浙江省永康市2024年中考数学押题试卷（含解析）

浙江省永康市2024年中考数学押题试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知A3〃CZ>,AE与A5的夹角为48。，若CF与EF的长度相等，则NC

的度数为（）

A.48°B.40°C.30°D.24°

2.在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下:

选手12345678910

时间(min)129136140145146148154158165175

由此所得的以下推断不正确的是（）

A.这组样本数据的平均数超过130

B.这组样本数据的中位数是147

C.在这次比赛中，估计成绩为130min的选手的成绩会比平均成绩差

D.在这次比赛中，估计成绩为142min的选手，会比一半以上的选手成绩要好

3.已知抛物线y=ax?+bx+c（a,l）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,其部分图象如图所示,

下列结论：

①抛物线过原点；②a-b+cVl；③当x<l时，y随x增大而增大；

④抛物线的顶点坐标为（2,b）；⑤若ax2+bx+c=b,则b?-4ac=l.

其中正确的是（）

A.①②③B.①④⑤C.①②④D.③④⑤

4.如图,两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长

为（)

A.2ncmB.47tcmC.671cmD.87rcm

xV

5.化简:4—,结果正确的是)

x—yx+y

22

R_x_+__y'工一丁22

A.122C.D.r+r

x-yy

6.下列计算结果是X5的为（）

A.x10^_x2B.x6-xC.x2*x3D.(x3)2

7.运用乘法公式计算（4+x）（4-x）的结果是（）

A.B.16-x2C.16-8x+x2D.

8.下列因式分解正确的是（）

A.X2+2X-1=(X-1)2B.x2+l=(x+l)2

C.x2-x+l=x(x-l)+lD.2X2-2=2(X+1)(X-1)

x+l>0

9.不等式组〈x—3>。的解集是（)

A.B.x>3

C.-l<x<3D.x<3

10.如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm,AB=20cm,其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面

面积为粤兀cn?,则扇形圆心角的度数为（）

3

A.12J0°B.140°C.150°D.160°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一个圆锥的母线长15cM.高为9cM.则侧面展开图的圆心角。

12.如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个

三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要21个三角形，…，摆第n层图需要个三角形.

已知A（xi,yD，B（X2,y2）都在反比例函数y=9的图象上.

13.若XIX2=-4,则yi，y2的值为

X

14.因式分解：mn(n-m)-n(m-n)=

15.二次根式&ZT中的字母a的取值范围是

16.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点D是AB的中点，点E在边AC上，将AADE沿DE翻折,

使点A落在点A，处，当A£，AC时，A，B=

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图①，在RtAABC中，ZABC=90°,A5是。。的直径，。。交AC于点O,过点。的直线交5c于点

E,交A5的延长线于点P,ZA=ZPDB.

（1）求证：是。。的切线;

(2)若A3=4,DA=DP,试求弧50的长;

（3）如图②，点M是弧AB的中点，连结。拉，交A8于点N.若tanA=.,求一的值.

18.（8分）已知：如图所示，在AABC中，AB^AD=DC,ZBAD=26°,求和/C的度数.

19.（8分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点

O位于北偏东45。，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7。，测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距

20.（8分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行

市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计

图.

种类ABCDE

出行方式共享单车步行公交车的士私家车

（1）参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择B类的人数有人；

（2）在扇形统计图中，求A类对应扇形圆心角a的度数，并补全条形统计图；

（3）该市约有12万人出行，若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人

数.

21.(8分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已

知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

若苗圃园的面积为72平方米，求X；若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的

苗圃园

面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

22.(10分)如图，已知抛物线y=gx?+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点B(-9,10),AC〃x

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存

在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

2%>3%-2

23.(12分)(1)解不等式组：,2x—112;

I323

x

(2)解方程：--+--=2.

2%—1x—2

24.三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A,3中，可随机选择其中的一个通过.

(1)三辆汽车经过此收费站时，都选择4通道通过的概率是；

(2)求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择8通道通过的概率.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

解：'JAB//CD,：.Z1=ZBAE=48°.'：CF=EF,：.ZC=ZE.VZ1=ZC+ZE,AZC=-Z1=-x48°=24°.故选D.

22

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直

线平行，内错角相等.

2、C

【解析】

分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要

找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可求解.

详解：平均数=（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）+10=149.6（min）,故这组样本数据的平均数超过130,

A正确，C错误；因为表中是按从小到大的顺序排列的，一共10名选手，中位数为第五位和第六位的平均数，故中位

数是（146+148）+2=147（min）,故B正确，D正确.故选C.

点睛：本题考查的是平均数和中位数的定义.要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数和中位数与原数据的单

位相同，不要漏单位.

3、B

【解析】

由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=-l时，y>l,得到

a-b+c>L结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=l,即可

求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2,b）,判断⑤.

【详解】

解：①•.•抛物线y=ax2+bx+c（aWl）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,

二抛物线与x轴的另一交点坐标为（1,1）,

...抛物线过原点，结论①正确；

②；当x=-l时，y>l,

.'.a-b+c>l,结论②错误；

③当xVl时，y随x增大而减小，③错误；

④抛物线y=ax2+bx+c(a^l)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点，

.b91

..------=2,c=l,

2a

•*.b=-4a,c=l,

4a+b+c=l,

当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,

•••抛物线的顶点坐标为(2,b),结论④正确；

⑤•••抛物线的顶点坐标为(2,b),

ax?+bx+c=b时，b2-4ac=l,⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①④⑤.

故选B.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y

轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

4、B

【解析】

首先连接OC,AO,由切线的性质，可得OCLAB,根据已知条件可得：OA=2OC,进而求出NAOC的度数，则圆

心角NAOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.

【详解】

解：如图，连接OC,AO,

•.•大圆的一条弦AB与小圆相切,

AOC1AB,

•/OA=6,OC=3,

.\OA=2OC,

；.NA=30°,

:.ZAOC=60°,

.".ZAOB=120°,

120x〃x6

二劣弧AB的长=

~180~=4TT,

故选B.

【点睛】

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键.

5、B

【解析】

先将分母进行通分，化为(x+y)(x-y)的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.

【详解】

xy_x2+xyxy-y?_x2+y2

x-yx+y(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)x2-y2

【点睛】

本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.

6、C

【解析】解：A.*2=必,不符合题意；

B.M-x不能进一步计算，不符合题意；

C.x2x3=x5,符合题意；

D.(x3)2=x6,不符合题意.

故选C.

7、B

【解析】

根据平方差公式计算即可得解.

【详解】

(4+x)(4-x)=42-%2=16-%2,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.

8、D

【解析】

直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可.

【详解】

2

解：A、x+2x-b无法直接分解因式，故此选项错误；

2

B、x+l，无法直接分解因式，故此选项错误；

2

C、x-x+b无法直接分解因式，故此选项错误；

D、2x——2=2(x+l)(x—1),正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

9、B

【解析】

根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集.

【详解】

%+1>0①

[x-3>0②，

解不等式①，得x>-L

解不等式②，得x>l,

由①②可得，x>l,

故原不等式组的解集是x>L

故选B.

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法.

10、C

【解析】

根据扇形的面积公式列方程即可得到结论.

【详解】

OB=10cm,AB=20cm,

OA=OB+AB=30cm,

设扇形圆心角的度数为a,

•纸面面积为UW：rcm2,

.6Z-TTX3026Z-^X1021000

.・-----------------360-----------------------7i,

3603

:.a=150°,

故选：C.

【点睛】

本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积="上.

360

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,288°

【解析】

母线长为15cm,高为9cm,由勾股定理可得圆锥的底面半径；由底面周长与扇形的弧长相等求得圆心角.

【详解】

解：如图所示，在RtASOA中,SO=9,SA=15；

则：r=AO=y/s^-SO-=7152-92=12

fi/rl

设侧面属开图扇形的国心角度数为n,贝岫2"="得n=288。

180

故答案为：288°.

【点睛】

本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解.

12、n2-n+1

【解析】

观察可得，第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为3,比第1层多2个；第3层三角形的个数为7,比第2

层多4个；…可得，每一层比上一层多的个数依次为2,4,6,...据此作答.

【详解】

观察可得，第1层三角形的个数为1,第2层三角形的个数为22-2+1=3,

第3层三角形的个数为32-3+1=7,

第四层图需要42-4+1=13个三角形

摆第五层图需要52-5+1=21.

那么摆第n层图需要n2-n+l个三角形。

故答案为：n2-n+l.

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是由图形得到一般规律.

13、-1.

【解析】

66

根据反比例函数图象上点的坐标特征得到7，％=『，再把它们相乘，然后把石々=-4代入计算即可.

【详解】

66

根据题意得％=一，%=—，

%!X2

663636小

所以％%=..兀=公=互=一夕

故答案为:

【点睛】

66

考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点A,3的坐标代入反比例函数解析式得到%=一,%=一，是解题的关键.

14、«(7?—

【解析】

mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+l),

故答案为n(n-m)(m+l).

15、a>-1.

【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围.

【详解】

由分析可得，a+l>0,

解得：aN-1.

【点睛】

熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键.

16、0或70

【解析】

分两种情况：

①如图1,作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10,由中点的定义求出AD和BD的长，证明四边形HFGB

是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长,并由翻折的性质得：ZDA'E=ZA,A'D=AD=5,由矩形性质和

勾股定理可以得出结论:A，B=0;

②如图2,作辅助线，构建矩形A'MNF,同理可以求出A'B的长.

【详解】

解：分两种情况：

如图1,

过D作DG_LBC与G交A，E与F,过B作BH±A'E与H,

D为AB的中点，,BD=；AB=AD,

ZC=90°,AC=8,BC=6,.,.AB=10,

**.BD=AD=5,

.,DGACDG8

sinNABC==,——

BDAB510

:.DG=4,

由翻折得：ZDA*E=ZA,A*D=AD=5,

,,BCDF

sinZDA*E=sinNA=-----=-------

ABAfD

6DF.

—=------••DF=3,

10A5

:.FG=4-3=1,

AE±AC,BC±AC,

.AE//BC,..ZHFG+ZDGB=180%

ZDGB=90%ZHFG=90%ZEHB=90%

四边形HFGB是矩形,

BH=FG=1,

同理得：A'E=AE=8-1=7,

A'H=A'E-EH=7-6=1,

在RtAAHB中，由勾股定理得:A，B=+f=J].

过D作MN//AC,交BC与于N,过A，作A'F//AC,交BC的延长线于F,延长A'E交直线DN于M,A'E±AC,=A'

M±MN,A'E±A'F,

ZM=ZMA'F=900,ZACB=90°,

/F=NACB=90",

四边形MA'FN臬矩形，

MN=A'F,FN=A'M,

由翻折得:A'D=AD=5,RtAA'MD中,DM=3,A，M=4,

FN=A'M=4,

RtABDN中,BD=5,.1DN=4,BN=3,

A'F=MN=DM+DN=3+4=7,

BF=BN+FN=3+4=7,

RtAABF中，由勾股定理得:A，8=万弄=7夜；

综上所述,A，B的长为0或

故答案为：0或

【点睛】

本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析；⑵一；⑶「

【解析】

⑴连结0。；由A3是。。的直径，得到NAO3=90。，根据等腰三角形的性质得到/4。。=NA,ZBDO^ZABD；

得到NP£>0=90。，且。在圆上，于是得到结论；

(2)设NA=x,贝!|NA=NP=x,ZDBA=2x,在△A3。中，根据NA+NABO=90。列方程求出x的值，进而可得到

ZDOB=60U,然后根据弧长公式计算即可；

(3)连结。“，过。作。尸，A3于点F,然后证明△OMNs△厂DN,根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】

(1)连结0。，是。。的直径，.,.NA"B=90。，

ZA+ZABD=90°,又,：OA=OB=OD,/.ZBDO=ZABD,

又,.•/A=/P£>3,/.ZPDB+ZBDO^90°,即NP0O=9O。，

且。在圆上，，PZ>是◎。的切线.

(2)设NA=x,

'：DA=DP,：.ZA=ZP=x,：.ZDBA=ZP+ZBDP=x+x=2x,

在△A5Z)中，

ZA+ZABD=9d°,x=2x=90°,即x=30°,

；.NDOB=60。,.•.弧长.

-1=三三二=二

(3)连结。M,过。作。尸，A5于点p，I,点”是通，｛的中点,

:.0MLAB,设BD=x,则AD=2x,AB=1=20",即0M=一

2

在R350歹中，DF=_,

"FT

Tu

由AOMNs△尸ON得.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，含30。角的直角三角形的性质,

弧长的计算，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法是解（1）的关键，求出NA=3（T

是解（2）的关键，证明△OMNs△尸"N是解（3）的关键.

18、ZS=77°,ZC=38.5°.

【解析】

根据等腰三角形的性质即可求出NB,再根据三角形外角定理即可求出ZC.

【详解】

在AABC中，AB^AD^DC,

AB=AD,在三角形钻。中，

/B=ZADB=（180°-26°）*g=77°,

又•.•A£>=OC,在三角形AOC中，

ZC=-ZADB=77。XL38.5。.

22

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.

19、点。到BC的距离为480m.

【解析】

作OMLBC于M,ON±AC于N,设OM=x,根据矩形的性质用x表示出OM、MC,根据正切的定义用x表示出

BM,根据题意列式计算即可.

【详解】

作OM_LBC于M,ON_LAC于N,

则四边形ONCM为矩形，

/.ON=MC,OM=NC,

设OM=x,则NC=x,AN=840-x,

在RtAANO中，ZOAN=45°,

/.ON=AN=840-x,贝！|MC=ON=840-x,

在RtABOM中，BM=—————=—x,

tanZOBM24

.一.7

由题意得，840-x+----x=500,

24

解得，x=480,

答：点。到BC的距离为480m.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.

20、(1)800,240；(2)补图见解析；(3)9.6万人.

【解析】

试题分析：(1)由C类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以B类别百分比即可得；

(2)根据百分比之和为1求得A类别百分比，再乘以360。和总人数可分别求得；

(3)总人数乘以样本中A、B、C三类别百分比之和可得答案.

试题解析：(1)本次调查的市民有200+25%=800(人)，

•1B类别的人数为800x30%=240(人)，

故答案为800,240；

(2)类人数所占百分比为1-(30%+25%+14%+6%)=25%,

二A类对应扇形圆心角a的度数为360°x25%=90°,A类的人数为800x25%=200(人)，

(3)12x(25%+30%+25%)=9.6(万人)，

答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为9.6万人.

考点：1、条形统计图；2、用样本估计总体；3、统计表；4、扇形统计图

21、(1)2(2)当x=4时,y最小=88平方米

【解析】

(1)根据题意得方程解即可；

2

(2)设苗圃园的面积为y,根据题意得到二次函数的解析式y=x(31-2x)=-2x+31X,根据二次函数的性质求解

即可.

解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31-2幻米.依题意可列方程

x(31-2x)=72,即--15x+36=L

解得xi=3(舍去)，X2=2.

⑵依题意，得器31—2W3.解得6金7.

ks15,,225

面积S=x(31-2x)=-2(x--)2+—(6<x<4).

15225

①当x=x时，S有最大值，S最大=?；

22

②当x=4时，S有最小值，S最小=4x(31—22)=88

“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据

二次函数的性质求解即可.

22、(1)抛物线的解析式为y='x2-2x+L⑵四边形AECP的面积的最大值是学，点P(2,--)；⑶Q(4,1)

3424

或(-3,1).

【解析】

2

(1)把点A,3的坐标代入抛物线的解析式中，求仇c；⑵设PQ”,—m-2m+l),根据S四边形AECP=SAAEC+SAAPC,

把S四边形用含，”式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设。(f,1),分别求出点A,B,C,尸的坐标，求出45,

BC,CA；用含f的式子表示出PQ,CQ,判断出N5AC=NPCA=45。，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对

应边成比例求f.

【详解】

解：(1)将4(0,1),8(9,10)代入函数解析式得：

—x8H-9Z>+c=10,c=l,解得B=-2,c=l,

3

所以抛物线的解析式y=g，_2x+i；

(2)；AC〃x轴，A(0,1),

2

A-x-2x+l=lf解得％i=6,“2=0(舍)，即。点坐标为(6,1),

3

丁点4(0,1)，点5(9,10),

2

；・直线的解析式为y=x+L设PO，^m-2m+l)9m+l)9

.*.PE=/w+l-(^m2-2m+1)=—^/n2+3m.

VAC±PE,AC=6,

***S四边形A£c?=SAAEC+SAAPC=—AC・EF-\AC*PF

11

=-AC-(EF+PF)=-AC-EP

22

11

=—x6(--m2+3m)=-m2+9m.

,:0<m<6,

98195

，当帆=—时，四边形尸的面积最大值是一,此时P(—,);

2424

(3)Vj=^x2-2x+l=j(x-3)2-2,

P(3,-2),PF=yF-yp=39CF=XF-XC=3,

：.PF=CF,：.ZPCF=45°,

同理可得尸=45°,：.ZPCF=ZEAF9

・・・在直线AC上存在满足条件的点Q,

设1)且45=9底，AC=6,CP=3五，

・・,以GP,。为顶点的三角形与△A3C相似，

①当△CPQ^/\ABC^f

CQ:AC^CP:AB,(