3)如图②,点M是弧AB的中点,连结。拉,交A8于点N.若tanA=.,求一的值.
18.(8分)已知:如图所示,在AABC中,AB^AD=DC,ZBAD=26°,求和/C的度数.
19.(8分)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点
O位于北偏东45。,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7。,测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距
20.(8分)为了解某市市民“绿色出行”方式的情况,某校数学兴趣小组以问卷调查的形式,随机调查了某市部分出行
市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类),并将调查结果绘制成如下不完整的统计
图.
种类ABCDE
出行方式共享单车步行公交车的士私家车
(1)参与本次问卷调查的市民共有人,其中选择B类的人数有人;
(2)在扇形统计图中,求A类对应扇形圆心角a的度数,并补全条形统计图;
(3)该市约有12万人出行,若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式,请估计该市“绿色出行”方式的人
数.
21.(8分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已
知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
若苗圃园的面积为72平方米,求X;若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的
苗圃园
面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
22.(10分)如图,已知抛物线y=gx?+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(-9,10),AC〃x
轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存
在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
2%>3%-2
23.(12分)(1)解不等式组:,2x—112;
I323
x
(2)解方程:--+--=2.
2%—1x—2
24.三辆汽车经过某收费站下高速时,在2个收费通道A,3中,可随机选择其中的一个通过.
(1)三辆汽车经过此收费站时,都选择4通道通过的概率是;
(2)求三辆汽车经过此收费站时,至少有两辆汽车选择8通道通过的概率.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、D
【解析】
解:'JAB//CD,:.Z1=ZBAE=48°.':CF=EF,:.ZC=ZE.VZ1=ZC+ZE,AZC=-Z1=-x48°=24°.故选D.
22
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直
线平行,内错角相等.
2、C
【解析】
分析:要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;对于中位数,因图中是按从小到大的顺序排列的,所以只要
找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可求解.
详解:平均数=(129+136+140+145+146+148+154+158+165+175)+10=149.6(min),故这组样本数据的平均数超过130,
A正确,C错误;因为表中是按从小到大的顺序排列的,一共10名选手,中位数为第五位和第六位的平均数,故中位
数是(146+148)+2=147(min),故B正确,D正确.故选C.
点睛:本题考查的是平均数和中位数的定义.要注意,当所给数据有单位时,所求得的平均数和中位数与原数据的单
位相同,不要漏单位.
3、B
【解析】
由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标,可求出另一交点坐标,结论①正确;当x=-l时,y>l,得到
a-b+c>L结论②错误;根据抛物线的对称性得到结论③错误;将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=l,即可
求出抛物线的顶点坐标,结论④正确;根据抛物线的顶点坐标为(2,b),判断⑤.
【详解】
解:①•.•抛物线y=ax2+bx+c(aWl)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,1),
二抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,1),
...抛物线过原点,结论①正确;
②;当x=-l时,y>l,
.'.a-b+c>l,结论②错误;
③当xVl时,y随x增大而减小,③错误;
④抛物线y=ax2+bx+c(a^l)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点,
.b91
..------=2,c=l,
2a
•*.b=-4a,c=l,
4a+b+c=l,
当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,
•••抛物线的顶点坐标为(2,b),结论④正确;
⑤•••抛物线的顶点坐标为(2,b),
ax?+bx+c=b时,b2-4ac=l,⑤正确;
综上所述,正确的结论有:①④⑤.
故选B.
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y
轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
4、B
【解析】
首先连接OC,AO,由切线的性质,可得OCLAB,根据已知条件可得:OA=2OC,进而求出NAOC的度数,则圆
心角NAOB可求,根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.
【详解】
解:如图,连接OC,AO,
•.•大圆的一条弦AB与小圆相切,
AOC1AB,
•/OA=6,OC=3,
.\OA=2OC,
;.NA=30°,
:.ZAOC=60°,
.".ZAOB=120°,
120x〃x6
二劣弧AB的长=
~180~=4TT,
故选B.
【点睛】
本题考查切线的性质,弧长公式,熟练掌握切线的性质是解题关键.
5、B
【解析】
先将分母进行通分,化为(x+y)(x-y)的形式,分子乘上相应的分式,进行化简.
【详解】
xy_x2+xyxy-y?_x2+y2
x-yx+y(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)x2-y2
【点睛】
本题考查的是分式的混合运算,解题的关键就是熟练掌握运算规则.
6、C
【解析】解:A.*2=必,不符合题意;
B.M-x不能进一步计算,不符合题意;
C.x2x3=x5,符合题意;
D.(x3)2=x6,不符合题意.
故选C.
7、B
【解析】
根据平方差公式计算即可得解.
【详解】
(4+x)(4-x)=42-%2=16-%2,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式,熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.
8、D
【解析】
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式,进而判断即可.
【详解】
2
解:A、x+2x-b无法直接分解因式,故此选项错误;
2
B、x+l,无法直接分解因式,故此选项错误;
2
C、x-x+b无法直接分解因式,故此选项错误;
D、2x——2=2(x+l)(x—1),正确.
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
9、B
【解析】
根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集.
【详解】
%+1>0①
[x-3>0②,
解不等式①,得x>-L
解不等式②,得x>l,
由①②可得,x>l,
故原不等式组的解集是x>L
故选B.
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组,解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.
10、C
【解析】
根据扇形的面积公式列方程即可得到结论.
【详解】
OB=10cm,AB=20cm,
OA=OB+AB=30cm,
设扇形圆心角的度数为a,
•纸面面积为UW:rcm2,
.6Z-TTX3026Z-^X1021000
.・-----------------360-----------------------7i,
3603
:.a=150°,
故选:C.
【点睛】
本题考了扇形面积的计算的应用,解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式:扇形的面积="上.
360
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11,288°
【解析】
母线长为15cm,高为9cm,由勾股定理可得圆锥的底面半径;由底面周长与扇形的弧长相等求得圆心角.
【详解】
解:如图所示,在RtASOA中,SO=9,SA=15;
则:r=AO=y/s^-SO-=7152-92=12
fi/rl
设侧面属开图扇形的国心角度数为n,贝岫2"="得n=288。
180
故答案为:288°.
【点睛】
本题利用了勾股定理,弧长公式,圆的周长公式和扇形面积公式求解.
12、n2-n+1
【解析】
观察可得,第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为3,比第1层多2个;第3层三角形的个数为7,比第2
层多4个;…可得,每一层比上一层多的个数依次为2,4,6,...据此作答.
【详解】
观察可得,第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为22-2+1=3,
第3层三角形的个数为32-3+1=7,
第四层图需要42-4+1=13个三角形
摆第五层图需要52-5+1=21.
那么摆第n层图需要n2-n+l个三角形。
故答案为:n2-n+l.
【点睛】
本题考查了规律型:图形的变化类,解题的关键是由图形得到一般规律.
13、-1.
【解析】
66
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到7,%=『,再把它们相乘,然后把石々=-4代入计算即可.
【详解】
66
根据题意得%=一,%=—,
%!X2
663636小
所以%%=..兀=公=互=一夕
故答案为:
【点睛】
66
考查反比例函数图象上点的坐标特征,把点A,3的坐标代入反比例函数解析式得到%=一,%=一,是解题的关键.
14、«(7?—
【解析】
mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+l),
故答案为n(n-m)(m+l).
15、a>-1.
【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数,可以得出关于a的不等式,继而求得a的取值范围.
【详解】
由分析可得,a+l>0,
解得:aN-1.
【点睛】
熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.
16、0或70
【解析】
分两种情况:
①如图1,作辅助线,构建矩形,先由勾股定理求斜边AB=10,由中点的定义求出AD和BD的长,证明四边形HFGB
是矩形,根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长,并由翻折的性质得:ZDA'E=ZA,A'D=AD=5,由矩形性质和
勾股定理可以得出结论:A,B=0;
②如图2,作辅助线,构建矩形A'MNF,同理可以求出A'B的长.
【详解】
解:分两种情况:
如图1,
过D作DG_LBC与G交A,E与F,过B作BH±A'E与H,
D为AB的中点,,BD=;AB=AD,
ZC=90°,AC=8,BC=6,.,.AB=10,
**.BD=AD=5,
.,DGACDG8
sinNABC==,——
BDAB510
:.DG=4,
由翻折得:ZDA*E=ZA,A*D=AD=5,
,,BCDF
sinZDA*E=sinNA=-----=-------
ABAfD
6DF.
—=------••DF=3,
10A5
:.FG=4-3=1,
AE±AC,BC±AC,
.AE//BC,..ZHFG+ZDGB=180%
ZDGB=90%ZHFG=90%ZEHB=90%
四边形HFGB是矩形,
BH=FG=1,
同理得:A'E=AE=8-1=7,
A'H=A'E-EH=7-6=1,
在RtAAHB中,由勾股定理得:A,B=+f=J].
过D作MN//AC,交BC与于N,过A,作A'F//AC,交BC的延长线于F,延长A'E交直线DN于M,A'E±AC,=A'
M±MN,A'E±A'F,
ZM=ZMA'F=900,ZACB=90°,
/F=NACB=90",
四边形MA'FN臬矩形,
MN=A'F,FN=A'M,
由翻折得:A'D=AD=5,RtAA'MD中,DM=3,A,M=4,
FN=A'M=4,
RtABDN中,BD=5,.1DN=4,BN=3,
A'F=MN=DM+DN=3+4=7,
BF=BN+FN=3+4=7,
RtAABF中,由勾股定理得:A,8=万弄=7夜;
综上所述,A,B的长为0或
故答案为:0或
【点睛】
本题主要考查三角形翻转后的性质,注意不同的情况需分情况讨论.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)见解析;⑵一;⑶「
【解析】
⑴连结0。;由A3是。。的直径,得到NAO3=90。,根据等腰三角形的性质得到/4。。=NA,ZBDO^ZABD;
得到NP£>0=90。,且。在圆上,于是得到结论;
(2)设NA=x,贝!|NA=NP=x,ZDBA=2x,在△A3。中,根据NA+NABO=90。列方程求出x的值,进而可得到
ZDOB=60U,然后根据弧长公式计算即可;
(3)连结。“,过。作。尸,A3于点F,然后证明△OMNs△厂DN,根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】
(1)连结0。,是。。的直径,.,.NA"B=90。,
ZA+ZABD=90°,又,:OA=OB=OD,/.ZBDO=ZABD,
又,.•/A=/P£>3,/.ZPDB+ZBDO^90°,即NP0O=9O。,
且。在圆上,,PZ>是◎。的切线.
(2)设NA=x,
':DA=DP,:.ZA=ZP=x,:.ZDBA=ZP+ZBDP=x+x=2x,
在△A5Z)中,
ZA+ZABD=9d°,x=2x=90°,即x=30°,
;.NDOB=60。,.•.弧长.
-1=三三二=二
(3)连结。M,过。作。尸,A5于点p,I,点”是通,{的中点,
:.0MLAB,设BD=x,则AD=2x,AB=1=20",即0M=一
2
在R350歹中,DF=_,
"FT
Tu
由AOMNs△尸ON得.
【点睛】
本题是圆的综合题,考查了切线的判定,圆周角定理及其推论,三角形外角的性质,含30。角的直角三角形的性质,
弧长的计算,弧弦圆心角的关系,相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法是解(1)的关键,求出NA=3(T
是解(2)的关键,证明△OMNs△尸"N是解(3)的关键.
18、ZS=77°,ZC=38.5°.
【解析】
根据等腰三角形的性质即可求出NB,再根据三角形外角定理即可求出ZC.
【详解】
在AABC中,AB^AD^DC,
AB=AD,在三角形钻。中,
/B=ZADB=(180°-26°)*g=77°,
又•.•A£>=OC,在三角形AOC中,
ZC=-ZADB=77。XL38.5。.
22
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是熟知等边对等角.
19、点。到BC的距离为480m.
【解析】
作OMLBC于M,ON±AC于N,设OM=x,根据矩形的性质用x表示出OM、MC,根据正切的定义用x表示出
BM,根据题意列式计算即可.
【详解】
作OM_LBC于M,ON_LAC于N,
则四边形ONCM为矩形,
/.ON=MC,OM=NC,
设OM=x,则NC=x,AN=840-x,
在RtAANO中,ZOAN=45°,
/.ON=AN=840-x,贝!|MC=ON=840-x,
在RtABOM中,BM=—————=—x,
tanZOBM24
.一.7
由题意得,840-x+----x=500,
24
解得,x=480,
答:点。到BC的距离为480m.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用,掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.
20、(1)800,240;(2)补图见解析;(3)9.6万人.
【解析】
试题分析:(1)由C类别人数及其百分比可得总人数,总人数乘以B类别百分比即可得;
(2)根据百分比之和为1求得A类别百分比,再乘以360。和总人数可分别求得;
(3)总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案.
试题解析:(1)本次调查的市民有200+25%=800(人),
•1B类别的人数为800x30%=240(人),
故答案为800,240;
(2)类人数所占百分比为1-(30%+25%+14%+6%)=25%,
二A类对应扇形圆心角a的度数为360°x25%=90°,A类的人数为800x25%=200(人),
(3)12x(25%+30%+25%)=9.6(万人),
答:估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人.
考点:1、条形统计图;2、用样本估计总体;3、统计表;4、扇形统计图
21、(1)2(2)当x=4时,y最小=88平方米
【解析】
(1)根据题意得方程解即可;
2
(2)设苗圃园的面积为y,根据题意得到二次函数的解析式y=x(31-2x)=-2x+31X,根据二次函数的性质求解
即可.
解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31-2幻米.依题意可列方程
x(31-2x)=72,即--15x+36=L
解得xi=3(舍去),X2=2.
⑵依题意,得器31—2W3.解得6金7.
ks15,,225
面积S=x(31-2x)=-2(x--)2+—(6<x<4).
15225
①当x=x时,S有最大值,S最大=?;
22
②当x=4时,S有最小值,S最小=4x(31—22)=88
“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题,解题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据
二次函数的性质求解即可.
22、(1)抛物线的解析式为y='x2-2x+L⑵四边形AECP的面积的最大值是学,点P(2,--);⑶Q(4,1)
3424
或(-3,1).
【解析】
2
(1)把点A,3的坐标代入抛物线的解析式中,求仇c;⑵设PQ”,—m-2m+l),根据S四边形AECP=SAAEC+SAAPC,
把S四边形用含,”式子表示,根据二次函数的性质求解;(3)设。(f,1),分别求出点A,B,C,尸的坐标,求出45,
BC,CA;用含f的式子表示出PQ,CQ,判断出N5AC=NPCA=45。,则要分两种情况讨论,根据相似三角形的对
应边成比例求f.
【详解】
解:(1)将4(0,1),8(9,10)代入函数解析式得:
—x8H-9Z>+c=10,c=l,解得B=-2,c=l,
3
所以抛物线的解析式y=g,_2x+i;
(2);AC〃x轴,A(0,1),
2
A-x-2x+l=lf解得%i=6,“2=0(舍),即。点坐标为(6,1),
3
丁点4(0,1),点5(9,10),
2
;・直线的解析式为y=x+L设PO,^m-2m+l)9m+l)9
.*.PE=/w+l-(^m2-2m+1)=—^/n2+3m.
VAC±PE,AC=6,
***S四边形A£c?=SAAEC+SAAPC=—AC・EF-\AC*PF
11
=-AC-(EF+PF)=-AC-EP
22
11
=—x6(--m2+3m)=-m2+9m.
,:0<m<6,
98195
,当帆=—时,四边形尸的面积最大值是一,此时P(—,);
2424
(3)Vj=^x2-2x+l=j(x-3)2-2,
P(3,-2),PF=yF-yp=39CF=XF-XC=3,
:.PF=CF,:.ZPCF=45°,
同理可得尸=45°,:.ZPCF=ZEAF9
・・・在直线AC上存在满足条件的点Q,
设1)且45=9底,AC=6,CP=3五,
・・,以GP,。为顶点的三角形与△A3C相似,
①当△CPQ^/\ABC^f
CQ:AC^CP:AB,(
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